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1 Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als die Elemente der Menge. Mengen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet. M Bezeichnung der Menge diese Klammern nennt man Mengenklammern, die Menge M besteht aus den Elementen x und y Nun kann man sagen: ist Element von ist Element von ist kein Element von Arten von Mengen: Man unterscheidet verschiedene Arten von Mengen nach der Anzahl ihrer Elemente: Unendliche Mengen sind Mengen mit unendlich vielen Elementen, also Elemente für die gilt, zum die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen. Endliche Mengen sind Mengen, wie die schon zuvor als definierte Menge, also Mengen mit einer bestimmten Anzahl an Elementen. Leere Mengen sind Mengen, die kein Element enthalten. Für die leere Menge gibt es zwei Schreibweisen: Zahlen werden zu Zahlenmengen zusammengefasst. Bestimmte Zahlenmengen mit unendlich vielen Elementen kommen sehr häufig vor. Sie werden mit besonderen Symbolen bezeichnet: Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen (auch: Menge der Bruchzahlen) 0, 1, 2, 3,, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Q \ 0 Anmerkung: Das Symbol \ steht für ohne. Es wird später in diesem Kapitel genauer erklärt. Menge der irrationalen Zahlen {unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen},, 2, 3, 7, Menge der reellen Zahlen Q Anmerkung: Das Symbol steht für vereinigt mit. Es wird später in diesem Kapitel genauer erklärt. 15

2 Berufsreifeprüfung Mathematik Die Anzahl der Elemente einer Menge wird auch als Mächtigkeit bezeichnet. Man verwendet dafür die Schreibweise. Bestimmen Sie die Mächtigkeit der Menge 2; 6, 9; 17 Lösung 4, da die Menge genau vier Elemente enthält. Um die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) einer unendlichen Zahlenmenge anzugeben, muss man sich mit dem Begriff der Kardinalzahl behelfen. Kardinalzahlen beschreiben bei endlichen Mengen die Anzahl ihrer Elemente und werden in diesem Sinn auch für unendliche Mengen verwendet. Bei unendlichen Mengen unterscheidet man: abzählbar unendliche Mengen: Das bekannteste dafür ist die Menge der natürlichen Zahlen. Die Mächtigkeit dieser Menge wird mit der Kardinalzahl (gesprochen: aleph null ; aleph ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets) bezeichnet: Die Menge der reellen Zahlen ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen; sie ist überabzählbar unendlich. Es gilt: 2 Festlegung von Mengen: Es gibt zwei Arten, eine Menge zu definieren. Aufzählendes Verfahren: Mit diesem Verfahren haben wir bisher gearbeitet. Dabei wird jedes Element der Menge einzeln genannt. 0,1,2,3,4,5,6 Beschreibendes Verfahren: Dieses Verfahren ist in vielen Fällen kürzer als das aufzählende Verfahren. Dabei werden nicht die einzelnen Elemente aufgezählt, sondern die Eigenschaften, die allen Elementen der Liste eigen sind. So hätte man statt der obigen Definition auch 6 schreiben können. Das Zeichen steht dabei für ü. Also: besteht aus der Menge der natürlichen Zahlen, für die 6 gilt. Im beschreibenden Verfahren kann man mehrere Bedingungen mit den uns bereits bekannten logischen Symbolen verknüpfen. Nun wollen wir uns damit beschäftigen, wie Mengen in Beziehung zueinander stehen können. Gleichheit von Mengen Enthalten zwei oder mehrere Mengen exakt dieselben Elemente, so nennt man sie gleich, wobei die Reihenfolge der Elemente oder die Art der Festlegung keine Rolle spielt. 3,5,

3 Zahlen und Variable Diese beiden Mengen beinhalten genau die gleichen Elemente, sie sind daher gleich: Teilmenge Man nennt eine Menge eine Teilmenge der Menge, wenn jedes Element der Menge auch in der Teilmenge vorkommt. Man schreibt:. Um zu verdeutlichen, dass eine Menge A nicht die Teilmenge einer Menge M ist, schreibt man. Man unterscheidet echte Teilmengen und unechte Teilmengen. Zu den unechten Teilmengen zählt man folgende Sonderfälle: die leere Menge, da die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist. die Menge selbst, also wenn beide Mengen exakt die gleichen Elemente enthalten. Ist die Teilmenge weder leer, noch mit gleich, so nennt man sie echte Teilmenge. Dies bezeichnet man so:. Anmerkung Natürlich kann man diese Operatoren auch umgekehrt verwenden. : ist eine echte Teilmenge von Wenn man die unendlichen Zahlenmengen betrachtet, so gilt: Q Die Menge aller Teilmengen einer Menge M wird auch als Potenzmenge bezeichnet. Die Mächtigkeit einer Potenzmenge ist immer 2 hoch der Mächtigkeit der ursprünglichen Menge: 2 17

4 Berufsreifeprüfung Mathematik Bestimmen Sie die Potenzmenge der Menge sowie die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit)! Lösung ;, Dieser Wert ergibt sich auch durch Abzählen der Elemente der Potenzmenge,,,,,,,,,,,, Durchschnittsmenge Die Durchschnittsmenge C zweier Mengen A und B enthält alle Objekte, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Ermitteln Sie die Durchschnittsmenge und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch dar. 1,2,3,4 3,4,5,6,7 3,4 Ist die Durchschnittsmenge von A und B leer, so heißen A und B disjunkt. Vereinigungsmenge Elemente der Vereinigungsmenge sind in mindestens einer der Mengen A und B, d. h. sie sind entweder in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten. Ermitteln Sie die Vereinigungsmenge, und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch dar. 1,2,3,4 3,4,5,6,7 1,2,3,4,5,6,7 18

5 Zahlen und Variable Differenzmenge Elemente der Differenzmenge sind in A, aber nicht in B enthalten. Sprechweise für \ : "A ohne B" \ Ermitteln Sie die Differenzmenge \ und stellen Sie den Zusammenhang der Mengen graphisch dar. 1,2,3,4 3,4,5,6,7 \ 1,2 Geordnete Paare Um die Positionen auf einem Schachbrett, im Tabellenkalkulationsprogramm Excel oder in einem Autoatlas anzugeben, werden meist geordnete Paare verwendet. Als betrachten wir einen Ausschnitt eines Excel-Tabellenblattes: Vielfach bezeichnet man die Spalte mit Buchstaben und die Zeile mit Zahlen. Man könnte aber auch die Spalten mit Zahlen bezeichnen. Das ist in Excel möglich: Statt B4 könnte man auch schreiben: S2Z4 (Spalte 2, Zeile 4). So eine Angabe nennt man ein geordnetes Paar. In der Mathematik würde man kurz schreiben: 2,4 Wir kennen geordnete Paare bereits als Koordinaten. Aus all diesen Überlegungen wissen wir bereits, dass 2,4 4,2 Auch in Excel gilt das. Die zweite Darstellung (4. Spalte, 2. Zeile) würde in der bekannten Excel- Schreibweise nämlich der Zelle D2 entsprechen. 19

6 Berufsreifeprüfung Mathematik Produktmenge Gegeben sind zwei Mengen, die aus Personen bestehen.,,, Wie viele unterschiedliche geordnete Paare kann man aus den Elementen dieser beiden Mengen bilden? Lösung Wir erhalten 6 unterschiedliche geordnete Paare, die wir zu einer neuen Menge zusammenfassen:, ;, ;, ;, ;, ;, Die Menge aller geordneten Zahlenpaare wird als Produktmenge bezeichnet. Die Produktmenge (gesprochen: kreuz ) ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus und deren zweites Element aus ist:, Die beiden Mengen, aus denen die Produktmengen gebildet wird, können auch unendliche Zahlenmengen sein. Die Menge aller Punkte der Ebene ergibt sich aus der Produktmenge der reellen Zahlen mit sich selbst, da sowohl die -Koordinaten als auch die -Koordinaten reelle Zahlen sind:, Übung In der folgenden Tabelle sind verschiedene Zahlen dargestellt. Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an! Q Q a) 27 b) c) 1 d) 1 e) 11 f) 121 g) 4 h) 0,6 i) j) 20

7 Zahlen und Variable Übung Geben Sie folgende Mengen im aufzählenden Verfahren an: a) 7 4 b) 3 6 c) 3 5 d) 5 1 e) 4 f) 25 g) 3 h) 3 37 i) 3 37 j) 2 6 Übung Geben Sie folgende Mengen im beschreibenden Verfahren an: a) 2, 3,4 b) 4, 5, 6 c) 2, 1,0,1 d), 2, 1,0 e) 4, 3, 2 f) 1, 0, 1, 2 Übung Ist A eine Teilmenge von B? a) 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6 b) 2, 3, 1 4 c) 4, 6 d) 3, 4, 5, 6, 3 7 e) 3, f) 5, 3 4 Übung Geben Sie die Durchschnittsmenge, die Vereinigungsmenge und die Differenzmengen \ und \ an. a) 3,4,5, 1,2,3 b) 5, 6, 7, 1, 0 c) 7, 8, 9, 5, 6 d) 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1,0, 1 e) 2, 1,0, 1, f) 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4 g) 2, 1, 0, 1 h) 4, 2 2 Übung Ermitteln Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind! a) 3 5 b) 0 c) 4 6 d) 43, 34 43, 34 e) 0 f) g) 4,5 3, 5, 4, 6 h) i) 3, 5, 4 5, 4, 3 21

8 Berufsreifeprüfung Mathematik Übung Zeichnen Sie, wenn möglich, in den dargestellten Mengendiagrammen die Mengen,, \ sowie \ ein! a) b) c) d) Übung Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Mengen A und B, wenn folgende Beziehungen gelten: a) b) c) \ d) 22

9 Zahlen und Variable Übung Beschreiben Sie die angegebenen Mengen im aufzählenden Verfahren. a) b) \ c) d) e) f) \ g) h) \ Übung Schließen Sie aus den gegebenen Informationen auf A, B und C. a) 6, 3, 4, 5,, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5 b) 4, 5, 1, 6 1, 6, 6, 1, 1, \ 2, Rechnen in verschiedenen Zahlenbereichen Rechenoperationen Rechenoperationen 1. Stufe Addition: Summand + Summand = Summe : = 7 Subtraktion: Minuend Subtrahend = Differenz : 3 4 = -1 Rechenoperationen 2. Stufe Multiplikation: Faktor Faktor = Produkt : 3 4 = 12 Division: Dividend : Divisor = Quotient : 3 : 4 = 0,75 Anstatt des Divisionszeichens : verwendet man oft auch den Bruchstrich. Also ist 3:4 gleichbedeutend mit

10 Berufsreifeprüfung Mathematik Rechenoperationen 3. Stufe Potenzieren: : 3 = = 81 Wurzelziehen: : 81 Sprich: "vierte Wurzel aus 81" = Wurzel = 3,weil 3 81 Die zweite Wurzel, auch Quadratwurzel, wird nicht mit einem Wurzelexponenten gekennzeichnet. Also: 16 4, da Die meisten Wurzeln lassen sich nur mit dem Taschenrechner berechnen. Sonderfall 0 0 Achtung Wurzeln aus negativen Zahlen sind in nicht definiert! Vorrangregeln Es gilt grundsätzlich: Rechnungsarten höherer Stufe werden zuerst ausgeführt! Das bedeutet, zuerst wird potenziert, dann multipliziert bzw. dividiert und zum Schluss addiert bzw. subtrahiert. Klammern stellen Rechenoperatoren höchster Ordnung dar. Zuerst müssen also Rechnungen innerhalb der Klammern ausgeführt werden. e : : Hinweis: Welche Art von Klammern runde ( ) oder eckige [ ] oder geschwungene { } Klammern verwendet wird, ist grundsätzlich egal. Meist verwendet man ausschließlich runde Klammern, da auch Computeralgebrasysteme und Kalkulationsprogramme (zum Excel) ausschließlich runde Klammern akzeptieren Rechengesetze Aus dem Mathematikunterricht sind die folgenden Gesetze bekannt: Kommutativgesetz der Addition ("Vertauschungsgesetz"): Man darf Summanden vertauschen. 24

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