1 Einfachregression 1.1In 10 Haushalten wurden Einkommen und Ausgaben für Luxusgüter erfragt:
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- Bernt Straub
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1 Beispiele zum Üben und Wiederholen zu Wirtschaftsstatistik 2 (Kurs 3) 1 Einfachregression 1.1In 10 Haushalten wurden Einkommen und Ausgaben für Luxusgüter erfragt: Haushaltseinkommen Luxusausgaben a) Zeichne ein Streudiagramm der Daten.Kann ein linearer Zusammenhang angenommen werden? b) Formuliere ein lineares Regressionsmodell für die Abhängigkeit der Luxusausgaben vom Einkommen. c) Bestimme die Modellparameter (Steigung und Intercept) und zeichne die Regressionsgerade in das Streudiagramm ein. 1.2 Betrachte folgende Streudiagramme von vier Datensätzen. Für welche Datensätze erscheint ein lineares Modell sinnvoll? Schätze ohne Rechnung die Größenordnung der Modellparameter.
2 1.3 Wie lauten die Modellannahmen im einfachen linearen Regressionsmodell? Betrachte folgenden Residuenplot und den QQ-Plot der standardisierten Residuen zu dem Modell aus Beispiel 1.1 und überprüfe daran die Modellannahmen für den Fehlerterm. 1.4 In einem einfachen Regressionsmodell wurden für folgende Daten X Y die kleinste Quadrate Schätzera=2,58 und b=2,78 bestimmt. Berechne die Residuen und zeichne einen Residuenplot. Was lässt sich aufgrund des Plots für die Varianz der Residuen vermuten? 1.5 Die Residuen aus Beispiel 1.1 sind a) Wie groß ist die Summe der Residuen? (Rechnung nicht notwendig.) b) Berechne die Summe der quadrierten Residuen SQR und die Residuenvarianz. c) Die Stichprobenvarianz für die abhängige Größe (Luxusausgaben) in Beispiel 1 beträgt Berechne daraus die totale Quadratsumme. Wie groß ist die erklärte Quadratsumme SQE? Wie groß ist das Bestimmtheitsmaß? Was bedeutet der für das Bestimmheitsmaß erhaltene Wert?
3 1.6 Ein Tankstellenbetreiber erhebt an 12 Sonntagen Benzinpreis und verkaufte Benzinmenge (in Hektolitern): Benzinpreis: Vekaufsmenge: In einem linearen Regressionsmodell soll untersucht werden, wie die verkaufte Benzinmenge vom Preis abhängt. Dazu steht folgende unvollständige Ausgabe des Statistik Programms R zur Verfügung: Call: lm(formula = Verkaufsmenge ~ Benzinpreis) Coefficients: Estimate Std.Error t value Pr(> t ) (Intercept) ?? Benzinpreis ?? Benutze für Punkt b und c die Tabelle der Quantile der T-Verteilung im Anhang! a) Was bedeuten die vorhandenen Einträge der R-Ausgabe? b) Berechne die T-Teststatistiken für die geschätzten Modellparameter und teste die Nullhypothesen H0 a : α= u d H b : β=. Was bedeuten die Ergebnisse? c) Kannst Du aus der Größe der Teststatistiken die Größenordnung der dazugehörenden p-werte abschätzen? (Oder vielleicht mit Hilfe eines Computers die p-werte exakt bestimmen?) 1.7 Vorhersagen im Regressionsmodell: a) Berechne für das Modell aus Beispiel 1.6 ein 99% Konfidenzintervall für die mittlere Verkaufsmenge bei einem Benzinpreis von 1,400 Euro. Benutze dafür die Modellvarianz und b) Berechneein 99% Konfidenzintervall für die Verkaufsmenge an einem einzelnen Sonntag mit einem Benzinpreis von 1,400 Euro. c) Ist eine Prognose für einen Benzinpreis von 2,500 Euro anhand unseres Modells sinnvoll? 2 Korrelation 2.1 Für acht Regionalniederlassungen einer Firma liegen Daten über Werbeausgaben und Umsatz einer Geschäftsperiode vor (in Tausend Euro): Werbung Umsatz a) Berechne die Stichprobenkovarianz von Werbung und Umsatz. (Benutze und wenn notwendig.) b) Die Stichprobenvarianzen für Werbung und Umsatz sind und. Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Wie groß ist die Korrelation? c) Wie hängen Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient im linearen Regressionsmodell zusammen? Wie groß ist demnach das Bestimmtheitsmaß für ein Modell Umsatz=a+b*Werbung?
4 2.2 Alter und Kaufkraft wurden für 100 Personen erhoben. Der Korrelationskoeffizient nach Pearson zwischen diesen Größen wurde mit r=0,85 bestimmt. Berechne die T-Teststatistik für r und teste die Nullhypothese H 0 : r=0 auf einem Signifikanzniveau von 0, Der Korrelationskoeffizient nach Spearman ist robust gegen Ausreißer und ist auch geeignet, um nicht lineare Zusammenhänge zu erkennen. Bestimme für die Daten aus Aufgabe 2.1 die Ränge der Beobachtungen. Berechne daraus den Spearman Korrelationskoeffizienten. Vergleiche das Ergebnis mit Korrelationsmatrix: Für die Merkmale X1, X2 und X3 wurden folgende Korrelationenskoeffizienten berechnet: a) Wie große ist r(x1,x1)? b) Erstelle eine Korrelationsmatrix für die Merkmale. c) Beschreibe kurz die Korrelationsstruktur. 3 Mehrfachregression 3.1 In einem mehrfachen linearen Regressionsmodell soll die abhängige Variable y durch die unabhängigen Variablen x 1 und x 2 erklärt werden. Folgende Daten liegen vor: y x 1 x a) Schreibe das Regressionsmodell in Matrixschreibweise aus. Bere h e de klei ste Quadrate S hätzer für β als. Benutze für die notwendige Matrixinversion zum Beispiel das online Programm In einer Studie im Gastronomiebereich soll untersucht werden, ob und wie die Höhe des erhaltenen Trinkgeldes (y) von der Dauer des Kundenkontakts (x 1 ) und der Rechnungshöhe (x 2 ) abhängt. Die ermittelten Daten sind: Tri kgeld Kundenkontakt (min) Re h u gshöhe Der kleinste Quadrate Schätzer für ein Modell lautet.
5 a) Berechne die vorhergesagten Werte. b) Berechne nun die Residuen, die Quadratsumme der ResiduenSQR und die Residuenvarianz s 2. c) Berechne die totale Quadratsumme SQT und die erklärte Quadratsumme SQE und das multiple Bestimmtheitsmaß R 2. d)erstelle nun eine Varianzanalyseta elle, u die Nullhypothese H : β 1 =β 2 =0 zu testen. Wie wird über die Hypothese auf ei e Sig ifika z i eau α=, 5 entschieden? Warum sind wir an dieser Hypothese interessiert? (Eine Tabelle mit 95% Quantilen der F-Verteilung ist am Ende dieser Beispielsammlung zu finden.) 3.3 Berechne anhand der Daten aus Beispiel 3.2 diegeschätzte Varianz-Kovarianzmatrix für b,.bestimme daraus die Standardfehler der Schätzer b 0, b 1 und b 2 und teste folgende Hypothesen H0 β1 :β 1 =0 und H0 β2 :β 2 =0 auf ei e Sig ifika z i eau α=, 5. Was bedeutet das Ergebnis für die ursprüngliche Fragestellung aus Bsp. 3.2? 3.4 Erstelle für das Modell aus Beispiel % Konfidenzintervalle sowohl für den individuellen als auch den mittleren Prognosewert für das erhaltene Trinkgeld bei 10 Minuten Kundenkontakt und 40 Euro Rechnungshöhe. 3.5 Die Zufriedenheit von 12 Hotelgästen wurde auf einer Skala von 0 bis 100 erhoben. Folgende weitere Daten sind zu jedem Gast bekannt: Das Alter (Jahre), gemachte Ausgaben in der Hotelbar (Euro), die Größe des gemieteten Zimmers (m 2 ) und die Zahl seiner Urlaubsbegleiter. Die Abhängigkeit der Zufriedenheit von den anderen Variablen wurde in einem linearen Regressionsmodell untersucht. Die unten stehende Ausgabe des Statistik Programms R enthält zahlreiche Informationen zu dem untersuchten Modell. Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** alter ausgaben *** zimmer *** begleiter Signif.codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: 9.25 on 7 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.901, Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 7 DF, p-value: a) Formuliere die Modellgleichung. b) Die letzte Zeile der Ausgabe enthält die F-Teststatistik zur Nullhypothese H : β 1 =β 2 =β 3 =β 4 =0. Entscheide über die Hypothese anhand des angegebenen p-werts. c) Welche der erhobenen Größen haben signifikanten Einfluss auf die Kundenzufriedenheit? d) Wie stark ändert sich laut Modell die Zufriedenheit, wenn die Ausgaben in der Hotelbar um 10 Euro steigen?
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