Einführung Fehlerrechnung

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1 IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate deale, fehlerfree Ergebs. Jeder gemessee Wert st mt Fehler behaftet. Se köe zufällg oder systematsch se. Mßt ma z.b. ee Läge mt eem Maßstab, so werde de zufällge Fehler durch de beschräkte Ablesegeaugket verursacht. Würde de Telug des Maßstabes cht stmme, so wäre de Messug mt eem systematsche Fehler behaftet. Systematsche Fehler habe ee bestmmte Größe ud e bestmmtes Vorzeche. Se köe m Przp erkat ud korrger werde x, x, x 3...x De Fehlerrechug befaßt sch mt de zufällge Fehler. Wr ee de durch -malges Ausführe eer Messug erhaltee Meßwerte l,l,...l. Be vele Beobachtuge ( groß häufe sch dese Werte um de arthmetsche Mttelwert: x = ( x + x x = x = F( Das so berrechete arthmetsche Mttel aus de Meßwerte stellt cht de we berets erwäht grudsätzlch ubekate ware Wert der Meßgröße dar, soder ur ee bestmöglche Schätzwert des wahre Wertes. Trägt ma de Häufgket, mt der e Meßwert auftrtt, über de Meßwerte auf, so ergbt sch ( m Grezfall für ee Vertelug, de ma Gaußsche Fehlerkurve et (Fg. Fg. : Häufgket T σ Meßwerte

2 V De Gauß`sche Fehlerkurve wrd durch de Fukto P G ( x = exp F( σ π x x σ dargestellt. De Brete der Gauß-Vertelug wrd durch de Größe σ bestmmt, welche als Stadardabwechug bezechet wrd. Der Abstad zwsche de bede Wedepukte der Gauß-Kurve st glech σ. Be eer edlche Azahl vo Messuge läßt sch aus de (zufällge Schwakuge der Meßwerte x e bestmöglcher Schätzwert s für de Stadardabwechug ermttel mt Hlfe folgeder Formel: s = Für kovergert s gege σ. = ( mt = x x F (3 Das Verhälts der Fläche uter deser Kurve erhalb der Wedepukte (schraffert zur Gesamtfläche beträgt 68,3%. Das heßt: vo de (sehr vele Meßwerte lege 68,3 % m Itervall x ± σ, 3,7 % außerhalb. Mt adere Worte: We der scho sehr oft gemessee Wert och emal gemesse wrd, so st de Wahrschelchket, daß deser letzte Meßwert außerhalb des Itervalls x ± 3 σ legt, 0,7 % (Verhälts der Fläche uter der Gauß`sche Fehlerkurve!. Das Ergebs eer Meßrehe wrd der Form x ± oder x( ± x agegebe. Der sogeate mttlere (Gauß`sche Fehler des Mttelwerts x σ hägt mt der Stadardabwechug der Form = zusamme. Der mttlere Fehler des Mttelwerts wrd also mt wachsedem kleer. Als Schätzwert für de mttlere Fehler verwedet ma:

3 VI = s = = ( ( F(4 De Quotete aus dem absolute Fehler x ud dem Mttelwert x et ma relatve Fehler. Setzt sch de zu bestmmede physkalsche Größe R aus mehrere Meßgröße u, v, w,... zusamme, de mt Fehler u, v, w,... behaftet sd, so glt für de Fehler der zu bestmmede Größe R = R(u,v,w,... =± R u u R v v R + + w w + F(5 Dabe st z.b. R de Abletug der Fukto R ach der Varable u uter u Kostathaltug aller übrge Varable (partelle Abletug. Wr betrachte als Bespel de fuktoelle Form: R = uavbwc ; wege R u = a R u, R v =... fdet ma desem Fall für de relatve Fehler =± a u b v c w R + u + v w F(6 Glechug F(6 zegt de wchtge Sachverhalt, daß der relatve Fehler eer Meßgröße sch um so stärker m relatve Fehler des Edergebsses auswrkt,je größer der Expoet st, mt dem dese Meßgröße de Edformel egeht. Mttlerer Fehler be wege Meßwerte:

4 VII De Meßrehe m Praktkum bestehe m allgemee aus ur wege Meßwerte. De Ersetzug vo σ durch s st daher cht ohe weteres zulässg. De Überleguge, de dem Gauß`sche Fehler zugrude lege, köe jedoch auch auf wege Meßpukte verallgemeert werde. Das Meßergebs erhält da de Form t s = x ± s ( = x F(7 Der Faktor t hägt vo der gewählte statstsche Scherhet ud vo der Azahl der Meßwerte ab. Er st Tab. agegebe. Tabelle : Korrekturfaktore be gerger Azahl vo Meßwerte Azahl der Ezelwerte Statstsche Scherhet 68,3 % 99,75 % t t3 5,5 6,6 6, 5,5 8,08 4,8 0,06 4, 0,03 3,4 30,0 3,3 50,0 3, 00,00 3, 00,00 3,0 mehr,00 3,0 I mache Fälle geügt für ee grobe Abschätzug der Geaugket eer Meßrehe de Agabe der maxmale Abwechug ees Ezelwertes max vommttelwert : max = max x x = max max st mmer größer als (be efacher statstscher Scherhet. Ee obere Greze für de Fehler eer aus Meßgröße u, v, w... zu berechede Größe R = R(u, v, w... ergbt sch zu:

5 VIII =± R u u + R v v + R w w+ F(8 Bespel: x mm mm (²,06 + 0,0 0,0004,07 + 0,03 0,0009,03-0,0 0,000,04-0,0 0,000,04 0,00 0,0000,0-0,03 0,0009,04 = x 0,004= ( Be efacher statstscher Scherhet: t, = s = 0,0mm 0, 0mm 6 x = (,04 ± 0,0 mm (relatver Fehler ± % Be drefacher statstscher Scherhet: t 5,5 = 3 s = 0,0mm 0, 05mm 6 x = (,04 ± 0,05 mm (relatver Fehler ± 5 % Maxmale Abwechug: max = 0,03 mm 00.Word 97

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