Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes

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1 Seminar: Mathematische Theorien im kulturellen Kontext Thema: Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes von: Zehra Betül Koyutürk Studiengang Angewandte Mathematik

2 ARCHIMEDES Über das Leben des Archimedes ist wenig bekannt und vieles gilt als Legende. Archimedes ist ca. 287 v. Chr. in der Hafenstadt Syrakus geboren. Er war der Sohn des Pheidias, eines Astronomen. Archimedes betrieb Mathematik und praktische Physik (Mechanik). Seine Wurfmaschinen wurden bei der Verteidigung von Syrakus eingesetzt. 212 v. Chr. wurde er bei der Eroberung von Syrakus von einem römischen Soldaten getötet. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike. Seine Werke waren auch noch im 16. und 17. Jahrhundert bei der Entwicklung der höheren Analysis von Bedeutung.

3 Fläche eines Parabelsegments Unser Ziel ist, das Verfahren nach dem Archimedes berechnet hat, die Fläche eines Parabelsegments zu untersuchen, das heißt die Fläche des Teils der Parabel die durch die willkürliche Sehne AB begrenzt ist. Im Folgenden werde ich das Ergebnis von Archimedes mit der von ihm verwendeten Methode, ohne Verwendung der Integralrechnung, herleiten. Das Besondere dabei ist, dass man nicht auf die Streifenmethode typischen komplizierten Potenzsummen geführt wird, sondern lediglich auf eine geometrische Reihe. Überlegung: Die Behauptung von Archimedes war, dass man die Fläche eines beliebigen Parabelsegments mit Hilfe eines speziellen, leicht bestimmbaren Dreiecks und dessen Verhältnis zum Parabelsegment berechnen könne, weil es nicht praktisch ist, regelmäßige Polygone (Vielecke) in dieser Figur zu beschriften, so verwendete Archimedes Dreiecke. Dafür hat er die Schnittpunkte von der Parabel mit der Sehne als A und B definiert. Die Parallele zu AB die die Parabel berührt ist Punkt C, d.h. das Punkt C der Scheitelpunkt des Parabelsegments ist. Nun hat Archimedes die Punkte ABC miteinander verbunden und ein Dreieck erhalten. Da die ausgelassenen Flächen innerhalb der Parabel noch zu groß sind hat er die Konstruktion der Dreiecke fortgeführt. So lässt sich die Fläche der Parabel wie folgt berechnen:. Archimedes behauptet, dass er die Fläche noch genauer berechnen kann und ergänzt an die Ecken noch weitere Dreiecke. Das heißt, dass die Summe dieser Dreiecke das Ergebnis für die gesamte Fläche ergeben:.

4 Laut Archimedes ist die Summe von den kleineren Dreiecken gleich ein Viertel des großen Dreiecks, das heißt also:. (1) Genauso ist es auch für die weiteren kleineren Dreieckflächen: (2) Wenn wir nun die oben erhaltenen Flächen, also folgendes:, (1) und (2) in A ges einsetzen ergibt sich Nun sehen wir, dass diese Gleichung die geometrische Reihe ist. Die Bedingung für die geometrische Reihe ist, dass a betragsmäßig kleiner als eins ist und somit konvergiert, wobei a in diesem Fall gleich ist und die Bedingung erfüllt ist. geometrische Reihe: Fazit: Archimedes hat somit entdeckt und bewiesen, dass die Fläche des Parabelsegments gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ist, also

5 Archimedes hatte dies rein geometrisch ohne Bezug zu Gleichungen oder Koordinatenachsen nachgewiesen. Wir verwenden allerdings stattdessen die analytische Geometrie. Hierbei nehmen wir an, dass die Funktion der Parabel ist, wobei A und B beliebig gewählte Punkte sind. Punkt C, also wird hingegen nicht freigewählt. Die Punkte A und B haben folgende Koordinaten: und. Wir wissen, dass die x-koordinate von C ist. Durch die Ableitung von y nach x können wir die Steigung der Tangente C festlegen:, da die Ableitung von ist. Die Steigung an Punkt C ist genauso groß wie die Steigung der Strecke. Im Folgenden muss Punkt C berechnet werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Tangente an Punkt C parallel zu ist. Für die Berechnung wird die Steigung an Punkt C (also ) und der Abstand von der Strecke beachtet, d.h.: Unser Ziel ist, durch die aufgestellte Gleichung die x- Koordinate von Punkt C zu berechnen. Dafür klammern wir im Zähler aus und erhalten das 3. Binom, welches uns die Berechnung vereinfacht:

6 Aus dieser Gleichung ist zu erkennen, dass die vertikale Linie durch C die Sehne am Punkt P halbiert. Nun können wir die Geradengleichung die Steigung durch die Ableitung berechnet haben: berechnen, da wir x und y gegeben und m, also Anschließend setzen wir diese Werte in die allgemeine Form der Geradengleichung ein, um die Schnittstelle an der y Koordinate zu berechnen: Und nun können wir beweisen, dass ist, wobei die Hälfte von ist: oder Indem wir das tun, vervollständigen wir das Parallelogramm. Durch die gleiche Argumentation wie vorher halbieren wir die vertikale Linie durch E die Sehne BC an einem Punkt G und damit wird die Sehne BP halbiert durch H. Wir können mit Hilfe des 2.Strahlensatzes zeigen das Verhältnis von zwei parallele Geraden wie folgt ist: ist, weil der 2. Strahlensatz das ist.

7 In dem wir unsere Gleichung mit oder mit multiplizieren erhalten wir, da die Strecken und gleichlang sind. In dem wir diese Strecken teilen erhalten wir und da die Hälfte von ist ergibt sich folgendes: Folglich bedeutet dies, dass und ist, damit ist auch ; und da deutlich ist wird dies als ausgedrückt. Beweis: wobei ist und ist:, da ist und ist. Um herzustellen, genügt es zu zeigen dass ist und wir zeigen dies bei. Beweis: Die Berechnung von der Länge lässt sich durch die Differenz der y- Werte berechnen: An dieser Stelle ist die zweite binomische Formel zu erkennen: Somit haben wir alle Längen des Parallelogramms ermittelt.