Es gibt drei unterschiedliche Automaten:

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1 Automatentheorie Es gibt drei unterschiedliche Automaten: 1. Deterministische Endliche Automaten (DEA) 2. Nichtdeterministische Endliche Automaten (NEA) 3. Endliche Automaten mit Epsilon-Übergängen (ε- NEA)

2 Deterministische Endliche Automaten (DEA) Ein DEA besteht aus: 1. einer endlichen Menge von Zuständen, meist mit Q bezeichnet 2. einer endlichen Menge von Eingabesymbolen, meist durch Σ repräsentiert 3. einer Übergangsfunktion, der ein Zustand und ein Eingabesymbol als Argumente übergeben werden und die einen Zustand zurückgibt; meist dargestellt durch δ. (Wenn q ein Zustand und a ein Eingabesymbol ist, dann ist δ(q,a) der Zustand p, derart dass es einen mit a beschrifteten Pfeil von q nach p gibt) 4. einem Startzustand, welcher einer der in Q enthaltenen Zustände ist 5. einer Menge F finaler oder akzeptierender Zustände. Die Menge F ist eine Teilmenge von Q

3 Deterministische Endliche Automaten (2) Meist wird ein DEA in der Tupel-Notation angegeben: A= (Q,Σ,δ,,F) A ist hier der Name des DEA, Q die Menge der Zustände, Σ die Menge der Eingabesymbole δ die Übergangsfunktion, der Startzustand, F die Menge der akzeptierenden Zustände

4 Deterministische Endliche Automaten (3) Der Begriff deterministisch bezieht sich hier auf die Tatsache, dass der Automat nach jeder Eingabe von seinem aktuellen Zustand aus in genau einen Zustand übergehen kann.

5 Deterministische Endliche Automaten (4) Da eine Notation eines DEA als Tupel mit einer detaillierten Beschreibung der Übergangsfunktion δ sowohl mühsam zu erstellen, als auch schwer zu lesen ist, gibt es zwei andere Notaionen eines DEA: 1. Übergangsdiagramme, wobei es sich um Graphen handelt 2. Übergangstabellen, d.h. tabellarische Auflistungen der Übergangsfunktion δ, die implizit Aufschluss über die Zustandsmenge und das Eingabealphabet geben

6 Deterministische Endliche Automaten (5) Übergangsdiagramme Ein Übergangsdiagramm für einen DEA A= (Q,Σ,δ,,F) ist ein Graph, der wie folgt definiert ist: 1. Jeder in Q enthaltene Zustand wird durch einen Knoten dargestellt 2. Für jeden Zustand q aus Q und für jedes Eingabesymbol a aus Σ sei δ(q,a)=p. Repräsentiert durch eine Pfeil von Knoten q zu Knoten p beschriftet mit a 3. Ein mit Start beschrifteter Pfeil zeigt auf den Startzustand 4. Knoten, die akzeptierenden Zuständen (aus F) entsprechen, werden durch doppelte Kreislinien gekennzeichnet

7 Deterministische Endliche Automaten (6) Start Übergangsdiagramme q 2 q 1 1 0,1 Ein Übergangsdiagramm (Graph), der alle Zeichenreihen aus Nullen und Einsen akzeptiert, die die Folge 01 enthalten. Die entsprechende Tupel-Notation sieht folgendermaßen aus: A= ({,q 1,q 2 },{0,1},δ,,{q 1 })

8 Deterministische Endliche Automaten (7) Übergangstabellen: Eine Übergangstabelle, die den Automaten repräsentiert, der alle Folgen von Nuulen und Einsen akzeptiert, in denen die Folge 01 enthalten ist sieht folgendermaßen aus: 0 1 q 2 *q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 1

9 Nichtdeterministische Endliche Automaten Im Unterschied zu einem DEA kann ein NEA eine Menge von null, einem oder mehreren Zuständen nach Übernahme eines Eingabesymbols zurückgeben (nicht wie ein DEA, der genau einen Zustand zurückgibt). Darüberhinaus ist ein NEA in der Lage gleichzeitig über mehrere Zustände zu verfügen, wodurch dem NEA nachgesagt wird, dass er Vermutungen über die Eingabe anstellen kann. 0,1 q 1 q 2 Start 0 1 Ein NEA, der alle mit 01 endenden Zeichenreihen akzeptiert

10 Nichtdeterministische Endliche Automaten (2) Die Zustände, in denen sich ein NEA während der Verarbeitung der Eingabesequenz befindet. q 1 q 1 (Sackgasse) q 1 q 2 (Sackgasse) q

11 Nichtdeterministische Endliche Automaten (3) Die Übergangstabelle für o.g. NEA: 0 1 Q 0 {,q 1 } {q 1 } Q1 Ø {q 2 } *q 2 Ø Ø Formale Spezifikation des NEA: A=({,q 1,q 2 },{0,1},δ,,q 2 )

12 Äquivalenz Für viele Sprachen ist es einfacher einen NEA zu konstruieren, als einen DEA (wie Z.B. das vorherige Beispiel). Doch trotzdem kann man aus jedem NEA einen äquivalenten DEA konstruieren. (Dieser DEA kann aber im schlimmsten Fall über 2 n Zustände verfügen.) Dazu bedient man sich der Teilmengenkonstruktion, weil hierbei alle Teilmengen der Zustandsmenge eines NEA konstruiert werden.

13 Äquivalenz (2) 0 1 { } {,q 1 } { } {q 1 } Ø {q 2 } *{q 2 } Ø Ø {,q 1 } {,q 1 } {,q 2 } *{,q 2 } {,q 1 } { } *{q 1,q 2 } Ø {q 2 } *{,q 1,q 2 } {,q 1 } {,q 2 } Vollständige Teilmengenkonstruktion

14 ε-nea Das ε repräsentiert einen Übergang für eine leere Zeichenmenge. Dies bedeutet im Endeffekt, dass ein NEA spontan in einen anderen Zustand übergehen kann, ohne ein Eingabesymbol empfangen zu haben. Diese Möglichkeit, ebenso wie die Erweiterung vom DEA zum NEA, dient nicht der Erweiterung der Sprachklassen, sondern dient als Hilfsmittel für die Programmierung. In Fällen, in denen ein NEA in einer Sackgasse (s.folie NEA 2) landen würde, kann ein ε-übergang dazu dienen, aus dem Irrweg zu entkommen und evtl. doch noch einen akzeptierenden Zustand zu erreichen.

15 Automaten in der Praxis: NEA für Textsuche Angenommen, man hat eine Menge von Wörtern, Schlüsselwörter genannt, und man möchte sämtliche Vorkommen dieser Wörter finden. In solchen Anwendungen empfiehlt es sich, einen nichtdeterministischen endlichen Automaten zu enwerfen, der durch den Übergang in einen akzeptierenden Zustand signalisiert, dass er ein Schlüsselwort gelesen hat. Der Text eines Dokuments wird in dem NEA zeichenweise eingegeben, der dann das Vorkommen von Schlüsselwörtern in diesem Text erkennt. Ein einfacher NEA, der eine Menge von Schlüsselwörtern erkennt, hat folgende Gestalt: 1. Es gibt einen Startzustand mit einem Übergang zu sich selbst für jedes Eingabezeichen, z.b. jedes druckbare ASCII-Zeichen, wenn man Text untersucht. Der Startzustand repräsentiert die Vermutung, dass bislang noch keine Zeichen vom Anfang eines Schlüsselworts gelesen wurden, auch wenn der Automat möglicherweise bereits einige Buchstaben aus einem dieser Schlüsselwörter gelesen hat.

16 Automaten in der Praxis: NEA für Textsuche (forts.) 2. Für jedes Schlüsselwort a 1 a 2...a k sind k Zustände definiert, die q 1,q 2,...,q k heißen sollen. Auf die Eingabe des Symbols a 1 hin erfolgt ein Übergang vom Startzustand in den Zustand q 1, auf Eingabe des Symbols a 2 im Zustand q 1 ein Übergang in den Zustand q 2 und so weiter. Der Zustand q k ist ein akzeptierender Zustand und zeigt an, dass das Schlüsselwort a 1 a 2...a k gefunden wurde. Angenommen man möchte einen NEA entwerfen, der die Worte web und ebay erkennt. Das Übergangsdiagramm für den NEA, der unter Verwendung der oben genannten Regeln entworfen wird, sieht wie folgt aus: (Zustand 1 ist der Startzustand und Σ steht für die Menge aller ASCII-Zeichen. Die Zustände 2 bis 4 dienen zur Erkennung des Wortes web, 5 bis 8 zu Erkennung des Wortes ebay)

17 Automaten in der Praxis: NEA für Textsuche (forts.) 2 e 3 4 b w Σ 1 Start e y 8 b a Ein NEA der nach den Wörtern web und ebay sucht

18 Literatur: Hopcroft,J.E., Motwani,R., Ullman,J.D.:Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Addison-Wesley(Pearson Studium). Wegener,I.:Theoretische Informatik-eine algorithmenorientierte Einführung.2., durchgesehene Auflage. B.G. Teubner Stuttgart:Leipzig. Klabunde,R.(u.a)(Hrsg.):Computerlinguistik und Sprachtechnologie. Eine Einführung. Spektrum Akademischer Verlag.