Übungsaufgaben. Physik II. Fehlerrechnung. Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen

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1 Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen Übungsaufgaben Physik II Fehlerrechnung Autor: Prof. Dr. G. Bucher Bearbeitet: Dipl. Phys. A. Szasz Februar 3

2 Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) Fehlerrechnung Abbildungsgleichung (WS/3) Gegeben ist die Abbildungsgleichung einer gekrümmten Trennfläche zwischen zwei Medien unterschiedlicher optischer Dichte: n n n n + = a a Gegenstandsweite: a = m optische Dichte: n = Bildweite: a = m optische Dichte: n = a) Berechnen Sie den Krümmungsradius der Trennfläche! b) Fehlerbehaftet seien die Grössen a und a. Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler für den Krümmungsradius! c) Berechnen Sie den relativen Fehler wenn Gegenstandsweite a und Bildweite a mit jeweils einem relativen Fehler von 5 % behaftet sind!

3 Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) Fehlerrechnung Schaltung von Wechselstromwiderständen (SS) Gegeben seien folgende Bauteile: 3 L eine Spule der Induktivität L =. H mit = 5%, ein Kondensator der L 3 C Kapazität C =. F mit = 5% und ein Ohmscher Widerstand =.5 Ω mit C = 5%. Die Kreisfrequenz sei ω = 5 und gilt als fehlerfrei. s Hinweis: Für die Blindwiderstände von Spule und Kondensator gelten die Formeln: X L = jωl und X C = j ω C Die Parallelschaltung von Spule und Kondensator ist in eihe zum Ohmschen Widerstand geschaltet. a) Skizzieren Sie die Schaltung! b) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z der Schaltung! c) Berechnen Sie die Frequenz, für die der Scheinwiderstand Z seinen geringstmöglichen Wert annimmt! d) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen des Scheinwiderstand Z nach den mit Fehlern behafteten Größen L, C, und. e) Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Z Fehler Z und den prozentualen relativen Fehler für die gegebene Frequenz. Z

4 Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) Fehlerrechnung Schaltung von Widerständen (WS/) Gegeben seien drei Ohmsche Widerstände und deren relative Fehler: = 5 Ω mit = %, = Ω mit = % und = 5 Ω 3 3 = 5%. 3 Die eihenschaltung der Widerstände und ist parallel zum Widerstand 3 geschaltet. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung! b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen des Gesamtwiderstands nach den Widerständen und 3. c) Berechnen Sie nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler und den prozentualen relativen Fehler. d) Die Widerstände und 3 werden nun vertauscht. Berechnen Sie den relativen Fehler für diesen Fall! neu

5 Brennweite einer Linse (WS/) Die bildseitige Brennweite f einer Glaslinse in Luft ergibt sich nach folgender Gleichung aus den Krümmungsradien der Linsenflächen: n n = + f Die optische Dichte von Glas beträgt n =.75 und gilt als fehlerfrei. Eine Serie von Messungen ergibt für die Krümmungsradien der Linsenflächen folgende Werte: = ( 75 ± 5)mm = ( 5 )mm ± a) Berechnen Sie die Brennweite f. b) Bestimmen Sie nach dem Gauss schen Fehlerfortpflanzungsgesetz Δ f den absoluten Fehler Δ f und den relativen Fehler. f c) Bestimmen Sie den Messfehler Δ für den adius so, dass der Δf relative Messfehler der Brennweite = % beträgt. f

6 Kondensatoren (SS) Gegeben sei eine Serienschaltung von zwei Kondensatoren mit folgenden Kapazitäten: ΔC C =. μf mit ΔC = % und C = 4. μf mit = 5% C C a) Berechnen Sie die Gesamtkapazität C ges dieser Schaltung. b) Berechnen Sie nach dem Gauss schen Fehlerfortpflanzungsgesetz ΔCges den absoluten Fehler ΔC ges und den relativen Fehler dieser C Schaltung. c) Bestimmen Sie die Unsicherheit der Kapazität C so, dass der ΔCges relative Fehler der Gesamtschaltung = % beträgt! C ges ges

7 Drillachse (WS9/) Im Versuch S wird mit Hilfe einer vertikalen Drillachse das Massenträgheitsmoment einer Holzkugel aus der Formel der Periodendauer eines harmonischen ungedämpften Drehschwingers bestimmt: J T = π c * Die Winkelrichtgröße c * der Drillachse wird durch r statische Auslenkung r mit bekanntem Drehmoment ( M = F r ; wobei F r ) ermittelt. Mit einem Federkraftmesser wurden folgende Kräfte für verschiedene Auslenkwinkel β gemessen: β rad F N π 6 π 3 π π 3 5π π Abstand Drehachse- Angriffspunkt der Kraft: r =.7 m = konstant Unsicherheit des verwendeten Kraftmessers: ΔF =.5 N a) Zeichnen Sie die Messwerte für das ückstellmoment der Spiralfeder M (einschließlich Fehlerbalken ) über den Auslenkungswinkel β in ein Diagramm ein. b) Bestimmen Sie graphisch die ausgleichende Gerade M = M(β ) und berechnen Sie aus der Steigung dieser Geraden die Winkelrichtgröße c * der Feder. Hinweis: Nach dem Hookeschen Gesetz ist das ückstellmoment der Spiralfeder M proportional zum Auslenkungswinkel β ( M = c * β ). c) Über die Steigungen der Grenzgeraden ist eine Unsicherheit der Winkelrichtgröße Δ c * abzuschätzen. d) Anschließend wird die Holzkugel auf die Drillachse aufgesetzt. Mehrfache Messungen der Schwingungsdauer ergeben: T = (.79 ±.3) s. Verwenden Sie für die Winkelrichtgröße c * entweder das Ergebnis der Auswertung a) bis einschließlich c), oder den Wert: c* = (.39 ±.6) Nm und berechnen Sie das Massenträgheitsmoment der Kugel J sowie den absoluten Fehler ΔJ nach dem Verfahren der Fehlerfortpflanzung. Geben Sie das Ergebnis mit der richtigen Einheit und sinnvoll gerundet an. e) Berechnen Sie nach der Formel: J = m r einen Vergleichswert für 5 das Massenträgheitsmoment dieser Kugel, wenn folgende Werte bekannt sind:

8 Masse der Kugel: m = ( 9.4 ±.5)g Durchmesser der Kugel: d = ( 38 ± )mm f) Prüfen Sie die beiden Ergebnisse auf Verträglichkeit!

9 adioaktivität (SS8) Mit Hilfe einer Patent-Kobaltquelle soll nach dem Schwächungsgesetz die Dicke d einer Materialprobe ermittelt werden. Das Schwächungsgesetz lautet: μ d z( d) = z e z : Zählrate ohne absorbierendes Material im Strahlengang z (d ) : Zählrate mit einer absorbierenden Schicht der Dicke d im Strahlengang μ : linearer Schwächungskoeffizient der Materialprobe und hat den Wert: μ ( ) cm =.5 ±. Die Zählraten mit und ohne absorbierendes Material im Strahlengang unterliegen der statistischen Schwankung. a) Bestimmen Sie nach dem Gauss`schen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler Δ d der Schichtdicke d. b) In einem Experiment werden die Zählraten z = min und z( d ) = z (entspricht ca. z ( d) = 334 ) ermittelt. e min Berechnen Sie die Schichtdicke d des absorbierenden Materials und die Messunsicherheit Δ d.

10 Schwächungskoeffizient (WS7/8) Im Versuch A wird die Schwächung ionisierender Strahlung in Materie untersucht und konkret der lineare Schwächungskoeffizient μ ermittelt. Die Untergrundstrahlung wird im Folgenden vernachlässigt. Die Gleichung μ d z(d) = z e beschreibt die Schwächung ionisierender Strahlung durch einen Absorber wobei: z(d) : Zählrate mit einer absorbierenden Schicht der Dicke d z : Zählrate ohne absorbierende Materie zwischen Quelle und Detektor μ : d : linearer Schwächungskoeffizient Dicke des Absorbers parallel zur Verbindungsstrecke Quelle- Detektor Hinweis: Die Zählrate z ist die Zahl der Zählereignisse pro Minute. Für den statistischen Fehler ist die Gesamtzahl N aller Zählereignisse in einem Experiment verantwortlich. a) Berechnen Sie nach dem Gaußschen Gesetz der Fehlerfortpflanzung Δμ den absoluten Fehler Δ μ und den relativen Fehler für den μ linearen Schwächungskoeffizienten μ. Die Zählraten z(d) und z, sowie die Dicke d des Absorbers sind fehlerbehaftet! b) In einem Experiment werden die Zählereignisse N und N( d ) = e N (entspricht ca. 35 Ereignissen) bei gleichen Zählzeiten t Z = min ermittelt. Die Schichtdicke des Absorbers sei d = ( 5. ±.5) cm. Berechnen Sie daraus den linearen Schwächungskoeffizienten μ, Δ μ sowie den absoluten Fehler Δ μ und den relativen Fehler. μ c) Berechnen Sie die notwendige Zählzeit t max für N(d ), damit N und N(d ) den gleichen Beitrag zum Gesamtfehler des linearen Schwächungskoeffizienten μ leisten. =

11 Brennweite einer Linse (SS7) Im Versuch O wird die Brennweite einer Linse nach dem Besselschen Verfahren mit folgender Gleichung bestimmt: L s f = 4 L wobei: f : Brennweite der untersuchten Linse L (fehlerbehaftet): Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene s (fehlerbehaftet): Abstand der beiden Gegenstandstandebenen für scharfe Abbildung bei gegebenem Abstand L. a) Berechnen Sie nach dem Gaußschen Gesetz der Fehlerfortpflanzung den absoluten Fehler Δf Δf und den relativen Fehler f für die Brennweite f. b) Der Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene wurde mit L = ( ± )mm ermittelt und für den Abstand zwischen den beiden Gegenstandsebenen wurde s = ( 7± )mm gemessen. Berechnen Sie die zugehörige Brennweite f mit absolutem Fehler Δ f Δ f und relativem Fehler. f c) Der Abstand L zwischen Gegenstands- und Bildebene werde nun mit ΔL einem relativen Fehler =.7 % und der Abstand s der beiden L Δs Gegenstandsebenen wird mit einem relativen Fehler = % s bestimmt. Berechnen Sie, bezogen auf den Abstand L, die Brennweite f Δf derjenigen Linse, die mit einem relativen Fehler = % bestimmt f werden kann.

12 Detektorempfindlichkeit (SS6) Mit Hilfe einer Patent-Kobaltquelle soll die Detektorempfindlichkeit bestimmt werden. Die Quelle hatte bei der Herstellung eine Aktivität von A = ( 4, ± 5.)kBq. Die Quelle ist ( 8 Jahre ± Monate) alt und hat eine (exakte) Halbwertszeit T = Jahre. Bei jedem Zerfall werden 3 Gammaquanten frei. Der Detektor befindet sich in einem Abstand d = (.5 ±.5 )m und hat selbst einen adius von D = (. ±. )mm. Für den Nulleffekt wurde eine Impulszahl N = in der Zeit t = min gemessen. N γ a) Berechnen Sie die Anzahl der Gammaquanten, die pro Minute auf den Detektor treffen. b) Geben Sie die Formel an, nach der die Detektorempfindlichkeit ε bestimmt wird. c) Berechnen Sie mit Hilfe der Gaussschen Fehlerfortpflanzung den Gesamtfehler Δ ε der Nachweiswahrscheinlichkeit ε. Δε d) Berechnen Sie den relativen Fehler der ε Nachweiswahrscheinlichkeit. e) Der Detektor liefert eine mittlere Zählrate von Δε Berechnen Sie den relativen Fehler ε der z = 4. min Nachweiswahrscheinlichkeit für eine Zählzeit von t Z =.5 min. f) Berechnen Sie die Zählzeit, die Sie mindestens einhalten t optimal müssen, um den relativen Fehler auf % zu begrenzen. Δε der Nachweiswahrscheinlichkeit ε

13 C-Glied (WS5/6) Die Entladung eines Kondensators C über einen Widerstand ( C Glied ) wird durch folgende Gleichung beschrieben: u(t) = U e In dieser Gleichung sind die Größen U, Zeit t ist fehlerfrei. t C und C fehlerbehaftet. Die a) Berechnen Sie allgemein nach dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler Δ u(t ) und den Δu( t ) relativen Fehler. u( t ) b) Berechnen Sie die Spannungswerte u i (t ) und die relativen Δui ( t ) Fehler für die Zeiten: t = s; t ui ( t ) = s; t 3 = s mit folgenden Zahlenwerten: Eulersche Konstante: e = U = (. ±.) V Δ = 7 Ω mit = 5 % ΔC C = 6 F mit = % C

14 Widerstände (SS5) Über das Verhältnis von Spannung U und Widerstand Stromstärke I bestimmt. Der Widerstand ges ges wird die setzt sich aus parallel geschalteten Widerständen und zusammen. Die Spannung U wird mit 6. V ermittelt, das Messgerät hat einen Messbereich von V, und eine Toleranz von ± % vom Vollausschlag. Δ Es sei: = 3 Ω mit Δ = 5% und = Ω mit = % a) Berechnen Sie den Strom I. b) Berechnen Sie theoretisch (ohne Zahlenrechnung) nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz den absoluten Fehler Δ I für diese Strommessung. c) Berechnen Sie nach einer Methode Ihrer Wahl den relativen ΔI Fehler und den absoluten Fehler Δ I dieser Strommessung in I Zahlen.

15 Abbildungsgleichung (WS4/5) Gegeben sei folgende Gleichung für eine brechende Fläche: n a n a n n = Eine Serie von Messungen ergibt für die Gegenstandsweite einen mittleren Wert a = (. ±.5) m, die Bildweite ergibt sich zu a = (.5 ±.5) m. Die optischen Dichten sind: n =. (Luft) und =.5 (BK 7). n Berechnen Sie den Krümmungsradius dieser Anordnung und geben Δ Sie den absoluten Fehler Δ und den relativen Fehler an.