Übungsaufgaben. Physik I. Mechanik (starrer Körper) Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen

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1 mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen Übungsaufgaben Physik I Mechanik (starrer Körper) Autor: Prof. Dr. G. Bucher Bearbeitet: Dipl. Phys. A. Szasz Juli 1

2 Jojo (SS1) Gegeben sei ein Jojo, bestehend aus zwei Rädern und einer Radnabe. Jedes Rad besteht aus 1 Speichen der Länge l und der Masse m sowie einer runden Felge der Masse 4 m und dem Radius R = l. Die dünnschalige zylindrische Radnabe hat l die Masse 8 m und den Radius r =. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieser Anordnung bezüglich der Rotationsachse des Zylinders. b) Die Nabe wird mit masselosem Faden bewickelt. Unter dem Einfluss der m Schwerebeschleunigung g = 1 rollt nun das Jojo senkrecht ab. s Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a SP des Jojos. c) Verwenden Sie für die folgende Berechnung die Zahlenwerte: Speichenlänge l =.1 m ; Höhenunterschied im Schwerefeld h = 1 m ; Masseneinheit m =.1 kg Berechnen Sie die Rotationsfrequenz ω Jojo des Jojos. d) Eine dünne Kugelschale mit Radius R KS, Masse m KS und Trägheitsmoment J = 3 m R wird mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit KS KS v KS auf eine Kegelbahn geschoben. Zu Beginn gleitet die Kugelschale ohne zu rollen. Der Reibungskoeffizient µ KS beschreibt das Verhältnis zwischen Normalkraft (in diesem Fall Gewichtskraft) und resultierende Reibungskraft. Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v KS roll, wenn die Kugelschale rollt ohne zu gleiten. e) Berechnen Sie die Energie QKS, die in Wärme umgesetzt wird.

3 Zwei (verschiedene) Hanteln (WS11/1) Gegeben seien zwei Hanteln. Eine Hantel besteht aus zwei homogenen Vollkugeln mit jeweils der Masse 4 m und dem Radius R. Das Verbindungsstück beider R Kugeln kann als homogener Zylinder mit der Masse m und den Radius R z = aufgefasst werden. Die zweite Hantel ist analog aufgebaut. Allerdings wird jetzt die homogene Vollkugel durch eine dünnwandige Hohlkugel mit gleichem Radius R und gleicher Masse 4 m ersetzt. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J beider Hanteln bezüglich der Rotationsachse des Zylinders. b) Die Höhe h Z des Verbindungszylinders zwischen beiden sphärischen Körpern sei h Z = R. Berechnen Sie das Trägheitsmoment J der Hantel mit den Kugelschalen bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt und senkrecht zur ersten Rotationsachse. c) Berechnen Sie das Verhältnis k beider Trägheitsmomente. d) Die Hantel mit den homogenen Vollkugeln rollt nun unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g ohne zu gleiten eine schiefe Ebene hinunter. Dabei durchläuft sie eine Höhendifferenz h. Die Rotation erfolgt parallel zur Symmetrieachse des Vollzylinders, der beide Kugeln verbindet. Die Hantel rollt über die Großkreise der beiden Kugeln ab. Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v SP als Funktion der überwundenen Höhe h.

4 Zwölf Dreiecke bilden einen Stern (SS11) Gegeben seien 1 identische gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a. Sie können als flächenhafte Körper mit homogener Massendichte σ und Masse m je Dreieck kg aufgefasst werden. Die Massendichte σ hat die Einheit: [ σ ] =. m a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J eines solchen dreieckigen Körpers bezüglich einer Achse senkrecht zum Körper durch eine Ecke. b) Berechnen Sie mit Hilfe des Steinerschen Satzes das Massenträgheitsmoment J eines solchen Dreiecks bezüglich einer parallelen Achse durch den Schwerpunkt. 1 (Ergebnis: J = m a ). 1 c) Setzen Sie die 1 Dreiecke paarweise zu 6 Rauten zusammen und bilden Sie einen Stern indem Sie die Rauten mit der Spitze zum gemeinsamen Zentrum ausrichten. Den Schwerpunkt markiert der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J Stern dieses Sterns bezüglich einer Achse senkrecht zur Sternebene durch dessen Schwerpunkt.

5 Jaja ein Jojo (WS1/11) Bei der Konstruktion des nachfolgend beschriebenen Jojos werden die Massen m und die Längen l verwendet. Das Jojo besteht aus zwei identischen Rädern mit einer Nabe als Verbindungselement. Räder und Nabe sind rotationssymmetrisch montiert. Die Räder bestehen aus 1 Speichen der Länge l und jeweils der Masse m. Sie können als dünne Stäbe idealisiert werden. Die Felge hat den Radius l, die Masse 4 m und kann als dünner Zylindermantel idealisiert werden. Die Nabe hat l den Radius, die Masse 4 m und kann ebenfalls als dünner Zylindermantel behandelt werden. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J dieses Jojos. b) Die Nabe wird mit masselosem aber reißfestem Faden bewickelt und kann sich m im Schwerefeld (Schwerebeschleunigung g = 1 ) abspulen. s Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a J bei diesem Abspulvorgang. c) Berechnen Sie die notwendige Abspullänge h bis die m Schwerpunktsgeschwindigkeit v SP = 1 erreicht ist. s

6 Kugel in Würfel in Kugel (SS1) Gegeben sei ein Körper bestehend aus einer dünnwandigen Kugelschale der Masse m und dem Radius R. In diese Kugelschale ist ein Flächenwürfel, bestehend aus 6 dünnwandigen, quadratischen Flächen der Kantenlänge a eingefügt. Die Raumdiagonale des Würfels entspricht genau dem Durchmesser R der äußeren Kugelschale. In diesen Würfel ist wiederum eine dünnwandige Kugelschale eingefügt, deren Durchmesser R 1 genau der Seitenlänge a des Würfels entspricht. Auch der Flächenwürfel und die kleinere Kugelschale haben die gleiche Masse m wie die äußere Kugelschale. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieses Körpers bezüglich seines Schwerpunktes. b) Der Körper rollt nun (ohne zu gleiten) unter dem Einfluss der Schwerekraft eine schiefe Ebene hinunter. Berechnen Sie die Höhendifferenz h, die er zurücklegen muss, bis eine m Schwerpunktsgeschwindigkeit v = 1 erreicht ist. s m Die Schwerebeschleunigung sei: g = 1 s

7 Kreuzgegenständige Sätze von Segelohren (WS9/1) Gegeben sind 5 identische flache Zylinder (Scheiben) mit dem Radius R und der Masse m. Je zwei dieser Zylinder sind an ihrer Außenkontur an einem Punkt verbunden (Modell für Segelohren). Alle 5 Zylinder werden nun zu einem Sandwich zusammengefügt, wobei die Mittellage (also die Füllung), aus dem fünften Zylinder besteht und die beiden Deckschichten durch die Modelle der Segelohren (zusammengesetzt aus jeweils zwei Zylindern) gebildet werden. Der Schwerpunkt der gesamten Anordnung ist identisch mit dem Schwerpunkt des fünften Zylinders (Füllung). Kreuzgegenständig bedeutet, dass beide Segelohren um 9 gegeneinander verdreht sind. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J der beschriebenen Anordnung bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt und senkrecht zur Deckfläche der Zylinder. b) Berechnen Sie für diese Anordnung auch das Trägheitsmoment J bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt der Anordnung und parallel zur Deckfläche der Zylinder. Begründen Sie, warum die Wahl der Achsenorientierung in der Ebene der Deckflächen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. c) Die Anordnung wird nun als Jojo behandelt. Der mittlere Zylinder (Füllung des Sandwichs) wird mit masselosem Faden bewickelt. Unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g wird nun eine Strecke s abgespult. Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a der Anordnung. v 1 d) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsverhältnis, wenn die Anordnung unter v dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g einmal als Jojo die Fadenlänge s abgespult und im Vergleich dazu einen freien Fall über die entsprechende Fallhöhe h = s ausgeführt hat.

8 Teil I: Massive Kugel und massiver Zylinder (SS9) Eine massive Kugel und ein massiver Zylinder, jeweils mit konstanter Massenverteilung, starten gleichzeitig und aus gleicher Höhe auf einer schiefen Ebene, die den Winkel α mit der Horizontalen einschließt. Sie rollen, ohne zu gleiten eine Höhendifferenz h = 1. m hinab. Beide haben dieselbe Masse m und m denselben Durchmesser d. Die Schwerebeschleunigung sei g = 1. s a) Welcher der beiden Körper ist schneller unten und warum? b) Welche Schwerpunktsgeschwindigkeit v besitzt die Kugel, nachdem sie die Höhendifferenz h = 1. m bewältigt hat? c) Nun werden die beiden Körper gleichzeitig mit der Geschwindigkeit v = 1 m s vom unteren Ende der schiefen Ebene nach oben geschubst. Beide Körper rollen wieder ohne zu gleiten. Welcher der Körper ist früher oben und welche Geschwindigkeit hat er am oberen Ende der schiefen Ebene (also nach Überwindung einer Höhendifferenz h = 1. m )? Teil II: Eisstockschießen (SS9) Zwei Mannschaften treten zum Eisstockschießen an. Einen Eisstock kann man als homogenen Zylinder mit Radius R und Masse m annähern. Zwei Eisstöcke werden parallel gegeneinander geschickt: der eine Eisstock gleitet genau auf der x _ Achse ( y = ) in positiver Richtung mit der Geschwindigkeit v, der zweite in negativen 1 x _ Richtung entlang der Geraden y = R mit der Geschwindigkeit v. (die Schwerpunkte verfehlen sich also um den Abstand s = R ). a) Berechnen Sie die Bahn, auf der der gemeinsame Schwerpunkt gleitet. b) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v des Systems. c) Berechnen Sie die beiden Relativgeschwindigkeiten v 1 und v, der beiden Eisstöcke relativ zum Schwerpunkt vor einem Zusammenprall. d) Berechnen Sie den Drehimpuls L des Systems vor einem Zusammenprall. e) Berechnen Sie die Rotationsfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit u nach einem vollkommen inelastischen Stoß der beiden Eisstöcke.

9 Volle und ausgestanzte Scheibe (WS7/8) kg Gegeben sei ein Blech mit der homogenen Flächendichte σ ([ σ ] = ). Daraus m werden zwei Scheiben mit Radius R ausgestanzt. Die eine Scheibe wird mit 6 zusätzlichen Ausstanzungen mit dem Radius 3 R versehen. Die Mittelpunkte sollen auf einem Kreis mit dem Radius 3 R, jeweils um 6 gegeneinander versetzt, angeordnet sein. a) Berechnen Sie die Trägheitsmomente J 1 und J bezüglich zweier Achsen durch den Schwerpunkt: einmal senkrecht zur Scheibenebene und einmal in der Scheibenebene. b) Die Mittelpunkte beider Scheiben werden nun durch ein masseloses Seil verbunden. Die Scheibe ohne Ausstanzung rollt unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g eine schiefe Ebene (Neigungswinkel: α 1 = 3 bezogen auf die Horizontale) abwärts. Über das masselose Seil zieht die abwärts rollende Scheibe die Scheibe mit den Ausstanzungen aufwärts entlang einer schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α = 3 zur Horizontalen. Beide Scheiben rollen ohne zu gleiten. Berechnen Sie die Schwerpunktsbeschleunigung a dieses gekoppelten Systems. c) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v, wenn die Scheiben eine Strecke s = 1 m auf der schiefen Ebene zurückgelegt haben. d) Geben Sie eine Beziehung zwischen den Neigungswinkeln α 1 und α der beiden schiefen Ebenen an, für die beide Scheiben unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung in Ruhe verharren.

10 Wenn Kugeln kugeln (SS7) Gegeben sind eine dünne Kugelschale mit Radius R und Masse m, sowie zwei R homogene Vollkugeln mit Radius und ebenfalls Masse m. Die Kugeln befinden sich in der Kugelschale und sind fest mit dieser verbunden. a) Berechnen Sie das größtmögliche und das kleinstmöglich Trägheitsmoment J max und J min dieser Anordnung bezüglich einer Achse durch den gemeinsamen Schwerpunkt. b) Berechnen Sie den Unterschied in der Kreisfrequenz ω für beide Trägheitsmomente, wenn dieser Körper unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g eine schiefe Ebene hinunterrollt und dabei eine Höhendifferenz h überwindet. c) Jetzt befinde sich nur eine Kugel in der Kugelschale und diese sei auch frei beweglich. Die Kugelschale rollt ohne zu gleiten unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung eine schiefe Ebene mit einem Winkel α = 3 hinunter. Berechnen Sie die Beschleunigung a dieser Anordnung. d) Berechnen Sie den Ort, an dem die Vollkugel die Kugelschale während des Abwärtsrollen auf der schiefen Ebene mit der Beschleunigung a berührt.

11 Tetraeder (WS6/7) Gegeben sei ein regelmäßiger Tetraeder (Vierflächner mit 4 identischen, gleichseitigen Dreiecken als Oberfläche). An jeder der 4 Ecken dieses Körpers sitzt ein Massenpunkt der Masse m. Die Verbindungsstangen und die Oberflächen seien masselos. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieses Körpers bezüglich einer Achse, die gleichzeitig durch einen der Eckpunkte geht und parallel zur gegenüber liegenden Verbindung zweier Eckpunkte orientiert ist. b) Berechnen Sie mit Hilfe des Steinerschen Satzes das Trägheitsmoment J bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt des Tetraeders.

12 Jojo (SS6) Ein dünnwandiger Zylinder mit Radius R und Masse m sowie zwei dünne, homogene Scheiben mit Radius R und ebenfalls jeweils Masse m bilden ein JoJo. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieses JoJos bezüglich der Achse senkrecht zur Scheibenebene durch den Schwerpunkt (Rotationsachse). b) Das JoJo wird mit masselosem Faden bewickelt und kann im Schwerefeld unter dem Einfluß der der Schwerebeschleunigung g abrollen. Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit v S nach dem eine Strecke s abgewickelt ist. Verwenden Sie folgende Zahlenwerte: m R =.1 m ; s =.75 m ; g = 1 s

13 Lichtmühle (WS5/6) Der Rotator einer Lichtmühle besteht aus 4 identischen, quadratischen dünnen Blechen der Seitenlänge a und der Masse m. Die vier Bleche sind paarweise so angeordnet, dass ihre Flächendiagonalen fluchten. Alle vier Flächen berühren sich mit einer Spitze (siehe Skizze). 1 a Berechnen Sie die Trägheitsmomente J 1 und J bezüglich der eingezeichneten Rotationsachsen.

14 Amulett (SS5) Aus einem Vollkreis mit Radius R wird ein Kreis mit dem Radius r =. 8 R ausgestanzt. Zwei Kreise dieser Art bilden ein Amulett (siehe Skizze). a) Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes bezüglich des Berührungspunktes der beiden Kreise, wenn die Figur konstante Dichte ρ und konstante Dicke d hat. b) Berechnen Sie den Wert des Amuletts, wenn es aus purem Gold gearbeitet ist, der 17 Radius R = 5 mm, die Dicke d = 1 mm und der Preis für Gold 1 sind. 3 km

15 Loisl auf dem Eis (WS4/5) Loisl ist ein gestandenes Mannsbild der Masse M = 9 kg, das näherungsweise als Zylinder mit dem Radius R =. m angenähert werden kann. Loisl steht senkrecht auf dem Eis. Sein Reibungskoeffizient mit dem Eis ist µ =. Er hält waagrecht vor sich einen rotierenden Kreisel der Masse m = 1 kg, dem Radius r =.1 m und der -1 Kreisfrequenz ω = 1 s. Der Abstand zwischen seiner Symmetrieachse und der 5 Kreiselachse beträgt d = m. Loisl kippt im Abstand d von seiner Symmetrieachse 5 die Kreiselachse aus der Horizontalen in die Vertikale. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz von Loisl plus Kreisel ω KL, wenn Loisl den Kreisel weiter im Abstand d hält. b) Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω, wenn Loisl die Orientierung der Kreiselachse beibehält und den Kreisel so über seinen Kopf hält, dass Kreiselachse und Symmetrieachse vom Loisl fluchten.

16 Doppelwürfel (SS4) Gegeben sind ein Würfel bestehend aus 1 dünnen Stangen der Länge l und der Masse m, sowie ein Würfel bestehend aus 6 quadratischen Flächen der Kantenlänge l und ebenfalls der Masse m. a) Berechnen Sie die Massenträgheitsmomente J beider Würfel. b) Die Würfel sind nun über eine masselose Öse an den Spitzen verbunden so daß die Raumdiagonalen beider Würfel fluchten. Dieses Gebilde kann sich unter dem Einfluß der Schwerebeschleunigung g um diese Öse drehen. In welcher Stellung hat der Doppelwürfel die größtmögliche potentielle Energie? c) Wenn der Doppelwürfel vom Zustand größtmöglicher potentieller Energie in den Zustand kleinstmöglicher potentieller Energie übergeht, welche Kreisfrequenz ω erreicht er dann? d) Wenn der Doppelwürfel unter dem Einfluß der Schwerebeschleunigung g kleine Schwingungen um die Ruhelage ausführt, welche Kreisfrequenz ω haben diese Schwingungen?

17 JoJo (WS3/4) Ein dünnwandiger Zylinder mit Radius R und Masse m sowie zwei dünne, homogene Scheiben mit Radius R und ebenfalls jeweils Masse m bilden ein JoJo. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J dieses JoJos bezüglich der Achse senkrecht zur Scheibenebene durch den Schwerpunkt (Rotationsachse). b) Das JoJo wird mit masselosem Faden bewickelt und kann im Schwerefeld unter dem Einfluß der der Schwerebeschleunigung g abrollen. Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω und die Schwerpunktsgeschwindigkeit v S nach dem eine Strecke s abgewickelt ist. Verwenden Sie folgende Zahlenwerte: R =.1 m ; s =.75 m ;

18 Quadrat (SS3) Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a und der Flächendichte σ. Das Quadrat hat die unten skizzierten Durchbrüche bzw. die schraffierten Teile sind ausgestanzt. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J bezüglich einer Achse senkrecht zur Fläche (also senkrecht zur Zeichenebene).

19 Würfel (WS/3) Gegeben ist ein Würfel, bestehend aus 6 dünnen, homogenen, quadratischen Flächen mit der Seitenlänge a und der Masse m. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J für eine Fläche bezüglich einer Achse senkrecht zur Fläche. b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des Würfels bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt des Würfels.

20 Speichenrad (SS) 1 Stäbe der Länge l und Masse m bilden ein Rad mit 6 Speichen und 6 Felgen. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J dieses Rades bezüglich einer Achse senkrecht zur Radebene durch den Schwerpunkt. b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des Rades bezüglich einer Achse in der Radebene durch den Schwerpunkt. Zwei gegenüberliegende Speichen sollen auf der Bezugsachse liegen.

21 Kugelschale in sechskantiger Säule (WS1/) Gegeben ist eine dünne Kugelschale der Masse M = 1 m und Radius R, sowie 1 dünne Stäbe der Masse m und der Länge l = R. Die Stäbe bilden eine sechskantige Säule der Höhe h = R und diese Säule umhüllt die Kugel. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J dieser Anordnung bezüglich des Schwerpunktes.

22 Kugelschale in Würfel (SS1) Gegeben ist ein Würfel dessen 1 Kanten durch identische idealisierte Stäbe der Länge a und Masse m gebildet werden. In diesem Würfel befindet sich eine idealisierte dünne Kugelschale mit dem Durchmesser a und der Masse M = 1 m. Würfel und Kugelschale besitzen den gleichen Mittelpunkt. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J dieser Anordnung bezüglich einer Achse Ihrer Wahl durch den Schwerpunkt.

23 Scheibe mit Bohrungen (WS/1) Gegeben sei eine Scheibe mit Radius R, Dicke d und konstanter Massendichte ρ R sowie sieben gleichartigen Durchbrüchen mit Radius r =. 3 a) Berechnen Sie die Gesamtmasse M sowie das Trägheitsmoment J bezüglich der Symmetrieachse senkrecht zur Scheibenebene. b) Berechnen Sie eine symmetrische Hantel ( Massenpunkte, masselose Verbindungsstange) mit gleicher Masse und gleichem Trägheitsmoment wie die oben betrachtete Scheibe. c) Diese Scheibe rollt nun unter dem Einfluß der Schwerekraft ohne zu gleiten über eine identische fest verankerte Scheibe ab. Zum Zeitpunkt t = befindet sich die bewegliche Scheibe im oberen Totpunkt in Ruhe. Berechnen Sie die Orte, an denen die rollende Scheibe -den Kontakt zur festen Scheibe verliert -auf der Horizontalen auftrifft.