S.L. Salas/Einar Hille. Calculus. Einführung in die Differential- und Integralrechnung

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1 * S.L. Salas/Einar Hille Calculus Einführung in die Differential- und Integralrechnung Aus dem Amerikanischen von Michael Basler, Thomas Lange und Karl-Heinz Lotze Mit 670 Abbildungen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 V. INHALTSVERZEICHNIS 1 Einführung Was ist Calculus? Bezeichnungen und Formeln der Elementarmathematik Einige Aufgaben mit Geraden Ungleichungen Ungleichungen und absolute Beträge Funktionen Die Verkettung von Funktionen Eineindeutige Funktionen. Umkehrfunktionen Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen Übungsaufgaben 43 2 Grenzwerte und Stetigkeit Die Idee des Grenzwertes Die Definition des Grenzwertes Einige Grenzwertsätze Stetigkeit Der Einzwängungssatz.Trigonometrische Grenzwerte Zwei grundlegende Sätze Übungsaufgaben 89 3 Differentiation Die Ableitung Einige Ableitungsformeln Die J/Jx-Schreibweise. Ableitungen höherer Ordnung Die Ableitung als Änderungsrate Geschwindigkeit und Beschleunigung. Freier Fall Die Kettenregel Die Ableitungen trigonometrischer Funktionen Die Ableitungen inverser Funktionen. Gebrochene Potenzen Zusätzliche Differentiationsübungen Implizites Ableiten 140

3 VIII 3.11 Änderungsraten pro Zeiteinheit Differentiale. Newton-Raphson-Approximationen Übungsaufgaben Der Mittelwertsatz und seine Anwendungen Der Mittelwertsatz Monoton wachsende und fallende Funktionen Lokale Extremwerte Endpunkt- und absolute Extremwerte Einige Minimax-Probleme Konkavität. Konvexität. Wendepunkte Kurvendiskussionen " Vertikale und horizontale Asymptoten. Vertikale Tangenten und Rückkehrpunkte Weitere Minimax-Aufgaben Übungsaufgaben Integration Die Berechnung von Flächeninhalten und Wegstrecken Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion Die Funktion F(x) = f*f(t)dt Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung Beispiele zur Berechnung von Flächeninhalten Unbestimmte Integrale Beispielaufgaben mit bewegten Objekten Variablensubstitution Integration von Winkelfunktionen Weitere Eigenschaften bestimmter Integrale Die Mittelwertsätze der Integralrechnung Das Integral als Grenzwert Riemannscher Summen Übungsaufgaben Einige Anwendungen des Integrals Nochmals zum Flächeninhalt Volumenberechnung durch parallele Querschnitte. Scheiben und Ringe Volumenberechnung nach der Schalenmethode Der geometrische Mittelpunkt einer Fläche. Der Volumensatz von Pappos Der Begriff Arbeit Die Kraft auf einen Damm Das Gravitationsgesetz von Newton Übungsaufgaben 291

4 i IX 7 Transzendente Funktionen Der Logarithmusbegriff Die Logarithmusfunktion, Teil Die Logarithmusfunktion, Teil II Die Exponentialfunktion Beliebige Potenzen, andere Basen und eine Abschätzung für e Exponentielles Anwachsen und Abfallen. Zinseszins Partielle Integration Die einfache harmonische Bewegung Nochmals zur Integration trigonometrischer Funktionen Die inversen trigonometrischen Funktionen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Die anderen Hyperbelfunktionen Übungsaufgaben Integrationstechniken Wiederholung Partialbrüche Potenzen und Produkte von Sinus und Kosinus Potenzen trigonometrischer Funktionen Integrale, die \fa 2 ± x 2 und Vx 2 ± a 2 enthalten Einige rationalmachende Substitutionen Numerische Integration Übungsaufgaben Kegelschnitte Einleitung Translationen. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Parabel Die Ellipse Die Hyperbel Drehungen. Eliminieren des xy-terms Übungsaufgaben Polarkoordinaten. Parametergleichungen Polarkoordinaten Grafische Darstellungen in Polarkoordinaten Die Kegelschnitte in Polarkoordinaten Schnitte von Polarkurven Der Flächeninhalt in Polarkoordinaten Parametrisch gegebene Kurven Tangenten an parametrisch gegebene Kurven 460

5 * X 10.8 Das Axiom der kleinsten oberen Schranke Bogenlänge und Schnelligkeit Der Inhalt einer Rotationsfläche. Der geometrische Mittelpunkt einer Kurve. Der Satz von Pappos über den Oberflächeninhalt Die Zykloide Übungsaufgaben Folgen. Unbestimmte Ausdrücke. Uneigentliche Integrale Folgen reeller Zahlen Der Grenzwert einer Folge Einige wichtige Grenzwerte Der unbestimmte Ausdruck (0/0) Der unbestimmte Ausdruck (oo/oo) Uneigentliche Integrale Übungsaufgaben Unendliche Reihen Das Summenzeichen Unendliche Reihen Ein Integralkriterium und Vergleichskriterien Wurzelkriterium und Quotientenkriterium Absolute und bedingte Konvergenz. Alternierende Reihen Taylor-Polynome und Taylor-Reihen in x Taylor-Polynome und Taylor-Reihen in x a Potenzreihen Differentiation und Integration von Potenzreihen Die Binomialreihe Übungsaufgaben Vektoren Kartesische Ortskoordinaten Verschiebungen und Kräfte Vektoren Das Skalarprodukt Matrizen und Determinanten Das Vektorprodukt Geraden Ebenen Etwas Geometrie mit vektoriellen Methoden Übungsaufgaben 663

6 XI 14 Vektor-Differential- und -Integralrechnung Vektorfunktionen Ableitungsformeln Kurven Die Bogenlänge Krummlinige Bewegung. Vektor-Differentialrechnung in der Mechanik Die Planetenbewegung Krümmung Übungsaufgaben Funktionen mehrerer Variabler Einige elementare Beispiele Ein Überblick über Flächen zweiter Ordnung. Projektionen Grafische Darstellungen. Höhenlinien und Niveauflächen Partielle Ableitungen Offene und abgeschlossene Mengen Grenzwerte und Stetigkeit. Die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen Übungsaufgaben Gradienten. Extremwerte. Differentiale Differenzierbarkeit und Gradient Gradienten und Richtungsableitungen Der Mittelwertsatz. Zwei Zwischenwertsätze Kettenregeln Der Gradient als Normale. Tangenten und Tangentialebenen Maxima und Minima Das Kriterium der zweiten partiellen Ableitung Maxima und Minima mit Nebenbedingungen Differentiale Die Rekonstruktion einer Funktion aus ihrem Gradienten Übungsaufgaben Doppel- und Dreifachintegrale Mehrfachsummen Das Doppelintegral über ein Rechteck Das Doppelintegral über einen Bereich Die Berechnung von Doppelintegralen durch mehrfache Integration Das Doppelintegral als Grenzwert Riemannscher Summen. Polarkoordinaten 872

7 1 XII 17.6 Einige Anwendungen von Doppelintegralen Dreifachintegrale Zurückführen auf Mehrfachintegrale Zylinderkoordinaten Das Dreifachintegral als Grenzwert Riemannscher Summen. Kugelkoordinaten Die Jacobi-Determinante. Variablensubstitution in Mehrfachintegralen Übungsaufgaben : Kurven- und Oberflächenintegrale Kurvenintegrale Der Hauptsatz für Kurvenintegrale Arbeit und Energie. Der Energieerhaltungssatz der Mechanik Eine andere Schreibweise. Kurvenintegrale bezüglich der Bogenlänge Der Greensche Satz Parameterdarstellung von Flächen. Der Flächeninhalt Oberflächenintegrale Der Vektordifferentialoperator V Der Gaußsche Satz Der Stokessche Satz Übungsaufgaben 991 Anhang A. Einige elementare Themen 994 A.l Mengen 994 A.2 Das Bogenmaß 998 A.3 Die vollständige Induktion 1001 Anhang B. Einige zusätzliche Beweise 1004 B.l Der Mittelwertsatz 1004 B.2 Der Maximum-Minimum-Satz 1005 B.3 Umkehrfunktionen 1006 B.4 Integrierbarkeit stetiger Funktionen 1008 B.5 Das Integral als Grenzwert Riemannscher Summen 1012 Sachverzeichnis 1013

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