M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik

Transkript

1 M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit, Kombinatori Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlicheit w, dass ein bestimmtes Ereignis eintrifft, wird mit einem Quotienten berechnet: w () nahl günstigefälle nahlmögliche Fälle eispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlicheit aus der Urne, eine gestreifte Kugel u iehen? Günstige Fälle gibt es 3 (drei Kugeln haben die gewünschte Musterung) und mögliche Fälle gibt es 2 (es hat im ganen wölf Kugeln). also rechnen wir w () Für den Term schreibt man ur 4! (sprich 4 Faultät ) TR: 4 dann Taste PR tippen dann mit Pfeil weimal nach rechts um! hüpfen.. Würfeln: a) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit weimal hintereinander eine 6 u würfeln? Lösung: b) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit weimal hintereinander eine Zahl leiner als 5 u würfeln? Lösung: c) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit nach drei Würfen mindestens eine 6 u würfeln? (Tipp: Gegenereignis überlegen!) Lösung: oder d) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten Würfel die Summe der ugenahlen genau ist? 2 Lösung: 2 Möglicheiten: 5+6 oder e) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten Würfel die Summe der ugenahlen genau 0 ist? 3 Lösung: 3 Möglicheiten: 5+5 oder 6+4 oder f) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten Würfel die Summe der ugenahlen grösser als neun ist? ugensumme grösser als 9: / / / / / Mögliche ite n (günstige Fälle) Insgesamt gibt es mit wei Würfeln 6 2 Möglicheiten. (mögliche Fälle) nahl günstigefälle 6 Wahrschein licheit nahlmögliche Fälle 36 6 M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite Lösungen

2 Verschiedenes: 2. ei einem Spiel mit einem Würfel gewinnt man 2 Fr. wenn man eine Zahl Würfelt, die durch 3 teilbar ist. Der Einsat ostet Fr. a) Wie gross ist bei diesem Spiel die Wahrscheinlichteit 2 Fr. u gewinnen? Lösung: 3 b) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit, dass man den Einsat verliert? Lösung: 3 2 c) Wie viele Fr. Erlös ann eine Klasse, die dieses Spiel an einem Jugendfest anbietet, theoretisch machen wenn 50 Schüler mitgemacht haben? Lösung: Einnahmen 50 Fr. minus 50 Gewinner 00 Fr. 50 Fr. 3. Ein Kreisel mit 0 Ecen ist in den Setoren wie folgt beschriftet:,,, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 a) Notiere u den Zahlen bis 4 die Wahrscheinlicheiten, dass sie beim Kreiseln getroffen werden. Lösung: 0 3, 2 5, 3 5 2, 4 0 b) Der Einsat ostet Fr. Wenn man die Zahl 4 trifft werden 4 Fr. Gewinn ausbeahlt. Wenn man die Zahl 2 trifft werden 2 Fr. Gewinn ausbeahlt. Es spielen 200 Personen mit. Wie viel Fr. Erlös önnen so theoretisch erwirtschaftet werden? Lösung: Einnahmen 200 Fr. minus 20 mal 4 Fr. minus 40 mal 2 Fr. 40 Fr. 4. Du hast fünf T-Shirts und vier Paar Hosen und sechs Paar Schuhe. a) Wie viele Möglicheiten hast du, um dich u leiden? Lösung: Mögl. b) Wie viele Möglicheiten gibt es, wenn drei Personen je eines dieser fünf T-Shirts aniehen sollen? Lösung: Mögl. c) Wie viele Möglicheiten gibt es, drei von diesen fünf T-Shirts jemandem u verschenen? Lösung: 0 Reihenfolge unwichtig Du wirfst viermal hintereinander eine Müne a) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit 4-mal Kopf oder 4-mal Zahl u werfen? 4 Lösung: 2 6 c) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit 3-mal Kopf und -mal Zahl u werfen? 4 Lösung: Es gibt 4 Möglicheiten,,, 6 4 c) Wie gross ist die Wahrscheinlicheit 2-mal Kopf und 2-mal Zahl u werfen? 6 3 Lösung: Es gibt 6 Möglicheiten,,,,, 6 8 Zahlenlotto ab Nr. 9 eher schwer!! 6. a) Wie viele Möglicheiten gibt es, drei Schüler auf drei nummerierte Stühle u seten? (Die möglichen nordnungen nennt man Permutation) Lösung:,,,,,. Stuhl 3 Mögl. 2. Stuhl 2 Mögl.3. Stuhl. Mögl. 3 mal 2 mal Möglicheiten 3! 6 Möglicheiten b) Wie viele Möglicheiten gibt es, aus einer Klasse mit 20 Schülern drei ausuwählen und sie auf drei nummerierte Stühle u seten? (Variation, geordnete Stichprobe, Reihenfolge ist wichtig!) Lösung: 20 mal 9 mal 8 Möglicheiten 6840 M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 2 Lösungen

3 6 c) Wie viele Möglicheiten gibt es, aus einer Klasse mit 20 Schülern einfach drei ausuwählen. (Kombination, ungeordnete Stichprobe, Reihenfolge ist unwichtig!) Lösung: Erlärung für den Zähler: Für die erste Wahl habe ich 20 Möglicheiten. Für die weite Wahl noch 9 Möglicheiten. Für die dritte Wahl noch 8 Möglicheiten. Erlärung für den Nenner: ei der Wahl müssen die Permutationen noch ausgeschlossen werden, da die Kombinationen,,,,, nicht unterschieden werden önnen: 3 Schüler önnen auf rten angeordnet werden 3! 6 Die allgemeine Formel für uswahlen aus einer nahl Elementen, wenn die Reihenfolge unwichtig ist: lle Möglicheiten, wenn aus n Elementen Elemente ausgewählt werden. Variation n n n! n! bedeutet n tief und wir so berechnet: :! (n )! (n )!! nahl Permutationen, die ausgeschlossen werden müssen weil die Reihenfolge unwichtig 20! 7! 3! Zahlenbeispiel Siehe ufgabe 6c n 20, 3 Diese Formel ann insbesondere bei allen Lotterien 6 aus 45 oder 6 aus 49 oder 3 aus 8 angewendet werden. 20 Eintippen von im TR: 20 dann Taste PR tippen dann mit Pfeil einmal nach rechts u nr 3 hüpfen und dann 3 eintippen. 7. eim Spiel «3 aus 5» gibt es 0 verschiedene Ziehungen. Schreibe die 0 verschiedenen Möglicheiten auf. Kombinationen (ungeordnete Stichprobe Zahlenlotto) Permutationen (nahl Variationen geordnete Stichproben) (nahl Kombinationen) mal (nahl Permutationan) Umgeehrt: (nahl Kombinationen) (nahl Variationen geordnete Stichproben) durch (nahl Permutationan) 0 60 : 6 M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 3 Lösungen

4 8. Weshalb ist es bei «3 aus 5» unmöglich, 0 Richtige u tippen? Weshalb gibt es bei «2 aus 5» gleich viele verschiedene Möglicheiten wie bei «3 aus 5»? Weshalb sind bei «3 aus 5» 2 richtig getippte Zahlen wahrscheinlicher als eine richtig getippte Zahl? Es önnen höchstens 2 Zahlen geogen werden, die nicht getippt wurden. eispiel: Es wurden die Zahlen, 2 und 3 getippt. Geogen werden vorerst die 4 und die 5. Die dritte geogene Zahl ist dann, 2 oder 3. Es werden 3 aus 5 Zahlen geogen, 2 aus 5 Zahlen bleiben in der Urne. Jedem geogenen Zahlentripel entsprechen 2 Zahlen, die nicht geogen wurden etc. egründung mit einem eispiel: Es werden die Zahlen, 2 und 3 getippt. 3 richtig getippte Zahlen: 23 Möglicheit 2 richtig getippte Zahlen: 24, 25, 34, 35, 234, Möglicheiten richtig getippte Zahl: 45, 245, Möglicheiten Sprachliche egründung: Wenn bloss eine Zahl richtig getippt werden soll, müssen die beiden nicht getippten Zahlen geogen werden. Dau ommt eine der drei getippten Zahlen, was total drei Möglicheiten ergibt. Es gibt eine Möglicheit, alle drei Zahlen richtig u tippen. Von den total 0 verschiedenen Tipps bleiben also für wei richtig getippte Zahlen. 9. estimme die nahl möglicher Tipps bei folgenden Spielarten. aus 5 aus 6 aus 8 aus 0 aus / (3 2 ) / (3 2 ) Eine Klasse organisiert ein Spielfest. Unter anderem wird Zahlenlotto nach dem Modus «3 aus 8» gespielt, wobei mehrere Ziehungen durchgeführt werden. Insgesamt gibt es also verschiedene Tipps. Ein Tipp ostet.00 HF. Wie gross ist die Wahrscheinlicheit für D 3 richtig getippte Zahlen? 2 richtig getippte Zahlen? richtig getippte Zahl? 0 richtig getippte Zahlen? M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 4 Lösungen

5 D 5 erechnung: Es gibt 3 Möglicheiten, von den 3 geogenen Zahlen 2 richtig (2 aus 3) u tippen (bei den Zahlen 23 wären dies 2, 3 und 23). Zu jeder dieser 3 Möglicheiten gibt es 5 Möglicheiten, eine Zahl falsch u tippen, total also 3 5 Möglicheiten Es gibt 3 Möglicheiten eine Trefferahl u tippen und dann noch 0 Möglicheiten 2 aus 5 nicht Trefferahlen u tippen Möglicheiten 3 aus 5 nicht Trefferahlen tippen.. Eine Klasse organisiert ein Spielfest. Unter anderem wird Zahlenlotto nach dem Modus «3 aus 8» gespielt, wobei mehrere Ziehungen durchgeführt werden. Insgesamt gibt es also verschiedene Tipps. Ein Tipp ostet.00 HF. Die an möchte etwa 20 % der Einsäte behalten. Wahrscheinlicheiten für 3 richtig getippte Zahlen: 5 Wahrscheinlicheit für 2 richtig getippte Zahlen: Wahrscheinlicheit für richtig getippte Zahl: 30 Wahrscheinlicheit für eine richtig getippte Zahlen: 0 Folgende usahlungsmodi werden disutiert. Modus Modus Modus Modus D 3 richtige Zahlen richtige Zahlen richtige Zahl.... Welcher Modus scheint dir einen gewissen nrei für die Spielenden u bieten und ausserdem der an etwas Gewinn u versprechen? nnahme: ei einer Ziehung werden alle Möglicheiten einmal getippt. Die an nimmt dabei.00 HF ein. Die an ahlt wie folgt aus: Modus : (Die an macht HF Verlust.) Modus : (Die an macht HF Verlust.) Modus : (Die an macht 6.00 HF Gewinn.) Modus D: (Die an macht 4.00 HF Verlust.) Die an ann nur bei Modus mit einem leinen Gewinn bei vielen Ziehungen rechnen. M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 5 Lösungen

6 2. Jemand behauptet: ei «6 aus 45» ist die Gewinnwahrscheinlicheit für 6 Richtige etwa halb so gross wie bei «6 aus 40». elege oder widerlege diese ehauptung. Gewinnchance: «6 aus 45»: : «6 aus 40»: : Die ehauptung ist sogar leicht untertrieben. Die Gewinnchancen für 6 Treffer aus 45 sind weniger als halb so gross wie bei «6 aus 40». 3. Die untenstehende Grafi umfasst 38 Ziehungen. Sie illustriert, wie häufig die einelnen Zahlen bis um geogen wurden Welche der folgenden ussagen sind wahr, welche falsch? Die 22 wurde napp 50 % öfter geogen als die. Es ist wahrscheinlich, dass auch nach Ziehungen häufig geogene Zahlen um bis u 50 % häufiger geogen werden als selten geogene Zahlen. D Es ist wahrscheinlich, dass nach 20 Ziehungen häufig geogene Zahlen um bis u 50 % häufiger geogen werden als selten geogene Zahlen. Die durchschnittliche Häufigeit berechnet sich folgendermassen: nahl Ziehungen : nahl Zahlen nahl geogene Zahlen 38 : 45 6 wahr Falsch. Es ist wahrscheinlich, dass nach Ziehungen häufig geogene Zahlen um weit weniger als 50 % häufiger geogen werden als selten geogene Zahlen. Nach einer grossen nahl Ziehungen sollten die bweichungen nicht mehr so gross sein! Falsch. Es ist wahrscheinlich, dass nach 20 Ziehungen häufig geogene Zahlen weit über 50 % häufiger geogen werden als selten geogene Zahlen. Nach einer leinen nahl Ziehungen önnen die bweichungen sehr gross sein! D wahr (5,7) M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 6 Lösungen

7 4. In der Schwei wird nach dem System «6 aus 45», in Deutschland nach dem System «6 aus 49» gespielt. Was önnte der Grund für diesen Unterschied sein? (Veraltet: heute 6 aus 42 plus aus 6 Glücsahlen) Da in Deutschland wesentlich mehr Leute spielen als in der Schwei, würde es bei gleichem System in Deutschland wesentlich mehr Sechser geben. Dementsprechend würde der Jacpot in den meisten Runden genact. Es ist jedoch offenbar ein Ziel der Lotteriegesellschaften, dass nicht in allen Runden Sechser u vereichnen sind. 5. Die Wahrscheinlicheit für 3 richtig getippte Zahlen bei «6 aus 45» ann wie folgt berechnet werden: nahl mögl. 3er bei 6 aus ! 3! : 45 nahl mögliche Tipps ! Versuche, die Formel u verstehen. erechne analog die Wahrscheinlicheit für 4 richtig getippte Zahlen. 3 aus 6 richtigen Zahlen mal 3 aus 39 falschen Zahlen durch nahl Möglicheiten nahl mögl. 4er bei 6 aus : 733 nahl mögliche Tipps M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit Seite 7 Lösungen