7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten

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1 7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd, produzieren ggf. Ausge. Endliche Automten werden eingesetzt, um ds Verhlten reler Mschinen zu spezifizieren, z. B. Getränkeutomt, ds Verhlten von Softwre-Komponenten zu spezifizieren, z. B. Rektionen von Benutzungsoerflächen uf Bedienereignisse, Sprchen zu spezifizieren: Menge der Ereignis- oder Symolfolgen, die der Automt kzeptiert, z. B. Schreiweise von Bezeichnern und Zhlwerten in Progrmmen 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens Zunächst definieren wir nur die Eingeverreitung der Automten; ds Erzeugen von Ausge fügen wir später hinzu.

2 Zwei einführende Beispiele Mod-7. Endlicher Automt kzeptiert eine Sprche, d. h. eine Menge von Wörtern. Ein Wort ist eine Folge von Zeichen. Hier: Bezeichner in Pscl-Progrmmen: Buchste Buchste Ziffer Endlicher Automt spezifiziert ds Verhlten einer Mschine. Hier: einfcher Getränkeutomt: GetränkNehmen EUR EUR EUR 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens Akzeptiert Folgen von Buchsten und Ziffern eginnend mit einem Buchsten. Akzeptiert Folgen von Ereignissen zur Bedienung eines Getränkeutomten Endliche Automten können durch gerichtete, mrkierte Grphen drgestellt werden, Alufgrphen.

3 Alphete Mod-7.3 Alphet: Eine Menge von Zeichen zur Bildung von Zeichenfolgen, häufig mit Σ ezeichnet. Wir etrchten hier nur endliche Alphete, z. B. {, } {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {,,..., z} Ein Wort üer einem Alphet Σ ist eine Zeichenfolge us Σ* sttt (,,..., n ) Σ* schreien wir... n, z. B. {, }* für die leere Folge schreien wir uch ε (epsilon) 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens

4 Gerichteter Grph zu endlichem Automten Mod-7.6 Knoten: Zustände des Automten; Anfngszustnd und Endzustände werden speziell mrkiert Knten: Üergngsfunktion, q -> r mrkiert mit, genu dnn wenn δ(q, ) = r Es git Knten, die sich nur durch ihre Mrkierung unterscheiden, deshl: Multigrph 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens Beispiele von Mod-7.: Σ := Menge der ASCII-Zeichen Q := {, } δ := q = F = {}...za...z...9 sonstige Buchste Buchste, Ziffer sind Nmen reg. Ausdrücke Buchste Ziffer Σ := {EUR, EUR,, GetränkNehmen} Q := {,, } δ := q = F = {} EUR EUR GetränkNehmen GetränkNehmen EUR EUR EUR

5 Beispiele: Endliche Automten und ihre Sprchen Mod * Σ Σ* S 6. / * * / 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens X * X = Σ \ { * }, S = Σ \ { /, *} Sprche: /* Σ */

6 Nicht-deterministische und deterministische Automten Mod - 7. Stz: Sei L(A) die Sprche eines nicht-deterministischen Automten. Dnn git es einen deterministischen Automten, der L(A) kzeptiert. Mn knn us einem nicht-deterministischen Automten A = (Σ, Q, δ, q, F) einen deterministischen A = (Σ, Q, δ, q, F ) systemtisch konstruieren: Jeder Zustnd us Q repräsentiert eine Menge von Zuständen us Q, d. h. Q Pow(Q) Beispiel: nicht-deterministisch A deterministisch A 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens {} Die Zhl der Zustände knn sich dei exponentiell vergrößern. {,} {,} {,,}

7 Konstruktion deterministischer Automten Mod - 7. Sei A ein nicht-deterministischer Automte A = (Σ, Q, δ, q, F) drus wird ein deterministischer Automt A = (Σ, Q, δ, q, F ) systemtisch konstruiert: Jeder Zustnd us Q repräsentiert eine Menge von Zuständen us Q, d. h. Q Pow(Q) Konstruktionsschritte:. Anfngszustnd: q = {q } 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens. Wähle einen schon konstruierten Zustnd q Q wähle ein Zeichen Σ erechne r = δ (q, ) = δ (q, ) q q d. h. r repräsentiert die Vereinigung ller Zustände, die in A von q unter erreicht werden. r wird Zustnd in Q und δ (q, ) = r wird Üergng in δ. 3. Wiederhole () is keine neuen Zustände oder Üergänge mehr konstruiert werden können. 4. Endzustände: F = {q Q q F } d. h. q ist Endzustnd, wenn seine Zustndsmenge einen Endzustnd von A enthält.

8 Endliche Automten mit Ausge Mn knn mit endlichen Automten uch Rektionen der modellierten Mschine spezifizieren: Automten mit Ausge. Mod - 7. Wir erweitern den Automten um ein endliches Ausgelphet T und um eine Ausgefunktion. Es git Vrinten für die Ausgefunktion: Mely-Automt: Eine Ausgefunktion λ : Q x Σ -> T* ordnet den Zustndsüergängen jeweils ein Wort üer dem Ausgelphet zu. Grphische Nottion: Moore-Automt: Eine Ausgefunktion µ : Q -> T* ordnet den Zuständen jeweils ein Wort üer dem Ausgelphet zu. Es wird ei Erreichen des Zustnds usgegeen. 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens T := {x, y} / x / y / x T := {x, y} Ein Mely-Automt knn die Ausge feiner differenzieren ls ein Moore-Automt. x y

9 Beispiele für endliche Automten mit Ausge Mod-7.3 Die Spezifiktion des Getränkeutomten us Mod-7. wird mit Ausge versehen: Mely-Automt Moore-Automt GetränkNehmen / Getränk GetränkNehmen 3 Getränk KlppeÖffnen 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens EUR EUR / EUR EUR / EUR EUR EUR EUR GeldNehmen 4 EUR GeldNehmen 5 EUR

10 Endlicher Automt zur Telefonedienung Idle Mod Dil tone do: sound dil tone off hook digit(n) time-out time-out Time-out do: sound loud eep Busy tone do: slow usy tone digit(n) numer usy Diling vlid numer Connecting do: find connection invlid numer Recorded messge do: ply messge 8 ei Prof. Dr. Uwe Kstens Fst usy tone do: fst usy tone / disconnect line trunk usy routed Ringing do: ring ell clled phone nswers / connect line Connected clled phone hngs up / disconnect line Disconnected messge done us: Rumugh, Blh, Premerlni, Eddy, Lorensen: Oject-oriented Modeling nd Design, Prentice-Hll, 99