Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013 Lösungen 6. Übung (KW 26/27) Coulombkräfte ) Elektronenstrahl )

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1 6. Übung (KW 26/27) Aufgabe 1 (E 2.1 Coulombkräfte ) Zwei Punktladungen Q 1 und Q 2 befinden sich auf der -Achse bei 1 und 2. Eine dritte Punktladung Q 3 hat von der Ladung Q 1 und der Ladung Q 2 den gleichen Abstand r. (a) Wie groß ist die auf die Ladung Q 3 wirkende Kraft F, wenn Q 2 = Q 1 ist? (b) Wie groß ist die Kraft F, wenn Q 2 = Q 1 ist? (c) Die Ladung Q 3 befinde sich auf der -Achse. Man skizziere den Verlauf der Kraft F () auf die Ladung Q 3 für die unter (a) und (b) gegebenen Ladungen Q 1 und Q 2! 1 = 0, 2 = 3.0 cm, r = 2.5 cm, Q 1 = C, Q 3 = C Aufgabe 2 (E 2.8 Elektronenstrahl ) Ein Elektronenstrahl dringt durch eine Öffnung in der positiven Platte bei = 0, y = 0 in das homogene Feld eines Plattenkondensators unter dem Winkel α 0 gegen die Platte ein. Die Elektronengeschwindigkeit ist v 0, die Kondensatorspannung U, der Plattenabstand d. y U ~v 0 d 0 U B (a) Was für eine Bahn beschreibt der Elektronenstral? Stellen Sie die Gleichung der Bahnkurve y = y() auf! (b) Seine größte Entfernung von der positiven Platte beträgt y = d /3. Welcher Wert ergibt sich für die spezifische Ladung e /m? (c) Die Elektronen erhalten ihre kinetische Energie, indem sie vor Eindringen in den Kondensator ein beschleunigendes Feld durchlaufen. Wie groß muss die Beschleunigungsspannung U B sein, wenn der Strahl die negative Platte gerade noch erreichen soll? α 0 = 45, v 0 = m s 1, U = 300 V Jens Patommel Seite 1 von 10

2 Aufgabe 3 (E 2.5 Ladungsausgleich ) Zwei Kondensatoren (C 1 und C 2 ) werden auf die Spannungen U 1 und U 2 aufgeladen und danach in Reihe geschaltet, wobei der Pluspol des einen an den Minuspol des anderen geklemmt wird. (a) Welche Spannung U besteht zwischen den freien Klemmen der Reihenschaltung? (b) Welche Ladungen Q 1 und Q 2 tragen die Kondensatoren? (c) Wie groß sind die Spannungen U 1 und U 2, wenn die Klemmen kurzgeschlossen werden? (d) Welche Ladungen Q 1 und Q 2 tragen nun die Kondensatoren? C 1 = 2.0 µf, C 2 = 5.0 µf, U 1 = 100 V, U 2 = 200 V Aufgabe 4 (E 2.11 Dielektrikum ) Ein Plattenkondensator, in dem sich zunächst Luft befindet, hat die Kapazität C 0. (a) Welchen Wert C nimmt seine Kapazität an, wenn zwei Drittel seines Innenraumes durch ein Stück dielektrischen Materials (ε r ) ausgefüllt werden? Der Kondensator wird vor dem Einbringen des Dielektrikums an eine Spannungsquelle (U 0 ) angeschlossen. Wie groß sind die Spannung U und die Ladung Q nach Einbringen des Dielektrikums, wenn " r (b) die Spannungsquelle am Kondensator angeschlossen bleibt und (c) die Spannungsquelle vor dem Einbringen des Dielektrikums wieder entfernt wird? Jens Patommel Seite 2 von 10

3 Lösung zu Aufgabe 1 (a) Die vorliegende Abbildung zeigt die in der Aufgabe beschriebene Situation. Die Positionen der drei Punktladungen Q 1, Q 2 und Q 3 sind mit A, B und E gekennzeichnet. Darüber hinaus sind die Kraftvektoren F 1 und F 2 als Pfeile CE und ED veranschaulicht. F 1 ist die Kraft, die Ladung 1 auf Ladung 3 und F 2 die Kraft, die Ladung 2 auf Ladung 3 ausübt. Es soll der Betrag der Gesamtkraft auf Ladung 3 berechnet werden, d. h. F = F = F 1 + F 2. In der Abbildung ist die Gesamtkraft als orangener Pfeil CD eingezeichnet, der den Pfeilanfang C der einen Kraft mit der Pfeilspitze D der anderen Kraft miteinander verbindet. y y E Q 2 = Q 1 E Q 2 =+Q 1 ~F 1 F2 ~ r 0 0 C ~F D r C ~F 1 F2 ~ 1 ~ 2 F 0 D G ~F ~ F ~F 1 A 2 B A F B Zunächst zeige ich, dass die Dreiecke ABE und CDE ähnlich sind, d. h. in allen ihren Innenwinkeln übereinstimmen. Dies ist sehr einfach einzusehen, denn beide Dreiecke sind gleichschenklig (Q 3 hat von Q 1 und Q 2 den gleichen Abstand) und haben einen gemeinsamen Winkel AEB = CED = γ, folglich sind auch deren Basiswinkel gleich, α = α und β = β. Weil die Dreiecke ABE und CDE ähnlich sind, haben sie gleiche Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten (in diesem speziellen Fall entspricht dies dem Strahlensatz): CD AB = CE AE F 2 = F 1 r Der Kraftbetrag F 1 ergibt sich aus dem Coulomb-Gesetz F = 2 r F 1. (1.1) F 1 = F 1 = Q 1Q 3 4πε 0 r 2 (1.2) mit der elektrischen Feldkonstanten ε 0 und dem Abstand r zwischen den beiden Punktladungen Q 1 und Q 3. Einsetzen liefert F (1.1) = 2 r F (1.2) 1 = 2 Q 1 Q 3 r 4πε 0 r = 2 Q 1 Q 3 2 r 3 4πε 0 = m C C (0.025 m) 3 4π A s V 1 1 = 51.8 mn. m Jens Patommel Seite 3 von 10

4 (b) Abgesehen vom Vorzeichen der Ladung Q 2 ist die Situation dieselbe wie in (a). Die Kraft F 1 ist unverändert geblieben, ebenso Betrag und Richung von Kraft F 2, deren Orientierung sich allerdings umgekehrt hat (Pfeil zeigt jetzt von Q 3 nach Q 2 ). Die resultierende Gesamtkraft F auf Q 3 ist in der Abbildung durch den Pfeil FE repräsentiert. Zunächst stellen wir fest, dass die Strecke DE halb so lang ist wie FE, denn das Viereck FGEC ist ein Parallelogramm und in einem Parallelogramm halbieren sich die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Eckpunkte. Desweiteren kann man zeigen, dass die Dreiecke ABE und CDE ähnlich sind, denn beide Dreiecke sind rechtwinklig und haben den gemeinsamen Winkel γ, so dass auch die Winkel α und α gleich sein müssen. Die Rechtwinkligkeit der Dreiecke liegt darin begründet, dass Q 3 von den beiden anderen Ladungen gleichen Abstand hat und die Kräfte F 1 und F 2 gleiche Beträge haben. Wie in (a) nutzen wir die Ähnlichkeit der Dreiecke, um Seitenverhältnisse ins Verhältnis zu setzen: DE BE = CE AE 1 F 2 BE = F 1 r F = 2 BE r F 1. (1.3) Die Länge der Strecke BE holen wir uns aus dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ABE: AB 2 + BE 2 = AE 2 BE = r 2 ( 2 ) 2 2. (1.4) Damit erhalten wir den gesuchten Betrag der Gesamtkraft: F (1.3) = 2 BE r F (1.4) r 2 ( 2 1 = 2 r 2 ) 2 (1.2) F 1 = 2 1 ( 2 ) 2 Q 1 Q 3 = 69.1 mn. 2r 4πε 0 r2 (b) Alle Ladungen befinden sich auf der -Achse. Weil die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen immer entlang der Verbindungslinie der beteiligten Ladungen wirkt, wirkt auch die resultierende Gesamtkraft auf die Ladung Q 3 ausschließlich in - Richung. Die gesuchte -Komponente F dieser Kraft ergibt sich somit als skalare Summe der Beträge F 1 von Ladung Q 1 und F 2 von Ladung Q 2 : F () = F 1 () + F 2 () = sgn( 1) Q 1 Q 3 + sgn( 2) Q 2 Q 3 4πε 0 ( 1 ) 2 4πε 0 ( 2 ) 2 mit der Signum-Funktion 1, < 0 sgn() = 0, = 0 +1, > 0 Die Signumfunktion sorgt dafür, dass sich das Vorzeichen der Kraft ändert, wenn Q 3 die Seite wechselt : Die von Q 1 bzw. Q 2 auf Q 3 ausgeübte Kraft hat ein anderes Vorzeichen, wenn sich Q 3 links von Q 1 bzw. Q 2 befindet, als sie auf der rechten Seite davon hat. Der Kräfteverlauf für die beiden Situation Q 2 = Q 1 und Q 2 = +Q 1 ist in der folgenden Abbildung skizziert. Jens Patommel Seite 4 von 10

5 F Q 2 = Q 1 F Q 2 =+Q 1 I II III I II III Q 1 Q Q 1 Q Lösung zu Aufgabe 2 (a) Wir ermitteln die Flugbahn eines einzelnen Elektrons aus dem Elektronenstrahl, indem wir die auf das Elektron wirksamen Kräfte untersuchen. Sobald das Elektron das Innere des Plattenkondensators erreicht, erfährt es eine Kraft F el aufgrund des elektrischendes Feldes des Kondensators: y F el = q e E = e E = e U d e y. (2.1) U ~v m d v 0y ~v 0 y m 0 v 0 m U B Es wirkt zwar noch zusätzlich die Gravitatinskraft F g = m e g e y auf das Elektron, aber wenn man die Beträge beider Kräfte vergleicht (beispielhaft für einen Plattenabstand d = 1 m), F g = m egd F el eu = kg 9.81 m s 2 1 m C 300 V = , Jens Patommel Seite 5 von 10

6 so sieht man, dass der Einfluss der Schwerkraft getrost vernachlässigt werden kann. Die elektrische Kraft bewirkt eine Beschleunigung des Elektrons, a (t) e + a y (t) e y = a(t) = 1 m e Fel (t) (3.1) = eu m e d e y, d. h. die Komponenten des Beschleunigungsvektors lauten a (t) = 0, a y (t) = eu m e d. In -Richtung ist die Beschleunigung Null und in y-richtung liegt eine konstante (zeitunabhängige) Beschleungigung vor. Die Weg-Zeit-Funktion r(t) erhält man durch zweifaches Integrieren der Beschleunigung, durch Nachschlagen in der Formelsammlung oder indem man sie auswendig gelernt hat. Auf alle Fälle muss man die Randbedingung r(0) = r 0 = 0 e + y 0 e y = 0 v(0) = v 0 = v 0 e + v 0y e y = v 0 cos α }{{} 0 e + v 0 sin α 0 e }{{} y v 0 berücksichtigen. Man erhält dann die folgende Weg-Zeit-Funktion: v 0y r(t) = [ 0 + v 0 t] e + [ y 0 + v 0y t + 1a 2 yt 2] e y [ = v 0 cos(α 0 )t e + v 0 sin(α 0 )t eu ] 2m e d t2 e y, welche die Bewegeung des Elektrons in - und y-richtung beschreibt und alternativ in der Form (t) = v 0 cos(α 0 )t, (2.2) y(t) = v 0 sin(α 0 )t eu 2m e d t2 (2.3) geschrieben werden kann. Die Flugbahn y() erhält man durch Eliminieren der Zeit, was zum Beispiel gelingt, indem man (2.2) nach t auflöst und in (2.3) einsetzt: ( ) y() = v 0 sin(α 0 ) v 0 cos(α 0 ) = tan(α 0 ) eu ( 2m e d v 0 cos(α 0 ) ) 2 eu 2m e dv 2 0 cos 2 (α 0 ) 2. (2.4) Es handelt sich also um eine nach unten geöffnete Parabel, wie man sie auch schon vom schrägen Wurf einer Punktmasse im homogenen Schwerefeld unter Vernachlässigung der Luftreibung kennt. (b) Die größte Entfernung von der positiv geladenen Platte erreicht der Elektronenstrahl am Scheitelpunkt r m = m e + y m e y der Parabel. Da die Bahnkurve y() am Jens Patommel Seite 6 von 10

7 Scheitelpunkt differenzierbar ist, ist dort notwendigerweise die erste Ableitung Null, d. h. es gilt dy() eu d = tan(α 0 ) m m e dv0 2 cos 2 (α 0 )! m = 0 = m = m edv 2 0 eu tan(α 0) cos 2 (α 0 ). (2.5) Den maimalen Abstand kriegt man heraus, indem (3.5) in (3.4) eingesetzt wird: y m = y( m ) (3.4) eu = tan(α 0 ) m 2m e dv0 2 cos 2 (α 0 ) 2 m = m edv 2 0 eu tan2 (α 0 ) cos 2 (α 0 ) m edv 2 0 2eU tan2 (α 0 ) cos 2 (α 0 ) = m edv 2 0 2eU sin2 (α 0 )! = d 3. (2.6) Im letzten Schritt wurde die Kenntnis angewendet, dass der maimale Abstand des Strahls von der positiven Kondensatorplatte ein Drittel des Plattenabstandes beträgt. Damit lässt sich die spezifische Ladung des Elektrons zu e (3.6) = 3 v0 2 m e 2 U sin2 α α 0 =45 0 = 3 v0 2 4 U = 3 ( m s 1 ) V bestimmen. = C kg 1 Eine andere Möglichkeit, Teilaufgabe (b) zu lösen, besteht darin, den Energieerhaltungssatz anzuwenden. Die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie im elektrischen Feld des Kondensators bleibt erhalten, es gilt also E ges = E kin + E el = const. Angewendet auf die beiden Positionen r 0 (Eintritt in den Kondensator) und r m (Scheitelpunkt der Flugbahn) ergibt dies folgende Bilanzgleichung: E kin ( r 0 ) + E el,0 ( r 0 ) = E kin,m ( r m ) + E el,m ( r m ) = 1 2 m ev y 0 d eu = 1 2 m ev 2 m + y m d eu v m=v = m ev0 2 + y 0 d eu = 1 2 m ev0 2 + y m d eu y 0 =0, y m=d/3 1 = 2 m ev0 2 = 1 2 m ev eu v0 2=v2 0 +v2 0y 1 = 2 m ev0y 2 = 1 3 eu v 0y =v 0 sin α 0 e = = 3 m e 2 v 2 0 U sin2 α 0, was natürlich auf das gleiche Ergebnis führt, wie das Anwenden der in (a) gefundenen Bahngleichung. Jens Patommel Seite 7 von 10

8 (c) Der Scheitelpunkt der Flugparabel liegt jetzt nicht mehr bei 1 d sondern bei d. 3 Ich nehme also die in (b) hergeleitete Gleichung (3.6) und verlange y m = d: (3.6) y m = m edv0 2 2eU sin2! α 0 = d = 1m 2 ev0 2 = eu }{{} sin 2. (2.7) α 0 E kin ( r 0 ) Gleichung (2.7) gibt Auskunft über die benötigte kinetische Energie eines einzelnen Elektrons, unmittelbar bevor es in den Plattenkondensator hineinfliegt. Diese kinetische Energie wird durch die Beschleunigungsspannung U B bereitgestellt, es muss also eu B = E kin ( r 0 ) gelten, so dass man für die nötige Beschleunigungsspannung erhält. U B = E kin( r 0 ) e (2.7) = U sin 2 α 0 α 0 =45 = 1 2 U = 600 V Lösung zu Aufgabe 3 (a) Die Spannungen der in Reihe geschalteten Kondensatoren addieren sich zur Gesamtspannung U = U 1 + U 2 = 100 V V = 300 V. (b) Die Ladungsmenge Q eines Kondensators ergibt sich aus Kapazität C und Spannung U über Q = CU. Somit gilt für die Ladungesmenge der beiden Kondensatoren: Q 1 = C 1 U 1 = 2.0 µf 100 V = 0.2 mc, (3.1) Q 2 = C 2 U 2 = 5.0 µf 200 V = 1.0 mc. (3.2) (c) Nach Kurzschließen der Klemmen fließt ein elektrischer Strom, und zwar so lange, bis sich zwischen den Klemmen die Spannung Null eingestellt hat. Im stationären Fall gilt also für die Summe der über den beiden Kondensatoren abfallenden Spanngen U 1 + U 2 = 0 U 2 = U 1. (3.3) Die Ladungen, die von der äußeren Platte des einen Kondensators via Kurzschluss abfließen, gelangen auf die äußere Platte des anderen Kondensators. Dadurch vermindert sich die Ladungsmenge beider Kondensatoren in genau gleicher Weise (positive Ladungen, die von der positiven Platte des ersten Kondensators wegfließen und zur negativen Platte des zweiten Kondensators hinfließen vermindern die Ladungsmenge beider Kondensatoren). Die Ladungsdifferenz zwischen vorher und nachher muss also bei beiden Kondensatoren gleich sein: Q 1 Q 1 = Q 2 Q 2. (3.4) Jens Patommel Seite 8 von 10

9 Die Kapazität der Kondensatoren ändert sich durch den Kurzschluss nicht, die neuen Ladungesmengen können somit als Q = CU ausgedrückt werden: (3.4) = C 1 U 1 Q 1 = C 2 U 2 Q 2 (3.3) = C 1 U 1 Q 1 = C 2 U 1 Q 2 U 1 = Q 1 Q 2 (3.1) C 1 U 1 C 2 U 2 = = V C 1 + C 2 (3.2) C 1 + C 2 (3.5) (3.2) = U 2 = Q 2 Q 1 (3.1) C 2 U 2 C 1 U 1 = = V. C 1 + C 2 (3.2) C 1 + C 2 (3.6) (d) Die neuen Ladungsmengen der beiden Kondensatoren lauten Q 1 = C 1 U 1 = mc Q 2 = C 2 U 2 = mc. und Lösung zu Aufgabe 4 (a) Man kann sich den mit Dielektrikum gefüllten Kondensator aus zwei parallel geschalteten Einzelkondensatoren mit den Kapazitäten 1 3 C 0 und 2 3 ε rc 0 zusammengesetzt denken. Dann ergibt sich dessen Kapazität als Summe der Einzelkapaziäten: C = 1 3 C ε rc 0 = 1 3 C 0 (1 + 2ε r ). (4.1) (b) Wenn die Spannungsquelle angeschlossen bleibt, ändert sich die Spannung nicht, die neue Spannung U und die alte Spannung U 0 sind gleich: Für die Ladungsmenge gilt dann U = U 0. (4.2) Q = CU (4.2) = CU 0 (4.1) = 1 3 C 0U 0 (1 + 2ε r ). (c) Wenn die Spannungsquelle vor dem Einbringen des Dielektrikums entfernt wird und die Anschlussklemmen von der Umgebung isoliert werden, dann bleibt die Ladungsmenge des Kondensators konstant, es gilt dann Q = Q 0 = C 0 U 0. (4.3) Aufgrund dieser Ladung ergibt sich zwischen den Kondensatorplatten eine Spannung von U = Q C (4.3) = (4.1) C 0 U 0 1 C 3 0 (1 + 2ε r ) = ε r U 0. Jens Patommel Seite 9 von 10

10 Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel 10

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