5. Lokale Suchverfahren. Beispiel TSP: k-change Nachbarschaft. Nachbarschaft. k-opt Algorithmus

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1 5. Lokale Suchverfahren Lokale Suche 5. Lokale Suchverfahren Beispiel TSP: k-change Nachbarschaft Optimale Lösungen können oft nicht effizient ermittelt werden. Heuristiken liefern zwar zulässige Lösungen, aber häufig keine zufriedenstellenden Ergebnisse. Lokale Suche: Man bestimmt durch Suche in einer Teilmenge der zulässigen Lösungen eine gute Lösung. Hierzu wird ausgehend von einer zulässigen Lösung x die Nachbarschaft von x untersucht. Definition 5.2. Es sei x eine TSP-Tour und k IN, k 2. Die k-change Nachbarschaftsfunktion N k ist definiert durch: N k (x) := {x x ist eine TSP Tour, die aus x durch den Austausch von k Kanten entsteht} Eine Tour x, die unter allen Touren N k (x) minimale Länge hat, heißt k-optimal. Post-Optimierung Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Nachbarschaft k-opt Algorithmus Definition 5.1. Es sei X die Menge der zulässigen Lösungen zu einem Optimierungsproblem. Eine Nachbarschaftsfunktion N ist eine Funktion der Art: N : X P(X). Die Nachbarschaftsfunktion ordnet jeder zulässigen Lösung eine Teilmenge der zulässigen Lösungen zu. Algorithmus 5.1. Es sei w die Längenfunktion für ein TSP. Wähle eine zulässige Tour x. while x N k (x) mit w(x ) < w(x) do wähle ein x N k (x) mit w(x ) < w(x) x x end Für eine zulässige Lösung x X heißt N(x) die Nachbarschaft von x. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/08 106

2 Bemerkungen: 5. Lokale Suchverfahren Escaping Local Optima Verfahren Ermittlung der Starttour: Heuristik oder zufällig Möglichkeiten zur Auswahl von x N k (x): First Improvement Steepest Descent Größe von k? O(n k ) Schritte für jede Iteration der while-schleife. Anzahl der notwendigen Iterationen kann nicht prognostiziert werden. Häufig sinnvoll: Variation von k Untere Schranken zur Güteabschätzung Simulated Annealing schlechtere zulässige Lösungen werden mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit akzeptiert Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit für schlechtere Lösungen konvergiert gegen 0. Tabu Search schlechtere Lösungen aus der Nachbarschaft werden akzeptiert Um bei der nächsten Iteration nicht wieder zum lokalen Optimum zurückzukehren, wird der Rückweg verboten (ist tabu). Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Lokale Suchverfahren Escaping Local Optima Escaping Local Optima 5. Lokale Suchverfahren Simulated Annealing Simulated Annealing Nach einigen Iterationen stecken wir im lokalen Optimum fest. Wie können wir aus dem lokalen Optimum ausbrechen? simpler Ansatz: zufällig irgendwo neu starten intelligenter: Rückwege durch ein Gedächtnis verbauen. Durch einen sich verändernden Parameter die Nachbarschaft beeinflussen. Physical System Optimization Problem state feasible solution energy evaluation function ground state optimal solution rapid quenching local search temperature control parameter T careful annealing simulated annealing Mehr zu Simulated Annealing im Teil von Frau von der Hude. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/08 110

3 Tabu Search Ein Gedächtnis zwingt den Suchprozess zu neuen Gebieten des Suchraums zu gehen. Hierzu wird verboten, zu den zuletzt betrachteten zulässigen Lösungen zurückzukehren. Nachbarschaft: N(x) = {x 8 x i x i 1} i=1 In N(x) liegen alle Lösungen, die sich von x in höchstens einer Variablen unterschieden. Damit besteht die Nachbarschaft stets aus genau 8 anderen Lösungen (außer x). Tabu Search ist vom Ansatz her deterministisch. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Beispiel: Tabu Search für SAT Memory Gegeben ist eine Formel der Aussagenlogik (in konjunktiver Normalform). Gibt es ein Modell für diese Formel? Wir gehen von n Variablen aus. Initiale Lösung: x = (x 1,...,x 8 ) x = (0,1, 1,1, 0, 0,0, 1) Maximierung der gewichteten Summe der erfüllten Klauseln Wir merken uns für jede Iteration, welche Variable einen anderen Wert erhalten hat. M(i) = j wobei j die letzte Iteration ist, in der Variable i geändert wurde. j = 0 steht für niemals geändert. Andere mögliche Interpretation: j gibt die Anzahl an Iterationen an, für die ein Austausch der Variablen i verboten ist. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/08 114

4 Wenn der Austausch von x 3 in der ersten Iteration den besten Zielfunktionswert liefert, lautet das Gedächtnis danach (mit der zweiten Interpretation): Wenn in den ersten fünf Iterationen die Werte x 3, x 7, x 1,x 6,x 4 getauscht wurden, lautet das Gedächtnis: Die aktuelle Lösung lautet jetzt: x = (1,1, 0,0, 0, 1,1, 1) Aspiration Criterion Angenommen, einer der Tabu Lösungen liefert eine neue beste Lösung. Sollten wir diese nicht doch akzeptieren? In dieser außergewöhlichen Situation: ja! Aspiration Die Nachbarschaft enthält acht Elemente, aber davon dürfen nur drei Elemente ausgewählt werden. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Tabu Search wählt von den erlaubten zulässigen Lösungen der Nachbarschaft die beste auch. Struktur des Gedächtnisses Die ausgewählte zulässige Lösung muß nicht besser sein als die bisher beste! Hierdurch kann man einem lokalen Optimum entkommen. Beispiel bisher: recency-based memory Andere Möglichkeit: frequency-based memory operiert über einen längeren Horizont zählt z.b. die Häufigkeit des Variablenaustausches Diese Struktur kann z.b. in Verbindung mit einer Straffunktion genutzt werden. Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/08 118

5 Straffunktion 5. Lokale Suchverfahren TSP mit Tabu Search Erfahrungswerte zum TSP Häufig ausgewählte Variablen sollen unattraktiver werden. Zielfunktionswert wird durch eine Straffunktion penalty(x) vermindert. Bewertung einer zulässigen Lösung x: bewertung(x) = zielfunktion(x) penalty(x) Beispiel: penalty(x ) = 0.7 H(i) wenn für den Übergang von x nach x das i-te Bit getauscht werden muß. Knox, J., Tabu Search Performance on the Symmetric Traveling Salesman Problem, Computer Operations Research, Vol. 21, No. 8, pp Länge der Tabuliste: 3n MAX TRIES = 4 ITER = n 4 Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/ Lokale Suchverfahren TSP mit Tabu Search TSP mit Tabu Search Repräsentation der Touren als Folge der Städte Beispiel: (2, 4,7, 5,1, 8,3, 6) für n = 8 Nachbarschaft: Vertauschung zweier Städte Hier: ( 8 2) Touren in der Nachbarschaft Memory hat dann die Struktur einer oberen Dreiecksmatrix Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 07/08 120

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