5. Vektor- und Matrizenrechnung

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1 Ü F-Studiengng Angewndte lektronik, SS 6 Üungsufgen zur Lineren Alger und Anlysis II Vektor- und Mtrizenrechnung Für die Vektoren = (,,,) und = (,,,) erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ), die Längen, sowie den Winkel zwischen und Mn zeige: () Die Vektoren (,,), (,,), (,,), (,,) im sind liner hängig () Die Vektoren (,,), (,,) und (,,) im sind liner unhängig Für welchen Wert des Prmeters stehen die Vektoren = (,8,) und = (,,) ufeinnder norml? Mn leite die Formel her y cos für den Winkel zwischen zwei Vektoren und y y (Anleitung: Mn etrchte ds Dreieck mit den Seitenvektoren, y, y und wende druf den Cosinusstz n: y y y cos ) Gegeen seien die Mtrizen 6 A, B () Mn erechne A T, A B, A B () Welche Mtri X erfüllt die Gleichung A + X = B T? 6 u den Mtrizen A, A, A ilde mn lle Produkte A i A j (i, j =,,), welche definiert sind 7 in Produzent verreite die Rohstoffe R, R, R Der Verruch der Rohstoffe während vier Wochen eines Monts sei wie folgt gegeen: Woche / Rohstoff R R R Woche 8 Woche 6

2 Ü Woche 7 8 Woche 7 9 Diese Rohstoffe sollen ei einem von zwei Liefernten L, L ezogen werden, woei die Rohstoffpreise in nchstehender Telle ngegeen sind: Rohstoff / Liefernt L L R 8 R 6 R 7 8 Mn vergleiche die Rohstoffkosten für lle vier Wochen Soll der Produzent eim Liefernten L oder L estellen? cos sin cos sin 8 Sei A Mn zeige, dss dnn A gilt und dss sin cos sin cos cos sin die zu A inverse Mtri durch A gegeen ist (dh dss A A sin cos gilt) 9 Jede qudrtische Mtri A knn ls Summe einer symmetrischen Mtri B (mit B = B T ) und einer schiefsymmetrischen Mtri C (mit C = C T ) geschrieen werden knn Dzu wählt mn B = (/)(A + A T ) und C = A B Wie sieht diese erlegung konkret für die Mtri us? A in Produktionsprozess, in den die Produkte R, R,,, eingeunden sind, werde durch die folgende Gozintomtri D eschrieen: D R R 7 Mn zeichne den zugehörigen Gozintogrphen Ferner estimme mn die Mtri D und interpretiere deren lemente rechnerisch und grphisch Dem nchstehend geildeten Gozintogrphen entnehme mn die Gozintomtri D und erechne drus (mit ilfe von MATLAB) die Gesmtedrfsmtri G Welche Mengen der Rohstoffe und enötigt mn insgesmt für die erstellung von inheiten, inheiten und inheiten? R R

3 Ü 6 6 in Produktionsschem zur Fertigung von ndprodukten,, us den Rohstoffen, sei durch die untenstehende Gozintomtri D gegeen Mn estimme die hl jener wischenschritte, die ein Rohstoff miml durchläuft, ehe er indirekt für ein ndprodukt verwendet wird, und erechne den Rohstoffedrf für inheiten, inheiten und 7 inheiten (Mn rechne mit MATLAB) Die folgenden drei Mtrizen A, B, C eschreien einen Produktionsprozess, ei dem zuerst us den Rohstoffen,, c, d die wischenprodukte,, hergestellt werden, us diesen werden dnn die lfertigprodukte,,,, hergestellt, und us diesen zuletzt die eiden ndprodukte, d c A,

4 Ü6 C, B Mn ermittle den Rohstoffedrf, wenn Mengeneinheiten von, inheiten von und uf Vorrt je 6 inheiten von,, produziert werden sollen (Mn führe die Berechnungen mit MATLAB durch) Mn erechne die Determinnte einml durch ntwicklung nch einer elieigen eile und einml durch ntwicklung nch einer elieigen Splte Mn erechne die folgende Determinnte zuerst mit der nd und üerprüfe nschließend mit dem Computer: Mn wähle eine elieige -Mtri M und untersuche (mit ilfe von MATLAB), wie sich die Determinnte M ei (i) Vertuschen zweier eilen oder Splten, (ii) Multipliktion einer eile oder Splte mit einem konstnten Fktor, (iii) Addition eines Vielfchen einer eile oder Splte zu einer nderen eile zw Splte verhält 7 Sei 7 A Mn zeige, dss A nichtsingulär ist und erechne A Schließlich ermittle mn AA sowie A A 8 Mn löse ds linere Gleichungssystem:

5 Ü7 9 Mn löse ds folgende Gleichungssystem: Die Nchfrgefunktionen für drei Produkte P, P, P seien N p p p, N p p, N p p, die entsprechenden Angeotsfunktionen luten 9p, A p, A p A Mn estimme Preise und Mengen der umgesetzten Güter für den Fll, dss lle drei Wren im Gleichgewicht von Angeot und Nchfrge stehen Mn löse ds Gleichungssystem für die Stromverteilung im elektrischen Netzwerk (siehe Vorlesung) uf systemtischem Weg Gesucht sind sämtliche Lösungen des lineren Gleichungssystems Mn untersuche die Lösrkeit folgender Gleichungssysteme und erechne gegeenenflls lle ihre Lösungen: () () 7 (c) 6 9 (d) Mn estimme den Rng der folgenden Mtri: A

6 Ü8 s soll untersucht werden, in welcher Weise sich der Preis eines ndprodukts uf die verschiedenen Produktionsfktoren ufteilt: Drei Wren A, B, C werden unter Verwendung der Produktionsfktoren Boden, Areit und Kpitl hergestellt Wie viele inheiten dieser Fktoren in die Produktion je einer inheit der ndprodukte eingehen, wird durch die Produktionskoeffizienten in nchstehender Telle ngegeen Die Preise der drei Produkte seien p A = 7, p B = 6, p C = 9 Mn estimme die Preise je einer inheit der drei Fktoren, dh Bodenrente, Lohnstz und insstz ei dem etrchteten Produktionsprozess ndprodukt A B C Boden Fktor Areit Kpitl 6 Mn finde den kleinsten und den größten Wert der ielfunktion unter den Neenedingungen z = + 6, 7 in Betrie möchte vier Produkte P, P, P, P herstellen, mit welchen sich ein rlös von,-,,-,,- zw,- pro inheit erzielen lässt ur Produktion werden drei Apprturen I, II und III enötigt, die er nur für eine eschränkte eit zur Verfügung stehen Der Bedrf n Areitszeit dieser Apprturen zur erstellung eines jeden der vier Produkte sowie die jeweiligen eiteschränkungen für den instz der Apprturen sind in folgender Telle ngegeen Wie soll der Produktionspln gewählt werden, um den Gesmterlös zu mimieren? Die zeitlichen Beschränkungen der Apprturen sollen dei voll usgeschöpft werden Areitszeit (in h) zur Produktion einer inheit zeitliche Beschränkung (in h/woche) P P P P I 6 8 Apprtur II 6 III Mn estimme sämtliche igenwerte und igenvektoren der Mtri A Git es zwei igenvektoren von A, die ufeinnder norml stehen und Länge hen?

7 Ü9 9 Mn erechne sämtliche igenwerte und igenvektoren der Mtri A Mn erechne (mit ilfe von MATLAB) sämtliche igenwerte und igenvektoren der Mtri B

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