Statistik Sommersemester Dr. Matthias Arnold

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1 Statistik Sommersemester 2012 Dr. Matthias Arnold

2 Vorlesung Vorlesung: Mi , Audimax Dr. Matthias Arnold Raum 163 in LG 1 matthias.arnold@uni-erfurt.de Tel.: 0361/ Sprechstunde: Mittwoch Uhr 1. Klausurtermin: Montag, , 16 Uhr 2. Klausurtermin: Mittwoch, , 12 Uhr Dr. Matthias Arnold 2

3 Übung Fabian Kleine Termine: Mo Di Mi Mi Do Dr. Matthias Arnold 3

4 Was ist Statistik Umfassendes methodisch-quantitatives Instrumentarium zur Charakterisierung und Auswertung empirischer Befunde [...] mit universellen Einsatzmöglichkeiten in Politik, Wirtschaft und Gesellschaft und allen Geistes-, Sozial- und Naturwissenschaften einschließlich Medizin und Technik, in denen mit Zahlen gearbeitet wird. (Gabler Wirtschaftslexikon) Wissenschaftsdisziplin, die Methoden entwickelt, um aus Zahlen ( Daten ) Informationen, Wissen zu extrahieren Dr. Matthias Arnold 4

5 Hilfreich/notwendig bei... Wozu Statistik?...der Erstellung von Mietspiegeln...der Prüfung von Kreditwürdigkeiten...der Auswertung der Sonntagsfrage...klinischen Studien ( Medikament A besser als Medikament B? )...der Beantwortung grundlegender Fragen von Politik und Gesellschaft... Arbeitsmarktpolitik: Auswirkungen der Einführung von Mindestlöhnen Gesundheitspolitik: Bewertung von Vorsorgeuntersuchungen Dr. Matthias Arnold 5

6 Wozu Statistik? Hilfreich bei der Planung der Energiewende Dr. Matthias Arnold 6

7 Windenergie Einspeisung ins Netz im Zeitablauf Dr. Matthias Arnold 7

8 Energiewende: erforderlicher Netzausbau Regionale Unterschiede Stromerzeugung/Stromverbrauch Dr. Matthias Arnold 8

9 Wozu Statistik? Hilfreich/notwendig bei der Entscheidung über den Bau neuer Kraftwerke... zur Politikberatung: Entwicklung Strompreise, Strombedarf... für die Planung von Speicherkapazitäten (z.b. Pumpspeicherkraftwerke)... bei Entscheidungen über den Netzausbau... bei der Festlegung von Einspeisevergütungen Dr. Matthias Arnold 9

10 Wozu Statistik? Statistische Unkenntnis Fehlinterpretationen/ Blamagen drohen Mitteilung der Universität Virginia im Jahr 1984: Absolventen des Bachelor-Studiengangs Rhetorik und Kommunikation haben durchschnittliches Einstiegsgehalt von Dollar wertlose/irreführende Info, denn einer der Studenten: R. Sampson, später Houston Rockets (Quelle: Washington Post) Dr. Matthias Arnold 10

11 Prominenter Statistik-Fürsprecher The ability to take data to be able to understand it, to process it, to extract value from it, to visualize it, to communicate it that s going to be a hugely important skill in the next decades. (H. R. Varian, US-amerikanischer Ökonom, geb. 1947) Dr. Matthias Arnold 11

12 Themengebiete Teil A: Deskriptive Statistik (Komprimierung/übersichtliche Darstellung von Daten) Grafische Darstellung von Daten Lage-, Streuungs- und Zusammenhangsmaße Preisindizes Teil B: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Beschreibung/Modellierung zufälliger Ereignisse, notw. für Teil C) Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen Ausgewählte Verteilungen Dr. Matthias Arnold 12

13 Themengebiete Teil C: Schließende Statistik (allgemeine Frage wird auf Basis einer Stichprobe beantwortet) Punkt- und Intervallschätzung Statistische Signifikanztests Regressionsanalyse Dr. Matthias Arnold 13

14 Zur Struktur/Nummerierung Themengebiete A-C (s.o.) Unterteilung in Kapitel Kapitel 1: Grundlegende Begriffe Kapitel 2: Grafische Darstellung von Daten... Dr. Matthias Arnold 14

15 Zur Struktur/Nummerierung Dem jeweiligen Kapitel entsprechend werden Definitionen und Beispiele nummeriert Kapitel 1 Beispiel 1.1, Beispiel 1.2, Definition 1.1,... Kapitel 2 Beispiel 2.1, Definition 2.1, Definition 2.2, Keine Nummerierung von Bemerkungen Querverweise haben die Form gemäß der Bemerkung nach Definition 1.1 gilt... Dr. Matthias Arnold 15

16 Literatur Bamberg, G., Baur, F. und Krapp, M. (2009), Statistik, 15. Auflage, Oldenbourg, München. Bleymüller, J., Gehlert, G. und Gülicher, H. (2008), Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Auflage, Verlag Vahlen, München. Krämer, W. (2008), Statistik verstehen Eine Gebrauchsanweisung, 7. Auflage, Piper, München. Pflaumer, P., Heine, B. und Hartung, J. (2005), Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften: Deskriptive Statistik, 3. Auflage, Oldenbourg, München. Pflaumer, P., Heine, B. und Hartung, J. (2001), Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften: Induktive Statistik, Oldenbourg, München. Schira, J. (2009), Statistische Methoden der VWL und BWL Theorie und Praxis, 3. Auflage, Pearson Studium, München. Dr. Matthias Arnold 16

17 Teil A: Deskriptive Statistik Dr. Matthias Arnold 17

18 Aufgaben der deskriptiven Statistik Erhebung von Daten Tabellarische und grafische Darstellung von Daten Charakterisierung großer Datenmengen durch aussagekräftige Maßzahlen Dr. Matthias Arnold 18

19 Kapitel 1: Grundlegende Begriffe Beispiel 1.1 a) Farben der Fahrzeuge auf dem Uniparkplatz (1. Wagen rot; 2. Wagen blau,...) b) Schulnoten einer Grundschulklasse (sehr gut bis ungenügend) c) Einwohnerzahlen in deutschen Städten (Stadt 1: ; Stadt 2: ,...) d) Körpergröße der Studenten (in cm) in diesem Hörsaal (Student 1: 175,3; Student 2: 163,8;...) Eigenschaften von Objekten werden durch Daten wiedergegeben Objekte hier: Fahrzeug, Schüler, Stadt, Student Eigenschaften hier: Farbe, Note, Einwohnerzahl, Körpergröße Dr. Matthias Arnold 19

20 Bezeichnungen Die Eigenschaften (der Objekte) werden auch Merkmale oder Variablen genannt Die zugehörigen Objekte heißen Merkmalsträger Das notierte Merkmal an einem bestimmten Merkmalsträger heißt Merkmalsausprägung oder Beobachtung Merkmale werden mit großen Buchstaben bezeichnet Merkmalsausprägungen werden mit kleinen Buchstaben und der Nummer des Merkmalsträgers bezeichnet Dr. Matthias Arnold 20

21 Beispiel 1.2 (vgl. Beispiel 1.1) a) Merkmal W =Fahrzeugfarbe; Merkmalsträger=Fahrzeug; Merkmalsausprägung von Merkmalsträger 5: w 5 =rot b) Merkmal X=Note; Merkmalsträger=Schüler; Merkmalsausprägung von Merkmalsträger 3: x 3 =befriedigend c) Merkmal Y =Einwohnerzahl; Merkmalsträger=Stadt; Merkmalsausprägung von Merkmalsträger 10 : y 10 = d) Merkmal Z=Körpergröße; Merkmalsträger=Student; Merkmalsausprägung von Merkmalsträger 40 : z 40 =181,6 Ersichtlich außerdem: Art/Typ der Daten ist unterschiedlich! Dr. Matthias Arnold 21

22 Definition 1.1 Betrachte abermals Beispiel 1.1 Daten vom Typ a) sind keine Zahlen und lassen sich nicht ordnen; Derartige Merkmale heißen qualitativ oder nominal skaliert (Datenausprägungen als Namen auffassbar) Daten vom Typ b) können in eine Rangordnung gebracht werden (sehr gut, gut,...,ungenügend) und sind numerisch kodierbar: 1 < 2 <... < 6; Solche Merkmale heißen ordinal skaliert (nicht qualitativ; Merkmalsausprägungen lassen sich in natürlicher Reihenfolge anordnen, wobei die Abstände zwischen den Beobachtungen nicht sinnvoll interpretierbar sind) Dr. Matthias Arnold 22

23 Definition 1.1 (Fortsetzung) In c) entsprechen die Merkmalsausprägungen Zahlen derartige Merkmale heißen kardinal skaliert oder quantitativ; Merkmalsausprägungen lassen sich in natürlicher Reihenfolge anordnen, Abstände ebenfalls interpretierbar Datenstruktur von d) ähnlich zu c) Unterschied c) und d): In d) könnte Körpergröße theoretisch beliebig genau gemessen werden Merkmalsausprägung kann jeden reellen Zahlenwert im Intervall [0,210] annehmen (Unterstellung hier: 210 cm=maximalgröße) derartige Merkmale heißen quantitativ stetig; Inc)können die Beobachtungen nur ganzzahlige Werte annehmen derartige Merkmale heißen quantitativ diskret Dr. Matthias Arnold 23

24 Bemerkung Jede Messung eines stetigen Merkmals ist aufgrund begrenzter Messgenauigkeit praktisch diskret; Die Stetigkeit, das heißt die Annahme, dass jede beliebige Zahl realisierbar ist, ist eine Idealisierung In der Praxis werden diskrete Merkmale mit vielen Merkmalsausprägungen oft wie stetige Merkmale behandelt (Beispiel: Einkommen); auch umgekehrter Fall (durch Klassieren der Daten) möglich Beispiel 1.3 Weitere nominal skalierte Merkmale: Geschlecht (w/m), Geburtsort, Konfession, Familienstand der Studenten in diesem Hörsaal,... Weitere ordinal skalierte Merkmale: Sozialer Status, Aggressivität, Kundenzufriedenheit, Tabellenplätze,... Dr. Matthias Arnold 24

25 Beispiel 1.3 (Fortsetzung) Weitere quantitativ diskrete Merkmale: Einkommen, Anzahl geschossener Tore, Anzahl Krankschreibungen pro Person und Jahr,... Weitere quantitativ stetige Merkmale: Zeit, Gewicht, Temperatur,... Definition 1.2 Gegeben sei ein Merkmal X Die Menge N aller möglichen Merkmalsträger heißt Grundgesamtheit (x 1,..., x N zugehörige Beobachtungen) Erhebung aller N Beobachtungen Vollerhebung Meist jedoch: Betrachtung einer Stichprobe von n Merkmalsträgern wobei n<n Dr. Matthias Arnold 25

26 Kapitel 2: Grafische Darstellung von Daten Beispiel 2.1 Heimtore Borussia Dortmund, Saison 2009/2010 (17 Spiele): 1, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 4, 1, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 1, 1 Quelle: Dr. Matthias Arnold 26

27 Beispiel 2.1 (Fortsetzung) Was sieht man? Betrachte z.b., wie oft sich die fünf auftretenden Anzahlen an Toren (0-4) über die Saison verteilt realisieren Anzahl Tore Wie oft aufgetreten Eins ist der (mit Abstand) am häufigsten auftretende Wert Dr. Matthias Arnold 27

28 Definition 2.1 Gegeben sei ein Merkmal X mit k möglichen Merkmalsausprägungen a 1,..., a k Beobachte nun n Ausprägungen x 1,..., x n Die Anzahl der x i mit x i = a j wird mit H(a j ) bezeichnet und heißt absolute Häufigkeit der Ausprägung a j h(a j )=H(a j )/n heißt relative Häufigkeit von a j Dr. Matthias Arnold 28

29 Beispiel 2.2 (BVB-Tore, vgl. Beispiel 2.1) Tore a j H(a j ) h(a j ) 0 2 2/17=0, /17=0, /17=0, /17=0, /17=0,117 =17 =1 Dr. Matthias Arnold 29

30 Beispiel 2.2 (Fortsetzung) Möglichkeiten der grafischen Darstellung? z.b. Säulendiagramm rel. Häufigkeit h(aj) Tore aj Säulendiagramm auch mit absoluten Häufigkeiten erstellbar; Stäbe statt Rechtecken Stabdiagramm Dr. Matthias Arnold 30

31 Beispiel 2.2 (Fortsetzung) Vertausche im Säulendiagramm x und y Achse Balkendiagramm Tore aj Abs. Häufigkeit H(aj) Dr. Matthias Arnold 31

32 Beispiel 2.2 (Fortsetzung) Andere Möglichkeit zur grafischen Darstellung der BVB-Tore: Kreisdiagramm Größe des einzelnen Tortenstücks ist proportional zur entsprechenden Häufigkeit Dr. Matthias Arnold 32

33 grafische Darstellung: angemessen Dr. Matthias Arnold 33

34 beliebter Trick: y-achse abschneiden Dr. Matthias Arnold 34

35 Wirtschaftswachstum Dr. Matthias Arnold 35

36 Postsendungen Dr. Matthias Arnold 36

37 Bildung und Forschung Dr. Matthias Arnold 37

38 auch schlecht: eingebaute Bewertung Dr. Matthias Arnold 38

39 Definition 2.2 Situation wie in Definition 2.1 (Merkmal X, mögliche Ausprägungen a 1,..., a k, Beobachtung von n Ausprägungen x 1,..., x n ) X mindestens ordinal skaliert Die empirische Verteilungsfunktion F n (x) ist gleich der Summe der relativen Häufigkeiten aller Merkmalsausprägungen kleiner oder gleich x Formell: F n (x) = a i x h(a i ) (x R) F n (x) entspricht dem Anteil an Beobachtungen, die höchstens den Wert x haben Dr. Matthias Arnold 39

40 Beispiel 2.3 (BVB-Tore, vgl. die Beispiele 2.1 und 2.2) 0 für x<0 h(0) = 2/17 für 0 x<1 2/17 + h(1) = 9/17 für 1 x<2 F 17 (x) = 9/17 + h(2) = 13/17 für 2 x<3 13/17 + h(3) = 15/17 für 3 x<4 1 für x 4 Dr. Matthias Arnold 40

41 Beispiel 2.3 (Fortsetzung) Fn(x) der BVB Tore F 17 (x) BVB Tore x Dr. Matthias Arnold 41

42 Beispiel 2.3 (Fortsetzung) Fn(x) der BVB Tore Ablesebeispiel F 17 (x) BVB Tore x In ca. 80 Prozent der Spiele (genauer: in F 17 (2) 100 = 76, 5 Prozent) sind weniger als drei Tore gefallen Dr. Matthias Arnold 42

43 Bemerkung (Eigenschaften von F n (x)) F n (x) [0, 1] für alle x F n (x) ist monoton nicht fallend Es gilt: lim F n(x) =0 und lim F n(x) =1. x x Dr. Matthias Arnold 43

44 Beispiel 2.4 Lebensdauer (in Betriebsstunden) von Ventilen in kunststoffverarbeitendem Betrieb, vgl. Bamberg et al. (2007) 110, 520, 490, 30, 120, 290, 370, 305, 415, 170, 280, 70, 540, 460, 260, 345, 150, 220, 435, 425, 470, 350, 130, 380, 230, 320, 360, 240, 330, unterschiedliche Beobachtungen Säulen/Kreisdiagramm bringen keinen Informationsgewinn Dr. Matthias Arnold 44

45 Beispiel 2.4 (Fortsetzung) Empirische Verteilungsfunktion konstruierbar Fn(x) der Ventillebensdauern F 30 (x) Lebensdauer der Ventile x (in Stunden) Dr. Matthias Arnold 45

46 Beispiel 2.4 (Fortsetzung) Weitere Möglichkeit: Klassierung der Daten, z.b. in Intervalle der Länge 100 (jetzt H(a i ) bzw. h(a i ) absolute bzw. relative Klassenhäufigkeit) Klasse von... bis h(a i ) Nr. unter... Stunden H(a j ) h(a i ) Klassenbreite /30 7/ /30 6/ /30 8/ /30 9/6000 Dr. Matthias Arnold 46

47 Beispiel 2.4 (Fortsetzung) Histogramm: Betrachte aneinander angrenzende Rechtecke in Klassenbreite; Höhe der Rechtecke: h(a i )/Klassenbreite Balkenhöhe Lebensdauer der Ventile x (in Stunden) Dr. Matthias Arnold 47

48 Bemerkung Die Fläche der einzelnen Balken im Histogramm ist proportional zur relativen Häufigkeit im entsprechenden Intervall: Balkenhöhe=h(a i )/Klassenbreite h(a i )=Balkenhöhe Klassenbreite = Balkenfläche Probleme bei zu grober Klasseneinteilung: Zu viel Informationsverlust Probleme bei zu feiner Klasseneinteilung: Unübersichtlichkeit, da viele Klassen gering/gar nicht besetzt sind Bei großer Variation der Daten können unterschiedliche Klassenbreiten sinnvoll sein, wenn möglich sind jedoch Klassen mit gleicher Breite wünschenswert Dr. Matthias Arnold 48

49 Beispiel 2.5 (Lebensdauer Ventile, vgl. Beispiel 2.4) Histogramm der Ventillebensdauern, andere Klassierung Balkenhöhe Lebensdauer der Ventile x (in Stunden) Dr. Matthias Arnold 49

50 Beispiel 2.5 (Fortsetzung) Fn(x) Ventile, unklassierte & klassierte Daten F 30 (x) Lebensdauer der Ventile x (in Stunden) Sprungstelle hier: Klassenuntergrenze; weitere Möglichkeiten: Klassenobergrenze, Klassenmitte,... Dr. Matthias Arnold 50

51 Bemerkung Säulen/Stab-, Balken- und Kreisdiagramm für nominal, ordinal und kardinal skalierte Merkmale geeignet Empirische Verteilungsfunktion für ordinal und kardinal skalierte Merkmale geeignet Histogramm nur für kardinal skalierte Merkmale geeignet Dr. Matthias Arnold 51