1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D
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- Sarah Kneller
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1 Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R { } a, R Die Elemente von R ezeichnet man, zur Unterscheidung von Vektoren, auch als Skalare. Vektorvarialen schreien wir mit einem Pfeil, z.b. x. Variale für Skalare sind ülicherweise (aer nicht immer griechische Buchstaen. Als Paare sind Vektoren genau dann gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind: ( c d a c d Auf ihnen ist natürlicherweise eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren definiert: ( ( ( a c a c : d d λ : ( λ a λ Die Axiome für einen Vektorraum lauten: Die Vektorraumaxiome Sei V eine Menge und K ein Körper. Weiter sei : V V V eine innere Veknüpfung von V und : K V V eine äußere Veknüpfung von Elementen aus K und V. V heißt ein Vektorraum üer K, wenn für alle u, v, w V und alle α, β K gilt: V v w w v V ( v w u v ( w u V3 V : v v V4 zu v ex. v mit v ( v V5 (α β v α v β v V6 (αβ v α(β v V7 α ( v w α v α w V8 v v Eigenschaften: : kurz: x x. ( ist das Neutralelement der Addition: ( Die Addition von Vektoren ist kommutativ: x y y x ( ( ( a a a Das additive Inverse eines Vektors ist der Vektor ( Die Vektoraddition ist assoziativ: (( ( ( ( ( x y z x y z x y z x y z ( ( (x y z x (y z (x y z x (y z ( ( ( (( ( x y z x y z x y z x y z
2 Weiter gilt: (( x x ( y y ( x y λ x y ( ( λ(x y λx λy λ(x y λx λy ( ( ( ( λx λy x y λ λ λx λy x y Üung: Beweisen Sie die restlichen Vektorraumaxiome Bemerkung:. Sei v. Dann ist { a t v t R} {a tv t R} die Gerade durch a in Richtung v. ( a Jeder Vektor läßt sich eindeutig schreien als a Die Vektoren e und e heißen auch die kanonischen (natürlichen Basisvektoren von R. ( x Definition:. Die Länge eines Vektors x ist definiert als: x : x ( x x R. Der Astand zweier Vektoren x und y ist definiert als x y 3. Ein Vektor x mit x heißt Einheitsvektor Unmittelare Ergenisse: x x, λ x (λx (λx λ x. Für x ist x x ein Einheitsvektor, denn x x x x x x Bemerkung : Für Vektoren x und y ist x y der Mittelpunkt Grund: x y x y x x y x y x y y Bemerkung: Wir etrachten für x den Ausdruck y t x : λ (x x λ x
3 Üung: Nachrechnen Diese Gleichung zeigt uns: x Der Ausdruck wird minimal für t x y x y x Es ist x y (x y x y x, also y t x (y tx (y ty { t x } y x y x x y (x y x y x x y (x y x y x y x y x y { x y x y x y } { x y x y x y } Daher ist und schließlich: x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y Satz: Dreiecksungleichung: Grund: x y x y x y (x y (x y x x y y (x y x y x y (x y x y x y x y ( x y ( ( x y Definition: Für zwei Vektoren x, y ist das Skalarprodukt definiert als: x y x y : x y x y
4 Warnung: Für Vektoren x, y, z gilt nicht: x ( y z ( x y z: aer ( 3 Bemerkung: Ist x, y, so gilt (siehe Zeichnung: Insgesamt also: und also für x ( 3 x y cos φ cos φ x x y y x y x y cos φ y x y [, π] ( oder anders gesagt: Das Skalarprodukt ist die Länge der Projektion von y auf x, falls x ein Einheitsvektor ist. Folgerung: Ist einer der eiden am Skalarprodukt eteiligten Vektoren ein Einheitsvektor, so ist das Skalarprodukt die Länge der Projektion auf den Einheitsvektor. x y x y Definition: Für a,, c, d R ist eine Matrix ein quadratisches Schema der Form ( a c d Eine solche Matrix definiert eine Aildung R R durch ( ( ( a x ax y : y cx dy ( a a Die Menge aller Matrizen ezeichnen wir mit M (R. Zwei Matrizen und ( a a sind dann und nur dann gleich, wenn a ij ij gilt. ( ( ( x Beispiel:i Die Matrix eschreit die Spiegelung an der x Achse, denn ( y x. y ( ( ii Die Matrix eschreit eine Streckung in y Richtung um den Faktor, denn ( ( x x. y y ( cos ϕ sin ϕ iii Die Matrix eschreit eine Drehung um den Winkel ϕ gegen den Uhrzeigersinn sin ϕ cos ϕ um den Urpsrung. ( ( ( ( cos ϕ sin ϕ x x cos ϕ y sin ϕ x Grund:. Schließt nun der Vektor mit der sin ϕ cos ϕ y x sin ϕ y cos ϕ y positiven x Achse den Winkel ψ ein, so gilt: ( ( x cos ψ r y sin ψ mit r x y, ψ [, π. Also gilt: ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ( x y
5 ( ( cos ϕ sin ϕ r cos ψ sin ϕ cos ϕ r sin ψ ( r (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ r (sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ Wegen der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus ist das gleich ( cos(ϕ ψ r sin(ϕ ψ also der Vektor, mit derselen Länge wie einschließt. ( x y Satz: Seien x, y R, λ R, A M (R, so gilt:, der mit der positiven x Achse den Winkel ϕ ψ A( x y A x A y Grund: Sei x ( x x ( y, y y A(λ x λ (A x, A, so ist ( ( a x y A( x y x y ( a(x y (x y c(x y d(x y ( ( ax x ay y A x A y cx dx cy dy und. ( ( a λx A(λ x λx ( λ (ax x λ (A x λ (cx dx Definition (Addition von Matrizen: ( ( e f a e f g h c g d h oder anders gesagt: Die Addition von Matrizen erfolgt komponentenweise. ( Bemerkung: Einige Eigenschaften der Addition von Matrizen sind unmittelar klar: ist das ( ( a a Neutralelement der Addition, das additive Inverse zu. Für A, B, C M c d (R gilt: A B B A und A (B C (A B C Definition (Multiplikation von Matrizen mit Skalaren: ( ( a λa λ λ : λc λd Bemerkung: Auch hier sind einige Eigenschaften wieder unmittelar klar: λ(a B λa λb, (λ µa λa µa, (λµa λ(µa
6 Definition: Für eine Matrix A definieren wir Spur(A : a d det(a ad c ( ( ( x y x y Bemerkung: Für Vektoren x, y ist det die Fläche des von x und y x y x y aufgespannten Parallelogramms. Insesondere ist die Determinante genau dann, wenn x und y auf einer Geraden liegen. ( ( a e f Definition: i Für zwei Matrizen A, B ist das Matrizenprodukt definiert als g h ( ( ( A B e f A, A ae g a f h g h }{{}}{{} ce dg c f dh. Spalte. Spalte ( ii Für die Matrix A definieren wir: A : d, falls det A. det(a c a Bemerkung:i Das Matrizenprodukt ist assoziativ. Neutralelement ist die Matrix E die Matrizenoperationen und gilt das Distriutivgesetz. Für A gilt: A A A A E.. Für ii Zwei für Körper gültige Dinge gelten für Matrizen nicht: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: ( ( ( Nicht jede Matrix A ( hat ein Inverses zgl. der Matrizenmultiplikation: ( a, für alle a,, c, d R. Beispiel: Multiplizieren wir zwei Drehmatrizen miteinander ( ( cos(φ sin(φ cos(ψ sin( ψ sin(φ cos(φ sin(ψ cos(ψ ( cos(φ cos(ψ sin(φ sin(ψ (cos(φ sin(ψ sin(φ cos(ψ sin(φ cos(ψ cos(φ sin(ψ sin(φ sin(ψ cos(φ cos(ψ ( cos(φ ψ sin(φ ψ, sin(φ ψ cos(φ ψ so erhalten wir die Drehmatrix für den Winkel φ ψ. Satz: Für Matrizen A und B gilt: det(a B det(a det(b, Spur(A B Spur(B A Grund: Nachrechnen
7 Folgerung: det(a det(a Grund: det(e det(a A det(a det(a ( a Beispiel: Für A ist x det x x Spur(Ax det(a Diesen Ausdruck nennt man auch das charakteristische Polynom von A.
A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix
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