Kapitel 1. Grundlagen der Fehleranalyse

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1 Kaptel Grundlagen der Fehleranalyse B... (Fehlerarten): Von den Fehlerquellen ausgehend unterscheden wr dre unterschedlche Fehlerarten: () Engangsehler Dese entstehen durch a) Modellerungsehler (Z.B. wenn ene komplzerte Funkton durch ene enachere ersetzt wrd bzw. durch Dskretserung enes stetgen Modells). b) Datenehler Engangsdaten werden aus physkalschen Messungen, statstschen Erhebungen und Prognosen gewonnen. Se snd daher zwangsläug ehlerbehatet. (Herzu werden auch gelegentlch menschlche bzw. maschnelle Fehler gezählt.) () Verahrensehler Dese entstehen durch a) Fntserung nnter Prozesse: Numersche Verahren können prnzpell Grenzprozesse ncht nachvollzehen. Daher muss en Iteratonsverahren nach endlch velen Schrtten abgebrochen werden. Des hat Abbruchehler (truncaton error) zur Folge. b) Dskretserung stetger Prozesse. Des hat Drkretseungsehler zur Folge. (Bespele: Interpolaton, Derentaton, Integraton). (3) Rundungsehler Be der Ausührung von Rechenoperatonen können Fehler entstehen, da man mmer nur n enem begrenzten Zahlenberech arbetet. Man behlt sch, ndem man Resultate rundet. Ene möglche Akkumulaton solcher Rundungsehler kann zu ener vollständgen Verälschung des Endresultats ühren. Velach werden de schlmmen Folgen enes sorglosen Umgangs mt numerschem Fehler, spezell Rundungsehler, unterschätzt. En spektakuläres Bespel herür war das Desaster mt Patrot Mssle n Dharan, Saud Araben, am 5. Februar 99, be dem 8 Personen ums Leben kamen. Nachuntersuchungen zegten, dass de Katastrophe durch unzurechende Behandlung des Rundungsehlers n der Raketensotware verursacht wurde. B... Alle Fehlerarten, vor allem Rundungsehler und Verahrensehler, snd m Allgemenen mtenander verlochten; se überlagern sch n komplzerter Wese und könne bezüglch hres Enlusses au das Resultat ot sehr schwer oder gar ncht getrennt werden. De

2 Gewnnung quanttatver Senstvtätsaussagen st deshalb ebenalls komplzert. Mest werden ohne Berückschtgung der Fehlerüberlagerung Abschätzung ür nur ene Fehlerart angeboten. Im Weteren wrd der gleche Zugang gewählt. D... (Absoluter und relatver Fehler): Es seen, R, wobe ene Näherung ür sen soll. Se : = als absoluter Fehler und ε : =, 0 als relatver Fehler genannt. B.. 3. Zur verglechenden Beurtelung von verschedenen Messungen egnet sch der absolute Fehler ncht. Werden z.b. ene Länge = 0 cm mt dem absoluten Fehler = mm ermttelt und ene Länge y = 0 m mt demselben absoluten Fehler = mm, so st de Qualtät der Messung von y oenbar besser als de der Messung von. Der relatve Fehler wurde engeührt, um de Qualtät von Näherungswerten verglechen zu können. Im Fall gbt es oenschtlch kenen großen Untersched zwschen dem absoluten und dem relatven Fehler. Dagegen wrd dese Derenz m Fall zemlch groß sen. y B.. 4 Es glt ( ε ) = +. (..) Der Faktor + ε wrd als Modkator genannt. D... (Mamaler absoluter und relatver Fehler): Se, ε Ε, wobe > 0 : ene möglchst klene obere Schranke ür Ε > 0 : ene möglchst klene obere Schranke ür ε snd. Dann heßt mamaler absoluter Fehler (oder absoluter Höchstehler) von und Ε mamaler relatver Fehler (oder relatver Höchstehler) von.

3 B.. 5. (Zur Abschätzung des Engangsehlers): Herzu gbt es olgende Möglchketen: ) Anwendung der Analyss (nsbesondere der Mttelwertsätze der Derentalrechnung; ) Anwendung der Theore der unscharen Mengen ( uzzy sets ); 3) Anwendung der Intervallmathematk. B.. 6. (Fehler be der Ermttlung des Wertes ener Funkton ener Veränderlcher mt Hle der Analyss): Se R : en eakter Wert, R : ene Näherung von. Bekannt seen, und Ε. Soll en Funktonswert y = ( ) ener (der Enachhet halber als stetg derenzerbar vorausgesetzten) Funkton ener reellen Veränderlchen bestmmt werden, so wrd das Ergebns durch zwe Faktoren verälscht: Man erhält () durch das ehlerhate Argument () durch ene genährte Funktonsberechnung. Um de Genaugket von y Wege bestreten: y = ( ) statt y = ( ). zu beurtelen, kann man zwe n gewsser Wese entgegengesetzte. Weg: (Rückwärtsanalyse (Inverse Augabe der Fehlertheore)): Be der Rückwärtsanalyse des Fehlers nterpretert man den Näherungswert y Funktonswert zu enem gestörten Argument: als eakten ( ): = ( + ) (..) und versucht, de Störung abzuschätzen. Ist, so legt + n demselben Intervall, + we das unbekannte Argument. Folglch st y ene akzeptable Näherung von y. Ist dagegen > (oder sogar >> ), so muss ersetzt werden, wenn en Genaugketsverlust vermeden werden soll. durch ene bessere Näherungsunkton 3

4 . Weg: (Vorwärtsanalyse (Drekte Augabe der Fehlertheore)): Be der Vorwärtsanalyse des Fehlers schätzt man den absoluten Gesamtehler: y : = ( ) ( ) (. 3.) ab. Analog zu (..) asst man de genährte Funktonsberechnung ( ) als ene modzerte eakte Funktonsberechnung ( ) ( ) au: ( ): = + ε ( ), ε < Ε, (. 4.) wobe ε von der gewählten Näherungsunkton und dem Argument abhängt. Damt olgt: y : = ( ) ( ) = ε ( ) + ( ) ( ). ( (. 4.)) (. 5.) ε ( ) heßt (absoluter) erzeugter Fehler; er wrd von der genährten Funktonsberechnung verursacht. ( ) ( ) heßt (absoluter) ortgeplanzter Fehler; er gbt an, we sch der Fehler des Arguments be eakter Funktonsberechnung au das Ergebns auswrken würde. Es glt nun ( ) = ( + ) = ( + ) = ( ) + '( + α ), α ], [ Damt olgt ür den absoluten Gesamtehler 0. (. 6.) = ε ( ) + ( ) + '( + α ) ( ) y ( (. 5. ),(. 6.) ε ( ) + '( ), ε < Ε, <. (. 7.) y Verschat man sch Betragsschranken ür ( ) und '( ) : mu ( ) mo, '( ) m ür +,, (. 8.) so hat man statt (. 7.) - ohne Vernachlässgung von Gledern höherer Ordnung - de Abschätzung m Ε + m. (. 9.) y o 4

5 Es glt erner ür den relatven Gesamtehler und y '( ) ε + ε ε,, < Ε < ( (.. ),(. 7.) ) (. 0.) ( ) ( ) y ( ) m Ε o + mu + m u m Ε ( (. 9.) ) (..) BS... : Gegeben se de Funkton ( ) : = cos und de Näherungsunkton ( ) : =. (Bemerkung: Es glt nach MacLaurnscher Formel: 4 k k cos = ( ) + Rk +,! 4!! ( k ) ( k ) k + π Rk + = cos ϑ + ( k + ), ϑ ] 0, [ +! ) Gesucht snd de Funktonswerte ür de Argumente = und = mt dem enhetlchen mamalen absoluten Fehler = Lösung: y = = ( ) = = (gerundet au dre Stellen nach dem Basspunkt) y = = ( ) = = (gerundet au dre Stellen nach dem Basspunkt)

6 . Weg: (Rückwärtsanalyse): Zuerst versuchen wr, Störungen, =,, zu bestmmen, ür de y, =,, eakte Funktonswerte von +, =,, snd: y = cos +, =,. Es glt nun cos + = cos.cos sn.sn, =, und ür klene, = :, Damt hat man cos, ; sn, =,. y cos..sn, =,, cos y, =,, sn = , = Wegen = < = legt also das Argument + n demselben Intervall [ , ] [ , ] + = we das Argument = π. Damt st y 8 ene akzeptable Näherung ür den gesuchten Funktonswert y = cos π. 8 Anderersets legt wegen 0. 0 = >> = das gestörte Argument + ncht n demselben Fehlerntervall we das eakte Argument = π. Das bedeutet, y kann ncht als 4 Näherung ür y = cos π akzeptert werden. 4 6

7 . Weg: (Vorwärtsanalyse): Es glt: y: = ( ) ( ) = cos = cos( ) + = cos( ) cos sn. (..) Wegen des Alternerens der Cosnusrehe st de Derenz von ( ) und klener als das erste vernachlässgte Gled der Rehe, d.h.: ( ) betragsmäßg ( ) ( ) = cos < 4! 4 ( + ε ) ( ) ( ) = ε ( ) ( (. 5.)) 4 = cos <, (. 3.) 4! y y cos sn ( (..)) cos + sn 4 + sn, ( (. 3.)) 4! d.h. 4 y ! ( ; sn ) Mt = ergbt sch: 7

8 (Letzt Aktualserung: ) 8