Versuchsprotokoll von Thomas Bauer und Patrick Fritzsch. Münster, den

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1 E6 Elektrische Resonanz Versuchsprotokoll von Thomas Bauer und Patrick Fritzsch Münster, den..

2 INHALTSVERZEICHNIS. Einleitung. Theoretische Grundlagen. Serienschaltung von Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C. Parallelschaltung von Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C 3. Beschreibung der Apparatur 3. Zubehör 3. Versuchsbeschreibung 4. Versuchsdurchführung 4. Messung der Resonanzkurve in einer Reihenschaltung 4. Messung der Spannungsabfälle im Resonanzfall 4.3 Messung des Innenwiderstandes der großen Spule 4.4 Messung der Resonanzkurve in einer Parallelschaltung 4.5 Messung des Innenwiderstandes der kleinen Spule 5. Meßauswertung 5. Bestimmung der Induktivität der großen Spule 5. Berechnung der Spannungsabfälle an der Spule 5.3 Berechnung der Spannungsabfälle am Kondensator 5.4 Vergleich der gemessenen Spannungsabfälle 5.5 Bestimmung des Innenwiderstandes der großen Spule 5.6 Bestimmung der Induktivität der kleinen Spule 5.7 Bestimmung des Innenwiderstandes der kleinen Spule 6. Diskussion 7. Anlagen Original Meßprotokoll

3 . Einleitung Besteht ein Stromkreis aus mindestens einer Induktivität und einer Kapazität (mit oder ohne ohmschen Widerständen), so bildet er ein schwingungsfähiges System, genannt Schwingkreis. Ein solcher Schwingkreis kann durch eine äußere angelegte Spannung erzwungene Schwingungen durchführen. Da in einem solchen Kreis Kapazitäten und Induktivitäten vorkommen, ist bei einer angelegten Wechselspannung die Impedanz (komplexer Wechselstromwiderstand) von der Frequenz der Spannung abhängig. Entspricht diese Frequenz der Eigenfrequenz des elektrischen Schwingkreises, kommt es zum Resonanzfall, der im folgenden untersucht wird.

4 . Theoretische Grundlagen. Serienschaltung von Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C Eine Serienschaltung von ohmschen Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C (siehe Abb. ), die an einer Wechselspannungsquelle liegen, nennt man einen Serienresonanzkreis. Nach bekannten Regel gilt: U = ZI = ( R + i( ωl ωc)) I Hierbei sind die Spannung U, der Strom I und der Abbildung : Serienschaltung von L, R und C Wechselstromwiderstand Z komplexe Größen. Für die Beträge erhält man dann: U = Z I = R + ( ω L ωc) I, und somit für den Strom: I = R U + ( ωl ωc) Wie man sieht, ist der komplexe Widerstand Z eine Funktion von ω und wird minimal, wenn der Imaginärteil verschwindet. In diesem Fall ist der Strom maximal und es gilt: Z = Z ω ) = Z( ) = R mit ( ω ω = LC und U I = R Die sogenannte Güte Q des Schwingkreises ist definiert als die Überhöhung der Ladungsamplitude im Resonanzfall: ω L Q = = R R L C = ω Die Güte steht auch in Beziehung zur Halbwertsbreite RC ω R Q = mit ω = = ω CR ω L Für die Spannung am Kondensator und an der Spule erhält man mit ω der Resonanzkurve und zwar gilt Z L = ωl und Z C = ωl

5 im Resonanzfall: ω L U L = U = R QU und U C = U = ω RC QU Im Resonanzfall sind also die Spannungsamplituden über der Induktivität und der Kapazität gleich groß. In diesem Fall sind Beide jedoch um π phasenverschoben und kompensieren sich, womit die Gesamtspannung U gleich der Spannung U R über dem ohmschen Widerstand R ist. Bei einer praktischen Untersuchung von Wechselschaltkreisen ist außerdem zu beachten, dass sich der ohmsche Widerstand aus dem eingesetzten Widerstand und dem Innen widerstand der Spule ergibt. Für den Verlustwiderstand R des Kreises gilt: R = ω ( C ) C Dabei sind C und C die Kapazitäten, für die der Strom das ( / ) -fache des Stromes im Resonanzfall ist.. Parallelschaltung von Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C Auch die Parallelschaltung von ohmschen Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C (siehe Abb. ) zeigen ein Resonanzverhalten. Man erhält in dieser Anordnung: I U = ZI = R + i( ωc ωl) Abbildung : Parallelschaltung von L, R und C und für die Beträge somit: U = I R + ( ωc ωl) Da der Strom vorgegeben ist, interessiert nun die Spannung im Resonanzfall. Auch hier ist die Impedanz wieder von der Frequenz abhängig. Der Resonanzfall stellt sich auch hier ein, wenn der Imaginärteil der Impedanz verschwindet. Dann gilt:

6 Z = Z ω ) = Z( ) = R mit ( ω ω = LC und U = R I. Doch bei einer Parallelschaltung nimmt Z im Resonanzfall ein Maximum an und somit auch die Spannung U über dem Widerstand, der Induktivität und der Kapazität. Für die Güte im Parallelschaltkreis gilt: Für die Einzelströme im Resonanzfall gilt R C Q = = R = ω RC ω L L R I L = U = I = Q I ω L ω L und I L ω CU = CR I = Q I. = ω Hier gilt für den Verlustwiderstand des Kreises: R = ω ( C C) Hier sind C und C die Kapazitäten, für die der Strom das -fache des Stromes im Resonanzfall ist.

7 3. Beschreibung der Apparatur 3. Zubehör - Frequenzgenerator - Potentiometer kω - Oszillograph - Potentiometer kω - Vielfachmeßinstrument - unbekannte große Spule - Kapazitätendekade -nf - unbekannte kleine Spule 3. Versuchsbeschreibung 3.. Die Schaltung wird nach Abbildung 3 mit der großen Spule aufgebaut. Die Frequenz wird an dem Frequenzgenerator auf f = Hz eingestellt. Die Amplitude der Spannung wird auf U = V eingestellt. Für den Widerstand R V =Ω, R V =Ω und R V =5Ω wird nun die Spannung solange bei veränderten Kapazitäten C gemessen, bis man eine sichtbare Resonanzkurve I=f(/C) erhält. 3.. Man mißt im Resonanzfall die einzelnen Spannungsabfälle über den Widerstand, der Spule und dem Kondensator 3..3 Die große Spule wird an eine Gleichstromquelle von 4V angeschlossen. Anschließend wird der Strom durch die Spule mit dem Vielfachmeßgerät gemessen Die Schaltung wird nach Abbildung 5 mit der kleinen Spule aufgebaut. Die Frequenz wird an dem Frequenzgenerator auf f = Hz eingestellt. Die Amplitude der Spannung wird auf U = 5V eingestellt. Für den Widerstand R V =, R V =kω und R V =kω wird nun die Spannung solange bei veränderten Kapazitäten C gemessen, bis man eine sichtbare Resonanzkurve I=f(C) erhält Die kleine Spule wird an eine Gleichstromquelle von 4V angeschlossen. Anschließend wird der Strom durch die Spule mit dem Vielfachmeßgerät gemessen.

8 4. Versuchsdurchführung 4. Messung der Resonanzkurve in einer Reihenschaltung (siehe 3.. ) Zuerst wird das Resonanzmaximum an der Kapazitätendekade eingestellt. Danach mißt man unter und über dieser Kapazität. (Um das Resonanzmaximum geht man kleinschrittiger vor, um die Charakteristik der Kurve später besser sehen zu können. ) Die Meßergebnisse sind im originalen Meßprotokoll (siehe Anlage) aufgetragen. 4. Messung der Spannungsabfälle im Resonanzfall Im Resonanzfall (siehe 4.) wird mit dem Vielfachinstrument der Spannungsabfall über dem Widerstand, der Spule und der Kapazitätendekade gemessen. Es ist zu beachten, daß man das Spannungsmeßgerät parallel schaltet. Für das Gerät wird ein relativer Fehler von % geschätzt. Man mißt: R V =Ω : U R =,7mV U L =9,5V U C =9,5V R V =Ω: U R =,56V U L =9,66V U C =9,7V R V =5Ω: U R =,83V U L =,53V U C =,5V 4.3 Messung des Innenwiderstandes R i,g der großen Spule Es wird wie in 3..3 verfahren. Es ist zu beachten, daß man das Strommeßgerät in Reihe schaltet. Man mißt: I=,63A. Es wird für das Gerät ein relativer Fehler von % geschätzt. 4.4 Messung der Resonanzkurve in einer Parallelschaltung (siehe 3..4 ) Zuerst wird das Resonanzminimum an der Kapazitätendekade eingestellt. Danach mißt man unter und über dieser Kapazität. (Um das Resonanzminimum geht man kleinschrittiger vor, um die Charakteristik der Kurve später besser sehen zu können. ) Die Meßergebnisse sind im originalen Meßprotokoll (siehe Anlage) aufgetragen. 4.5 Messung des Innenwiderstandes R i,k der kleinen Spule Es wird wie in 3..5 verfahren. Es ist zu beachten, daß man das Strommeßgerät in Reihe schaltet.

9 5. Meßauswertung Alle Fehler werden nach dem Größtfehler-Prinzip berechnet 5. Bestimmung der Induktivität L G der großen Spule durch die Resonanzkurve Für den Verlustwiderstand gilt: R = ( ) ω C C Aus den drei Diagrammen I,II und III (siehe hinten) ergibt sich: bei R V =Ω : /C = 4,65x 7 ( ± %)/F /C = 5,3x 7 ( ± %)/F bei R V =Ω : /C = 4,53x 7 ( ± %)/F /C = 5,3x 7 ( ± %)/F bei R V =5Ω : /C = 4,5x 7 ( ± %)/F /C = 5,5x 7 ( ± %)/F Also folgt: bei R V =Ω : Verlustwiderstand R=38,97 ( ±,%)Ω bei R V =Ω : bei R V =5Ω : Verlustwiderstand R=557,4 ( ± 3,9%)Ω Verlustwiderstand R=,68 ( ± 7,7%)Ω Für die Induktivität L gilt: =. Die Kapazität C ist die Kapazität, die in dem ω C L Resonanzfall mit der Kapazitätendekade eingestellt ist. Also ergibt sich: L = π,5 6 H =,4 ( ± %) H 5. Berechnung der Spannungsabfälle an der Spule Es gilt: Spannungsabfall U L an der Spule in Reihenschaltung im Resonanzfall bei ω L anliegender Spannung U und Verlustwiderstand R: U L = U R Also berechnet sich: bei R V =Ω : U L = 4,79 ( ± 3,%) V bei R V =Ω : bei R V =5Ω : U L = 7,97 ( ± 5,9%) V U L = 5,48 ( ± 9,7%) V

10 5.3 Berechnung der Spannungsabfälle an dem Kondensator Es gilt: Spannungsabfall U C an dem Kondensator in Reihenschaltung im Resonanzfall bei anliegender Spannung U und Verlustwiderstand R: U C = U ω CR Also berechnet sich: bei R V =Ω : U L = 4,65 ( ± 3,%) V bei R V =Ω : bei R V =5Ω : U L = 7,87 ( ± 5,9%) V U L = 5,54 ( ± 9,7%) V 5.4 Vergleich von 5. und 5. mit den gemessenen Spannungsabfällen Man muß bedenken, die gemessenen Spannungen mit dem Faktor zu multiplizieren, um auf die Spannungsamplitude zu bekommen. R V in Ω U L in V, berechnet U L in V, gemessen U C in V, berechnet U C in V, gemessen 4,79 ± 9,5 4,37 ±,4 4,65 ± 9,4 4, ±,4 7,79 ± 4,4 7,8 ±,8 7,87 ± 4,4 7,87 ±,8 5 5,48 ±,5 7,7 ±,8 5,54 ±,5 7,69 ±,8 Die experimentellen Meßergebnisse stimmen also mit den theoretisch berechneten Werten im Rahmen der Meßunsicherheit überein. 5.5 Bestimmung des Innenwiderstandes R I,G der großen Spule (a) Es gilt bei Gleichstrom: R I,G = U / I Die angelegte Spannung ist: U=4 ( ± %) V. Die gemessene Stromstärke ist I =,63 ( ± %) A. Also ergibt sich: R I,G = 4V /,63 A = 38,95 ( ± %) Ω (b) Es gilt bei Wechselstrom im Resonanzfall mit dem Verlustwiderstand R und dem Vorwiderstand R V : R I,G = R - R V Also folgt: bei R V =Ω : Innenwiderstand R I,G =38,95 ( ±,%) Ω bei R V =Ω : bei R V =5Ω : Innenwiderstand R I,G =357,4 ( ± 3,9%) Ω Innenwiderstand R I,G =5,68 ( ± 7,7%) Ω

11 Man bemerkt sofort, daß sich in der letzten Messung bei Versuchsdurchführung ein grober Meßfehler eingeschlichen haben muß. Während die ersten beiden Messungen mit der Gleichstrommessung im Rahmen der Meßunsicherheit übereinstimmen, fällt die letzte Messung völlig aus dem Rahmen. 5.6 Bestimmung der Induktivität L K der kleinen Spule durch die Resonanzkurve Für den Verlustwiderstand gilt: R = ω ( C C) Aus den drei Diagrammen IV,V und VI (siehe hinten) ergibt sich: bei R P =kω : /C =,7x -7 ( ± %)/F /C = 3,95x -7 ( ± %)/F bei R P =kω : /C =,84x -7 ( ± %)/F /C = 3,8x -7 ( ± %)/F bei R P = : /C =,84x -7 ( ± %)/F /C = 3,8x -7 ( ± %)/F Also folgt: bei R P =kω : Verlustwiderstand R=693 ( ± 3,%)Ω bei R P =kω : Verlustwiderstand R=936 ( ± 7,7%)Ω bei R P = : Verlustwiderstand R=936 ( ± 7,7%)Ω Für die Induktivität L gilt: =. Die Kapazität C ist die Kapazität, die in dem ω C L Resonanzfall mit der Kapazitätendekade eingestellt ist. Also ergibt sich: L = π,34 6 H =,8 ( ± %) H

12 5.7 Bestimmung des Innenwiderstandes R I,K der kleinen Spule (a) Es gilt bei Gleichstrom: R I,K = U / I Die angelegte Spannung ist: U=4 ( ± %) V. Die gemessene Stromstärke ist I =,89 ( ± %) A. Also ergibt sich: R I,K = 4V /,63 A = 6,97 ( ± %) Ω (b) Es gilt bei Wechselstrom im Resonanzfall mit dem Verlustwiderstand R und dem Parallelwiderstand R P : R I,K = ω L ( RP R) R R P, bzw. ω L bei unendlichem Parallelwiderstand R P = : R I, K = R Also folgt: bei R P =kω : Innenwiderstand R I,K =,9 ( ± 7,4%) Ω bei R P =kω : Innenwiderstand R I,K =,7 ( ± 36,4%) Ω bei R P = : Innenwiderstand R I,K =6,9 ( ± 8,7%) Ω

13 6. Diskussion Es ist nicht zu übersehen, dass bei den sechs Messungen zur Bestimmung der Innenwiderstände der zwei Spulen jeweils ein Meßwert total abweicht. Man muß sich jetzt fragen, woraus diese Abweichung resultiert. Mögliche Fehlerquellen sind die Meßgeräte, der Oszillograph und natürlich auch wir. Da jedoch bei jeder Meßreihe nur je eine Messung abweicht, kommen nur wir als Fehlerquelle in Frage, auch wenn wir nicht wissen, was wir falsch gemacht haben könnten.

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