Stochastik. Eine Vorlesung für das Lehramtsstudium. Franz Hofbauer

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1 Stochastik Eie Vorlesug für das Lehramtsstudium Fraz Hofbauer SS 01

2 Vorwort Der Begriff Wahrscheilichkeit wird üblicherweise mit Häufigkeit assoziiert. Was oft eitritt, hat hohe Wahrscheilichkeit, was selte eitritt, hat iedrige Wahrscheilichkeit. Daher wird i diesem Skriptum Wahrscheilichkeit als Grezwert relativer Häufigkeite defiiert. Damit wird der Additiossatz für edlich viele Ereigisse bewiese, auf dem da die Wahrscheilichkeitstheorie aufbaut. Ma kommt auch ohe σ-additivität aus. Das Skriptum begit mit der für die Wahrscheilichkeitstheorie otwedige Kombiatorik, bevor da im zweite Kapitel Wahrscheilichkeit ud bedigte Wahrscheilichkeit defiiert ud die wichtigste Sätze zum Bereche vo Wahrscheilichkeite bewiese werde. Diese sid der Satz über gleichwahrscheiliche Ausfälle (Laplace-Wahrscheilichkeit, der Multiplikatiossatz, der Satz vo der totale Wahrscheilichkeit ud die Formel vo Bayes. Im dritte Kapitel werde diskrete ud kotiuierliche Zufallsvariable ud dere Verteiluge eigeführt. Ausführlich behadelt werde Biomialverteilug, geometrische ud hypergeometrische Verteilug, Poissoverteilug, Expoetialverteilug, Gammaverteilug ud Normalverteilug. Die Approximatio der Biomialverteilug durch die Normalverteilug wird ur heuristisch hergeleitet. Im vierte Kapitel wird die gemeisame Verteilug mehrerer Zufallsvariable ud die Uabhägigkeit vo Zufallsvariable eigeführt. Es geht da ums Reche mit Zufallsvariable. Für die Wurzel aus eier Zufallvariable, für die Summe ud für de Quotiete zweier Zufallsvariable werde die Wahrscheilichkeitsdichte bestimmt. Es wird gezeigt, dass eie Summe uabhägiger ormalverteilter Zufallsvariable wieder ormalverteilt ist. Schließlich werde och Recheregel für Erwartugswert ud Variaz behadelt. Bewiese werde sie jedoch ur für diskrete Zufallsvariable. Das füfte Kapitel des Skriptums ist der Statistik gewidmet. Zuerst wird die Methode der kleiste Quadrate behadelt. So gewit ma Formel zum Schätze vo Parameter aus vorliegede Stichprobe. Da folge Kofidezitervalle ud statistische Tests. Das Skriptum ethält eie große Azahl durchgerecheter Beispiele, vo dee viele auch im Schuluterricht verwedet werde köe. Das Skriptum hat zwei Ahäge. Im erste fidet ma eiige Aweduge der Wahrscheilichkeitstheorie, im zweite werde otwedige Vorketisse aus der Aalysis zusammegestellt.

3 I. Kombiatorik Stichprobe spiele i der Wahrscheilichkeitstheorie eie wesetliche Rolle. I der Statistik zum Beispiel besteht die grudlegede Methode ja gerade dari, aus eier zufällig gezogee Stichprobe Folgeruge zu ziehe. Das Ausreche vo Wahrscheilichkeite ka ma oft auf das Abzähle vo Stichprobe zurückführe. Damit setze wir us i diesem erste Teil auseiader. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Bereche vo Azahle beschäftigt, heißt Kombiatorik. Wir begie mit geordete Stichprobe, behadel da ugeordete Stichprobe ud schließlich Zerleguge vo Mege ud Aorduge vo vorgegebee Objekte. 1. Geordete Stichprobe Wir habe eie Mege M vor us, aus der eie Stichprobe gezoge wird (zum Beispiel eie Mege vo Glühbire, aus der eie Stichprobe zur Qualitätskotrolle gezoge wird, oder eie Mege vo Lose, aus der die Preisträger gezoge werde. Mit bezeiche wir die Azahl der Elemete der Mege M. Aus dieser -elemetige Mege M ziehe wir der Reihe ach k Elemete. Es gibt also eie erste Zug, eie zweite Zug, ud so weiter bis zum k-te Zug. Die Ordug i der Stichprobe ist wesetlich, daher spricht ma vo geordete Stichprobe. Die Azahl k der Elemete i der Stichprobe heißt Stichprobeumfag. Wir uterscheide geordete Stichprobe mit ud ohe Zurücklege. Geordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k erhält ma, we ma aus der Mege M der Reihe ach k Elemete zieht ud jedes sofort wieder zurücklegt. Es wird also jedes Mal aus der ursprügliche Mege M gezoge. Jedes Elemet ka öfter i der Stichprobe vorkomme. Geordete Stichprobe ohe Zurücklege vom Umfag k erhält ma, we ma aus der Mege M der Reihe ach k Elemete zieht ud icht zurücklegt. Jedes Elemet ka ur eimal i der Stichprobe vorkomme. Geordete Stichprobe schreibt ma i der Form (x 1, x,..., x k im Gegesatz zu Mege, die ugeordet sid ud für die ma geschwugee Klammer verwedet. Geordete Stichprobe vom Umfag sid Paare (x 1, x ud geordete Stichprobe vom Umfag 3 sid Tripel (x 1, x, x 3. Beispiel 1: Ma schreibe alle geordete Stichprobe vom Umfag aus der Mege {a, b, c, d} auf. Mit Zurücklege: (a, a (a, b (a, c (a, d (b, a (b, b (b, c (b, d (c, a (c, b (c, c (c, d (d, a (d, b (d, c (d, d Ohe Zurücklege: (a, b (a, c (a, d (b, a (b, c (b, d (c, a (c, b (c, d (d, a (d, b (d, c Ma sieht hier scho, wie ma diese Stichprobe zähle ka. Für de erste Zug gibt es 4 Möglichkeite, ämlich alle Elemete der Mege. Wird zurückgelegt, da gibt es für de zweite Zug ebefalls 4 Möglichkeite. Da ma jede der 4 mögliche zweite Züge a jede der 4 mögliche erste Züge afüge ka, erhält ma 4 4 = 16 geordete Stichprobe mit Zurücklege.

4 Kombiatorik Wird icht zurückgelegt, da gibt es für de zweite Zug ur 3 Möglichkeite. Welche Möglichkeite das sid, hägt davo ab, wie der erste Zug ausgefalle ist. Es sid aber immer 3 Möglichkeite. Daher gibt es 4 3 = 1 geordete Stichprobe ohe Zurücklege. Wir wolle diese Azahle allgemei ausreche. Zuvor eie Defiitio. Defiitio: Wir defiiere! = ( 1(... 1 für N ud 0! = 1. Ma liest! als -Faktorielle. Satz 1: Die Azahl der geordete Stichprobe aus eier -elemetige Mege M vom Umfag k mit Zurücklege ist k. Die Azahl der geordete Stichprobe aus eier -elemetige Mege M vom Umfag k ohe Zurücklege ist ( 1... ( k + 1 =! ( k!. Beweis: Mit Zurücklege: Für de erste Zug komme alle Elemete der Mege M i Frage, also gibt es Möglichkeite. Da wir zurücklege, wird beim zweite Mal ebefalls aus der ursprügliche Mege M gezoge, also gibt es auch für de zweite Zug Möglichkeite. Das geht so weiter bis zum k-te Zug. Für jede gibt es Möglichkeite. Wir erhalte also... = k Stichprobe. Ohe Zurücklege: Für de erste Zug komme alle Elemete der Mege M i Frage, also gibt es Möglichkeite. Da wir icht zurücklege, wird beim zweite Mal aus eier Mege gezoge, die um ei Elemet weiger hat, also gibt es für de zweite Zug 1 Möglichkeite. Beim dritte Mal wird aus eier Mege gezoge, die um zwei Elemete weiger hat, also gibt es für de dritte Zug Möglichkeite. Das geht so weiter bis zum k-te Zug, für de es da ur mehr k + 1 Möglichkeite gibt. Wir erhalte also ( 1(... ( k + 1 Stichprobe. Beispiel : Wie viele mögliche Tipps erlaubt ei Totoschei? Ei Tipp auf dem Totoschei besteht dari, dass ma zu jedem der 1 Spiele eies der Zeiche 1,, oder X hischreibt. Für das erste Spiel wählt ma ei Elemet aus der Mege {1,, X}, für das zweite Spiel wählt ma ebefalls ei Elemet aus der Mege {1,, X}, ud so tut ma weiter bis zum 1-te Spiel. Es gibt also = 3 1 mögliche Tipps. Die mögliche Tipps sid die geordete Stichprobe vom Umfag 1 (es sid 1 Spiele aus der 3-elemetige Mege {1,, X} mit Zurücklege (es wird immer aus derselbe Mege {1,, X} gewählt. Beispiel 3: I eiem Hotel sid 6 Eibettzimmer frei. Es komme 4 Gäste. Wie viele Möglichkeite gibt es, diese auf die 6 Zimmer zu verteile? Die Gäste komme eier ach dem adere dra. Für de erste Gast gibt es 6 mögliche Zimmer. Für de zweite Gast, der als ächster drakommt, gibt es da ur mehr 5 freie Zimmer. Für de dritte Gast gibt es ur mehr 4 ud für de vierte Gastur mehr 3 freie Zimmer. Also habe wir mögliche Zimmereiteiluge. Hier hadelt es sich also um geordete Stichprobe vom Umfag 4 aus eier 6-elemetige Mege ohe Zurücklege. Stimmt der Stichprobeumfag k mit der Azahl der Elemete der Mege, aus der gezoge wird, überei, da sid die geordete Stichprobe ohe Zurücklege gerade die verschiedee mögliche Aorduge der Elemete der Mege. Wir schreibe das als eigee Satz auf. Satz : Die Azahl aller mögliche Aorduge vo verschiedee Objekte ist!.

5 Fraz Hofbauer 3 Beweis: Geauso wie bei de geordete Stichprobe ohe Zurücklege. Auf de erste Platz köe wir jedes der Objekte setze. Ist der erste Platz besetzt, da sid och 1 Objekte übrig, die wir auf de zweite Platz setze köe. Für de dritte Platz gibt es och Besetzugsmöglichkeite ud so weiter. Für de -te Platz gibt es ur mehr eie Möglichkeit. Also habe wir ( =! mögliche Aorduge. Wir verallgemeier die geordete Stichprobe, idem wir bei jedem Zug aus eier adere Mege ziehe. Satz 3: Seie M 1, M,..., M k Mege, wobei j die Azahl der Elemete der Mege M j ist. Die Azahl aller geordete Stichprobe vom Umfag k, wobei beim j-te Mal aus der Mege M j gezoge wird, ist 1... k. Beweis: Für de erste Zug komme alle Elemete der Mege M 1 i Frage, also gibt es 1 Möglichkeite. Für de zweite Zug komme alle Elemete der Mege M i Frage, also gibt es Möglichkeite. So geht es weiter bis zum letzte Zug, für de es k Möglichkeite gibt. Also habe wir 1... k verschiedee Stichprobe. Beispiel 4: Eie Autoummer ist eie Folge vo Zeiche, die Ziffer oder Buchstabe sei köe. Wie viele 4-stellige Autoummer gibt es? Wie viele 4-stellige Autoummer gibt es, die mit eier Ziffer ede? Wie viele 4-stellige Autoummer gibt es, die mit zwei Buchstabe begie? Wie viele 4-stellige Autoummer gibt es, die abwechseld aus Ziffer ud Buchstabe bestehe? Die 4-stellige Autoummer sid die geordete Stichprobe vom Umfag 4 aus eier 36-elemetige Mege mit Zurücklege. Es gibt also stellige Autoummer. Soll die Autoummer mit eier Ziffer ede, da werde die erste drei Zeiche aus eier 36-elemetige Mege gewählt, das vierte Zeiche, das eie Ziffer ist, jedoch aus eier 10-elemetige Mege. Daher gibt es Autoummer, die mit eier Ziffer ede. Soll die Autoummer mit zwei Buchstabe begie, da werde die erste beide Zeiche, die ja Buchstabe sid, aus eier 6-elemetige Mege gewählt, die adere beide Zeiche aus eier 36-elemetige Mege. Daher gibt es Autoummer, die mit zwei Buchstabe begie. Wechsel Ziffer ud Buchstabe ab, da gibt es zwei Möglichkeite. Etweder begit die Autoummer mit eier Ziffer oder mit eiem Buchstabe. Im erste Fall stehe a der erste ud dritte Stelle Ziffer, a der zweite ud vierte Stelle Buchstabe. Für diese Fall gibt es Möglichkeite. Im zweite Fall stehe a der erste ud dritte Stelle Buchstabe, a der zweite ud vierte Stelle Ziffer. Für diese Fall gibt es Möglichkeite. Es gibt also isgesamt 10 6 Autoummer, die abwechseld aus Ziffer ud Buchstabe bestehe.. Ugeordete Stichprobe Im Gegesatz zu de geordete Stichprobe spielt bei de ugeordete Stichprobe die Reihefolge ierhalb der Stichprobe keie Rolle. Das Ziehe eier ugeordete Stichprobe vom Umfag k stellt ma sich am beste so vor, dass ma mit eiem Griff k Elemete aus eier -elemetige Mege M zieht. Die ugeordete Stichprobe vom Umfag k sid also die k-elemetige Teilmege dieser Mege.

6 4 Kombiatorik Beispiel 5: Ma schreibe alle ugeordete Stichprobe vom Umfag 3, also alle 3-elemetige Teilmege aus der Mege {a, b, c, d, e} auf. {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e} Die Azahl der 3-elemetige Teilmege aus der 5-elemetige Mege {a, b, c, d, e} ist somit 10. Wir suche eie Formel für die Azahl der k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. Zuvor eie Defiitio. Defiitio: Für 0 ud 0 k defiiere wir ( k = ( 1...( k+1! k! = k!( k!, die sogeate Biomialkoeffiziete. Ma liest über k. Machmal setzt ma ( k = 0, we k < 0 oder k >. Satz 4: Sei 0 k. Die Azahl der k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege M ist ( k. Beweis: De Fall k = 0 behadel wir zuerst. Es gibt geau eie 0-elemetige Teilmege, ämlich die leere Mege. Wege ( 0 = 1 stimmt die agegebee Formel für k = 0. Sei jetzt k 1 ud a k die Azahl der k-elemetige Teilmege der -elemetige Mege M. Wir leite eie Gleichug für a k her, aus der wir da a k bereche. Dazu stelle wir folgede Überlegug a. Nach Satz gibt es für jede k-elemetige Teilmege k! verschiedee Aorduge. Schreibe wir alle diese mögliche Aorduge für die a k Teilmege auf, da erhalte wir isgesamt a k k! geordete Stichprobe. Das sid da alle geordete Stichprobe vom Umfag k ohe Zurücklege aus der -elemetige Mege! M. Ihre Azahl ist ( k! ach Satz 1. Daher muss a k k! =! ( k! gelte. Es folgt a k =! k!( k!, die gesuchte Formel. Beispiel 6: Wie viele Diagoale hat ei regelmäßiges -Eck. Die Azahl aller Gerade, die durch je Pukte dieser Eckpukte gehe, ist gleich der Azahl der -elemetige Teilmege aus de Eckpukte, also (. Daher ist die Azahl der Seite ud Diagoale zusamme gleich (. Da es Seite gibt, ist die Azahl der Diagoale gleich (. Beispiel 7: Ei Verei, der Mitglieder hat, will eie Ausschuss vo 5 Persoe eisetze. Wie viele Möglichkeite gibt es? Vo de Mitglieder sid 14 Fraue ud 8 Mäer. Wie viele Möglichkeite gibt es, we der Ausschuss aus 3 Fraue ud Mäer bestehe soll? Ei Ausschuss ist eie Teilmege. Daher gibt es ( 5 Möglichkeite, eie 5-köpfige Ausschuss aus de Mitglieder zu wähle. Soll der Ausschuss 3 Fraue ud Mäer ethalte, da wähle wir die Fraue ud Mäer getret aus. Sei T 1 die Mege aller 3-elemetige Teilmege aus der Mege der 14 Fraue. Sei T die Mege aller -elemetige Teilmege aus der Mege der 8 Mäer. Eie 5-köpfige Ausschuss mit 3 Fraue ud Mäer erhält ma da, idem ma eie der Mege aus T 1 mit eier der Mege aus T zusammesetzt. Die Azahl aller mögliche Ausschüsse ist ach Satz 3 gleich 1, wobei 1 = ( 14 3 die Azahl der Elemete vo T 1 ist ud = ( 8 die Azahl der Elemete vo T ist. Es gibt daher ( ( mögliche Ausschüsse mit 3 Fraue ud Mäer. Beispiel 8: Aus 5 Spielkarte (13 -Karte, 13 -Karte, 13 -Karte ud 13 -Karte wird eie ugeordete Stichprobe vom Umfag 11 gezoge. Wie viele solche Stich-

7 Fraz Hofbauer 5 probe gibt es, die 6 -Karte, 3 -Karte ud -Karte ethalte? Wir gehe wie i Beispiel 7 vor. Sei T 1 die Mege aller 6-elemetige Teilmege aus de -Karte. Ihre Azahl ist ( Sei T die Mege aller 3-elemetige Teilmege aus de -Karte. Ihre Azahl ist ( Sei T3 die Mege aler -elemetige Teilmege aus de -Karte. Ihre Azahl ist ( 13. Eie 11-elemetige Teilmege mit 6 -Karte, 3 -Karte ud -Karte erhält ma dadurch, dass ma eie Mege aus T 1, eie Mege aus T, ud eie Mege aus T 3 zusammesetzt. Gemäß Satz 3 gibt es dafür ( ( ( Möglichkeite. Bemerkug: Die Methode aus Beispiel 7 ud aus Beispiel 8 ka ma verwede, um die Gleichug ( M ( N M ( k=0 k k = N ( zu zeige, wobei u v = 0 zu setze ist, we v > u gilt. Das geht so: Aus eier Mege vo N Kugel, vo dee M weiß ud N M schwarz sid, werde -elemetige Teilmege gezoge. Die Azahl der -elemetige Teilmege, die k weiße Kugel ud k schwarze Kugel ethalte, ist ( ( M N M k k, da sich jede dieser Teilmege aus eier k-elemetige Teilmege der M weiße Kugel ud eier k-elemetige Teilmege der N M schwarze Kugel zusammesetze lässt. Die Azahl aller -elemetige Teilmege ist da ( M ( N M k=0 k k. Die Azahl aller -elemetige Teilmege ist aber auch ( N (. Daher gilt M ( N M ( k=0 k k = N. Wir versuche jetzt das selbe Problem für geordete Stichprobe zu löse. Vorhi habe wir die Azahl der ugeordete Stichprobe vom Umfag 5, die 3 Fraue ud Mäer ethalte, berechet. Jetzt bereche wir die Azahl der geordete Stichprobe vom Umfag 5, die 3 Buchstabe ud Ziffer ethalte. Beispiel 9: Autoummer bestehe aus Buchstabe ud Ziffer. Wie viele verschiedee 5-stellige Autoummer gibt es, die 3 Buchstabe ud Ziffer ethalte? Wie viele davo bestehe aus lauter verschiedee Zeiche? Gefragt ist die Azahl der geordete Stichprobe vom Umfag 5 (mit ud ohe Zurücklege, die 3 Buchstabe ud Ziffer ethalte. Wir stelle us 5 Plätze vor, auf die die Buchstabe ud Ziffer gestellt werde. Vo diese 5 Plätze werde 3 mit Buchstabe (B ud mit Ziffer (Z besetzt. Es gibt folgede Möglichkeite, die Plätze aufzuteile: BBBZZ BBZBZ BBZZB BZBBZ BZBZB BZZBB ZBBBZ ZBBZB ZBZBB ZZBBB. Wie viele geordete Stichprobe gibt es für die Platzaufteilug BBBZZ, also we die ertste 3 Plätze mit Buchstabe ud die letzte Plätze mit Ziffer besetzt werde. Für de erste Platz kommem 6 Buchstabe i Frage, ebeso für de zweite ud dritte, da zurückgelegt wird. Für de vierte Platz komme 10 Ziffer i Frage ud ebeso für de füfte. Es gibt also Stichprobe, die Platzaufteilug BBBZZ habe. Ebeso ka ma die Azahl der Stichprobe für jede der adere Platzaufteiluge ausreche. Die Azahl für die Platzaufteilug BBZBZ ist , die Azahl für BBZZB ist , ud so weiter. Ma sieht, dass die Azahl der Stichprobe für jede Platzaufteilug dieselbe ist, ämlich Da es isgesamt 10 verschiedee Platzaufteiluge gibt, ist die gesuchte Azahl der geordete Stichprobe vom Umfag 5 mit Zurücklege, die 3 Buchstabe ud Ziffer ethalte. Wird icht zurückgelegt, da ist die Azahl der Stichprobe, die Platzaufteilug BBBZZ habe, da für de zweite Platz ur mehr die 5 übriggebliebee Buchstabe i Frage komme ud für de dritte Platz ur mehr die 4 übriggebliebee.

8 6 Kombiatorik Ebeso komme für de füfte Platz ur mehr die 9 übriggebliebee Ziffer i Frage. Die Azahl der Stichprobe mit Platzaufteilug BBZBZ ist ud die für BZBZB ist Ma sieht wieder, dass die Azahl der Stichprobe für jede Platzaufteilug dieselbe ist, ämlich Daher ist die gesuchte Azahl der geordete Stichprobe vom Umfag 5 ohe Zurücklege, die 3 Buchstabe ud Ziffer ethalte. Wir hätte i diesem Beispiel die Platzaufteiluge icht aufliste müsse. Es geügt ja, die Azahl der Platzaufteiluge zu kee. Diese ka ma mit Hilfe vo Satz 4 ermittel. Die mit B besetzte Plätze bilde jeweils eie 3-elemetige Teilmege aus der 5-elemetige Mege der Plätze. Die mögliche Platzaufteiluge etspreche daher de 3-elemetige Teilmege eier 5-elemetige Mege. Ihre Azahl ist ( 5 3 = 10. (We ma dieselbe Überlegug mit Z statt mit B astellt, da erhält ma als Azahl ( 5, also ebefalls 10. Beispiel 10: Aus 5 Spielkarte (13 -Karte, 13 -Karte, 13 -Karte ud 13 -Karte wird eie geordete Stichprobe vom Umfag 17 mit Zurücklege gezoge. Wie viele solche Stichprobe gibt es, die 8 -Karte ud 9 -Karte ethalte? Das ist dieselbe Aufgabestellug wie im letzte Beispiel, ur ist es jetzt icht mehr möglich, alle Platzaufteiluge aufzuliste. Da jetzt 8 der 17 Plätze mit -Karte ud die übrige 9 mit -Karte besetzt werde, gibt es ( 17 8 mögliche Platzaufteiluge. Die Azahl der Stichprobe, wo die erste 8 Plätze mit -Karte ud die letzte 9 Plätze mit -Karte besetzt sid, ist Dieselbe Azahl erhält ma auch für alle adere Platzaufteiluge. Daher gibt es ( geordete Stichprobe vom Umfag 17, die 8 -Karte ud 9 -Karte ethalte. Zum Abschluss soll och ei Beispiel behadelt werde, das die verschiedee Arte vo Stichprobe eiader gegeüberstellt. Statt Buchstabe ud Ziffer, statt -Karte ud -Karte, verwede wir jetzt rote ud grüe Kugel. Dabei muss ma sich jedoch auch gleichfarbige Kugel als uterscheidbar (ummeriert vorstelle, so wie die Buchstabe voeiader uterscheidbar sid, ud wie auch die -Karte voeiader uterscheidbar sid. Beispiel 11: Aus eier Mege vo 14 Kugel, vo dee 9 rot ud 5 grü sid, wird eie Stichprobe vom Umfag 7 gezoge. Wie viele verschiedee Stichprobe, die 3 rote ud 4 grüe Kugel ethalte, gibt es, we (a ugeordet gezoge wird? (b geordet mit Zurücklege gezoge wird? (c geordet ohe Zurücklege gezoge wird? (a Es gibt ( 9 3 Möglichkeite, eie Teilmege vom Umfag 3 aus de 9 rote Kugel zu ziehe. Es gibt ( 5 4 Möglichkeite, eie Teilmege vom Umfag 4 aus de 5 grüe Kugel zu ziehe. Idem ma jeweils eie dieser Teilmege aus de rote Kugel mit eier der Teilmege aus de grüe Kugel zusammesetzt, erhält ma alle mögliche ugeordete Stichprobe. Ihre Azahl ist daher ( 9 5 3( 4. (b Jede Stichprobe ist eie geordete Folge vo 7 Kugel, wobei 3 Plätze i dieser Folge vo rote Kugel besetzt werde ud 4 Plätze vo grüe. Die Azahl der mögliche Platzaufteiluge ist ( 7 3. Die Azahl der Stichprobe mit eier bestimmte Platzaufteilug ist , da zurückgelegt wird. Die Azahl aller geordete Stichprobe mit Zurücklege, die 3 rote ud 4 grüe Kugel ethalte, ist daher (

9 Fraz Hofbauer 7 (c Hier geht ma geauso vor wie i (b. Da jetzt aber icht zurückgelegt wird, gibt es für jede der ( 7 3 Platzaufteiluge ur mögliche Besetzuge mit Kugel. Die Azahl aller geordete Stichprobe ohe Zurücklege ist daher ( Ma ka diese Azahl auch auf adere Weise erhalte, idem ma vo (a ausgeht. Ma erhält die geordete Stichprobe ohe Zurücklege ämlich dadurch, dass ma die ugeordete Stichprobe aus (a auf alle mögliche Arte aordet. Da ma jede dieser ugeordete Stichprobe auf 7! Arte aorde ka, ist die Azahl der geordete Stichprobe ohe Zurücklege gleich ( 9 5 3( 4 7!. Das ist dieselbe Azahl wie vorhi. Bemerkug: Die hier behadelte ugeordete Stichprobe sid ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege. Es gibt auch ugeordete Stichprobe mit Zurücklege. Ma ka zeige, dass die Azahl der ugeordete Stichprobe vom Umfag k aus eier -elemetige Mege mit Zurücklege gleich ( +k 1 k ist. Ei Beispiel für ugeordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag aus der Mege {0, 1,, 3, 4, 5, 6} sid Domiosteie. Ihre Azahl ist ( 7+ 1 = Zerleguge eier Mege I Beispiel 10 komme ur -Karte ud -Karte i der Stichprobe vor. Frage wir ach der Azahl der Stichprobe vom Umfag 18, die füf -Karte, drei -Karte, zwei -Karte ud acht -Karte ethalte, da müsse wir zuerst die Azahl der mögliche Aufteiluge der 18 Plätze i füf Plätze für die -Karte, i drei Plätze für die -Karte, i zwei Plätze für die -Karte ud i acht Plätze für die -Karte bestimme. Eie Platzaufteilug etspricht eier Zerlegug der Mege der Plätze i Teilmege, wobei die Azahl der Elemete dieser Teilmege vorgegebe ist. Mit solche Zerleguge wolle wir us jetzt beschäftige. Vorgegebe ist eie -elemetige Mege M. Zu bestimme ist die Azahl aller mögliche Zerleguge dieser Mege i j Teilmege, vo dee die erste k 1 Elemete, die zweite k Elemete ud schließlich die j-te k j Elemete ethält. Beispiel 1: Ma schreibe alle Zerleguge der Mege {a, b, c, d, e} i 3 Teilmege auf, vo dee die erste Elemete, die zweite 1 Elemet ud die dritte Elemete ethält. {a, b}, {c}, {d, e} {a, b}, {d}, {c, e} {a, b}, {e}, {c, d} {a, c}, {b}, {d, e} {a, c}, {d}, {b, e} {a, c}, {e}, {b, d} {a, d}, {b}, {c, e} {a, d}, {c}, {b, e} {a, d}, {e}, {b, c} {a, e}, {b}, {c, d} {a, e}, {c}, {b, d} {a, e}, {d}, {b, c} {b, c}, {a}, {d, e} {b, c}, {d}, {a, e} {b, c}, {e}, {a, d} {b, d}, {a}, {c, e} {b, d}, {c}, {a, e} {b, d}, {e}, {a, c} {b, e}, {a}, {c, d} {b, e}, {c}, {a, d} {b, e}, {d}, {a, c} {c, d}, {a}, {b, e} {c, d}, {b}, {a, e} {c, d}, {e}, {a, b} {c, e}, {a}, {b, d} {c, e}, {b}, {a, d} {c, e}, {d}, {a, b} {d, e}, {a}, {b, c} {d, e}, {b}, {a, c} {d, e}, {c}, {a, b} A diesem Beispiel ka ma auch scho erkee, wie ma die Azahl der mögliche Zerleguge ermittel ka. Es gibt ( 5 = 10 Möglichkeite, die erste Teilmege zu

10 8 Kombiatorik wähle. Zu jeder dieser Möglichkeite ka ma auf ( 3 1 = 3 Arte die zweite Teilmege wähle. Für die dritte Teilmege gibt es da ur mehr 1 = ( Möglichkeit. Isgesamt habe wir also ( 5 3 ( 1( = 30 Möglichkeite. Satz 5: Sei = k 1 + k + + k j. Die Azahl der mögliche Zerleguge eier -elemetige Mege M i j Teilmege, vo dee die erste k 1 Elemete, die zweite k Elemete,... ud die j-te k j Elemete hat, ist! k 1!k!k 3!...k j!. Beweis: Es gibt ( k 1 Möglichkeite, die erste Teilmege aus M zu wähle. Es verbleibe k 1 Elemete i M. Es gibt da ( k 1 k Möglichkeite, die zweite Teilmege zu wähle. Es bleibe k 1 k Elemete i M. Somit gibt es ( k 1 k k 3 Möglichkeite, die dritte Teilmege zu wähle. So tut ma weiter. Für die letzte Teilmege bleibe k 1 k j 1 = k j Elemete übrig. Daher gibt es ur mehr 1 = ( k j ( k j = k1 k j 1 k j Möglichkeit für die letzte Teilmege. Die Azahl aller mögliche Zerleguge ist also ( ( k1 ( k 1 k... k1 k j 1 k j =! ( k 1! k 1!( k 1! k!( k 1 k!... ( k 1 k j 1!! k j!0! = k 1!k!...k j!. Damit ist die gewüschte Formel gefude. Beispiel 13: Für ei Photo solle sich Persoe, die verschiedee Größe habe, i zwei Reihe aufstelle, wobei die vore stehede Perso jeweils kleier als die dahiterstehede Perso ist. Auf wie viele Arte ist das möglich? Eie -elemetige Mege ist i 11 Teilmege aufzuteile, vo dee jede Elemete ethält. Die beide Persoe i der erste Teilmege stelle sich gaz liks auf, die beide Persoe i der zweite Teilmege daebe ud so weiter, wobei jeweils die kleiere! Perso vore ud die größere hite steht. Nach Satz 5 ist so eie Aufteilug auf (! 11 verschiedee Arte möglich. Beispiel 14: Aus 5 Spielkarte, die aus 13 -Karte, aus 13 -Karte, aus 13 -Karte ud aus 13 -Karte bestehe, wird eie geordete Stichprobe vom Umfag 17 mit Zurücklege gezoge. Wie viele solche Stichprobe gibt es, die 5 -Karte, 3 -Karte, 7 -Karte ud -Karte ethalte. Wir gehe vor wie i Beispiel 10. Es werde zuerst die 17 Plätze aufgeteilt ud zwar i 5 Plätze für die -Karte, i 3 Plätze for die -Karte, i 7 Plätze für die -Karte ud i Plätze für die -Karte. Die Azahl der mögliche Platzaufteiluge ist gerade die Azahl der mögliche Zerleguge eier 17-elemetige Mege i 4 Teilmege, vo dee die erste 5 Elemete, die zweite 3 Elemete, die dritte 7 Elemete ud die vierte 17! Elemete hat. Diese Azahl ist 5!3!7!! ach Satz 5. Gibt ma eie Platzaufteilug vor, da gibt es 13 5 Möglichkeite, die 5 Plätze für die -Karte zu besetze. Weiters gibt es 13 3 Möglichkeite, die 3 Plätze für die -Karte zu besetze, 13 7 Möglichkeite, die 7 Plätze für die -Karte zu besetze, ud schließlich 13 17! Möglichkeite, die Plätze für die -Karte zu besetze. Es gibt also 5!3!7!! geordete Stichprobe vom Umfag 17 mit Zurücklege, die 5 -Karte, 3 -Karte, 7 -Karte ud -Karte ethalte.

11 4. Aorduge (Permutatioe Fraz Hofbauer 9 Die Azahl der mögliche Aorduge vo verschiedee Objekte ist! wie i Satz gezeigt wurde. Wie viele Aorduge gibt es u, we die Objekte icht verschiede sid? Wir habe Buchstabe, uter dee k 1 mal Buchstabe B 1, k mal Buchstabe B,... ud k j mal Buchstabe B j vorkommt, wobei = k 1 + k + + k j gilt. Diese Buchstabe werde auf Plätze ageordet. Jede Aordug etspricht eier Zerlegug der Mege der Plätze i j Teilmege, wobei die erste Teilmege k 1 Elemete hat (auf diese Plätze steht B 1, die zweite Teilmege k Elemete hat (auf diese Plätze steht B,... ud die j-te Teilmege k j Elemete hat (auf diese Plätze steht B j. Nach Satz 5 ist die Azahl dieser Zerleguge ud damit auch die Azahl der! mögliche Aorduge dieser Buchstabe gleich k 1!k!k 3!...k j!. Beispiel 15: Auf wie viele Arte ka ma die acht Buchstabe AAABBBCC aorde, we a erster Stelle kei A stehe soll? 8! Die Azahl aller mögliche Aorduge dieser acht Buchstabe ist 3!3!! = 560. Um die Azahl der Aorduge, die A a erster Stelle habe, zu bestimme, schreibe wir ei A a die erste Stelle. Da die übrige siebe Buchstabe beliebig auf de restliche siebe 7! Plätze ageordet werde köe, ist diese Azahl!3!! = 10. Es gibt = 350 Aorduge, die A icht a erster Stelle habe. Geausogut ka ma die Azahl der Aorduge bereche, die B a erster Stelle 7! habe, es sid 3!!! = 10, ud die Azahl der Aorduge, die C a erster Stelle habe, das sid 7! 3!3!1! = 140. Die Azahl der Aorduge, die A icht a erster Stelle habe, ist daher = 350. Beispiel 16: Jemad hat i seiem Zimmer 8 Lampe. Er hat 8 Glühbire, vo dee je zwei i de Farbe weiß, rot, grü ud blau leuchte. Wie viele verschiedee Beleuchtuge gibt es? Wie viele gibt es, we die Tischlampe icht rot leuchte soll? Die 8 Lampe fasse wir als 8 Plätze auf, auf dee die Glühbire ageordet werde. Die verschiedee Beleuchtugsmöglichkeite sid die verschiedee Aorduge der 8! Glühbire. Daher gibt es!!!! = 50 mögliche Beleuchtuge. Die Azahl der mögliche Beleuchtuge mit eier rote Glühbire i der Tischlampe erhält ma, idem ma die übrige 7 Glühbire auf die übrige 7 Lampe verteilt. 7! Diese Azahl ist!1!!! = 630. Daher gibt es = 1890 mögliche Beleuchtuge mit icht rot leuchteder Tischlampe.

12 II. Wahrscheilichkeitstheorie Die Wahrscheilichkeit ist eie Maßzahl für die Häufigkeit des Auftretes eies Ereigisses bei der Durchführug eies Zufallsexperimets. Etspreched werde wir die Wahrscheilichkeit auch defiiere. Wir beweise Sätze ud Formel für die Wahrscheilichkeit ud verwede diese zum Reche vo Beispiele. Die wichtigste Sätze sid der Additiossatz, die Formel für gleichwahrscheiliche Ausfälle, der Multiplikatiossatz, die Formel für die totale Wahrscheilichkeit ud die Formel vo Bayes. 1. Zufallsexperimet, Ausfall, Ereigis Ei Zufallsexperimet ist ei Experimet mit verschiedee mögliche Ausfälle (Ergebisse. Beispiele für Zufallsexperimete sid das Werfe eies Würfels oder die Lottoziehug. Die mögliche Ausfälle beim Würfel sid die Augezahle 1 bis 6. Die mögliche Ausfälle des Zufallsexperimets Lottoziehug sid alle 6-elemetige Teilmege der Mege {1,, 3,..., 45}. Die mögliche Ausfälle eies Zufallsexperimets fasse wir zu eier Mege zusamme, die üblicherweise mit Ω bezeichet wird. Wir ee Ω die Ausfallsmege. Beim Zufallsexperimet Würfel habe wir Ω = {1,, 3, 4, 5, 6}. Beim Zufallsexperimet Lottoziehug ist Ω die Mege aller sechselemetige Teilmege aus der Mege der erste 45 atürliche Zahle. Der zetrale Begriff der Wahrscheilichkeitstheorie ist der des Ereigisses. Ereigisse werde üblicherweise i Worte beschriebe. Ma spricht zum Beispiel vom Ereigis, eie gerade Zahl zu würfel. Oft geügt diese Art der Beschreibug. Um die Wahrscheilichkeit vo Ereigisse bereche zu köe, ist es jedoch machmal otwedig, i eie Megesprache überzuwechsel. Ereigisse werde da als Teilmege der Ausfallsmege Ω aufgefasst. Das Ereigis gerade Zahl würfel ist zum Beispiel die Teilmege {, 4, 6}. Das Ereigis die Lottoziehug ergibt ur Zahle 7 ist die Teilmege {{1,, 3, 4, 5, 6}, {1,, 3, 4, 5, 7},{1,, 3, 4, 6, 7},{1,, 3, 5, 6, 7},{1,, 4, 5, 6, 7},{1, 3, 4, 5, 6, 7},{, 3, 4, 5, 6, 7}} aus der obe beschriebee Ausfallsmege Ω für das Zufallsexperimet Lottoziehug. Ei als Mege geschriebees Ereigis A tritt geau da ei, we das Zufallsexperimet eie Ausfall liefert, der i A liegt. Wirft ma zwei Würfel gleichzeitig, so immt ma uterscheidbare Würfel (eie rote ud eie grüe. Die Ausfälle des Zufallsexperimets sid da Paare vo Augezahle, wobei die Augezahl des rote Würfels a die erste Stelle ud die Augezahl des grüe Würfels a die zweite Stelle geschriebe wird. Diese Vorgagsweise wird später das Bereche vo Wahrscheilichkeite erleichter. Die Ausfallsmege Ω ist da {(i, j : 1 i, j 6}. Das Ereigis Augesumme = 4 ist die Teilmege, die alle Paare (i, j vo Augezahle mit i + j = 4 ethält, also die Mege {(1, 3, (,, (3, 1}. Das Ereigis Maximum der Augezahle ist die Teilmege {(1, 1, (1,, (, 1, (, }. Geauso geht ma bei mehrmaligem Müzewerfe vor. Wirft ma eie Müze dreimal hitereiader, so sid die Ausfälle Tripel, a dere erster Stelle das Ergebis des erste Wurfes, a dere zweiter Stelle das Ergebis des zweite Wurfes ud a dere dritter Stelle das Ergebis des dritte Wurfes steht. Net ma die Seite der Müze 0 ud 1, so erhält ma Ω = {(0, 0, 0, (0, 0, 1, (0, 1, 0, (1, 0, 0, (0, 1, 1, (1, 0, 1, (1, 1, 0, (1, 1, 1}. Das Ereigis keie gleiche Ergebisse hitereiader ist die Teilmege {(0, 1, 0, (1, 0, 1}. Zieht ma eie ugeordete Stichprobe vom Umfag aus der Mege {a, b, c, d}, da ist die Ausfallsmege Ω = {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}}. Zieht ma eie geord-

13 Fraz Hofbauer 11 ete Stichprobe vom Umfag ohe Zurücklege aus {a, b, c, d}, da ist die Ausfallsmege Ω = {(a, b, (a, c, (a, d, (b, a, (b, c, (b, d, (c, a, (c, b, (c, d, (d, a, (d, b, (d, c}. Das Ereigis aufeiaderfolgede Buchstabe ziehe ist {(a, b, (b, c, (c, d}. Ereigisse ka ma auch miteiader verküpfe. Verwedet ma die umgagssprachliche Beschreibug, so ist es ahelieged logische Operatore (,, zu verwede. Arbeitet ma mit der Megeschreibweise, so wird ma Megeoperatore verwede. Mit A B bezeichet ma das Ereigis, dass sowohl A als auch B eitritt. Ist A das Ereigis gerade Zahl würfel ud B das Ereigis eie Zahl 3 würfel, da ist A B das Ereigis die Zahl würfel. I der Megeschreibweise schreibt ma dafür A B. Ma hat da A = {, 4, 6}, B = {1,, 3} ud A B = {}. Das Ereigis, sowohl A als auch B tritt ei, wird durch de Durchschitt richtig dargestellt, da es ja geau die Ausfälle ethalte muss, die sowohl i A als auch i B liege. Das Ereigis, A tritt icht ei, wird mit A bezeichet. Im obige Beispiel ist A das Ereigis ugerade Zahl würfel. I der Megeschreibweise etspricht das der Komplemetärmege A, da es ja geau die Ausfälle ethalte muss, die A icht ethält. Geauso ka ma adere Megeoperatioe iterpretiere. Wir tu das i folgeder Tabelle. logische Schreibweise Megeschreibweise ist das Ereigis, dass A B A B A ud B eitrete A B A B A oder B oder beide eitrete A A = Ω \ A A icht eitritt A B A \ B A eitritt, aber B icht A B A B weder A och B eitritt Die leere Mege ist das Ereigis, das ie eitritt. Ma spricht daher auch vom umögliche Ereigis. Die Mege Ω ist das Ereigis, das immer eitritt. Ma spricht daher vom sichere Ereigis. Zwei Ereigisse A ud B heiße uvereibar, we sie icht gleichzeitig eitrete köe. I der Megesprache bedeutet das, dass die beide Teilmege A ud B vo Ω disjukt sid, also A B = gilt. Sie köe ja geau da icht gleichzeitig eitrete, we es keie Ausfall gibt, der i beide Mege liegt. Midestes eies der Ereigisse A oder B tritt ei, we jeder mögliche Ausfall etweder i A oder i B liegt. I der Megesprache bedeutet das A B = Ω. Gilt sowohl A B = als auch A B = Ω, da tritt geau eies der beide Ereigisse A oder B ei. Ma sagt da, die Ereigisse A ud B bilde eie Zerlegug vo Ω.. Wahrscheilichkeit Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist eie Maßzahl für die Häufigkeit, mit der das Ereigis eitritt. Um de Begriff der Wahrscheilichkeit zu defiiere, gehe wir folgedermaße vor. Wir wiederhole das Zufallsexperimet (zum Beispiel das Zufallsexperimet Würfel k Mal ud zähle, wie oft ei Ereigis A (zum Beispiel das Ereigis gerade Zahl würfel eitritt. Diese Azahl bezeiche wir mit N k (A. Der Quotiet

14 1 Wahrscheilichkeitstheorie N k (A k ist da der Ateil (relative Häufigkeit der Wiederholuge, bei dee A eitritt. Die Wahrscheilichkeit P (A des Ereigisses A defiiere wir da durch N k (A P (A = lim k k Da ma ei Zufallsexperimet icht uedlich oft wiederhole ka, lässt sich icht etscheide, ob dieser Grezwert existiert. Wir ehme seie Existez eifach a. Wir beweise die grudlegede Eigeschafte ud Recheregel für die Wahrscheilichkeit, die sich aus dieser Defiitio ergebe. Satz 6: Es gilt (a 0 P (A 1 für alle Ereigisse A (b P ( = 0 ud P (Ω = 1 Beweis: Da N k (A die Azahl der isgesamt k Wiederholuge ist, bei dee A eitritt, folgt 0 N k (A k ud daraus 0 N k(a k 1. Mit k gege erhält ma (a. Das Ereigis tritt ie ei. Daher gilt N k ( = 0, woraus P ( = 0 folgt. Das Ereigis Ω tritt immer ei. Daher gilt N k (Ω = k, woraus P (Ω = 1 folgt. Satz 7 (Additiossatz Die Ereigisse A 1, A,..., A seie uvereibar (disjukt, das heißt keie zwei dieser Ereigisse köe gleichzeitig eitrete. Da gilt P (A 1 A A = P (A 1 + P (A + + P (A wobei wir die Megeschreibweise verwedet habe. Geauso köte ma statt auch schreibe. Beweis: Wir wiederhole das Zufallsexperimet k Mal. Die Azahl der Wiederholuge, bei dee A 1 eitritt, ist N k (A 1. Die Azahl der Wiederholuge, bei dee A eitritt, ist N k (A ud so weiter. Daher ist N k (A 1 + N k (A + + N k (A die Azahl der Wiederholuge, bei dee midestes eies der Ereigisse A 1, A,..., A eitritt. Keie der k Wiederholuge wird mehrfach gezählt, da die Ereigisse ja uvereibar sid ud daher bei jeder Wiederholug höchstes eies der Ereigisse A 1, A,..., A eitritt. Adererseits ist A 1 A A gerade das Ereigis, dass midestes eies der Ereigisse A 1, A,..., A eitritt. Daraus folgt N k (A 1 A A = N k (A 1 + N k (A + + N k (A Dividiert ma durch k ud lässt k gege gehe, so folgt das gewüschte Resultat. Aus dem Additiossatz erhält ma weitere Recheregel für die Wahrscheilichkeit. Wir verwede dazu wieder die Megesprache. Satz 8: Seie A ud B Ereigisse. Da gilt (a P (A \ B = P (A P (A B (b B A P (A \ B = P (A P (B (c B A P (B P (A (d P (A = 1 P (A (e P (A B = P (A + P (B P (A B (f P (A B P (A + P (B Beweis: (a Die Ereigisse A \ B ud A B sid disjukt. Ihre Vereiigug ist A. Aus dem Additiossatz folgt daher P (A = P (A \ B + P (A B. Berechet ma daraus P (A \ B, so hat ma (a.

15 Fraz Hofbauer 13 (b Gilt B A, da auch A B = B. Aus (a erhalte wir P (A \ B = P (A P (B ud (b ist gezeigt. (c Aus (b erhalte wir P (A P (B = P (A \ B. Aus Satz 6 (a folgt P (A \ B 0, womit (c gezeigt ist. (d Die Mege A ud A sid disjukt ud ihre Vereiigug ist Ω. Der Additiossatz ergibt daher P (A+P (A = P (Ω. Satz 6 (b besagt, dass P (Ω = 1 gilt. Daraus erhalte wir P (A = 1 P (A ud (d ist gezeigt. (e Die Ereigisse B ud A \ B sid disjukt. Ihre Vereiigug ist A B. Daher erhalte wir aus dem Additiossatz, dass P (A B = P (B+P (A\B gilt. I (a wurde P (A\B = P (A P (A B gezeigt. Setzt ma das ei, so hat ma bereits (e. (f Da P (A B 0 wege Satz 6 (a gilt, folgt (f aus (e. 3. Gleichwahrscheiliche Ausfälle Bei viele Zufallsexperimete habe alle Ausfälle die gleiche Wahrscheilichkeit. Beispiele dafür sid das Werfe eies faire Würfels ud die Lottoziehug. Beim Werfe vo zwei Würfel ud beim mehrmalige Müzewerfe habe wir die Ausfallsmege Ω so gewählt, dass alle Ausfälle gleichwahrscheilich sid. Für eie edliche Mege X sei X die Azahl der Elemete vo X. Der folgede Satz führt das Bereche der Wahrscheilichkeit auf das Abzähle der Elemete vo Mege zurück. Es ist der eizige Satz, der die Megedarstellug der Ereigisse verlagt. Satz 9 (Formel für gleichwahrscheiliche Ausfälle Ei Zufallsexperimet mit edlicher Ausfallsmege Ω habe gleichwahrscheiliche Ausfälle. Sei A Ω ei Ereigis. Da gilt P (A = A Ω Beweis: Sei q die Wahrscheilichkeit, mit der jeder der Ausfälle eitritt, oder geauer, mit der jede eielemetige Teilmege vo Ω eitritt. Sei k = A die Azahl der Elemete der Mege A. Weiters seie A 1, A,..., A k die eielemetige Teilmege vo A. Da diese disjukt sid ud ihre Vereiigug gleich A ist, erhalte wir aus dem Additiossatz, dass P (A = P (A 1 + P (A + + P (A k gilt. Da die Ereigisse A j eielemetig sid, gilt P (A j = q für 1 j k. Es folgt P (A = qk = q A. Damit ist P (A bereits berechet. Es ist ur och q zu bestimme. Dazu setze wir A = Ω ud erhalte P (Ω = q Ω. Nach Satz 6 gilt P (Ω = 1, sodass q = 1 Ω folgt. Damit erhalte wir P (A = q A = A Ω, was zu zeige war. Mit Hilfe dieses Satzes ud de Formel aus der Kombiatorik ka ma jetzt viele Beispiele reche. Beispiel 17: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie gerade Zahl zu würfel? Die Ausfallsmege beim Würfel ist Ω = {1,, 3, 4, 5, 6}. Das Ereigis gerade Augezahl ist A = {, 4, 6}. Da die Ausfälle gleichwahrscheilich sid, gilt P (A = A Ω = 3 6. Beispiel 18: Es wird mit Würfel gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, (a Augesumme 5 zu erhalte? (b dass midestes eie 6 auftritt? Die Ausfallsmege ist Ω = {(i, j : 1 i, j 6}, die Mege aller Paare vo Augezahle. Sie hat 6 = 36 Elemete. Alle Ausfälle sid gleichwahrscheilich. Wir wede Satz 9 a.

16 14 Wahrscheilichkeitstheorie (a Um das Ereigis Augesumme 5 zu bestimme, müsse wir alle Paare vo Augezahle fide, dere Summe 5 ist. Wir erhalte A = {(1, 4, (, 3, (3,, (4, 1}. Das ergibt P (A = A Ω = (b Wir bestimme das Ereigis midestes eie 6, idem wir Ω durchsuche ud erhalte A = {(1, 6, (, 6, (3, 6, (4, 6, (5, 6, (6, 6, (6, 1, (6,, (6, 3, (6, 4, (6, 5}. Das ergibt P (A = A Ω = Beispiel 19: Es wird mit 3 Würfel gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, (a Augesumme 5 zu erhalte? (b dass keie 6 auftritt? (c dass geau zwei Mal 6 auftritt? Die Ausfallsmege ist Ω = {(i, j, k : 1 i, j, k 6}, die Mege aller Tripel vo Augezahle. Sie hat 6 3 = 16 Elemete. Alle Ausfälle sid gleichwahrscheilich. Wir köe Satz 9 awede. (a Das Ereigis Augesumme 5 besteht aus alle Tripel vo Augezahle, dere Summe 5 ist. Wir erhalte A = {(1, 1, 3, (1, 3, 1, (3, 1, 1, (1,,, (, 1,, (,, 1}. Das ergibt P (A = A Ω = (b Das Ereigis keie 6 ist A = {(i, j, k : 1 i, j, k 5}, die Mege aller Tripel, die keie 6 ethalte. Wege A = 5 3 = 15 folgt P (A = A Ω = (c Das Ereigis zwei Mal 6 ist die Mege A aller Tripel, die geau zwei 6 ethält. Ma ka die Mege A aufschreibe. Wir wolle aber versuche, ihre Elemete zu zähle, ohe sie aufzuschreibe. Es gibt ( 3 Möglichkeite, die beide Plätze auszuwähle, auf dee 6 steht. Ist eie Platzaufteilug festgelegt, da gibt es für die beide ausgewählte Plätze ur eie Möglichkeit, ämlich 6, ud für de dritte Platz gibt es 5 Möglichkeite, ämlich alle Augezahle außer 6. Für jede Platzaufteilug gibt es also = 5 Möglichkeite, woraus A = ( 3 5 = 15 folgt. Wir erhalte P (A = A Ω = Beispiel 0: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit mit sechs Würfel sechs verschiedee Augezahle zu erhalte? Die Ausfallsmege Ω ist die Mege aller geordete Stichprobe vom Umfag 6 aus der Mege {1,, 3, 4, 5, 6} mit Zurücklege. Also gilt Ω = 6 6. Das Ereigis sechs verschiedee Augezahle ist die Mege A aller geordete Stichprobe vom Umfag 6 ohe Zurücklege aus der Mege {1,, 3, 4, 5, 6}. Daher gilt A = = 6!. Wir erhalte P (A = A Ω = 6! 6. 6 Bis jetzt habe wir ur Würfelbeispiele gerechet. Diese etspreche geordete Stichprobe aus der Mege {1,, 3, 4, 5, 6}. Wir wolle jetzt ugeordete Stichprobe behadel, wobei so gezoge wird, dass jede Teilmege die gleiche Chace hat drazukomme. Da sid alle Ausfälle gleichwahrscheilich ud wir köe Satz 9 awede. Beispiel 1: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beim Lotto 6 aus 45 vo de sechs Zahle, die ich getippt habe, geau füf gezoge werde? Jetzt ist die Ausfallsmege Ω die Mege aller ugeordete Stichprobe vom Umfag 6, also die Mege aller 6-elemetige Teilmege aus der Mege der erste 45 atürliche Zahle. Somit ist Ω = ( Das Ereigis geau 5 meier getippte Zahle werde gezoge ist die Mege A aller 6-elemetige Teilmege, die füf der 6 getippte ud eie der 39 icht getippte Zahle ethalte. Es gibt ( 6 5 füfelemetige Teilmege aus

17 Fraz Hofbauer 15 de getippte Zahle ud ( 39 1 eielemetige Teilmege aus de ichtgetippte Zahle. Daraus folgt A = ( ( 1. Wir erhalte P (A = A Ω = (6 5( 39 1 ( Beispiel : Aus eiem Kartespiel mit 0 Karte (5 -Karte, 5 -Karte, 5 -Karte ud 5 -Karte werde 7 Karte ohe Zurücklege gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, -Karte, -Karte ud 3 -Karte zu erhalte? Die Ausfallsmege Ω ist die Mege aller 7-elemetige Teilmege aus de 0 Karte. Somit ist Ω = ( 0 7. Das gefragte Ereigis ist die Mege A aller 7-elemetige Teilmege, die -Karte, -Karte ud 3 -Karte ethalte. Da es ( 5 -elemetige Teilmege aus de 5 -Karte, ( ( 5 -elemetige Teilmege aus de 5 -Karte ud elemetige Teilmege aus de 5 -Karte gibt, erhalte wir A = ( ( ( 3. Daraus ergibt sich da P (A = A Ω = (5 ( 5 ( 5 3. ( 0 7 Ma köte die letzte beide Beispiele geausogut mit geordete Stichprobe ohe Zurücklege reche. Im vorletzte Beispiel würde ma ei Ω ud ei A erhalte, das jeweils mit 6! multipliziert ist. Im letzte Beispiel würde ma ei Ω ud ei A erhalte, das jeweils mit 7! multipliziert ist. Die Wahrscheilichkeit P (A wäre i beide Beispiele dieselbe wie die, die wir berechet habe. Das ist immer so. Werde Stichprobe ohe Zurücklege gezoge, da erhält ma dieselbe Wahrscheilichkeite, ob ma die Stichprobe als ugeordete oder als geordete auffasst. Wir werde Stichprobe ohe Zurücklege daher immer als ugeordete auffasse, da sich i diesem Fall die Azahle leichter bereche lasse. 4. Geometrische Wahrscheilichkeit Wieder hat das Zufallsexperimet gleichwahrscheiliche Ausfälle, aber die Ausfallsmege Ω ist icht mehr edlich, soder ei Itervall oder eie Teilmege des R (köte auch R für 3 sei. Aalog zu Satz 9 verwede wir wieder die Formel P (A = A für A Ω Ω wobei X die Läge vo X bedeutet, we X ei Itervall ist, ud X die Fläche vo X bedeutet, we X eie Teilmege des R ist. Wir utersuche eiige Beispiele. Beispiel 3: Jemad lässt seie Uhr auslaufe. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der große Zeiger zwische ud 4 stehe bleibt? Die Ausfallsmege ist Ω = [0, 1, die Mege aller Pukte, i dee der große Zeiger stehe bleibe ka. Das gefragte Ereigis ist A = (, 4. Wir erhalte P (A = A Ω = 1. Beispiel 4: Zwei Persoe treffe folgede Vereibarug. Jede kommt zufällig zwische 5 ud 6 Uhr ud wartet eie Viertelstude. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sie eiader treffe? Die Ausfallsmege ist Ω = [5, 6] [5, 6] = {(x, y : 5 x, y 6}, wobei x der Zeitpukt ist, zu dem die erste Perso kommt, ud y der Zeitpukt, zu dem die zweite Perso kommt. Durch welche Teilmege A wird das Ereigis sie treffe eiader dargestellt? Da jede eie Viertelstude wartet, treffe sie eiader geau da, we ihre Akuftszeitpukte

18 16 Wahrscheilichkeitstheorie x ud y höchstes 1 4 voeiader etfert sid. Das heißt A = {(x, y Ω : x y 1 4 }. Wege Ω = 1 ud A = = folgt P (A = 16. Beispiel 5: Sei 0 < t < 1. Zwei Zahle x ud y werde zufällig im Itervall [0, 1] gewählt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ihr Produkt t ist? Die Ausfallsmege ist Ω = [0, 1] [0, 1] = {(x, y : 0 x, y 1}. Das gefragte Ereigis ist A = {(x, y Ω : xy t}. Es gilt Ω = 1. Die Fläche A vo A erhält ma als Summe der Fläche des Rechtecks [0, t] [0, 1] ud der Fläche über dem Itervall [t, 1] uter der Fuktio x t x. Diese Fläche ist t + 1 t P (A = A Ω = t t l t. 5. Bedigte Wahrscheilichkeit t x dx = t t l t. Wir erhalte Wir führe ei Zufallsexperimet durch ud iteressiere us dafür, ob das Eitrete eies Ereigisses B ei aderes Ereigis A begüstigt. Dazu wiederhole wir das Zufallsexperimet k Mal. Wir berücksichtige jedoch ur die Wiederholuge, wo das Ereigis B eitritt. Uter diese zähle wir die Häufigkeit des Ereigisses A. Diese ist die Azahl der Wiederholuge, wo A ud B eitrete, also N k (A B, wobei wir die Bezeichug aus Kapitel verwede. Die bedigte relative Häufigkeit des Eitretes vo A uter B ist da N k (A B/N k (B. Lässt ma k gege gehe, so erhält ma wieder eie Wahrscheilichkeit, diesmal die bedigte Wahrscheilichkeit des Ereigisses A uter der Bedigug B (oder gegebe B, die mit P (A B bezeichet wird. Wir defiiere also P (A B = lim N k(a B/N k (B k Die bedigte Wahrscheilichkeit P (A B ist eie Maßzahl für die Häufigkeit des Eitretes vo A uter de Wiederholuge des Zufallsexperimets, bei dee B eitritt. Gilt P (A B > P (A, da sagt ma, dass das Ereigis A durch das Eitrete vo B begüstigt wird. Gilt P (A B < P (A, da sagt ma, dass das Ereigis A durch das Eitrete vo B beachteiligt wird. Gilt P (A B = P (A, da sagt ma, die Ereigisse A ud B sid uabhägig. Aus de Defiitioe vo Wahrscheilichkeit ud bedigter Wahrscheilichkeit folgt P (A B = lim k N k (A B N k (B = lim k N k (A B/k N k (B/k = P (A B/P (B Die Defiitio vo uabhägig ist P (A B = P (A. Wege P (A B = P (A B/P (B ist das äquivalet zu P (A B = P (AP (B. Die Bedigug B ka ma als scho vorhadee Iformatio auffasse. Wird ach der Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A gefragt, ud weiß ma, dass B eigetrete ist, so berechet ma icht P (A soder P (A B. Dazu folgedes Beispiel ud zuvor ei Satz, der bei der Berechug der bedigte Wahrscheilichkeit hilft. Satz 10: Sid alle Ausfälle gleichwahrscheilich, da gilt P (A B = A B B. Beweis: Da die Ausfälle gleichwahrscheilich sid, habe wir P (A B = A B Ω P (B = B P (A B Ω. Es folgt P (A B = P (B = A B B. Beispiel 6: Es wird zweimal gewürfelt. Ma erfährt, dass die Augesumme 7 ist. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass midestes eimal 6 aufgetrete ist. ud

19 Fraz Hofbauer 17 Die Ausfallsmege Ω ist die Mege aller Paare vo Augezahle. Sie hat 36 Elemete. Gefragt ist ach dem Ereigis A, dass midestes eimal 6 aufgetrete ist. Das Ereigis A wurde i Beispiel 18 bestimmt. Wir habe die Iformatio, dass die Augesumme 7 ist, also dass das Ereigis B = {(1, 6, (, 5, (3, 4, (4, 3, (5,, (6, 1} eigetrete ist. Zu bereche ist daher P (A B. Es gilt A B = {(1, 6, (6, 1}, also A B =, ud B = 6. Aus Satz 10 folgt P (A B = 6. Eier der wichtigste Sätze, die mit bedigte Wahrscheilichkeite zu tu habe, ist der sogeate Multiplikatiossatz. Er berechet die Wahrscheilichkeit des Durchschitts vo Ereigisse. Satz 11 (Multiplikatiossatz Für Ereigisse A 1, A,..., A gilt P (A 1 A A = P (A 1 P (A A 1 P (A 3 A 1 A... P (A A 1 A 1 Es wird dabei vorausgesetzt, dass die Ereigisse, die als Bediguge auftrete, Wahrscheilichkeit > 0 habe. Beweis: Wir habe P (A A 1 = P (A 1 A P (A 1, ebeso P (A 3 A 1 A = P (A 1 A A 3 P (A 1 A ud so fort bis P (A A 1 A 1 = P (A 1 A A P (A 1 A 1. Setzt ma das i die rechte Seite der Formel ei, so kürzt sich alles weg, es bleibt ur die like Seite übrig. Typische Awedugsbeispiele für de Multiplikatiossatz sid geordete Stichprobe. Dazu gehört auch wiederholtes Würfel ud Müzewerfe. Beispiel 7: Aus eier Mege vo rote ud 5 gelbe Kugel zieht ma eie geordete Stichprobe vom Umfag 3. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, zuerst eie rote, da eie gelbe ud zuletzt wieder eie rote Kugel zu ziehe? Sei A 1 das Ereigis erste Kugel ist rot, A das Ereigis zweite Kugel ist gelb ud A 3 das Ereigis dritte Kugel ist rot. Gesucht ist P (A 1 A A 3. Aus dem Multiplikatiossatz folgt P (A 1 A A 3 = P (A 1 P (A A 1 P (A 3 A 1 A. Wir müsse also die drei Wahrscheilichkeite, dere Produkt auf der rechte Seite steht, bereche. Wir bereche diese Wahrscheilichkeite zuerst für de Fall, dass icht zurückgelegt wird. Da die Mege rote ud 5 gelbe Kugel ethält, folgt P (A 1 = 7. Wir bereche P (A A 1. Die Bedigug A 1 besagt, dass beim erste Zug eie rote Kugel gezoge wurde, die Mege beim zweite Zug also ur mehr 1 rote ud 5 gelbe Kugel ethält. Daraus ergibt sich P (A A 1 = 5 6 als bedigte Wahrscheilichkeit, beim zweite Zug eie gelbe Kugel zu ziehe. Wir bereche P (A 3 A 1 A. Die Bedigug A 1 A besagt, dass bei de erste beide Züge eie rote ud eie gelbe Kugel gezoge wurde, die Mege beim dritte Zug also ur mehr 1 rote ud 4 gelbe Kugel ethält. Daraus ergibt sich P (A 3 A 1 A = 1 5 als bedigte Wahrscheilichkeit, beim dritte Zug eie rote Kugel zu ziehe. Die gesuchte Wahrscheilichkeit, bei Ziehe ohe Zurücklege zuerst eie rote, da eie gelbe ud zuletzt wieder eie rote Kugel zu ziehe, ist also Jetzt behadel wir de Fall, dass zurückgelegt wird. Die Mege ethält rote ud 5 gelbe Kugel, daher gilt wieder P (A 1 = 7. Da zurückgelegt wird, wird die Mege durch de erste Zug icht verädert. Beim zweite Mal wird wieder aus derselbe Mege gezoge, sodass P (A A 1 = 5 7 gilt. Dasselbe gilt für de dritte Zug. Auch beim dritte Mal wird aus der ursprügliche Mege gezoge, sodass P (A 3 A 1 A = 7 gilt. Die

20 18 Wahrscheilichkeitstheorie gesuchte Wahrscheilichkeit, bei Ziehe mit Zurücklege zuerst eie rote, da eie gelbe ud zuletzt wieder eie rote Kugel zu ziehe, ist also Bei viele Beispiele tritt der Multiplikatiossatz i Kombiatio mit dem Additiossatz auf. Dabei wird das Ereigis, ach desse Wahrscheilichkeit gefragt wird, i uvereibare Teilereigisse zerlegt. Die Wahrscheilichkeite der Teilereigisse berechet ma mit dem Multiplikatiossatz. Der Additiossatz liefert da die gesuchte Wahrscheilichkeit als Summe der Wahrscheilichkeite der Teilereigisse. Oft wird die Lösug solcher Beispiele i Form eies Baumes aufgeschriebe. Hier wird eie Tabelleschreibweise verwedet. Beispiel 8: Aus eier Mege vo rote ud 5 gelbe Kugel zieht ma eie geordete Stichprobe vom Umfag 3. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie ugerade Azahl vo gelbe Kugel zu erhalte? Wir kürze rote Kugel mit R ud gelbe Kugel mit G ab. Das Ereigis ugerade Azahl vo gelbe Kugel tritt geau da ei, we GGG, GRR, RGR oder RRG gezoge wird. Es lässt sich i diese vier uvereibare Teilereigisse zerlege. Wir behadel zuerst de Fall, dass ohe Zurücklege gezoge wird. I Beispiel 7 wurde als Wahrscheilichkeit für das Ereigis RGR gefude. Geauso fidet ma die Wahrscheilichkeite der adere Teilereigisse. Wir tu das i folgeder Tabelle: Teilereigis Wahrscheilichkeit ach dem Multiplikatiossatz GGG = GRR = RGR = RRG = Summe (ach dem Additiossatz = Da die Teilereigisse uvereibar sid, erhält ma die Wahrscheilichkeit des gefragte Ereigisses mit dem Additiossatz durch Aufsummiere der Wahrscheilichkeite der Teilereigisse. Das wurde bereits i der Tabelle durchgeführt. Die Wahrscheilichkeit, eie ugerade Azahl vo gelbe Kugel zu erhalte, ist 90 10, we icht zurückgelegt wird. Zieht ma die Stichprobe mit Zurücklege, da ka ma geauso vorgehe. Die etsprechede Tabelle sieht so aus: Teilereigis Wahrscheilichkeit ach dem Multiplikatiossatz 5 GGG = GRR = RGR = RRG = Summe (ach dem Additiossatz = Die Wahrscheilichkeit, eie ugerade Azahl vo gelbe Kugel zu erhalte, ist , we zurückgelegt wird.