Einführung in die beschreibende Statistik

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1 Eführug de beschrebede Statstk Alte Katosschule Aarau Fachschaft Mathematk erstellt vo Roger Sa, Roger Keller ud Marae Ste 05, Verso 6 Ihalt Eletug Grudbegrffe 3 3 Darstellug vo Date 6 4 Etelug Klasse 5 Das Summesymbol 6 6 Zetralmasse 9 7 Streuugsmasse 8 Normalverteluge 7 9 Quartle 9 Ahag A: Zusammehäge zwsche Zetral- ud Streuugsmasse 33 Ahag B: Statstsche Auswertuge mt Mcrosoft Ecel Quelle- ud Lteraturverzechs 39

2 Eführug de beschrebede Statstk Eletug De Statstk st e wchtges Istrumet m Umgag mt grosse Datemege, das sowohl Poltk ud Wrtschaft als auch Gestes- ud Naturwsseschafte Awedug fdet, um Iformatoe zu gewe oder um Hypothese zu teste. Ncht selte werde wchtge Etscheduge auf der Grudlage statstscher Aussage getroffe. So bereche bespelswese Krakekasse hre Präme ahad vo Statstke über de Häufgkete vo Krakhetsfälle, Arztbesuche oder Sptalaufethalte, Zgarette- oder Alkoholkosum, etc. I eer statstsche Dateerhebug geht es darum, Iformatoe über Persoe oder Dge zu sammel. Im Idealfall werde de etsprechede Date vo alle Persoe oder Dge erfasst, de für de jewelge Utersuchug teressat sd. Ma sprcht da vo eer Grudgesamthet oder Populato. Oft st aber der Aufwad herfür uverhältsmässg gross, sodass ma sch stattdesse auf ee Stchprobe, d.h. auf ee repräsetatve Telmege der Grudgesamthet beschräkt. Repräsetatv hesst, dass de Auswahl der Stchprobe möglchst so erfolge sollte, dass se de wesetlche Egeschafte der Grudgesamthet wedergbt. De Statstk ka dre grudsätzlch verschedee Telbereche utertelt werde: De sammelde Statstk befasst sch mt der Dateerhebug. Ee wchtge ud schwerge Frage st dabe, we ma ee Stchprobe aus der Grudgesamthet auswähle ka so, dass dese tatsächlch repräsetatv st. I der Pras wrd oft versucht, des durch ee zufällge Auswahl der Stchprobe zu realsere. Wr werde us m Folgede ausschlesslch mt der beschrebede Statstk auseadersetze, de sch mt der Aufberetug ud der Darstellug vo Date beschäftgt. I der beurtelede Statstk dagege geht es um de Iterpretato der Date, um Rückschlüsse auf de Grudgesamthet zu zehe. Aussage, de aufgrud statstscher Date gewoe werde, sd mmer mt eer gewsse Uscherhet behaftet. Ee, we cht sogar de wchtgste Aufgabe der beurtelede Statstk st es, abzuschätze, mt welcher Wahrschelchket derartge Aussage zutreffe. Sete /39

3 Eführug de beschrebede Statstk Grudgesamthet Stchprobe Auswahl eer Stchprobe Dateerhebug (sammelde Statstk) Rückschluss auf de Grudgesamthet (beurtelede Statstk) Dateaufberetug (beschrebede Statstk) Aufgabe. I der Schwez gbt es mmer weder Abstmmuge zu verschedee Theme. De stmmberechtgte Persoe (etwa 4 Mlloe) blde de Grudgesamthet. Für ee Vorhersage des Abstmmugsergebsses wrd ee Stchprobe gewählt. Dese muss für ee seröse Vorhersage geüged gross ud repräsetatv se, d.h. se soll m Idealfall de Verhältsse rchtg abblde. We beurtelst du de folgede Stch- Probe: a) Das Parlamet, b) alle Mtgleder eer Parte? Ageomme, de Vorhersage lautet: 65% JA. c) We vele JA ud NEIN-Stmme wäre be eer Stmmbetelgug vo 00 % bzw. vo 30 % zu erwarte? Be der Abstmmug beträgt de Stmmbetelgug tatsächlch 30% ud das Ed- Ergebs lautet: 680'000 JA-Stmme. d) We gut gbt de Stchprobe de Grudgesamthet weder, we wr aehme, dass das Edergebs für de Grudgesamthet repräsetatv st? e) We vele JA ud NEIN-Stmme hätte es be eer Stmmbetelgug vo 00 % gegebe, we de restlche 70 % we der Vorhersage bzw. we de adere 30 % (m Edergebs) gestmmt hätte? Sete /39

4 Eführug de beschrebede Statstk Grudbegrffe I eer statstsche Erhebug wrd aus eer bestmmte Grudgesamthet ee Stchprobe vo Persoe oder Dge ausgewählt ud hschtlch bestmmter Merkmale (Varable) utersucht. Jedes Merkmal ka bestmmte Merkmalsauspräguge (Varablewerte) aehme. Ma ka dabe folgede Grudtype vo Merkmale uterschede: Quattatve (metrsche) Merkmale bestze ee atürlche Zahlewert, der drekt durch ee Messug bestmmt werde ka. Metrsche Merkmale hesse stetg, we se erhalb gewsser Greze jede Zahlewert aehme köe, aderfalls hesse se dskret. Qualtatve Merkmale bestze kee atürlche Zahlewert ud köe deshalb ur verbal beschrebe oder zahlemässg codert werde. Qualtatve Merkmale hesse ordal, we ma se orde ka, asoste hesse se omal. Bespel : Merkmal Merkmalsausprägug Grudtyp Augefarbe blau, brau, grü, grau qualtatv, omal Schulote (U.S.A.) A, B, C, D ud F qualtatv, ordal Azahl Geschwster,, 3, 4, metrsch, dskret Körpergrösse ( cm) 50, 6.5, 76.8,... metrsch, stetg Als Umfag der Stchprobe bezechet ma de Azahl () vo Persoe bzw. Dge, welche der Dateerhebug berückschtgt werde. Nach erfolgter Dateerhebug hat ma ee Lste (Urlste) vo Merkmalsauspräguge Form vo Date,, 3,, ud ka zähle, we oft de verschedee Merkmalsauspräguge vorkomme. Ma sprcht da vo der Häufgket eer Merkmalsausprägug: De absolute Häufgket H der Merkmalsausprägug gbt a, we oft de Merkmalsausprägug vorkommt. De relatve Häufgket h eer Merkmalsausprägug st der prozetuale Atel der Merkmalsausprägug a der gesamte Stchprobe: absolute Häufgket relatve Häufgket bzw. Stchprobeumfag h H Amerkasches Notesystem: A (Bestote), B (überdurchschttlch), C (durchschttlch), D (geüged) ud F ( Fal, ugeüged) Sete 3/39

5 Eführug de beschrebede Statstk Aufgabe. A eem Destagmorge wrd um 6:30 Uhr der Uterführug des Aarauer Bahhofs ee Umfrage durchgeführt, be der de Passate ach hrem Zvlstad befragt werde. Es resultert de folgede Tabelle: ledg verheratet geschede verwtwet a) Was st her de Grudgesamthet? b) We gross st der Stchprobeumfag? c) Ist de Stchprobe repräsetatv? d) Welches Merkmal wrd her utersucht? e) Klassfzere das Merkmal! (Quattatv oder qualtatv? Stetg, dskret, ordal oder omal?) f) Bestmme de absolute ud de relatve Häufgket der ledge Persoe! g) We gross sd de absolute ud de relatve Häufgket der cht-ledge Persoe, de geschede sd? Aufgabe. De Tabelle ute zegt de Todesfälle m Jahre 90 Folge vo Tuberkulose für de Städte New York ud Rchmod. a) Ermttle für bede Städte de absolute ud de relatve Häufgket der Todesfälle, getret für de wesse ud de farbge Bevölkerug ( Bezug auf de gesamte wesse bzw. de gesamte farbge Bevölkerug). Dskutere ahad der Resultate de Frage, welcher Stadt das Tuberkulose-Rsko grösser st. b) We sehe de Resultate aus, we de Berechug deser Häufgkete ohe Treug der farbge ud der wesse Bevölkerug durchgeführt wrd? Welche Schlüsse lasse sch daraus zehe? New York Rchmod Bevölkerug Todesfälle Bevölkerug Todesfälle Wesse 4'675'74 8'365 80'895 3 Farbge 9' ' Total 4'766'883 8'878 7'68 86 Sete 4/39

6 Eführug de beschrebede Statstk Das Bespel aus Aufgabe. st e typscher Fall des erstmals durch de brtsche Mathematker Eduard Hugh Smpso beschrebee ud ach hm beate Smpso-Paradoos. Es macht deutlch, we lecht ee vorelge Schlussfolgeruge aufgrud vo statstsche Häufgkete de Irre führe köe. Wr halte deshalb de folgede wchtge Bemerkug fest, de zur Vorscht m Umgag mt Häufgkete ermahe soll: De utersuchte Telmege bzw. Stchprobe köe adere Egeschafte habe als de he zugrude legede Grudgesamthet. Aufgabe.3 I eem Lad lebe 0'000'000 Arbetswllge, vo dee 500'000 kee Arbet 500 '000 fde. De Arbetslosequote beträgt demach 00 % 5 %. Nu stegt de 0'000'000 Arbetslosezahl auf 600'000 Arbetslose. De Redakteure der Zetug A bereche 600 '000 de eue Arbetslosequote 00 % 6 % ud schrebe der ächste 0'000'000 Ausgabe De Arbetslosgket hat um % zugeomme! I der Zetug B wrd dagege berchtet: De Arbetslosgket hat um 0 % zugeomme! De Redakteure rechtfertge hre Schlagzele damt, dass de Zahl der Arbetslose um 00' '000 zugeomme hat, das sd 00 % 0 % aller bsherge Arbets-lose. We 500'000 beurtelst du de Stuato? Wo legt her de Schwergket? Sete 5/39

7 Eführug de beschrebede Statstk 3 Darstellug vo Date Statstsche Date köe auf uterschedlche Wese dargestellt werde. De smpelste Darstellug st ee Datetabelle. De tabellarsche Darstellug st aber sehr abstrakt, weshalb zur Veraschaulchug mestes Dagramme verwedet werde. Bespel : Augefarbe vo 5 Probade Darstellug der Date eer Datetabelle: Augefarbe Absolute Häufgket Relatve Häufgket blau 3 0 % brau % grü 3 7 % grau 8 6 % Darstellug der Date Dagramme: grü 7% grau 6% blau 0% brau 37% grü 7% grau 6% blau 0% brau 37% Kresdagramm Tortedagramm blau brau grü grau Hstogramm 0% 37% 7% 6% Prozetstrefe Sete 6/39

8 Eführug de beschrebede Statstk Aufgabe 3. a) Dskutere de Vor- ud Nachtele der verschedee Dagramme Bespel. b) Was ka ma a der Ordateachse ees Hstogramms ablese? c) Was st be der Verwedug vo Kres- oder Tortedagramme zu beachte? Bespel : Abfallmege der prvate Haushalte der Schwez (verbrat Kehrchtverbreugsalage) Darstellug der Date eer Datetabelle: Jahr Abfall kg Pro Ewoher Darstellug der Date Dagramme: Puktdagramm Sete 7/39

9 Eführug de beschrebede Statstk Ledagramm Stabdagramm Aufgabe 3. a) Dskutere de Vor- ud Nachtele der verschedee Dagramme Bespel. b) Ee Ole-Nachrchteagetur schrebt eem Artkel m August 00: Mt 733 Klogramm Hausmüll pro Perso legt de Schwez deutlch über dem europäsche Durchschtt vo 54 Klo ud hter Däemark ud Zyper auf Platz dre. Ud usere Abfallmege mmt weter zu: Ladete 005 och 37 Klo pro Ewoher de Kehrchtverbreugsalage, ware es 008 berets 366 Klo. Dskutere de Artkelausschtt auf dem Htergrud der Date aus Bespel. De Zahle 733 kg/54 kg bezehe sch auf de gesamte Müllmege, de Zahle 37 kg/366 kg bezehe sch dagege ur auf dejege Atel des Mülls, der Kehrchtverbreugsalage edet. Sete 8/39

10 Eführug de beschrebede Statstk Aufgabe 3.3 Das folgede Dagramm stellt deselbe Sachverhalt dar we das Ledagramm Bespel : Wor uterschede sch de bede Dagramme Form ud Wrkug? Welches der bede Dagramme stellt de Sachverhalt besser dar? Begrüde! Bespel 3: Pktogramme E Vertreter der Arbeterschaft eer Frma möchte darauf aufmerksam mache, dass de Mtarbeter der ee Abtelug der Frma doppelt so vel verdee we de Mtarbeter der adere Abtelug derselbe Frma. Deser Sachverhalt ka zum Bespel mt Pktogramme dargestellt werde: Sete 9/39

11 Eführug de beschrebede Statstk Aufgabe 3.4 Welches der bede Pktogramme aus Bespel 3 beschrebt de Sachverhalt, dass de ee Abtelug doppelt so vel verdet we de adere, besser? Begrüde! Dese Bespele llustrere, dass de Art ud Wese, we Date dargestellt werde, eschlägger Wese bestmmt, we de Date wahrgeomme bzw. terpretert werde. Dabe st cht jede Darstellug für jede Art vo Date geeget! Es sollte mmer geau überlegt werde, welche Darstellug am beste zu de vorlegede Date passt ud de jewelge Sachverhalt am beste beschrebt. Ebeso st be der Iterpretato vo statstsche Date Vorscht gebote. Isbesodere we Date etweder magels bessere Wsses oder gar mt Abscht uagemesseer Wese dargestellt werde, ka es vorkomme, dass falsche Schlüsse gezoge werde. Vo Sr Wsto Churchll 3 stammt das berühmte Ztat I oly beleve statstcs that I doctored myself, das auf de Gefahre mttels Statstk falsch dargestellter Sachverhalte hwest ud zuglech suggerert, dass statstsche Date mmer krtsch hterfragt werde müsse. 3 Premermster Grossbrtaes währed des. Weltkreges Sete 0/39

12 Eführug de beschrebede Statstk 4 Etelug Klasse Be der Ermttlug der Häufgket vo Merkmale st es oft cht svoll, jede Merkmalsausprägug ezel zu betrachte. Isbesodere be stetge metrsche Merkmale we zum Bespel der Körpergrösse telt ma deshalb de Merkmalsauspräguge so geate Klasse e. Bespel : Körpergrösse Ee Dateerhebug der Körpergrösse mt 50 Probade ergab folgede Urlste 4 : (Agabe cm ud auf gaze Zahle gerudet) Da vele Werte ur e- oder zwemal vorkomme, st es cht svoll, de ezele Merkmalsauspräguge e Säule- oder Puktdagramm ezutrage. Stattdesse fasse wr ahe beeader legede Werte Klasse zusamme. a) Etelug 7 Klasse Abstäde vo 0 cm (Klassebrete): Körpergrösse ( cm) A C Azahl Probade E e d E e e a E e a D A De Klassebrete berechet sch dabe we folgt: De Klasse (z.b.) behaltet wege der Rudug auf gaze Zetmeter alle Körpergrösse m Itervall [39.5, 49.5[ ( cm). De Klassebrete st somt de Läge deses Itervalls, also 49.5 cm cm 0 cm. 4 Her st zu bemerke, dass Körpergrösse a sch stetge Date sd. Aufgrud der Messugeaugket, st es aber svoll, dese Date gerudet azugebe (her auf cm). Sete /39

13 Eführug de beschrebede Statstk b) Etelug 4 Klasse mt eer Klassebrete vo 5 cm: Körpergrösse ( cm) Azahl Probade A c E d e E c E c e E a d a Her behaltet bespelswese de Klasse alle Körpergrösse m Itervall [39.5, 44.5[ ( cm), was der Klassebrete 44.5 cm cm 5 cm etsprcht. Es st ee Frage der Überscht ud der Ästhetk, we vele Klasse ee Datemege utertelt werde soll. Vergleche wr de Hstogramme Bespel, so stelle wr fest, dass das Hstogramm für 7 Klasse wesetlch überschtlcher st als dasjege für 4 Klasse. Üblcherwese wrd folgede Faustregel agewedet: De Etelug eer Stchprobe vom Umfag Klasse soll der Regel so erfolge, dass für de Azahl k der Klasse glt: k aber k 0 Sete /39

14 Eführug de beschrebede Statstk Bespel : Statstsche Auswertug mt Geogebra (Verso ) Be der Auswertug vo grosse Datemege st es am efachste, we wr ee Statstksoftware verwede. Das auf kostelos erhältlche Programm Geogebra behaltet e relatv efaches, aber für usere Zwecke ausrechedes Statstktool. Wr wolle u de Urlste der Körpergrösse aus Bespel mt Geogebra auswerte. Dazu öffe wr Geogebra ud aktvere mt der Maus de schmale Balke am rechte Rad. Aschlessed wähle wr m geöffete Meü de Opto Tabelle & Grafk aus: Dadurch öffet sch lks ee Tabelle. Das Grafkfester beötge wr cht ud köe es mt eem Klck auf das Symbol schlesse. Nu gebe wr de Urlste de Tabelle e, markere daach de gesamte Lste ud wähle da, we m folgede Bld dargestellt, de Opto Aalyse eer Varable : Dabe öffet sch e eues Fester. Dort klcke wr auf de Schaltfläche Aalyse. Es erschet e eues Fester mt eem auf der markerte Urlste baserede Hstogramm. Mt eem Lstefeld köe wr auch adere Dagramme auswähle (z.b. de Boplot, der Kaptel 9 besproche wrd). Des Wetere köe wr mt Sete 3/39

15 Eführug de beschrebede Statstk eem Scheberegler de Azahl der Klasse estelle. Stelle wr dese auf 7 Klasse e, so erhalte wr aber cht dasselbe Hstogramm, we Bespel. Das legt dara, dass Geogebra de Werte vo cm automatsch 7 glechgrosse Klasse der Läge 8.7 cm ( ) etelt, währed wr de Berech vo 40-0 cm 7 Klasse der Läge 0 cm egetelt habe. Des köe wr apasse, dem wr auf de Schaltfläche rechts klcke, dort e Häckche be Mauelle Bestmmug der Klasse setze ud de Werte Start ud Brete apasse (Bld rechts): Dagramm- Auswahl Scheberegler: Azahl Klasse Wolle wr das Hstogramm als Bld specher, so köe wr das etweder mt eem Klck auf das Symbol oder mt eem Rechtsklck auf de Grafk tu, dem wr m Kotetmeü de Opto Eport als Bld auswähle (Leder steht dabe kee Opto zur Beschrftug der Achse zur Verfügug). Durch ee Klck auf das Symbol köe wr ferer alle wchtge statstsche Kegrösse we de Mttelwert, de Modus, de Meda, de Quartle oder de Stadardwechug, de wr ach ud ach de folgede Kaptel keelere werde, abfrage: Sete 4/39

16 Eführug de beschrebede Statstk Aufgabe 4. De Tabelle zegt de Ewaderuge ach Deutschlad m Jahr 976: Alter Azahl Ewaderer relatve Häufgket Klassebrete relatve Häufgketsdchte* < 8 63' % 8.8 % 8 < 65 3' % % 65 < 80 ' % % Total 498' % *De Häufgketsdchte etsprcht desem Fall der durchschttlche Häufgket pro Jahrgag. Es stellt sch de Frage, we ma de Klassebrete m Hstogramm berückschtgt. De efachste Möglchket wäre, de Säulebrete etspreched der Klassebrete zu wähle: Auf dese Wese werde aber de Grösseverhältsse cht rchtg abgebldet: Zum Bespel st de relatve Häufgket der 8 bs 64-jährge Ewaderer (mttlere Säule) mt 6.7 % etwa doppelt so hoch we de relatve Häufgket der uter 8- jährge Ewaderer (lke Säule) mt 3.8 %. Der Flächehalt der mttlere Säule st aber etwa füfmal grösser als derjege der lke Säule. We müsste ma de Säulehöhe apasse, um dese Effekt auszugleche? We ädert sch dabe de Bedeutug der Ordateachse? Sete 5/39

17 Eführug de beschrebede Statstk 5 Das Summesymbol I der Mathematk ud m Spezelle der Statstk kommt es oft vor, dass ma vele ählche Terme addere muss. Das Summesymbol S fasst solche Terme zusamme. Möchte wr Summade,, 3,, abgekürzt schrebe als: addere, so lässt sch de Summe mt dem Summesymbol S ( Summe aller für bs ) I der Statstk köe de Summade zum Bespel de Date der Urlste (Merkmalsauspräguge) se, we wr se mt eem Summede vo bs durchummerere. Bespel : Für de Summe aller atürlche Zahle vo bs 0 st ud wr schrebe: Bespel : Für de Summe aller ugerade Zahle vo bs 99 st : Wr schrebe also: ( ) Aufgabe 5. a) Schrebe de Summe der erste 00 Zahle der Dreerrehe mt dem Summesymbol. b) Bereche de Summe ( + ). 5 Sete 6/39

18 Eführug de beschrebede Statstk Ee Summe muss atürlch cht mmer mt bege: Bespel 3: Für de Summe aller atürlche Zahle vo 0 bs 0 schrebe wr mt dem Summesymbol: Bespel 4: Für de Summe aller ugerade Zahle vo 5 bs 99 schrebe wr: 50 6 ( ) Bespel 5: Um de Summe aller zwestellge Quadratzahle aufzuschrebe, überlege wr us, dass 6 4 de kleste ud erhalte so de Summe: de grösste zwestellge Quadratzahl st. Wr Aufgabe 5. a) Bereche de Summe (3 + ) 6 3 b) Schrebe de Summe aller verstellge Quadratzahle mt dem Summesymbol. Das Reche mt Summe erspart vel Schrebaufwad. Dabe st es praktsch, we ma de wesetlche Recheregel für Summe ket: Bespel 6: Es glt de Regel: a a (a œ ) Bewes: a a + a + 3a a a ( ) a Aufgabe 5.3 Bewese de folgede Recheregel (für a œ ): a) a a b) a a c) ( + y ) + y Sete 7/39

19 Eführug de beschrebede Statstk Bespel 7: 50 Mt Hlfe deser Regel köe wr zum Bespel de Term 50 (3 + ) we folgt verefache: (3 + ) 50 3 ( ) Bespel 8: Wr verefache de folgede Term: ( + y ) ( y ) ( y y ) ( y y ) (( ) ( y y y y )) ( y y y y ) y 4 y Aufgabe 5.4 a) Bewese für a, b œ glt: b) Verefache: ( a + by ) a + b y ( + a) + ( a) 0 0 c) Zege: Falls y, da glt ( y ) 0. Sete 8/39

20 Eführug de beschrebede Statstk 6 Zetralmasse Für statstsche Utersuchuge st das Zetrum der Urlste vo besoderer Bedeutug. Solche Zetre werde als Zetralmasse bezechet. Das wohl bekateste Zetralmass st das arthmetsche Mttel, das us zum Bespel als Notedurchschtt der Schule begeget: Das arthmetsche Mttel (Mttelwert, Durchschtt) eer Urlste, bestehed aus de Zahle,, 3,,, st defert durch Komme ege der Zahle der Lste mehrmals vor, so st es oft bequemer, das arthmetsche Mttel mt Hlfe der Häufgkete zu bestmme: Besteht ee Urlste aus k verschedee Zahle ~, ~, ~ 3,, ~ k, de mt de absolute Häufgkete H, H, H 3,, H k der Lste vorkomme, so beträgt das arthmetsche Mttel: H ~ + H ~ + H ~ H ~ k 3 3 k k H ~ wobe H H H 3 H k st. Bespel : Das arthmetsche Mttel der Lste {,,, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} beträgt: Etwas bequemer st de Berechug mt Hlfe der Häufgkete: De Zahl ~ kommt mt der Häufgket H 3, de Zahl ~ 4 mt der Häufgket H ud de Zahl ~ 3 5 mt der Häufgket H 3 5 vor. Wr erhalte damt: H ɶ + H ɶ + H3 ɶ Sete 9/39

21 Eführug de beschrebede Statstk Des st aber cht de ezge Möglchket, e Zetrum der Urlste zu defere. Stattdesse köte wr auch de häufgste Wert oder dejege Wert, der geau der Mtte der sorterte Urlste legt, als Zetrum defere. Etwas kokreter: Derjege Wert, der am häufgste eer Lste vorkommt, hesst Modus (oder Modalwert). Der Modus st vor allem be qualtatve Merkmale svoll. We wr bespelswese ee Urlste vo atürlche Haarfarbe habe, so st der Modus de am häufgste vorkommede Haarfarbe. De Berechug ees arthmetsche Mttels st desem Bespel dagege usg. Der Modus st aber cht edeutg: Es st durchaus möglch, dass es zwe häufgste Haarfarbe gbt. Sd de Zahle,, 3,, eer Zahlelste der Grösse ach geordet ud st ugerade, so hesst der Wert der Mtte der Lste Meda (oder Zetralwert). Ist gerade, so st der Meda das arthmetsche Mttel der bede Werte der Mtte der Lste. Bespel : De Lste {,,, 3, 3, 4, 5} hat de Meda 3 ( 7 ugerade). + 3 De Lste {,,, 3, 4, 5} hat de Meda. 5 ( 6 gerade). Bespel 3: Schulote eer Klasse mt 5 SchülerIe Note Absolute Häufgket.5 A 3 E 3.5 c 4 c 4.5 d 5 E a 5.5 B 6 A Arthmetsches Mttel: Sete 0/39

22 Eführug de beschrebede Statstk Modus: 5 (mt der Häufgket 6) Meda: 4.5: Geordete Urlste.5, 3, 3, 3, 3, 3, 3.5, 3.5, 3.5, 4, 4, 4, 4.5, Werte 4.5, 4.5, 4.5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.5, 5.5, 6 Werte Aufgabe 6. a) De Tabelle Bespel 3 wrd korrgert: Es gbt ur 4 Note ud de Note 5 kommt emal weger vor. Bereche für dese Korrektur de Modus, de Meda ud das arthmetsche Mttel. b) Lete aus der Formel H ~ + H ~ + H ~ H ~ k 3 3 k k H ~ ee äquvalete Formel für de Berechug des arthmetsche Mttels mt Hlfe der relatve Häufgket her. c) Welche Zetralmasse köe jewels für omale, ordale oder metrsche Varable verwedet werde? Sete /39

23 Eführug de beschrebede Statstk 7 Streuugsmasse Betrachte wr zuächst e Bespel: Bespel : Zwe glech grosse Klasse (je 5 Schüler) schrebe deselbe Prüfug. Der Lehrer wertet de Resultate aus ud erhält folgede Tabelle: Klasse A Klasse B Note Absolute Häufgket Note Absolute Häufgket 3 3 B 3.5 A 3.5 C 4 E b 4 E b 4.5 E e b 4.5 D 5 D 5 D 5.5 A 5.5 C 6 6 b Für bede Klasse ergbt sch derselbe Mttelwert: De Verteluge der Note der bede Klasse uterschede sch aber massv: Klasse A Klasse B Der Grosstel der Note der Klasse A legt der Nähe des Mttelwerts. De Note der Klasse B sd dagege sehr bret gestreut. Zetralmasse reche cht aus, um dese Verteluge bzw. de Streuug der Date um de Mttelwert zu beschrebe. Sete /39

24 Eführug de beschrebede Statstk Wr stehe u vor der Frage, we wr de Streuug vo Date eer Urlste quattatv erfasse köe. Wr suche also e Mass für de Streuug der Date. E sehr efaches Streuugsmass st de so geate Spawete: Ist m der kleste ud ma der grösste Wert eer Urlste, so bezechet ma de Grösse ma m als Spawete der Urlste. De Spawete gbt also de Läge des gesamte Berechs a, über de sch de Urlste erstreckt. I Bespel st de Spawete der Note der Klasse B grösser als dejege der Klasse A. Allerdgs sagt de Spawete chts darüber aus, ob der Grosstel der Datewerte um de Mttelwert kozetrert st oder ob de Werte glechmässg über de gaze Spawete verstreut sd. Ee wetere Möglchket wäre, de Abwechuge der ezele Datewerte vom Mttelwert zu mttel. Für ee Datewert ud de Mttelwert beträgt dese Abwechug alle Abwechuge mttel, erhalte wr aber e sehr ubefredgedes Ergebs: ( ) 0 Der Grud für deses Ergebs st, dass de Abwechuge. We wr sowohl postv als auch egatv werde köe ud dass sch de gesamte postve ud de gesamte egatve Beträge gegesetg aufhebe. Des köte wr vermede, we wr stattdesse de Beträge der Abwechuge mttel, sodass alle Beträge postv sd ud sch deshalb cht gegesetg aufhebe köe. Das Reche mt Beträge st aber sehr umstädlch. Stattdesse werde üblcherwese de (ebefalls postve) Quadrate ( ) der Abwechuge gemttelt: Für ee Grudgesamthet mt der Urlste {,, 3,, } ud dem Mttelwert st σ ( ) + ( ) ( ) ( ) e Mass für de Streuug der Date (um ). De Zahl σ hesst (theoretsche) Varaz. Wel her de Abwechuge der Datewerte vom Mttelwert quadrert werde, hat de Varaz cht de Ehet der Datewerte: Sd de Datewerte bespelswese Körpergrösse, agegebe cm, so hat de Varaz de Ehet cm. Sete 3/39

25 Eführug de beschrebede Statstk Deshalb wrd der Regel cht de Varaz, soder de so geate Stadardabwechug betrachtet: Für ee Grudgesamthet mt der Urlste {,, 3,, (theoretsche) Stadardwechug defert als: } ud dem Mttelwert st de σ ( ) + ( ) ( ) ( ) Bespel : Wr betrachte zuächst e smples Bespel aus der Physk: E Ste wrd vo eer 5 m hohe Brücke geworfe. Deses efache Epermet wrd füfmal wederholt, wobe jewels de Fallzet Sekude otert wrd. Des führt zu folgeder Tabelle:. Wurf. Wurf 3. Wurf 4. Wurf 5. Wurf 0.98 s.05 s.0 s 0.98 s 0.96 s Der Mttelwert der Messwerte beträgt: 0.98 s +.05 s +.0 s s s s.00 s 5 Damt erhalte wr de Stadardabwechug: σ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) s s Da de Stadardabwechug e Mass für de Streuug der Messwerte st, wrd se auch als Krterum für de Messgeaugket verwedet: I desem klee Epermet würde ma sage, dass de Messug mt eem Fehler vo etwa 0.03 s behaftet st. Das Messergebs wrd üblcherwese mt dem Mttel- Wert ud der Stadardabwechug we folgt agegebe: (.00 ± 0.03 ) s. Wäre de Messug eakt, so müsste alle Messwerte glech ud glech dem Mttelwert se. I desem Fall wäre de Stadardabwechug ud damt der Mess- Fehler Null. Sete 4/39

26 Eführug de beschrebede Statstk Sete 5/39 Für de Berechug der Varaz mt eem efache Tascherecher st de obge, Bespel verwedete Formel allerdgs etwas umstädlch. Etwas weger aufwedg st de folgede Formel: Für de (theoretsche) Stadardabwechug glt der Verschebugssatz: σ Bewes: σ + ) ( ) ( Bespel 3: Um de Vortel des Verschebugssatzes zu llustrere, bereche wr de Stadard- Abwechug aus Bespel och emal uter der Verwedug deses Satzes: σ s Aufgabe 7. a) Bereche de Stadardabwechuge beder Klasse Bespel. Welcher Zusammehag besteht zwsche de Resultate ud de Noteverteluge? b) Ählch we bem Mttelwert ka de Varaz etwas komfortabler mt Hlfe der absolute Häufgkete berechet werde. We seht dese Formel aus?

27 Eführug de beschrebede Statstk De theoretsche Varaz (bzw. Stadardabwechug) wrd verwedet, um de Streuug der Merkmalsauspräguge eer Grudgesamthet quattatv zu erfasse. I Bespel habe wr jewels ee Klasse als Grudgesamthet betrachtet. Ka aber cht de Grudgesamthet, soder ur ee Stchprobe utersucht werde, so wrd der Regel de so geate emprsche Varaz (bzw. Stadardabwechug) verwedet: Für ee Stchprobe mt der Urlste {,, 3,, } ud dem Mttelwert st de emprsche Varaz defert durch: s ( ) + ( ) ( ) ( ) De Zahl s hesst emprsche Stadardabwechug. Se st e Schätzwert für de theoretsche Stadardabwechug der etsprechede Grudgesamthet. Um zu begrüde, dass herbe durch statt durch dvdert wrd, st ee ausgerefte Wahrschelchketstheore erforderlch, was de Rahme deses Letprogramms spregt. Wr werde deshalb her cht äher darauf egehe. Aufgabe 7. Für geüged grosse st der Utersched zwsche der emprsche ud der theoretsche Stadardabwechug verachlässgbar kle. Zege, dass für > 50 glt: s < <.0. σ Sete 6/39

28 Eführug de beschrebede Statstk 8 Normalverteluge Es schet der Natur zahlrecher Merkmale zu lege, dass de Merkmalsauspräguge eer agemessee Stchprobe mehr oder weger symmetrsch ud glockeförmg um de Mttelwert vertelt sd: Dazu gehöre bespelswese de Körpergrösse ud das Gewcht vo Probade, der IQ (gemesse a stadardserte IQ-Tests), de Füllmege vo Meralwasserflasche, Messfehler Labors usw. Ee derartge Vertelug wrd jewels dort beobachtet, wo aus Erfahrug ee Art Norm erwartet wrd. Be der Körpergrösse werde wr bestmmt cht erwarte, ee 0 cm oder 5 m hohe Mesche zu fde. Stattdesse erwarte wr auf Grud userer Erfahrug, dass de meste Werte vo Erwachsee eem Normberech um cm lege ud dass de Häufgket ach ausse h abmmt. Derartge Verteluge werde Normalverteluge (oder auch Gaussverteluge) geat. Se werde äherugswese durch ee ach Carl Fredrch Gauss beate Gaussfukto beschrebe, dere Graph ee glockeförmge Kurve st: Alter Zeh-Mark-Sche mt dem deutsche Mathematker, Astroome, Physker ud Phlosophe Joha Carl Fredrch Gauss ( ) ud mt der Gausssche Glocke- Kurve. Sete 7/39

29 Eführug de beschrebede Statstk Ee praktsche Besoderhet der Normalvertelug st der ege Zusammehag zwsche der Gaussfukto ud der Stadardabwechug: Etsprcht de Urlste eer Normalvertelug, so glt äherugswese: 68.3 % aller Werte lege zwsche µ σ ud µ + σ 95.5 % aller Werte lege zwsche µ σ ud µ + σ 99.7 % aller Werte lege zwsche µ 3σ ud µ + 3σ Dabe st µ das arthmetsche Mttel der Grudgesamthet ud σ de (theoretsche) Stadard- Abwechug. Bemerkug: Dese Abschätzuge gelte ur für Normalverteluge ud ur für grosse. Aufgabe 8. IQ-Tests sd so ormert, dass der Mttelwert be 00 Pukte legt ud de Stadardabwechug 5 Pukte beträgt. Ee Perso mt eem IQ vo 30 oder mehr wrd hochbegabt geat. We vele der rud 5 Mo. erwachsee Schwezer (Stad: 05) sd hochbegabt? Aufgabe 8. Würfle mt zwe Spelwürfel 00-mal, bestmme be jedem Wurf de Summe der geworfee Augezahle ud otere we oft de ezele Augezahlsumme be dese 00 Würfe vorkomme. Bestmme aschlessed für de so erhaltee Date das arthmetsche Mttel ud de Stadardabwechug. Hadelt es sch herbe um ee Normalvertelug? Sete 8/39

30 Eführug de beschrebede Statstk 9 Quartle De de vorherge Kaptel besprochee Zetral- ud Streuugsmasse gebe ur weg Eblck de Vertelug der Merkmalsauspräguge eer Urlste. Isbesodere da, we dese cht ormalvertelt sd, st es ützlch wetere Kegrösse zur Had zu habe, de etwas mehr Aufschluss über de Vertelug gebe. Ee sehr efache ud schelle Möglchket betet de Verwedug vo so geate Quartle: De Quartle q, q, q 3 tele ee sorterte Urlste ver Abschtte, sodass jedem Abschtt ahezu 5 % der Date ethalte sd: Das Quartl q st der Meda der gesamte Urlste. Das Quartl q st der Meda aller Date (ohe q ) m. ud. Abschtt. Das Quartl q 3 st der Meda aller Date (ohe q ) m 3. ud 4. Abschtt. Für de graphsche Darstellug der Vertelug vo Merkmalsauspräguge eer Urlste mt Hlfe vo Quartle wrd oft e so geates Kasteschaubld (Boplot) verwedet, das auf efache Wese ee gute Überblck über de Vertelug der Date gewährt. Dabe werde der. ud der 3. Abschtt als Rechtecke, der. ud der 4. Abschtt hgege durch Strecke dargestellt: M ud Ma bezeche herbe de kleste ud de grösste Merkmalsausprägug. Sete 9/39

31 Eführug de beschrebede Statstk Bespel : I der Rego Aarau/Buchs (387 m. ü. M.) wurde de Jahre 999 ud 04 de folgede Wdgeschwdgkete m/s gemesse [5]: Jahr Ja Feb Mrz Apr Ma Ju Jul Aug Sep Okt Nov Dez Ahad der Tabelle erhalte wr folgede Mttelwerte ud Stadartabwechuge: 999:.54 m/s ud σ 0.47 m/s 04:.4 m/s ud σ 0.3 m/s Daraus köe wr aber ur schlesse, dass de Wdgeschwdgkete 04 m Mttel tefer ud äher bem Mttelwert lage als m Jahr 999. Mt Hlfe vo Quartle ud Boplots erhalte wr ee dfferezertere Eblck de Vertelug der Wdgeschwdgkete. Dazu sortere wr de Urlste:. Abschtt. Abschtt 3. Abschtt 4. Abschtt m q q q 3 ma De Boplots sehe u we folgt aus: Sete 30/39

32 Eführug de beschrebede Statstk Durch de Boplots habe wr u ee bessere Vorstellug vo der Vertelug der gemessee Wdgeschwdgkete. So sehe wr bespelswese, dass de Vertelug 04 äher a eer Normalvertelug legt, als jee m Jahr 999. Im Jahr 04 lege z.b. je 50% der Date de Itervalle [0.9,.] (Itervall- Läge 0.3 m/s) ud [.3,.7] (Itervallläge 0.4 m/s), währed m Jahr 999 je 50% der Messwerte de Itervalle [.0,.3] (Itervallläge 0.3 m/s) ud [.3,.4] (Itervallläge. m/s) lege. Wr sehe auch, dass de Spawete der Messwerte rechts vom Meda m Jahr 999 deutlch grösser st als jee lks vom Meda ud dass der Mttelwert (.54 m/s) m Jahr 999 grösser st als der Meda ( q.3 m/s), währed der Meda ud der Mttelwert m Jahr 04 fast glech sd (.4 m/s ud q.5 ). Be eer perfekte Normalvertelug wäre der Mttelwert ud der Meda glech ud der Boplot symmetrsch bezüglch eer Spegelug am Meda. Aufgabe 9. De folgede Boplots zege de Studedauer ( Semester) der Studete eer Uverstät verschedee Hauptfächer: Beatworte de folgede Frage ahad deser Boplots: a) Welcher Atel der Phlosophe Studete beötgt höchstes 6 Semester für das Studum? b) We vele Semester beötgt dejege Hälfte der Mathematk Studete, de hr Studum am schellste beede. c) Welcher Atel der Mathematk Studete beötgt 0 bs Semester für das Studum? Sete 3/39

33 Eführug de beschrebede Statstk d) Zur Studedauer m Studefach Wrtschaft sd folgede Zahle bekat: Dauer Semester Azahl Studete Erstelle ahad deser Zahle ee Boplot für de Studedauer m Studefach Wrtschaft. e) Welcher Kewert st Telaufgabe d) grösser: Meda oder Mttelwert? Lässt sch deses Resultat allee mt Hlfe des Boplots begrüde? Sete 3/39

34 Eführug de beschrebede Statstk Ahag A: Zusammehäge zwsche Zetral- ud Streuugsmasse I Kaptel 7 habe wr us darüber Gedake gemacht, we ma e Mass für de Streuug der Datewerte um de Mttelwert defere köte. Ee Möglchket wäre so usere Überlegug de Abstäde zu mttel, wodurch ma de so geate mttlere absolute Abwechug erhält: Da das Reche mt Beträge sehr aufwedg st, habe wr stattdesse de Stadardabwechug bzw. hr Quadrat, de Varaz ( ) σ, egeführt. Des st aber cht das ezge Argumet, das für de Wahl der Stadardabwechug bzw. der Varaz als Streuugsmass Bezug auf de Mttelwert sprcht. Tatsächlch besteht e eger Zusammehag zwsche dem arthmetsche Mttel ud der Varaz σ. Um dese Zusammehag zu verstehe, st es svoll, de Varaz etwas allgemeer als Fukto v( ) ees belebge Zetralmasses zu defere (mttlere quadratsche Abwechug): Es glt da: Für das arthmetsche Mttel v( ) ( ) st de Fukto v( ) mmal ud etsprcht der Varaz: σ v( ). Bewes: v( ) ( ) ( ) Das hesst, v( ) st ee quadratsche Fukto. Das Mmum der Fukto legt m Schetelpukt des Fuktosgraphe. Dese fde wr durch quadratsches Ergäze: v( ) + ( ) + ( ) + σ (Verschebugssatz!) Somt st de Fukto v( ) ( ) + mmal für σ ud das Mmum hat a deser Stelle de Wert σ ( S( σ ) st der Schetelpukt des Fuktosgraphe!).Ñ Sete 33/39

35 Eführug de beschrebede Statstk Nu stellt sch atürlch de Frage, für welche -Wert oder für welches Streuugsmass de mttlere absolute Abwechug der Datewerte mmal st. Um de Frage zu beatworte, defere wr de mttlere absolute Abwechug ebefalls als Fukto a( ) ees belebge -Wertes: a( ) Wr wolle u der Efachhet halber de Vorfaktor der Fukto a( ) weglasse. Das köe wr ohe Bedeke tu, de a( ) st geau da mmal, we de Summe Σ mmal st. Der Ausdruck Σ st de Summe der Abstäde aller Datewerte vom Argumet. Stelle wr dese Abstäde (blau ud rot) der sorterte Urlste für verschedee graphsch dar, so seht das folgedermasse aus: für ugerade für gerade Wr wähle zuächst so, dass der Wert etweder geau der Mtte aller Datewerte (für ugerade ) oder a eer belebge Stelle zwsche de bede Werte der Mtte aller Datewerte (für gerade ) legt, so we de obere bede Dagramme dargestellt. De Summe der blaue Le etsprcht da gerade der Summe Σ. Wr köe us u überlege, was passert, we wr de -Wert ( de Dagramme grü dargestellt) verschebe. Dazu betrachte wr de utere bede Dagramme: Sobald der -Wert cht mehr der Mtte der Datewerte legt, mmt de Summe der Abstäde zum -Wert zu (her jewels um de rot markerte Abstäde). Des glt, we wr us ahad der Bespele überlege köe, für jede -Wert, der cht der Mtte aller Datewerte legt. Wr stelle also fest, dass de obere bede Dagramme gerade dejege -Werte zege, für welche de Summe ud damt auch de Fukto a( ) mmal st. Isbesodere 5 glt: Falls der Meda st, so st de mttlere absolute Abwechug a( ) mmal. 5 Be gerade st ( ) a cht ur für de Meda (so we wr h defert habe), soder ebeso für jede belebge Wert zwsche de mttlere bede Datewerte mmal. Sete 34/39

36 Eführug de beschrebede Statstk Ahag B: Statstsche Auswertuge mt Mcrosoft Ecel 007 Mcrosoft Ecel behaltet alle behadelte statstsche Kegrösse Form vo Fuktoe: Kegrösse Absolute Häufgket Stchprobeumfag/Azahl Date eer Klasse Arthmetsches Mttel Meda Modus Emprsche Varaz (Stchprobe) Emprsche Stadardabwechug (Stchprobe) Theoretsche Varaz (Grudgesamthet) Theoretsche Stadardabwechug (Grudgesamthet) Mttlere absolute Abwechug vom Mttelwert Mmum Mamum Fukto Ecel ZÄHLENWENN ANZAHL MITTELWERT MEDIAN MODALWERT VARIANZ STABW VARIANZEN STABWN MITTELABW MIN MAX Quartle QUARTILE 6 Über de Meüpukt Efüge köe zudem verschedee Dagramme egefügt werde. Dabe st allerdgs zu erwähe, dass Ecel ke Statstkprogramm st ud sch deshalb hschtlch der graphsche Darstellug vo Date als etwas umstädlch erwest. 6 Quartle werde Ecel cht gaz geau so defert, we wr das Kaptel 9 geta habe, weshalb de Quartle Ecel oft lecht vo jee gemäss der Defto Kaptel 9 abweche. Es glt aber auch Ecel de Regel, dass de Quartle de Urlste 4 Abschtte utertele, de je ca. 5% der Date ethalte. Sete 35/39

37 Eführug de beschrebede Statstk Bespel : Kegrösse Bespel : Hstogramm Um e Hstogramm zu erstelle, bereche wr zuerst de absolute Häufgkete der Werte Urlste mt dem Befehl ZÄHLENWENN. Da markere wr de Zelle, welche de absolute Häufgkete ethalte, klcke da uter dem Meüpukt Efüge auf das Säule-Symbol ud wähle dort de D-Säule aus: Dadurch wrd das gewüschte Hstogramm egefügt. Als ächstes wähle wr (mmer och m Meüpukt Efüge e passedes Layout, am beste mt Ttel ud Achsebeschrftug: Durch Rechtsklck auf Tele des Dagramms (z.b. de Säule) stehe dverse Optoe zur Apassug des Layouts zur Verfügug (z.b. Säulefarbe oder Säulerad). Sete 36/39

38 Eführug de beschrebede Statstk Bespel 3: Boplot Das Erstelle vo Boplots (allerdgs ohe Meda) st Ecel etwas umstädlcher. Das begt mt der Egabe der Date zum Zeche des Boplots. Dese müsse mmer mt eem Datum versehe werde ud folgede Struktur bestze: belebges Datum. Quartl Ma M 3. Quartl Ferer st es seltsamerwese cht möglch ur ee Boplot zu zeche. Wolle wr trotzdem ur ee Boplot, so zeche wr zwemal deselbe ud lösche da ee davo (durch Lösche der etsprechede Zele, sobald das Dagramm erstellt st). Boplots füge wr e, dem wr uter dem Meüpukt Efüge das Symbol für Adere Dagramme ud dort uter Kurs das passede Symbol auswähle: Sete 37/39

39 Eführug de beschrebede Statstk Durch etwas Kosmetk (Dagrammlayout mt Ttel ud Achsebeschrftug auswähle ud apasse) erhalte wr da de gewüschte Boplots. Lösche wr u de zwete, überflüssge Zele, so habe wr ur och ee Boplot. Sete 38/39

40 Eführug de beschrebede Statstk Quelle- ud Lteraturverzechs [] B. Ecke, Statstk Ee Eführug, Pythagoras Lehrmttel, Glarus, 003 [] I. Hlsberg, E.Warmuth., Stochastk, Volk ud Wsse Verlag GmbH, Berl, 997 [3] G. Malle, u.a., Mathematk verstehe, öbv Schulbuch GmbH & Co. KG, We, 00 [4] R. Keller, Uterrchtsskrpt: Eführug de Statstk, 009/00 [5] (besucht am 8. Jul 05) Sete 39/39