2. Mathematische Grundlagen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2. Mathematische Grundlagen"

Transkript

1 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21

2 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Zahlen notiert man wie folgt: Die Summe der a 1 + a a n = a i = i I a i Bezeichnungen: i heißt Summationsindex I = {1,..., n} heißt Indexmenge 22

3 Bemerkungen: Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlen sein (I Z), z.b. I = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Für die Summe gilt dann: i I a i = 3 i= 4 a i = a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 + a 1 + a 2 + a 3 Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Für die Summe definiert man dann i I a i = 0. 23

4 Fragen: Warum ist das Summenzeichen wichtig? Wie kann man formal mit Summen rechnen? Antworten: Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der gesamten Statistik Es gibt Rechenregeln für Summen, die allesamt formal bewiesen werden müssen (Aufgabe der Mathematik) 24

5 Rechenregeln für endliche Summen: [I] Dazu seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: (α a i + β b i ) = = α α a i + β b i a i + β b i Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: a i = a = n a 25

6 Rechenregeln für endliche Summen: [II] Für jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt: a i = m a i + a i i=m+1 Für jedes ganzzahlige m gilt: a i = n+m a i m +m 26

7 Spezielle endliche Summen: [I] i = n = n (n + 1) 2 i 2 = n (n + 1) (2n + 1) 6 i 3 = n2 (n + 1)

8 Spezielle endliche Summen: [II] Es seien a 1, b R, a i = a 1 + (i 1) b für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche arithmetische Folge 1. Ordnung und es gilt: a i = n 2 (2a 1 + (n 1) b) Es seien a 1, q R, a i = a 1 q i 1 für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche geometrische Folge und es gilt für q 1: a i = a 1 qn 1 q 1 28

9 Doppelsummen: [I] Es sei a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen 29

10 Doppelsummen: [II] Die Summe über alle diese Zahlen notiert man als Doppelsumme: m j=1 a ij = a 11 + a a 1m + a 21 + a a 2m. + a n1 + a n a nm Es gilt: m j=1 a ij = m a ij j=1 30

11 Weiteres Beispiel für eine Doppelsumme: j=i a ij = a a 1n + a a 2n + a a 3n. + a nn (Der Laufbereich des 2. Index hängt vom 1. Index ab) 31

12 Endliche Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Mit der Indexmenge I = {1, 2,..., n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt: a 1 a 2... a n = n a i = i I a i Bemerkung: Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Für das Produkt definiert man dann i I a i = 1 32

13 Rechenregeln für endliche Produkte: Es seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: n α a i β b i = α n β n n a i n b i Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: n a i = n a = a n 33

14 2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus Zwei wichtige mathematische Funktionen: Natürliche Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Hier: Mathematische Definition und Eigenschaften 34

15 Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.b. in der Wachstumstheorie (VWL) in Mikro- und Makromodellen (VWL) im gesamten Finance-Bereich (BWL) im Operations-Research (BWL) in der Statistik / Ökonometrie 35

16 Definition der Exponentialfunktion: [I] Betrachte die unendliche Reihe k=0 x k k! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x (k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, also k! = k) Man kann zeigen, dass die Summe für jedes x R gegen eine endliche Zahl konvergiert 36

17 Definition der Exponentialfunktion: [II] Für jedes x R definiert man exp(x) = k=0 x k k! Die Funktion exp : R R heißt natürliche Exponentialfunktion 37

18 Graph der natürlichen Exponentialfunktion exp(x) x 38

19 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I] Es gilt: exp(0) = 1 exp(1) = e (Eulersche Zahl) Für alle x R gilt: exp(x) > 0 Für alle x R gilt: exp (x) d exp(x) = exp(x) d x (Ableitung ist gleich der Funktion selbst) 39

20 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II] Die Funktion exp ist streng monoton wachsend Für beliebige x, y R gilt die Beziehung: (Funktionalgleichung) exp(x + y) = exp(x) exp(y) Für alle x R gilt ( exp(x) = lim 1 + x ) n n n (Äquivalente Darstellung zur Summendefinition) 40

21 Jetzt: Die exp-funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0, ) Definition des natürlichen Logarithmus Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion exp : R (0, ) heißt natürlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit ln : (0, ) R 41

22 Graph des natürlichen Logarithmus ln(x) x 42

23 Eigenschaften des natürlichen Logarithmus: Die Funktion ln ist streng monoton wachsend Für x > 0 gilt: ln (x) = d ln(x) d x = 1 x Für beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung (Funktionalgleichung) ln(x y) = ln(x) + ln(y) 43

24 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I] Die allgemeine Potenz ist für alle x > 0, y R definiert durch x y = exp(y ln(x)) Insbesondere ist für x R e x = exp(x) Es sei a > 0 und a 1. Der allgemeine Logarithmus von x > 0 zur Basis a ist definiert durch y = log a (x) x = a y 44

25 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II] Es gelten die folgenden Beziehungen: ln(x) = loge(x) ln(x) = log a (x) ln(a) log a (x) = ln(x) ln(a) Es sei f : R (0, ) eine differenzierbare Funktion. jedes x R heißt die Ableitung (ln(f(x)) = d ln(f(x)) = f (x) d x f(x) die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x (auch: stetige Wachstumsrate) Für 45

Exponential- und Logarithmusfunktion. Biostatistik, WS 2010/2011. Inhalt. Matthias Birkner Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche

Exponential- und Logarithmusfunktion. Biostatistik, WS 2010/2011. Inhalt. Matthias Birkner Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche Biostatistik, WS 2010/2011 Exponential- und Logarithmusfunktion Matthias Birkner http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/biostatistik1011/ 5.11.2010 Inhalt 1 Exponential- und Logarithmusfunktion Potenzen

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 17 Potenzreihen Definition 17.1. Es sei (c n ) n N eine Folge von reellen Zahlen und x eine weitere reelle Zahl. Dann heißt

Mehr

Biostatistik, WS 2010/2011 Exponential- und Logarithmusfunktion

Biostatistik, WS 2010/2011 Exponential- und Logarithmusfunktion 1/22 Biostatistik, WS 2010/2011 Exponential- und Logarithmusfunktion Matthias Birkner http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/biostatistik1011/ 5.11.2010 2/22 Inhalt Exponential- und Logarithmusfunktion

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen

Mehr

11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften

11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften 78 II. ANALYSIS 11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften In diesem Abschnitt wollen wir wichtige Eigenschaften der allgemeinen Exponentialund Logarithmusfunktion sowie einiger trigonometrischer Funktionen

Mehr

17 Logarithmus und allgemeine Potenz

17 Logarithmus und allgemeine Potenz 7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur

Mehr

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis Der natürliche Logarithmus ln logarithmus naturalis Zur Erinnerung: Die Exponentialfunktion y = exp(x) ist festgelegt durch 2 y = exp(x) y (x) = y(x) 0 x y(0) = 2 Zur Erinnerung: e := y() 2.78 exp(x) =

Mehr

Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.

Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759. (4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden. Mathematischer Vorkurs.

Inhaltsverzeichnis. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden. Mathematischer Vorkurs. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhalt:. Zinsrechnung. Exponential- und Logaritmusfunktionen

Mehr

Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei

Mehr

Grundkurs Mathematik II

Grundkurs Mathematik II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2017 Grundkurs Mathematik II Vorlesung 53 Die rationalen Exponentialfunktionen Zu einer positiven Zahl b K aus einem angeordenten Körper K haben wir in der 27. Vorlesung

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Yves Schneider Universität Luzern Frühjahr 2016 Repetition Kapitel 1 bis 3 2 / 54 Repetition Kapitel 1 bis 3 Ausgewählte Themen Kapitel 1 Ausgewählte Themen Kapitel

Mehr

3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS

3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS 3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS ln Der natürliche Logarithmus ln(x) betrachtet als Funktion in x, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(x). Das bedeutet, für reelle Zahlen a und b gilt b = ln(a)

Mehr

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Kapitel 5 GRENZWERTE

Kapitel 5 GRENZWERTE Kapitel 5 GRENZWERTE Fassung vom 3. Februar 2006 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 69 5. Der Begri des Grenzwertes 5. Der Begri des Grenzwertes An den Messungen der Hefevermehrung (vgl. Beispiel

Mehr

differenzierbare Funktionen

differenzierbare Funktionen Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 18 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 20 Gleichmäßige Konvergenz von

Mehr

Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen

Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen. Schritt: x n, n N, also eine natürliche Zahl ungleich Null). Wie jeder weiß gilt: 0 6 0 3 = } 0 0 0 {{ 0 0 0} 0 } 0 {{ 0} = } 0 0 0 0 0 {{ 0 0 0 0}

Mehr

Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen

Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen Inhaltsverzeichnis FOLGEN REELLER ZAHLEN... 3 DEFINITION... 3 GRENZWERT... 3 HÄUFUNGSPUNKT... 4 MONOTONIE... 4 BESCHRÄNKTHEIT... 4 SÄTZE... 4 RECHNEN MIT GRENZWERTEN...

Mehr

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38

Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder

Mehr

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Kapitel 8 Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Der in Definition 7. eingeführte Begriff einer Folge ist nicht auf die Betrachtung reeller Zahlen eingeschränkt und das Beispiel {a n } = {x

Mehr

Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte

Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte Wichtige Begriffsbildungen, darunter die reellen Zahlen R, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Stetigkeit, Ableitung und Integral von Funktionen

Mehr

Kapitel 6. Exponentialfunktion

Kapitel 6. Exponentialfunktion Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen KAPITEL 3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 3.1 Funktionen und Umkehrfunktionen.............. 70 3.2 Wurzeln............................ 72 3.3 Warum ist a 2 + b 2 a + b?................. 73 3.4 Potenzfunktion........................

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

Monotone Funktionen. Definition Es sei D R. Eine Funktion f : D R heißt. (ii) monoton fallend, wenn für alle x, x D gilt. x < x f (x) f (x ).

Monotone Funktionen. Definition Es sei D R. Eine Funktion f : D R heißt. (ii) monoton fallend, wenn für alle x, x D gilt. x < x f (x) f (x ). Monotone Funktionen Definition 4.36 Es sei D R. Eine Funktion f : D R heißt (i) monoton wachsend, wenn für alle x, x D gilt x < x f (x) f (x ). Wenn sogar die strikte Ungleichung f (x) < f (x ) folgt,

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

1 Beschreibung der Grundlagen

1 Beschreibung der Grundlagen Westsächsische Hochschule Zwickau Fachgruppe Mathematik Grundlagen Inhaltsverzeichnis Aufgaben zu den Grundlagen findet man über den folgenden Link: Aufgaben zu den Grundlagen 01 1 Beschreibung der Grundlagen

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Exponentialfunktion & Logarithmus

Exponentialfunktion & Logarithmus Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen & 31. Oktober 2011 & Potenzen Definitionsbereiche Potenzrechenregeln Beispiel exp Beispiel: Lichtabsorption Definition Injektivität Beispiel:

Mehr

Klausur zur Analysis I WS 01/02

Klausur zur Analysis I WS 01/02 Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =

Mehr

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1.

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1. 8. GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 51 e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) und sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). f. Für eine

Mehr

Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION

Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION Fassung vom 3 Dezember 2005 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 39 3 Exponentialfunktion 3 Exponentialfunktion Wir betrachten als einführendes Beispiel

Mehr

Viele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)

Viele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976) Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Monotonie, Konkavität und Extrema

Monotonie, Konkavität und Extrema Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1

Mehr

2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen

2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen 25.05.20 2.4 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R >

Mehr

23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen

23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 231 Konvexe Funktionen 232 Kriterien für Konvexität 233 Streng konvexe Funktionen 235 Wendepunkte 237 Ungleichung von Jensen 2310 Höldersche Ungleichung 2311 Minkowskische

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

17 Exponentialfunktion und Logarithmus

17 Exponentialfunktion und Logarithmus 17 Exponentialfunktion und Logarithmus Die Exponentialfunktion gilt als die wichtigste Funktion der Analysis. Sie hat sowohl theoretische als auch praktische Bedeutung. Sie tritt in vielen Anwendungen

Mehr

Vektorräume und lineare Abbildungen

Vektorräume und lineare Abbildungen Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

Univariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester

Univariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!):

Mehr

Kapitel 7. Exponentialfunktion

Kapitel 7. Exponentialfunktion Kapitel 7. Exponentialfunktion 7.1. Potenzreihen In Kap. 5 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0 5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.

Mehr

Systemwissenschaften, Mathematik und Statistik

Systemwissenschaften, Mathematik und Statistik Systemwissenschaften, Mathematik und Statistik Systemwissenschaften: 1 WS: Systemwissenschaften 1, VO 2std 2 SS: Systemwissenschaften 2, VO 2std Übung zu Systemwissenschaften, UE 2std 3 WS: Systemwissenschaften

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie

Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie Escheria coli (kurz E. coli) sind Bakterien, die im Darm von Säugetieren und Menschen leben. Ein junges E. coli Bakterium wächst mit einer konstanten

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis Übungsaufgaben 3. Übung: Woche vom 27. 10. bis 31. 10. 2010 Heft Ü1: 3.14 (c,d,h); 3.15; 3.16 (a-d,f,h,j); 3.17 (d); 3.18 (a,d,f,h,j) Übungsverlegung für Gruppe VIW 05: am Mo., 4.DS, SE2 / 022 (neuer Raum).

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1

SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1 SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das

Mehr

4.4 Umkehrfunktion 77. Sei o.b.d.a. f(a) > 0 und f(b) < 0, setzen M = {y [a, b] mit f(x) > 0 für alle x [a, y]}

4.4 Umkehrfunktion 77. Sei o.b.d.a. f(a) > 0 und f(b) < 0, setzen M = {y [a, b] mit f(x) > 0 für alle x [a, y]} . Umkehrfunktion 77 B e w e i s : Sei o.b.d.a. fa) > und fb) für alle [a, y] M a M), M beschränkt y b) Aiom V ξ [a, b] : ξ sup M fa) f) n.z.z. : i) fξ) ii) ξ a, b) zu i):

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

6.7 Isolierte Singularitäten

6.7 Isolierte Singularitäten 6.7 Isolierte Singularitäten Definition: Eine analytische Funktion f hat in einem Punkt a C eine isolierte Singularität, falls f in einem Kreisring B r (a) \ {a} = {z C : 0 < z a < r} für r > 0, definiert

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 016/17 Dr. K. Rothe Analsis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt 3 Gegeben sei eine Funktion f :

Mehr

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n

Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:

Mehr

ist streng monoton fallend.

ist streng monoton fallend. Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.

Mehr

Analysis I. Vorlesung 13. Gleichmäßige Stetigkeit

Analysis I. Vorlesung 13. Gleichmäßige Stetigkeit Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 13 Gleichmäßige Stetigkeit Die Funktion f: R + R +, x 1/x, ist stetig. In jedem Punkt x R + gibt es zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 mit f(u (x,δ))

Mehr

3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES

3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES 3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES (1) DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION Für α = (a n ) n=0mit a n := 1, (n IN) gilt r α = lim n (n + 1)! = lim n (n + 1) =. Damit konvergiert die zugehörige Potenzreihe

Mehr

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert

Mehr

Veranschaulichen Sie die de Morgan schen Regeln anhand von Venn-Diagrammen:

Veranschaulichen Sie die de Morgan schen Regeln anhand von Venn-Diagrammen: Formalisierungspropädeutikum Aufgabensammlung Prof. Dr. Th. Augustin, Dr. R. Poellinger, C. Jansen, J. Plaß, G. Schollmeyer Oktober 2016 Aufgabe 1 (de Morgan sche Regeln) Veranschaulichen Sie die de Morgan

Mehr

Analysis I. Guofang Wang Universität Freiburg

Analysis I. Guofang Wang Universität Freiburg Universität Freiburg 13.1.016 Zwischenwertsatz und klassische Funktionen In diesem Abschnitt haben wir es mit Funktionen zu tun, die auf einem Intervall definiert sind. Eine Menge I R ist genau dann ein

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion

Mehr

Funktionalgleichungen

Funktionalgleichungen Funktionalgleichungen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 10. Mai 2010 Funktionalgleichungen sind Gleichungen, mit denen Funktionen charakterisiert oder bestimmt werden können. In diesem

Mehr

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.

Mehr

Einleitung. Einige grundlegende Konzepte ziehen sich durch die gesamte Finanzmathematik:

Einleitung. Einige grundlegende Konzepte ziehen sich durch die gesamte Finanzmathematik: 1 Einleitung Finanzmathematik durchzieht gewissermaßen das ganze Leben: Wir legen Geld auf ein zinsbringendes Konto, wir zahlen wiederholt denselben Betrag oder unterschiedliche Beträge zu beliebigen Zeitpunkten

Mehr

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.

Mehr

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen 2322004 Gerd Rapin grapin@mathuni-goettingende Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung

Mehr

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...

Mehr

Funktionen. Kapitel Der Funktionsbegriff

Funktionen. Kapitel Der Funktionsbegriff Kapitel 6 Funktionen 6. Der Funktionsbegriff Eine Funktion f(x) ist durch eine Vorschrift f definiert, die jedem Element x D (Definitionsbereich) ein Element f(x) W (Wertebereich) zuordnet. Für reelle

Mehr

Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren

Mehr

Kapitel 5 Reihen 196

Kapitel 5 Reihen 196 Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel

Mehr

Der Satz von Taylor. Kapitel 7

Der Satz von Taylor. Kapitel 7 Kapitel 7 Der Satz von Taylor Wir haben bereits die Darstellung verschiedener Funktionen, wie der Exponentialfunktion, der Cosinus- oder Sinus-Funktion, durch unendliche Reihen kennen gelernt. In diesem

Mehr

2. Funktionen einer Variablen

2. Funktionen einer Variablen . Funktionen einer Variablen Literatur: [SH, Kapitel 4].1. Definitionen.. Typen von Funktionen..1. Lineare Funktionen... Quadratische Funktionen..3. Polynome..4. Potenzfunktionen..5. Exponentialfunktionen..6.

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen

Mehr

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr