Anleitung zur Fehlerrechnung im Physikpraktikum

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1 F Aletug zur Fehlerrechug Physkpraktku Lteratur: Nor DIN 39 VDI-Rchtle 048 Blatt 60 Blatt u. G.L. Squres: Messergebsse ud hre Auswertug Verlag de Gruyter Berl G. Hartwg: Eführug de Fehler- ud Ausglechsrechug Carl Haser Verlag Müche W. Walcher: Praktku der Physk Teuber Studebücher -Physk-. Fehler ud Fehlerarte. Defto des Fehlers Messwerte ud aus Messwerte berechete Ergebsse sd er t Fehler behaftet. Der absolute Fehler x st der Utersched zwsche geessee Istwert der Messgröße x (Messwert) ud de wahre Wert der Messgröße xw. x = x - xw. Der absolute Fehler hat de Deso der Messgröße. Häufg wrd auch t de relatve Fehler gerechet: absoluter Fehler x Relatver Fehler = = wahrer Wert x Da der wahre Wert xw eer Messgröße e geau bekat st, wrd der Fehler (Voraussetzug: der Fehler st "geüged kle") auf de Messwert x bezoge: W x Relatver Fehler = x x (Rel. Fehler % = 00) x F /3

2 . Systeatsche Fehler Systeatsche Fehler sd Fehler, de hre Ursache Meßsyste habe. Se sd reproduzerbar ud trete be Wederholug der Messug glecher Rchtug ud Größe auf. Systeatsche Fehler ache ee Messug urchtg. Bespel: E Maßstab oder e Messstruet wurde falsch geecht; dese Art vo systeatsche Fehler köe ur durch Kotrolle erfasst ud durch Neuechug der Messgeräte besetgt werde. Systeatsche Fehler köe aber auch durch Irrtu vo Beobachter, Awedug ugeegeter Messverfahre usw. etstehe. Ee wchtge Ursache für systeatsche Fehler besteht dar, daß Messgeräte ee bestte "Güte" habe; so köe z.b. t eer efache Scheblehre Läge ur auf ± 0, geau geesse werde. Deser systeatsche Fehler ka ur durch Verbesserug des Meßsystes verkleert werde (Scheblehre >> Mkroeterschraube)..3 Zufällge Fehler Zufällge Fehler sd cht reproduzerbar, d.h. se sd be Wederholuge vo Messuge eer kostate Messgröße t derselbe Messerchtug ach Größe ud Betrag verschede. Zufällge Fehler ache ee Messug ugeau. Bespel: Messug der Bldwete a t folgeder efacher Lseaordug De Agabe ±0, st als sog. Garatefehlergreze zu terpretere (s. Nor DIN 39,7..). Be ee Kollektv vo Scheblehre ka das postve oder das egatve Vorzeche, jedoch Ezelfall jewels ur e Vorzeche zutreffe, d.h. es hadelt sch Ezelfall u ee systeatsche Fehler. F /3

3 Durch Verschebe des Schrs wrd das Bld scharfgestellt. Da de Schärfe cht exakt beurtelt werde ka, streue de abgelesee Werte vo a. De Abwechuge vo der wahre Bldwete aw sd allgeee ach Größe ud Rchtug verschede, da das Bld zufällg eal früher ud eal später als scharf erkat wrd. Zufällge Fehler köe durch ee größere Azahl vo Messuge verrgert werde. Se sd theoretsch erfassbar (Gaußsche Fehlertheore). Zufällge Fehler ud systeatsche Fehler köe cht er streg voeader getret werde. Der Gesatfehler wrd est durch Überlagerug beder Fehlerarte etstehe.. Rechersche Erfassug der zufällg vertelte Fehler De Darstellug der relatve Häufgket der Fehler h ( x) Abhäggket vo absolute Fehler x et a Fehlervertelug. Es st der Praxs üblch ud aufgrud lager Erfahrug auch svoll, als Vertelugsfor der zufällge Fehler ee Gaußvertelug (Noralvertelug) azuehe: h( x) = e σ π - ( x ) σ. Mttelwert Be t zufällge Fehler behaftete Messgröße werde ehrere Messuge vorgeoe 0. Der Bestwert st der arthetsche Mttelwert: x = x = F 3/3

4 . Mttlerer Fehler des Ezelwerts σ ud ttlerer Fehler des Mttelwerts x Der ttlere Fehler des Ezelwerts σ (Stadardabwechug) st e Maß für de Abwechug des Ezelesswerts vo Mttelwert Glockekurve). x x (x x ) σ = = x x x (Brete der Gaußsche Azahl der Messwerte Mttelwert Ezelesswerte (σ wrd auch als Stchprobestadardabwechug bezechet) De Kegröße σ gbt folgedes a: Wrd rged e x geesse, so lege erhalb der Greze x ± σ 68,3% x ± σ 95,4% x ± 3σ 99,7% aller Meßwerte. Der ttlere Fehler des Mttelwerts x st kleer als der ttlere Fehler des Ezelwerts: t σ x = = t (x x ) ( ) Für t =,,3 lege 68,3%, 95,4%, 99,7% aller durch Wederholug der Messug erttelte Mttelwerte x erhalb x ± x. I der Physk ud der Veressugstechk begügt a sch t eer statstsche Scherhet vo 68,3% ud setzt deshalb t = : x = σ (I der Idustre wrd t =, der Bologe t = 3 bevorzugt.) F 4/3

5 .3 Bespel zur Berechug vo Mttelwert, Stadardabwechug ud ttlere Fehler des Mttelwerts Be de uter.3 geate Bespel zur Messug der Bldwete a wurde 0 Werte vo a geesse. Es ergbt sch folgedes Recheschea: ' ' ' a [ ] (a a )[ ] ' ' (a a ) 0, , , , , , , , , , ' 0,60 = a 6 0 ' ' = 40 0 = (a a ) σ = 0 ' ' (a - a ) - 6 = σ = 9 = 0,00085 ' σ σ a = a ' = 0 = 0, Edergebs: a = (0,60 ± 0,000666) F 5/3

6 3. Fehlerfortpflazug Häufg wrd e Messergebs y aus ehrere Messwerte x gebldet, de ee fuktoale Zusaehag stehe: y = f(x, x, x 3,...) De Messwerte x sd t systeatsche oder zufällge Fehler behaftet ( x). Da a de Geaugket des Messergebsses y est gaz kokrete Aforderuge gestellt werde, st de Beatwortug der Frage, we sch de Fehler x auf y auswrke ("Fehlerfortpflazug"), vo etschededer Bedeutug. Erst da ka beurtelt werde, welche Messgröße besoders sorgfältg ud welche weger geau geesse werde üsse. Bedes beeflusst de Aufwad, der be der Messug betrebe wrd. 3. Grudlage der Fehlerfortpflazug Da allgeee der Fehler x eer Messgröße x cht geau bekat st, soder ur de Fehlergreze ± x, st es vele Fälle zweckäßg, be der Fehlerfortpflazug de schlste Fall azuehe, d.h. de Fall, dass sch alle auftretede Fehler "addere" ud cht etwa gegesetg aufhebe. Matheatsche Grudlage der Fehlerfortpflazug (Voraussetzug x «x) st das sogeate totale Dfferetal: y y y = x + x +... x x (Beträge wege axaler Abschätzug) Falls y ur vo ee Messwert x abhägt (y = f(x)), ergbt sch das "Dfferetal": y = f (x) x Es st jedoch cht er erforderlch, t de allgeee Forel zu reche; häufg geügt de Awedug vo berets abgeletete Forel für häufg vorkoede Tere (sehe dazu 3.). F 6/3

7 Aerkug: Stellt a Rechug, dass etgege der her geachte Aahe ee gewsse Wahrschelchket für de gegesetge Ausglech der Fehler besteht, so ergbt sch ach der Theore für de ttlere absolute Fehler des Ergebsses (statt des totale Dfferetals): y y y = ( x ) + ( x ) +... x x 3. Spezelle Recheregel für de Fehlerfortpflazug Addto ud Subtrakto zweer Messgröße: y = f(x,x ) = x ± x y = x + x Multplkato ud Dvso zweer Messgröße: x y x x y = C x x bzw. y = C = + x y x x Potez ud Wurzel (ee Messgröße): y = C x y = y x x y = x y x = y x Potezprodukt: k y x x y = f(x,x,...) = C x x x 3... = k y x x wobe C = kostat Beachte: Be Addto ud Subtrakto wrd der absolute Fehler, be Multplkato, Dvso, Potezere ud Radzere wrd der relatve Fehler beutzt. Das folgede Bespel soll zege, we t Hlfe deser efache Regel auch koplzertere Fuktoe behadelt werde köe. F 7/3

8 3.3 Bespel Gegebe st folgeder Zusaehag der Größe, r ud a: g J(,r,a) = r ( ) a De Masse ud der Radus r werde drekt geesse. De Beschleugug a wrd aus adere Messgröße berechet ud st ebeso we ud r t ee Fehler behaftet. De Fallbeschleugug g = 9,8 /s wrd als fehlerfre agesehe. We groß st der Fehler J für das zu berechede Träghetsoet J? = (0,55 ± 0,005) kg; r = (0,008 ± 0,000) ; a = (0,± 0,005) ; s 0,0= % r 0,04 = 4% r a 0,04 = 4% a Esetze der Zahlewerte (ohe Fehler) de Forel ergbt: 9,8 J = 0,55 kg 0,008 ( s - ) = 3,3 0 kg 0, s -4 a) Fehlerrechug t spezelle Forel J (,r,a ) = u (,r,a ) + v ( r, ) wobe u (,r,a ) = r a g ud v (,r ) = - r u ud v köe ach de Regel für e Potezprodukt behadelt werde: u r a v r = + + ud = + u r a v r De Forel stat aus Versuch M Maxwell sches Rad. De Beschleugug a wrd dort aus a = h/t t de Messgröße Fallhöhe h ud Fallzet t erttelt. De Fehlerrechug für a ka drekt ach der Forel für e Potezprodukt durchgeführt werde: h a h t a ( h,t ) = = + t a h t F 8/3

9 Zur wetere Behadlug wrd für J (u,v) = u + v de Sueregel beützt. Vorher wrd aus de relatve Fehler u u ud v v Sueregel de Beutzug der absolute Fehler erfordert. jewels der absolute Fehler gebldet, da de u u = u; u v v v = v r a r J = u + v = u ( + + ) + v ( + ) r a r Häufg ergbt sch ee Verefachug, we a de relatve Fehler bldet, bevor a Zahle esetzt: J u r a v r = ( + + ) + ( + ) J u + v r a u + v r r g a = + + r g - a a 0,0 + 0,08 + 0,04 = 0,3 = 3% Edergebs: - 3 J = (3,3 ± 0,4) 0 kg b) Fehlerrechug t totale Dfferetal g J (,r,a ) = r ( ) a - J J J J = + r + a r a g g - r g = r ( - ) + r ( - ) r + a a a a F 9/3

10 Zur Verefachug wrd weder der relatve Fehler gebldet g g g r ( - ) r ( - ) ( r ) a J = a + a r + a J g g g r ( - ) r ( - ) r ( - ) a a a r g a = + + r g - a a Es zegt sch, dass der größte Fehleratel, älch 8% über de Messug vo r efleßt. Her uss erster Le agesetzt werde, we a ee drastsche Fehlerverrgerug erreche wll (Scheblehre >> Mkroeterschraube). Der Fehler be der Massebestug ( = 5g) trägt ur t % zu Gesatfehler be. 4. Leare Regresso (Ausglechsgerade) Zwsche de drekt essbare Größe x ud y bestehe be Abwesehet vo Messfehler e learer Zusaehag: y = ax + b a ud b solle dadurch bestt werde, dass Wertepaare (x,y) geesse werde ( x,y t zufällge Fehler behaftet). De Bestwerte vo a ud b ergebe sch da t folgede Forel: a = x y - x = = = x - ( x ) = = y b = y x - x x y = = = = x - ( x) = = Aus de Abwechuge v = y b a x erhält a de ttlere Fehler der Ezelessug zu: = = v - F 0/3

11 De ttlere Fehler a vo a ud b vo b ergebe sch zu: = a x - ( x ) = = x = b = x - ( x) = = Bespel: Zur Überprüfug des Hooksche Gesetzes wurde Auslekuge x eer Schraubefeder be verschedee Belastuge F geesse. F (N) I x () ========================= 0 I 0 0, I cht 0, I 5 lear 0,3 I 9 0,4 I 8 0,5 I 35 0,6 I 53 0,7 I 67 0,8 I 85 lear 0,9 I 04,0 I 9, I 38, I 54,3 I 65 De Messergebsse zege, dass das Hooksche Gesetz (learer Zusaehag zwsche x ud F) erst ab eer bestte Auslekug (x = x4 ) erfüllt st. We a deach vo Verhalte der Feder für klee Auslekuge abseht, ka a de Messwerte a beste t folgede Zusaehag terpretere: F = FO + kx FO = Vorspakraft k = Federkostate F /3

12 Nach Weglasse der erste 4 Wertepaare verblebe = 0 Wertepaare (x, F). Es ergbt sch folgedes Recheschea: x [] F [N] x [ ] xf [N] 8 0,4 34 7, 35 0,5 5 7, 53 0, ,8 67 0, ,9 85 0, ,0 04 0, ,6 9,0 46 9,0 38, ,8 54, ,8 65,3 75 4,5 938 = x = ( x ) 8,5 = F 034 = x 935, = x F F x x x F = = = = x x = = 8, , F = = N 0,89 N 0 x F x F = = = 0 935, ,5 N N k = = 0, x x = = F /3

13 Berechug der ttlere Fehler vo F0 ud k : x [] F [N] v = F-F 0 - k x [N] v [N] 8 0,4 3, ,5, ,6 6, ,7 0, ,8, ,9 0, ,0 0, , 4, , 9, ,3 4, = v v 6 = = = N 0 N 0 8 F = N 8 0 N k 0 N 5 N = Edergebs: F 3 0 = (0,89 ± 8 0 ) N N 5 k = (0,00598 ± 8 0 ) F 3/3