FACHHOCHSCHULE KÖLN Fakultät IME

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1 FACHHOCHSCHULE KÖLN Fakultät IME Digital Motion Control Übungsaufgaben Prof. Dr.-Ing. J. O. Krah Aufgabe 1 Ein Gleichstrommotor treibt über ein Getriebe ü = 10 und eine Zahnriemenkonstruktion eine linear verschiebbare Last an. Reibung wird hier nicht berücksichtigt. Motorträgheitsmoment: Trägheitsmoment der Riemenscheibe: Durchmesser der Riemenscheibe: Last: Drehmoment: Gegen EMG: Induktivität Kupferwiderstand Drehmomentkonstante J m = 10 kgcm² J S = 50 kgcm² D = 10,6103 cm m L = 10 kg M E = K T * Ia U i = K T * L = 10 mh R = 3 K T = 1,7 Nm/A Berechnen Sie die kinetische Energie von Motor, Riemenscheibe und Last bei einer Motordrehzahl von n = 3000 min -1. Welches Gesamtträgheitsmoment J (auf Motordrehzahl umgerechnet) ergibt sich bei dieser Anordnung? Der Motor wird in einer Applikation mit einem sinusförmigen Strom betrieben: I = I 0 sin(2π t / T) für 0 < t < T ; 0 sonst I 0 = 5 A ; T = 100 ms. Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf von Strom, Drehzahl, Drehmoment, Klemmenspannung, und Winkel / Position. DMC Übung Krah SS/10

2 Aufgabe 2 Wie viel kinetische Energie sind bei einem Motor mit J = 10 kgcm² bei n = 3000 min -1 gespeichert? Wie viel Energie ist in einem Zwischenkreiskondensator mit C = 500 µf und u = 600 V gespeichert? Der Motor soll jetzt von n = 3000 min -1 auf n = 0 abgebremst werden. Die kinetische Energie des Motors soll zusätzlich im Zwischenkreiskondensator gespeichert werden. Welche Zwischenkreisspannung ergibt sich, wenn 20% der Energie als Verlustleistung verloren gehen? Was wäre, wenn ein Motor mit deutlich mehr als 10 kgcm² abgebremst würde? Aufgabe 2 Von einem 8-poligen 3~Servomotor sind folgende Typenschildangaben bekannt: L = 56 mh (Klemme / Klemme) R = 10 Ω (Klemme / Klemme) I 0 = 2 A (rms) I peak = 8 A (rms) K t = 1,5 Nm/A Berechnen Sie Induktivität und Widerstand vom einphasigen Ersatzschaltbild (ESB-Strang) Die Maschine wird jetzt mit n = 3000 rpm und M = 3 Nm betrieben. Eisenverluste und Reibung können vernachlässigt werden. Berechnen Sie K e, U i, U R, U L Skizieren Sie das Zeigerdiagramm Berechnen Sie die notwendige Spannung des Umrichters Berechnen Sie die notwendige Spannung des Umrichters bei einer Stromvoreilung von 20 Berechnen Sie die notwendige Spannung des Umrichters für M = 9 Nm DMC Übung Krah SS/10

3 Aufgabe 3 Ein Motor eines Robotikantriebs hat folgende Typenschildangaben: R = 2 Ω (Klemme / Klemme) I 0 = 5 A (rms) I peak = 20 A (rms) K t = 1,3 Nm/A J M = 6 kgcm² Das Lastträgheitsmoment beträgt auf die Motorwelle bezogen J L = 9 kgcm². Die Schwerkraft verursacht ein Drehmoment von m g = 0,65 Nm. Reibungsmomente können vernachlässigt werden. In einem Bearbeitungszyklus soll der Antrieb in 20 ms linear auf 2600 rpm beschleunigen. Dann für 30 ms mit dieser Geschwindigkeit drehen und in den nächsten 20 ms linear auf 0 rpm abbremsen. Nach einer Pause von 80 ms soll der Antrieb den gleichen Zyklus zurückfahren. Nach weiteren 80 ms beginnt der vollständige Zyklus wieder von vorne. Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Drehzahl Berechnen Sie die Motordrehzahl in rad/s Berechnen Sie die Motorbeschleunigung/-verzögerung in rad/s² Berechnen Sie den zur Beschleunigung notwendigen Strom Berechnen Sie den zur Überwindung der Schwerkraft notwendigen Strom Skizzieren Sie den Zeitverlauf des Gesamtstroms Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Effektivwert des Stroms Welche durchschnittlichen Kupferverluste fallen im Motor an? Ist der angegebene Motor geeignet? Aufgabe 4 Ein digitaler Regler besteht im Wesentlichen aus einem gemultiplexten 16-Bit Analog Digital Umsetzer, einem 12-Bit Digital Analog Umsetzer und einem 32-Bit Mikrocontroller. Ein- und Ausgangssignale sind über Operationsverstärker an den Spannungsbereich ±10V angepasst. Wie hoch sind die Quantisierungsfehler (in Volt, ADU bzw. DAU seien ideal) von Regelgröße x, Führungsgröße w (analog) und Stellgröße y? Bei welchem K P eines Proportionalreglers sind die Quantisierungsfehler der Regelgröße des Stellgrößensignals genauso groß wie die des Digital Analog Wandlers der Stellgröße? Ist die Wahl 16-Bit ADC / 12-Bit DAC sinnvoll? DMC Übung Krah SS/10

4 Aufgabe 5 Ein digitaler PI-Regler soll im quasikontinuierlichen Modus betrieben werden: K P = 3 ; T n = 2 s Berechnen Sie die Koeffizienten von G R (z) für T a = 0,1 s und T a = 0,01 s. Welche der beiden Abtastzeiten erlaubt höhere Kreisverstärkungen? Begründen Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie die Sprungantwort des Reglers y k (T a = 0,1 s ; für k = ) mit Aufgabe 6 1 für k 0 e k. 0 sonst Gegeben sei eine Strecke, die durch die Hintereinanderschaltung zweier PT 1 -Glieder beschrieben werden kann. K S = 1 ; 1 = 2s ; 2 = 1s ; Dem Prozess wird in Abständen von 0,2 s ein Messwert für die Regelgröße entnommen und bis zur Entnahme des nächsten Messwertes gespeichert. Als Rechner wird ein PC eingesetzt. ADC, DAC und die Berechnung des Algorithmus werden als ideal (unendlich schnell) angenommen. Geben Sie den PI-Regelalgorithmus an, der benötigt wird, wenn der Kreis nach dem Kriterium der gestuften Dämpfung für einen scharfen Entwurf dimensioniert werden soll. Es kann quasikontinuierliche Regelung vorausgesetzt werden. Berechnen und zeichnen Sie die Reglerausgangsfolge {u k } für die Eingangsfolge: 1; für k0 e k 0; für k u 0 k = 0 für k < 0 w Abtast. Speicher w K S Abtast. Speicher x Algo. u 1 2 x K S = 1; 1 = 1s; 2 = 2s; T a = 0,2s DMC Übung Krah SS/10

5 Aufgabe 7 Gegeben sei die Differenzengleichung eines Übertragungsgliedes durch: x k = x k-1 + u k-1 mit = 0,368; = 0,632; x k = 0 für k < 0 Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangsfolge {x k } für eine Eingangsfolge: 1 ; fürk0 u k 0; fürk0 und x k = 0 für k < 0 Aufgabe 8 Ein PD-Regler soll durch einen rekursiven Algorithmus für quasikontinuierliche Abtastregelung nachgebildet werden. Die Parameter des PD-Reglers sind: K P = 5; T V = 1s Geben Sie den Regleralgorithmus für die Abtastzeiten T a = 0,2s und T a = 1s an. Berechnen Sie jeweils die Reglerausgangsfolge {y k } für die Reglereingangsfolge: 1; für k0 e k 0; für k0 und y k = 0 für k < 0 Für den Fall der Abtastzeit T a = 0,2s werde die Reglereingangsfolge durch eine Störfolge {z k } = { 0; 0; 0,1; 0,1; -0,1; -0,1; 0; 0; 0;...} k = 0; 1; 2; überlagert. Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangsfolge {y k } des Reglers. DMC Übung Krah SS/10

6 Aufgabe 9 Die Pulsweitenmodulation eines Servoumrichters mit 600 V DC Zwischenkreisspannung wird mit 8 khz Schaltfrequenz betrieben. Die Abtastfrequenz beträgt 16 khz, damit jede Schaltflanke berechnet wird. An die Endstufe wird ein Servomotor mit R = 10 und L = 10 mh angeschlossen (Einphasiges Ersatzschaltbild). Hinweis: Die Pulsweitenmodulation kann durch eine Totzeit mit T t = T a / 2 angenähert werden. 1. Wie hoch ist die Abtastzeit? 2. Berechnen Sie Parameter K S, T 1 der Regelstrecke. 3. Legen Sie den PI-Regler des Stromregelkreises (K P und T n ) nach den Kriterium der gestuften Dämpfung, scharfer Entwurf aus (mit Berücksichtigung des Sample & Hold und der PWM). 4. Welche Reglerparameter ergeben sich, wenn für die A/D-Wandlung des Stromes und den Algorithmus eine weitere Totzeit mit T t = T a angesetzt wird? 5. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises nach Punkt 3, wenn die Totzeit durch ein PT 1 -Glied angenähert wird. 6. Berechnen Sie die Parameter des diskreten PI-Reglers (b 0 und b 1 ) 7. Sollte der Stromregler mit 16 oder 32 Bit berechnet werden? DMC Übung Krah SS/10

7 Aufgabe 10 Gegeben sei die Differenzengleichung des PID-Algorithmus: u k = u k-1 + b 0 e k + b 1 e k-1 + b 2 e k-2 mit u k = 0 und e k = 0 für k < 0 Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion unter Anwendung der Verschiebungsregel. Aufgabe 11 Gegeben sei der PI-Stellalgorithmus: u k K P T ek T a n k i1 e i1 Berechnen Sie mit Hilfe der Summationsregel die z-transformierte G R (z) des Regelalgorithmus. Aufgabe 12 Gegeben ist die Störübertragungsfunktion eines Regelkreises durch: G Z X( z) Z( z) 1 1 z 1 z a z z 1 2 Bestimmen Sie unter Anwendung des Anfangs- und des Endwertsatzes die Werte x 0 und x der Folge {x k } für eine sprungförmige Störgröße: {z k } = {1, 1, 1, 1,...} Berechnen Sie für die vorgegebene Störgrößenfolge {z k } den Verlauf der Regelgrößenfolge {x k } über dem Intervall [0;10]. (Anm.: x k = 0 für k < 0) Aufgabe 13 In einem Drehzahlregelkreis mit der Abtastzeit T a = 250 µs soll die Drehzahl mit einem Quantisierungsfehler, der kleiner als 5 rpm ist, über ein Positionsmesssystem gemessen werden. Welche Auflösung in Bit pro Umdrehung ist dafür erforderlich? Aufgabe 14 Skizzieren Sie das Wirkschaltbild eines Geschwindigkeitsbeobachters mit den Eingangsgrößen Beschleunigung a(t) und Lage x(t) und der Ausgangsgröße Geschwindigkeit v(t). Berechnen Sie die beiden Koeffizienten des Beobachters, für 0 = Hz und 1. 2 Der Beobachter soll mit einem Digitalrechner (mit Floating Point) realisiert werden. Berechnen Sie die Koeffizienten, wenn die Integrationen durch je eine Rechtecknäherung mit T a = 100 s durchgeführt werden soll. Skizzieren Sie ein Wirkschaltbild bei dem die Integratoren jeweils durch die z-übertragungsfunktion 1 z G I ( z) ersetzt werden. Berechnen Sie die notwendigen Koeffizienten. 1 1 z DMC Übung Krah SS/10

8 Aufgabe 15 Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion mit Halteglied HG(z) für folgende kontinuierliche Strecke: PT 1 mit Totzeit: T 1 = 2 s ; T t = 1 s ; K S = 0,5 ; T a = 0,5 s stt KS e Gs 1 s T Aufgabe 16 1 Folgende Übertragungsfunktion einer Regelstrecke mit Halteglied ist gegeben: HG z 1 z 1 z 1 ( ) 1 Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion eines Reglers G R (z) mit dem die z-übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises G W (z) = z -1 wird. (Deadbeat Regler) Aufgabe 17 Skizzieren Sie in einem Blockschaltbild eine CNC Feldbusanbindung eines Servoantriebs (die Trajektorie wird in der CNC generiert) mit den drei Regelkreisen und einer Geschwindigkeitsvorsteuerung. Welche Abtastzeiten sind üblich? DMC Übung Krah SS/10

9 Aufgabe 18 Gegeben ist ein rotierender Antrieb mit elastisch angekoppelter Last. Das gemessene open loop Bode-Diagramm des Antriebs ist im Bild dargestellt G db f 1 khz 10 k Daten des Motors: Stromregelkreis: Drehzahlregler: Drehzahlmessung: K T = 1,5 Nm/A G W (j) = 1 (im betrachteten Frequenzbereich ideal) P-Regler, K P = 0,1 As/rad (I-Anteil ist abgeschaltet) Beobachter, alle Parameter entsprechend eingestellt (ideal) Bei welcher Frequenz (ca.) koppelt das Lastträgheitsmoment ab? Ist die Last gut gedämpft oder eher schwach gedämpft angekoppelt? Skizzieren Sie das Wirkschaltbild des Drehzahlregelkreises. Welche Durchtrittsfrequenz f D hätte der Drehzahlregler ohne Last? Welche Durchtrittsfrequenz f D hätte der Drehzahlregler mit ideal angekoppelter Last? Berechnen Sie die Trägheitsmomente J M und J L. DMC Übung Krah SS/10

10 Aufgabe 19 Gegeben ist ein rotierender Antrieb mit elastisch angekoppelter Last. Das Bode-Diagramm der Mechanik (i -> ) ohne Stromregler ist im Bild dargestellt G db f 1 khz 10 k Stromregelkreis: G W (j) 1 / (1+sT 1 ) mit T 1 = 250 µs (Näherung) Die Drehzahlmessung kann als ideal angenommen werden. Skizzieren Sie G 0 (j) mit Berücksichtigung des Stromregelkreises Ohne Filter Mit einem PT1-Tiefpass Mit einem Phasenkorrekturglied erster Ordnung Mit einem ideal abgeglichenen Filter Welche dieser Konfigurationen ist sinnvoll? DMC Übung Krah SS/10

11 Aufgabe 20 Gegeben ist ein Zweimassenschwinger: J M = 10 kgcm² J L = 40 kgcm² Die Trägheitsmomente sind mit einer 250 mm langen Welle verbunden. Die Federkonstante der Welle beträgt: c = 1000 Nm/rad Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f R und die Tilgerfrequenz f T des Zweimassenschwingers Skizzieren Sie Wo muss der Encoder virtuell angebracht werden, damit die Resonanzfrequenz für den Drehzahlregelkreis nicht wirksam ( sichtbar ) ist? Wie kann das Geschwindigkeitssignal für den Drehzahlregelkreis aus den Winkelgeschwindigkeiten von Motor M und Last L berechnet werden? Aufgabe 21 Ein Servomotor (3 Phasen) weist folgende Daten auf: 8 Polpaare K t = 1,5 Nm / Arms R = 2 Ω (Phase / Phase) L = 14 mh (Phase / Phase) a. Berechnen Sie die Parameter der Motorwicklung (R, L) des einphasigen Ersatzschaltbildes b. Berechnen Sie von der induzierten Spannung Betrag (Effektiv: Strang und verkettet) und Frequenz bei einer Drehzahl von n = 1000 rpm c. Bei welcher elektrischen Frequenz f 1 ist der Blindwiderstand (X L ) genauso groß wie der Wirkwiderstand (R). Welcher mechanischen Drehzahl n 1 entspricht das? Jetzt werden alle drei Phasen kurzgeschlossen. d. Berechnen Sie den Strom und das Drehmoment bei der Drehzahl n 1 (aus Unterpunkt c.) e. Berechnen Sie das drehzahlabhängige Drehmoment bei sehr kleinen Drehzahlen. (der Blindwiderstand kann vernachlässigt werden) f. Berechnen Sie das drehzahlabhängige Drehmoment bei sehr großen Drehzahlen (der Wirkwiderstand kann teilweise vernachlässigt werden) g. Skizzieren Sie den Verlauf des drehzahlabhängigen Drehmomentes DMC Übung Krah SS/10

12 Aufgabe 22 a. Skizzieren Sie einen Drehzahlregelkreis mit einen P-Regler. (Der Stromregelkreis kann als ideal angenommen werden: G R (s) 1) Der Drehzahlsollwert (Führungsgröße) ist identisch Null. Berechnen Sie das Drehzahlabhängige Drehmoment des Antriebs: K p = 0,1 Arms / rad s -1 K t = 1,5 Nm / Arms b. Ersetzen Sie jetzt den P-Regler durch einen I-Regler mit K I = K P / T n. (Für die weiteren Betrachtungen spielt die mangelnde Stabilität keine Rolle. Durch hinzufügen einer P Komponente könnte der Regelkreis stabilisiert werden.) Die Nachstellzeit beträgt T n = 10 ms Der Drehzahlsollwert bleibt identisch Null. Berechnen Sie K I des I Reglers Berechnen Sie das winkelabhängige Drehmoment des Motors c. Ordnen Sie die Begriffe Federkonstante und Dämpfung den Aufgabenteilen a. und b. zu DMC Übung Krah SS/10