Endliche Automaten. Stoyan Mutafchiev. Programming Systems Lab, Universität des Saarlandes, Saarbrücken

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1 Endliche Automten Stoyn Mutfchiev Progrmming Systems L, Universität des Srlndes, Srrücken Astrct Gegenstnd dieser Areit ist der endliche Automt, sowie die Aschlusseigenschften der Sprchen, die von endlichen Automten eschrie en werden können. Der endliche Automt wird einführend vorgestellt. Als nächstes werden die Frgen, die in Bezug uf endlichen Automten uftreten können, usgeschildert. Anschließend wird der Tupel-Automt, Projektion und Zylindrifiktion der Sprche vorgestellt.. Einführung in den endliche n Automten Ein Kippschlter ist vielleicht der einfchste nicht trivile endliche Automt. Strt Aus Drücken Ein Drücken Dieses Gerät weiß, wnn es sich im Zustnd Ein oder Aus efindet und ermöglicht dem Benutzer, einen Schlter zu drücken, der, hängig vom Zustnd des Kippschlters, eine unterschiedliche Wirkung ht. Wenn sich der Kippschlter im Zustnd Aus efindet, dnn wird er durch ds Drücken des Schlters in den Zustnd Ein versetzt und umgekehrt. Die Zustände we rden durch die Kreise repräsentiert (hier Ein und Aus gennnt).die Pfeile zwischen den Zuständen sind die "Eingen"(im Beispiel Drücken). Einer der Zuständen wird ls "Anfngzustnd" usgewählt d.h. der Zustnd in dem sich ds System ursprunglich efindet (in dem Beispiel ist Aus der Strtzustnd). Es ist oft notwendig, ein oder mehrere Zustände ls "end" oder "kzeptierende" Zustände zu kennzeichnen. Die Endzustände werden durch die Doppelkreise repräsentiert. Wird nch eine Reihe von Eingen in einem Endzustnd gewechselt, dnn heißt es, dss die Eingesequenz in irgendeine Weise gültig ist, oder nders usgedrückt, sie wird kzeptiert. Ds nächste Beispiel zeigt einen nderen endlichen Automten, der ds Schlüsselwort XML zu erkennen ht. Strt X M L q q q q3 Als Eingen werden Buchsten empfngen. Der Endzustnd q 3 wird erreicht, wenn die Einge dem Word xml genu entspricht. Wie ereits erwähnt, esitzt ein endlicher Automt eine Menge von Zuständen und seine Steuerung geht in Rektion uf externe Eingen von einem Zustnd in einen nderen üer. Der Unterschied zwischen endlichen Automten esteht drin, o diese Steuerung deterministisch, ws edeutet, dss der Automt zu einem estimmten Zeitpunkt nur einen Zustnd hen knn, oder o sie nichtdeterministisch ist, ds heißt, dss

2 der Automt gleichzeitig mehrere Zustände esitzen knn. Die deterministischen endlichen Automten werden wir ls eine Teilmenge von nichtdeterministischen endlichen Automten etrchten.. Nichtdeterministische endliche Automten(NEA) Ein nichtdeterministischer endlicher Automt ist ein 5-Tupel (Q, Σ, δ, S, F), mit : - Q ist eine endliche Menge von Zuständen. - Σ ist eine endliche Menge von Eingesymolen (Eingelphet). - δ : Q Σ { ε } Q ist Üergngsfunktion, der ein Zustnd us Q und ein Eingesymol us Σ oder leeres Wort ε ls Argumente ekommt, er eine Menge von null, einem oder mehrere Zustände zurückgit, die Teilmenge von Q ist. - S ist eine Menge von Strtzuständen, die Teilmenge von Q ist. - F ist eine Menge von Endzuständen, die Teilmenge von Q ist. Bei nichtdeterministischen endlichen Automten ist es zugelssen, dss vom selen Zustnd (oder uch gr keine) Pfeile usgehen, die mit Σ eschriftet sind. q Q us mehrere q q q Wie funktioniert ds üerhupt? Wenn im Zustnd qds Zeichen gelesen wird, so knn der Automt sowohl in q ls uch in q üergehen. Beide Möglichkeiten werden gle ichwertig ehndelt. Eine Zeichenreihe w Σ wird vom Automten kzeptiert, wenn er eim lesen von w eine Zustndsfolge durchlufen knn, die von Strtzustnd uf einen Endzustnd führt. Andere mögliche Zustndfolgen können durchus uf Nicht-Endzustände führen. Wenn es er zumindest eine kzeptierende Zustndsfolge git, dnn wird ds Wort kzeptiert. w Σ Die Sprche eines nichtdeterministischen endlichen Automten ist die Menge ller Zeichenreihen,die von dem Automten kzeptiert werden. Die Sprchen, die mit einem endlichen Automten eschrieen werden können, nennt mn regulär. Der nächste Beispiel zeigt einen nichtdeterministischen Automten, der die Sprche L(A) = ( ) eschreit. q q q

3 Bei nichtdeterministischen endlichen Automten sind die Üergänge für die leere Zeichenreihe e zugelssen. Dies edeutet im Endeffekt, dss ein NEA spontn in einen nderen Zustnd üergehen knn, ohne ein Eingesymol empfngen zu hen. Die Sprche von dem vorherigen Beispiel wird von dem folgenden nichtdeterministischen endlichen Automt mit ε Üergng eschrieen: q q ε q 3. Deterministische endliche Automten (DEA) Die deterministische endliche Automten, oder DEA, etrchten wir ls eine Teilmenge von nichtdeterministischen endlichen Automten. Ein deterministischer endlicher Automt esteht us: - einer endlichen Menge von Zuständen Q - einer endlichen Menge von Eingesymolen Σ - einer Üergngsfunktion δ :Q Σ Q, der ein Zustnd und ein Eingesymol ls Argumente üergeen werden und genu einen Zustnd zurückgit - nur einem Strtzustnd meistens ezeichnet mit q ( nicht wie ei den nichtdeterministischen endlichen Automten eine Menge von Strtzustände) - einer Menge Endzustände F Bei deterministischen endlichen Automten sind die ε Üergänge nicht zugelssen. Die Sprche des DEA esteht us der Menge ller Zeichenreihen, die der DEA kzeptiert. Wie erechnet ein DEA seine Einge? Nehmen wir n,... n ist eine Folge von Eingesymolen und der Automt efindet sich in seinem Strtzustnd. Wir ermitteln δ ( q, ) = q, in der der DEA nch der Verreitung des wechselt. Wir verreiten ds nächste Eingesymol indem wir δ ( q, ) erechnen, und mit Hilfe der Üergngsfunktion δ den Zustnd Eingesymols nehmen wir n, dss diese Auswertung den Zustnd q ergit. Wir fhren uf diese Weise fort und ermitteln die Zustände q 3, q4... qn, woei für jedes i gilt δ ( q, i i) = qi. Wenn qn ein Element von F ist, dnn wird die... Einge n kzeptiert, ndernflls wird sie zurückgewiesen. Die Sprche eines DEAs ist die Menge ller Zeichenreihen, die vom Strtzustnd in einen Endzustnd führen.

4 Beispiel für DEA, der die schon von vorher eknnte Sprche L(A) = ( ) eschreit, 4. Äquivlenz deterministischen und nichtdeterministischen endlichen Automten Zwei Automten ezeichnen wir ls äquivlent, wenn sie die gleiche Sprche kzeptieren. Stz. (Rin, Scott) Jede von einem NEA kzeptierre Sprche ist uch durch einen DEA kzeptierr. Dies edeutet, dss zu jedem NEA knn mn äquivlenter DEA konstruieren. Mn knn so gennte "Teilmengekonstruktion" verwenden. Sie eginnt mit einem NEA N = ( QN, Σ, δn, q, FN ). Ds Ziel hierei ist einen DEA D zu eschreien sodss L(D) = L(N). Die Idee funktioniert uf den folgenden Art und Weise: Angenommen, N efindet sich in seinem Strtzustnd q und die Eingewort istw =.... Wir verreiten ds erste Eingesymol indem wir δ ( q, N ) erechnen. Weil der Automt nichtdeterministisch ist, trnsformiert den Zustnd q in der Menge Z von Zuständen usq N, oder uch in gr keinen Zustnd. Nch der Berechnung von knn sich der Automt in jeden Zustnd us Z efinden. Angenommen, esteht Z us k Zuständen: δ s, die s,..., s k. Dnch liest N ds nächste Eingesymol S, die Berechnung von s, ). Angenommen, ergit die Berechnung von ) δ N ( die Menge von Zuständen m N ( S und so weiter. Also nch Menge von Zuständen dem Lesen von dem zweiten Eingesymol von der Zeichenreihe w knn sich N in jedem Zustnd von Q = S U... U efinden. Fhren wir so mit der Berechnungen fort, nch dem lesen von dem letzten S k Eingesymol werden wir m Zustndsmengen m Q...Qm hen, die mn ls Zustände von D ezeichnen knn.

5 Also nch dem wir ds Gefühl ekommen hen, wie der gewünschte DEA eine Zeichenreihe erechnen wird, können wir den äquivlenten DEA wie folgt definieren: D = Q, Σ, δ,{ q }, F ) mit ( D D D Q ist die Zustndmenge von D und ist die Potenzmenge von Q. Wenn - D N Q N n Zustände enthält, dnn umfsst n Q D Zustände (lso die Anzhl der Zustände nimmt exponentiell zu). Häufig sind nicht lle Zustände vom Strtzustnd erreichr. Mn knn nicht erreichre Zustände eliminieren und dher knn die ttsächliche Anzhl n von Zuständen von D viel kleiner sein ls. - Σ ist endliche Alphet. Die eiden Automten verfügen üer dieselen Eingelphete. - {q }- Strtzustnd. Bei dem Strtzustnd von D hndelt sich um die Menge die den Strtzustnd von N enthält. - F D umfsst lle Teilmengen von Q N, die mindestens einen kzeptierenden Zustnd von N enthlten. - δ D ist die Üergngsfunktion, die eine Teilmenge Q von QN und ein Eingesymol us Σ ls Argumente ekommt : δ D (Q, ) = U q Q δ N (q, ) Also zur Berechnung von δ D (Q, ) etrchten wir lle in Q enthltenen Zustände q, untersuchen zu welchen Zuständen N uf die Einge hin von p us üergeht und nehmen die Vereinigung ller dieser Zustände. Bei NEA mit ε Üergängen muss mn die Üergngsfunktion mehrmls nwenden und die Zeichen konktenieren. Beispiel: Der folgende NEA kzeptiert genu die Wörter w üer {, }, die mit enden. z, zz z z z zz zz zz z z, z Ø, NEA mit 3 Zustände äquivlenter DEA mit 8 Zustände

6 Für diese NEA ergit sich us der Teilmengekonstruktion einen DEA mit 8 Zuständen: Ø, },{ z },{ z },{ z, z },{ z, z },{ z, z },{ z, z, } { z z. Die Endzustände des neuen DEA sind lle Zustände, die mindestens einen ursprünglichen Endzustnd enthlten. 5. Aschlusseigenschften regulärer Sprchen Die Sprchen, die mit den endlichen Automten eschrieen werden können, sin d geschlossen unter Vereinigung, Komplement und Schnitt.. Seien L und M Sprchen üer dem Alphet Σ; dnn istl UM die Sprche, die lle Zeichenreihen enthält, die in L oder in M oder in eiden Sprchen enthlten sind. Der Komplexität im Speicher der Konstruktion eines endlichen Automten der die Sprche eschreit ist. L UM. Sei L eine Sprche üer dem Alphet Σ; dnn istl, ds Komplement von L, die Menge der in Σ enthltenen Zeichenreihen, die nicht in L enthlten sind. Der Komplexität im Speicher der Konstruktion eines endlichen Automten der die Sprche L eschreit ist exponentiell. 3. Seien L und M Sprchen üer dem Alphet Σ; dnn istl I M die Sprche, die lle Zeichenreihen enthält, die sowohl in L ls uch in M enthlten sind. Der Komplexität im Speicher der Konstruktion eines endlichen Automten der die Sprche L I M eschreit ist qudrtisch. 5. Vereinigung Um zu zeigen, ds wenn L und L reguläre Sprchen sind dnn ist uch L wir einen EA zu konstruieren, der die Sprche L U L kzeptiert. L U eine reguläre Sprche, ruchen Sei A = ( Q, Σ, δ, S, F ) kzeptiert die Sprche L und A = ( Q, Σ, δ, S, F ) kzeptiert die Sprche L. Dnn uen wir einen endlichen Automten A, der in der Lge sein muss, die eide Automten A und A zu simulieren, d. h. eim Einge w, A simuliert A. Wenn A kzeptiert, dnn kzeptiert uch A. Wenn A nicht kzeptiert, dnn eginnt A A zu simulieren und wieder A kzeptiert nur wenn A kzeptiert, wenn nicht, A kzeptiert die Einge uch nicht. Diese Idee funkt ioniert wegen Nichtdeterminismus, weil die nichtdeterministische endliche Automten mehrere Berechnungen uf eine Einge mchen können. Der endlichen Automt A sieht so us (wir nnehmen, dss SnS = ): A = mit ({ q} U Q U Q, Σ, δ, q, F U F) - die Zustndsmenge von A ist die Vereinigung von Zustndsmengen von A, A und neuen Strtzustnd q - q ist der Strtzustnd von A, der mit ε Üergänge mit der Strtzustände von A und A verunden ist = ist die Vereinigung von der Üergngsfunktionen von A, A und die ε Üergänge von dem Strtzustnd von A zu den Strtzuständen von A und A. - δ δ Uδ U{( q, ε, q),( q, ε, q )}

7 - die Menge von Endzustände von A ist einfch die Vereinigung von Endzustände von A und A. Grphisch knn der endlichen Automt, der die Sprche L U L eschreit, so drgestellt werden: q A q q A 5. Komplement Wenn L eine reguläre Sprche üer dem Alphet Σ ist, dnn ist L = Σ L uch eine reguläre Sprche. Also sei L = L( A) für einen endlichen Automten A = ( Q, Σ, δ, S, F ). Flls A ein deterministischer endlicher Automt ist dnn gilt L = L(B) woei B für einen DEA ( Q, Σ, δ, S, Q F) steht. Dei muss B vollständig sein. Vollständig edeutet, dss ei B keine Üergänge fehlen.b unterscheidet sich dnn von A nur ddurch, dss die kzeptierende Zuständen von A den nicht kzeptierenden Zuständen von B entsprechen und umgekehrt. Diese Konstruktion funktioniert nur im Fll ds A ein DEA ist. Ws ist er wenn A ein nichtdeterministischer endlicher Automt wäre? Dnn wird es isschen komplizierter. Wie wir schon wissen ei NEA ist es zulässig, dss von mnchen Zuständen keine Pfeile usgehen. Es ist er wichtig dss in A ke ine Üergänge fehlen. Wäre dies der Fll, dnn könnten estimmten Zeichenreihen weder zu einem kzeptierenden noch zu einem nicht kzeptierenden Zustnd von A führen, und diese Zeichenreihen würden sowohl in L(A) ls uch in L(B) fehlen. Dmit lles korrekt funktioniert muss mn: - A vervollständigen, flls A nicht vollständig ist - A determinisieren, flls A ein NEA ist - End- und Nichtendzustände jeweils vertuschen In dem folgenden Beispiel wndeln wir einen DEA A, der nicht vollständig ist, in A um. s f, s, f z, z, EA A vervollständigen End- und Nichtendzustände jeweils vertuschen

8 .3 Schnitt Wenn L und M reguläre Sprchen sind, dnn ist uch mn einen EA ut, der die Sprche L I M eschreit. LI M Seien L und M die Sprchen der Automten A Q, Σ, δ, q, F ) L eine reguläre Sprche. Ds knn mn zeigen, indem = und A Q, Σ, δ, q, F ) ( L L L L M =. ( M M M M Angenommen, hen die eiden Automten identische Alphete, d.h. Σ ist die Vereinigung der Alphete von L und M, flls diese Alphete verschieden sind. Für LI M konstruieren wir einen EA A (eknnt uch ls Produktutomt), der sowohl A L ls uch A M simuliert. Bei der Zustände von A hndelt es sich um Pre von Zuständen woei die erste von A L und die zweite A M stmmt. Angenommen, efindet sich im Zustnd (p, q), woei p der Zustnd von A und q der Zustnd von A ist. Sei ds Eingesymol. Dnn eochten wir wie L M AL uf diese Einge regiert. Nehmen wir n, dss AL geht in Zustnd s üer. Wir können uch die Rektion von A M uf die Einge lesen. Nehme n wir n, A M wechselt in den Zustnd t. Der nächste Zustnd von A ist lso (s, t). Auf diese Weise simuliert A die Areitsweise von A und A. Der Strtzustnd von entspricht ntürlich dem Pr ( q L, qm ) der Strtzustände von AL und A M. D der Automt genu dnn kzeptieren soll, wenn eide Automten kzeptieren, wählen wir kzeptierende Zustände von A ls Pre (p, q) so, dss p ein kzeptierender Zustnd von A L ist und q ein kzeptierender Zustnd von A M ist. Forml können wir den Produktutomt so definieren: A = ( QL QM,, δ, ( ql, qm ), FL FM ) woei (( p, q), ) ( δ L ( p, ), δ ( q, )) δ =. M Ds folgende Beispiel zeigt zwei EAs. Der erste kzeptiert lle Zeichenreihen, die eine Null enthlten. Der zweite kzeptiert lle Zeichenreihen, die eine Eins enthlten. Ds Produkt dieser eiden Automten kzeptiert den Durchschnitt von eiden: jene Zeichenreihen, die sowohl eine Null ls uch eine Eins enthlten. L M s e, ss s e s e, e s e, e

9 3 Frgen zu den endliche n Automten Einige grundlegende Frgen zu den Sprchen sind:. Ist die von gegeenen EA eschrieene Sprche leer?. Ist die von gegeene EA eschrieene Sprche Σ? Ds erste Prolem liegt in P, d.h. eine Türing Mschine, die polynomiell viel Zeit enötigt. Ds zweite liegt in PSPACE, d.h. eine Türing Mschine, die polynomiell viel Speicher rucht. 3. Leerheit Wenn mn eine Sprche durch endliche Automten repräsentiert, knn mn die Frge, o die Sprche leer ist, wie folgt umformen : Git es irgendeinen Pfd vom Strt- zum Endzustnd? Mn knn die Frge entworten, indem mn mit dem Algorithmus us der Grphentheorie die Menge der erreichren Zustände rekursiv erechnet: Induktionseginn: Strtzustnd ist vom Strtzustnd erreichr Annhme : p von Strtzustnd us erreichr Induktionsschritt: git es einen Üergng von p nch q mit Eingesymol oder ε (wenn es sich um einen NEA hndelt), dnn ist q erreichr. Auf diese Weise knn mn die Menge der erreichren Zustände erechnen.wenn drunter ein kzeptierender Zustnd ist, edeutet dies, ds die Sprche des Automten nicht leer ist, ndernflls entworten wir die Frge mit J. Die Berechnung der Erreichrkeit enötigt einen Zeitufwnd von O(n²), wenn der Automt n Zustände ht. 3. Universlität Frge: Ist die von gegeenen endlichen Automten A eschrieene Sprche L = Σ? Mn knn die Frge entworten, indem mn nch einem Wort w L(A) sucht. Wenn mn eine solche Zeichenreihe findet, edeutet ds, dss die von gegeenen endlichen Automt eschrieene Sprche nicht Σ ist. Ds ist die Huptidee des Algorithmus, den wir enutzen werden. Durch prtielles Determinisieren knn mn einen endlichen Automten ls einen Bum repräsentieren. Die Wurzel des Bumes ist der Strtzustnd des Automten. Die Knoten sind seine Zustände und die Knten, die mit Eingesymolen eschriften sind, sind die Üergänge.

10 Ws uns leit ist zu suchen, o ein Pfd existiert, der zu einem Knoten führt, der mit einem Nichtendzustnd gezeichnet ist. Wenn wir einen solchen Pfd finden, edeutet ds, dss die Sprche des Automten nicht Σ ist, ndernflls geen wir dieser Frge einen positiven Antwort. Aer is zu welcher Höhe muss mn den Bum ufflten? Mnn mcht ds is zum estimmte Höhe = Q, woei Q die Anzhl der Zustände des Automten ist. Ds kommt von der Pumping Lemm, die esgt, dss wenn so ein Wort git, ds von dem Automten kzeptiert wird, dnn wird uch ein Wort mit der Länge kleiner ls die Anzhl der Zustände des Automten kzeptiert. Also wenn ein Wort w von dem Automten A kzeptiert wird, edeutet ds utomtisch, dss dieses Wort von dem Automten A nicht kzeptiert wird. Drus folgt ds die von A eschrieen Sprche nicht Σ sein knn. 4 Tupel Automt Die endlichen Automten, die wir is jetzt gesehen hen, ekmen nur eine Zeichenreihe ls Einge. Mn knn sich frgen, o es möglich ist, ds die Automten zwei oder mehrere Wörter gleichzeitig ls Einge ekommen und entscheiden, o die Einge kzeptiert oder nicht kzeptiert wird. Hier kommen die Tupel Automten im Einstz. Ein Tupel Automt ist ein gnz normlen endlichen Automt, der er gleichzeitig üer Tupel von Wörtern operieren knn. Ds folgende Beispiel zeigt einen -Tupel Automt üer {, }: Dmit ein Tupel Automt korrekt funktioniert, ist es notwendig, ds er Wörter mit gleiche Länge ls Einge ekommt. Ds ist er nicht immer der Fll. Wenn die Wörter unterschiedlichen Shpe hen, muss mn die kürzeren mit liften (wir legen fest, ds ). Auf diese Weise ekommt mn Wörter mit der gleichen Länge. Σ Forml können wir ein k-tupel Automt so definieren: Ein k -Tupel Automt üer Σ ist ein endlichen Automt üer der Alphet ( k Σ U { }). Ein Beispiel: Sei A ein EA üer Σ, der ds Wort w = kzeptiert und A ein EA üer Σ, der ds Wort u= kzeptiert. Dnn die Einge des -Tupel Automten A T üer Σ, der die eide Wörter kzeptieren würde (lso (u, w )) sieht folgendermßen us: Einge für A Einge für A,,,, geliftete Einge für A T

11 5 Projektion und Zylindrifiktion der Sprchen Sei L die Sprche, die von einem k-tupel Automten eschrieen wird, lso lle w L sind k-stellige Tupel von Wörtern ( u,..., u ) für u Σ und i k k i. Projektion und Zylindrifiktion sind zwei Opertionen üer Sprchen, dessen Alphet Σ ist von der Form: Σ... Σk = {(,..., k ) Σ,..., k Σk} woei Σ,..., Σk uch Alphete sind. Jedes Wort us Σ ist von der Form: ( n k k σ,..., σ )...( σ,..., σ ). Wir können er uch die Zeichenreihen us Σ ls k-tupel u,..., u ) von Wörtern drstellen: n ( k u =... σn Σ σ,, uk = σ k... k σ n Σk. I-te Projektion der Sprche L üer Σ definiert mn ls: u. Proi ( L) = {. u k Σ k u. i v. u k d.h. i-te Projektion der Sprche L ist die Sprche, ei der ds Wort Tupelwort steht, fehlt. L für ein v Σ v Σ i, ds uf der i-ten Stelle in dem i } Bei der Zy lindrifiktion ist es umgekehrt. Sttt zu entfernen, fügt mn ein Wort us I-te Zylindrifiktion der Sprche L üer Σ knn m n so definieren: u. Zyl ( ) { i L = i v. u k L für ein v Σ i u.. u k Σ Σ i dem Tupelwort zu. k }

12 Ein Beispiel für Projektion und Zylindrifiktion üer Σ = {, }: Pro(L) Zyl(L) Referenzen: -Nerode A., Koussinov B.: Automt Theory nd its Applictions. Birkhäuser -John E. Hopcroft, Rjeev Motwni, Jeffrey D. Ullmn: Einführung in die Automtentheorie, Formle Sprchen und Komplexitätstheorie. Addison Wesley 99 -Uwe Schöning: Theoretische Informtik kurzgefsst. Spektrum Akdemischer Verlg 995 -Michel Sipser: Introduction to the Theory of Computtion. Addison Wesley 997