Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:

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2 KAPITEL 1 Komplexe Zahlen Lernziele dieses Abschnitts sind: (1) Analytische und geometrische Darstellung komplexer Zahlen, () Grundrechenarten fur komplexe Zahlen, (3) Konjugation und Betrag komplexer Zahlen, () Losung quadratischer Gleichungen in C, () Formel von Moivre, Satz uber die Einheitswurzeln, (6) Fundamentalsatz der Algebra und Identitatssatz (ohne Beweise). 1. Definition komplexer Zahlen 1.1. Wozu komplexe Zahlen? Als mathematische Begrundung fuhrt man gern an, dass man versucht fur die Gleichung x 1, die in der Menge der reellen Zahlen keine Losung besitzt, Losungen zu nden. Historisch gesehen entsteht die Notwendigkeit komplexer Losungen interessanter Weise zunachst bei der Bestimmung von Losungen der kubischen Gleichung (Gleichung 3. Grades). Ein wesentlicher Vorteil besteht darin, dass man anstelle von Paaren von Elementen (x, y) R mit Zahlen x + iy C rechnen kann. Beispiel 1.1. In der x, y-ebene bewege sich ein Punkt. Seine Koordinaten sind Funktionen der Zeit t : x x(t) und y y(t). Die Bewegung des Massenpunktes lasst sich dann uber die Ableitung beschreiben. Die Bedeutung von z (t) ergibt sich wie folgt: Der Vektor z(t + t) z(t) stellt die Verschiebung des Punktes z im Zeitintervall t dar. Der Dierenzenquotient 1 ( z(t + t) z(t)) t

3 6 1. KOMPLEXE ZAHLEN ist die mittlere Geschwindigkeit wahrend t, und der Grenzwert fur t 0, also die Ableitung ( ) z x (t) (t) y (t) ist die Momentangeschwindigkeit von z(t) im Zeitpunkt t. Die zweite Ableitung von z(t) ist entsprechend z (t) ( x (t) y (t) Ihre Bewegungsbedeutung ist die Momentanbeschleunigung. Viel einfacher lasst sich alles mit komplexen Groen beschreiben, es ist ) z(t) x(t) + iy(t) z (t) x (t) + iy (t) z (t) x (t) + iy (t) Koordinaten des Massenpunktes, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Fur den Anwender ergibt sich der Sinn der komplexen Zahlen oft auch durch Moglichkeit einheitliche Schreibweisen fur physikalische Gesetze zu nden (siehe auch Beispiel 1.7). 1.. Komplexe Zahlenebene. In der mit einem kartesischen (x, y)-koordinatensystem versehenen Ebene stellen die Punkte der x-achse die reellen Zahlen dar. Komplexe Zahlen ergeben sich nun dadurch, dass alle Punkte z (x, y) als " Zahlen\ aufgefasst werden und man schreibt z x + iy. Man nennt z komplexe Zahl mit dem Realteil Re z x und dem Imaginarteil Im z y. Man nennt die x-achse reelle Achse und die y-achse wird imaginare Achse genannt. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. C : {x + iy : x, y R}. Geometrisch lassen sich die komplexen Zahlen als Punkte bzw. Vektoren einer Ebene darstellen. Die Ebene, deren Punkte als komplexe Zahlen aufgefasst werden, heit komplexe Zahlenebene oder Gausche Zahlenebene.

4 1. DEFINITION KOMPLEXER ZAHLEN 7 iy z(x,y) x + iy y (x,y) ix π/ π/ x x i(ix)i x-x x Komplexe bzw. Gaußsche Zahlenebene 1.3. Grundrechenarten in C. Die Summe und Dierenz komplexer Zahlen ist durch deniert. (x + iy) + (u + iv) : (x + u) + i(y + v) (x + iy) (u + iv) : (x u) + i(y v). Die Zahl ix C entsteht aus x R C durch eine positive Drehung (entgegen dem Uhrzeigersinn) um den Winkel π. Deniert man allgemein eine Multiplikation mit i als eine Drehung um den Winkel π, so ist i(ix) x und da man die Reihenfolge von Rotationen vertauschen kann ist, i(ix) i x x bzw. i 1. Deshalb wird das Produkt zweier komplexer Zahlen deniert als (x + iy)(u + iv) x(u + iv) + iy(u + iv) xu + ixv + iyu + iyiv xu + i yu + i(xv + yu) (xu yv) + i(xv + yu). Bemerkung 1.1. Die Addition/Subtraktion/Multiplikation von komplexen Zahlen erfolgt formal wie fur reelle Zahlen; es ist nur zu beachten, dass i 1 ist. Bei der Denition der Division benutzt man trickreich die binomische Formel: (u + iv)(u iv) u (iv) u + v

5 8 1. KOMPLEXE ZAHLEN und damit ist (x + iy) (u + iv) (x + iy)(u iv) (u + iv)(u iv) (xu + yv) + i(yu xv) u + v xu + yv u + v xv + iyu u + v. Bemerkung 1.. Durch Erweiterung mit u iv wird der Nenner reell. Beispiel i 7 i (8 + i)(7 + i) (7 i)(7 + i) 6 + i(8 + 1) i Gleichheit. Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z 1 x + iy und z u + iv, dann gilt z 1 z x + iy u + iv x u i(v y) (x u)(x u) (x u) }{{} i(v y)i(v y) (v y) }{{} 0 0 und damit folgt (x u) (v y) 0, also x u und y v. Oensichtlich folgt umgekehrt aus x u und y v sofort z 1 z. Satz 1.1. Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Realund Imaginarteil ubereinstimmen. 1.. Konjugation und Betrag komplexer Zahlen. Definition 1.1. Die komplexe Zahl z x iy heit die zu z x+iy konjugiert komplexe Zahl und z : x + y heit Betrag (oder auch Norm, Lange, Modul) der komplexen Zahl z. Eigenschaften: (1) z z, () z 1 + z z 1 + z, (3) z 1 z z 1 z, () Re z 1 (z + z), () Im z 1 (z z), i (6) z R z z, (7) z z z bzw. z z x + y,

6 (8) z 0 und z 0 z 0, (9) z 1 z z 1 z, 1. DEFINITION KOMPLEXER ZAHLEN 9 (10) z 1 + z z 1 + z (Dreiecksungleichung). Beweis: zu (3): Wir mussen zeigen, dass die rechte und die linke Seite gleich sind. Es seien z 1 x + iy und z u + iv beliebige komplexe Zahlen. Dann berechnen wir im ersten Schritt fur die linke Seite z 1 z (x + iy)(u + iv), wenden die Regeln fur die Multiplikation an (Multiplikation wie bei reellen Zahlen, man beachte, dass i 1 ist) und erhalten (xu yv) + i(yu + xv). Von dieser komplexen Zahl bilden wir nun die konjugiert komplexe Zahl z 1 z (xu yv) i(yu + xv). (1) Nun berechnen wir die rechte Seite und benutzen als erstes die Vorschrift zum Bilden der konjugiert komplexen Zahl nun wiederum Ausmultiplizieren z 1 z (x + iy) (u + iv) (x iy)(u iv), (xu yv) i(yu + xv). () Aus (1) () folgt die Behauptung, also z 1 z z 1 z. # Beweis: zu (6): Es sei z x + iy eine beliebige komplexe Zahl. Ist z eine reelle Zahl, so ist z Re z x und Im z y 0. Somit ist aber auch z x iy x z. Wir haben gezeigt, dass aus z R folgt z z. Nehmen wir umgekehrt an, dass fur eine beliebe komplexe Zahl z gilt z x + iy z x iy. Dann impliziert dies, dass auch iy iy y y ist und damit muss y 0 sein, das bedeutet aber, dass z x Re z ist und damit gilt z R. # Übungsaufgaben: Man beweise (1), (), (), (), (7) und (9). Fur komplexe Zahlen gelten die binomischen Formeln: Fur beliebige komplexe Zahlen z 1, z gilt: (z 1 + z ) z 1 + z 1 z + z, (z 1 z ) z 1 z 1 z + z.

7 10 1. KOMPLEXE ZAHLEN Beweis: Es seien z 1 x + iy, z u + iv zwei beliebige komplexe Zahlen. Dann gilt (z 1 + z ) (x + iy + u + iv) ((x + u) + i(y + v)) Ausmultiplizieren da i 1 (x + u) + i(x + u)(y + v) (y + v) x + xu + u + i(xu + ixv + iyu yv) + u + iuv v {x + ixy y } + {xu + ixv + iuy yv} + {u + iuv v } (x + iy) + (x + iy)(u + iv) + (u + iv) z 1 + z 1 z + z. Damit ist die erste Geleichung gezeigt. Die zweite Gleichung verbleibt als Übungsaufgabe. #. Darstellung in Polarkoordinaten Geht man in der komplexen Zahlenebene von den kartesischen Koordinaten (x, y), x, y R zu den Polarkoordinaten (r, ϕ), 0 r <, 0 ϕ < π, uber, so ist x r cos ϕ und y r sin ϕ, (3) d.h. die komplexe Zahl z x + iy besitzt in Polarkoordinaten die Darstellung z r(cos ϕ + i sin ϕ). Dabei heit r Betrag (Modul) und ϕ Argument (Phase) der komplexen Zahl z. Die Bezeichnung fur r ergibt sich aus z zz (r(cos ϕ + i sin ϕ))(r(cos ϕ i sin ϕ)) r (cos ϕ + sin ϕ) r r r, da r als Radius immer groer oder gleich Null ist. Ist die komplexe Zahl in Polarkoordinaten gegeben, so folgt aus (3) automatisch die Darstellung in kartesischen Koordinaten. Die Umrechnung aus kartesischen in Polarkoordinaten ist etwas komplizierter. Als erstes ist und damit cos ϕ x x + y und sin ϕ r x + y y x + y, bzw. tan ϕ y, fur z 0. x

8 3. POTENZEN UND WURZELN KOMPLEXER ZAHLEN 11 Zur Berechnung von ϕ muss man nun die Mehrdeutigkeit des Arcustangens ber ucksichtigen. ytan x π yarctan x + π π yarctan x + π yarctan x Es ist ϕ Arctan y, x > 0, y 0, x π, x 0, y > 0, π + Arctan y, x < 0, y beliebig, x 3π, x 0, y < 0, π + Arctan y, x > 0, y < 0, x hierbei bezeichnet arctan den Zweig des Arcustangens mit Werten in ( π, π ). y π/< φ< π φ Arctan(x/y)+ π 0< φ< π/ φ Arctan(x/y) x<0 y>0 x<0 y<0 x>0 y>0 x>0 y<0 x π< φ< 3π/ φ Arctan(x/y)+ π 3π/< φ< π φ Arctan(x/y)+ π 3. Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Die Multiplikation/Division bzw. die Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen lassen sich besonders gunstig mit Hilfe der Darstellung in Polarkoordinaten berechnen Multiplikation in Polarkoordinaten. Es seien z 1 r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) und z r (cos ϕ + i sin ϕ ) zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung,

9 1 1. KOMPLEXE ZAHLEN dann ist z 1 z r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )r (cos ϕ + i sin ϕ ) r 1 r (cos ϕ 1 cos ϕ sin ϕ 1 sin ϕ + i[cos ϕ 1 sin ϕ + sin ϕ 1 cos ϕ ]) r 1 r (cos(ϕ 1 + ϕ ) + i sin(ϕ 1 + ϕ )) Merkregel: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden die Betrage multipliziert und die Argumente addiert. Analog ergibt sich fur z 0 : 1 z z z 1 (cos ϕ i sin ϕ ) r Damit gilt fur die Division zweier komplexer Zahlen: z 1 r 1 (cos(ϕ 1 ϕ ) + i sin(ϕ 1 ϕ )). z r 3.. Potenzen. Als Spezialfall der Multiplikation erhalt man fur z cos ϕ + i sin ϕ : z r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) und allgemein z n r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)), n N. Weitere Spezialfalle ergeben sich fur r 1 : Satz 1.. Formel von Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ) n cos(nϕ) + i sin(nϕ), n N. und Formel von Euler: e iϕ cos ϕ + i sin ϕ. Bemerkung: In der Funktionentheorie kann man nachweisen, dass e iϕ tatsachlich als

10 3. POTENZEN UND WURZELN KOMPLEXER ZAHLEN 13 Exponentialfunktion betrachtet werden kann. Insbesondere gelten die Rechenregeln fur die Exponentialfunktion, d.h. e i(ϕ 1+ϕ ) e iϕ1 e iϕ, e iϕ 1 e iϕ. Dies konnte man auch uber Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus beweisen. Es gilt aber ganz allgemein fur eine beliebige komplexe Zahl z x + iy : e z e x+iy e x e iy und fur zwei beliebige komplexe Zahlen z 1 x 1 + iy 1 und z x + iy : e z 1+z e z1 e z, e z 1 e z Wurzeln. Wie lost man eine Gleichung der Form z n a? Wir betrachten zunachst den Fall a 1 und bestimmen die n-ten Einheitswurzeln, also Losungen der Gleichung z n 1. Hieraus folgt zunachst z n z n 1 z 1. Somit hat z in Polarkoordinaten die Darstellung z cos ϕ + i sin ϕ und damit ist z n cos(nϕ) + i sin(nϕ) 1 cos 0 + i sin 0, da komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihr Real- und imaginarteil uberstimmen, ist dies aquivalent zu cos(nϕ) 1 und sin(nϕ) 0 nϕ kπ, k Z, ϕ kπ n, k Z. Aufgrund der π-periodizitat von Sinus- und Cosinusfunktion folgt: Satz 1.3. (Einheitswurzeln) Es gibt genau n verschiedene komplexe Zahlen z 0, z 1,..., z n 1, die der Gleichung genugen, diese sind gegeben durch z n 1 z k e i kπ n, k 0, 1,,..., n 1.

11 1 1. KOMPLEXE ZAHLEN Beispiel 1.3. Die komplexen Wurzeln der Gleichung z 1 bilden in der Gauschen Zahlenebene eine Funfeck, dass den Punkt (1, 0) als Eckpunkt hat. iy i Im z i z 1 z -1 α7 z 0 1 xre z z 3 -i z Die komplexen Losungen sind In Formeln erhalt man z 0 cos 0 π z 1 cos 1 π z cos π z 3 cos 3 π z cos π z k e i kπ cos kπ + i sin 0 π + i sin 1 π + i sin π + i sin 3 π + i sin π Wie man leicht sieht ergibt sich fur k z cos π + i sin π kπ + i sin, k 0, 1,, 3,. cos 0 + i sin 0 1, cos π + i sin π cos π + i sin π cos 6π + i sin 6π cos 8π + i sin 8π 0, , 9 i, 0, , 9 i, 0, 81 0, 9 i, 0, 31 0, 9 i. cos(π) + i sin(π) 1 z 0 und es gibt folglich nur voneinander verschiedene komplexe Losungen. Auerdem entspricht π einem Winkel von 7. In analoger Weise gehen wir nun bei der allgemeinen Gleichung z n a vor. Wir stellen beide komplexe Zahlen zunachst in Polarkoordinaten dar: z r(cos ϕ + i sin ϕ) und a R(cos Φ + i sin Φ).

12 3. POTENZEN UND WURZELN KOMPLEXER ZAHLEN 1 Damit geht die Gleichung z n a uber in (Ausrechnen von z n und einsetzen in die Gl.) r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) R(cos Φ + i sin Φ). Wenn diese beiden komplexen Zahlen gleich sind, dann muss auch z n z n r n a R gelten und wir haben erhalten, dass gilt r n R, da sowohl r als auch R nichtnegative reelle Zahlen sind. Weiterhin m ussen Real- und Imaginarteil gleich sein, d.h. unter Berucksichtigung der Gleichheit der Betrage, dass die beiden folgenden Gleichungen erfullt sein mussen: { cos(nϕ) cos Φ sin(nϕ) sin Φ { cos(nϕ) cos Φ 0 sin(nϕ) sin Φ 0. Unter Verwendung der Additionstheoreme ndet man, dass das aquivalent zu folgendem System ist: sin ( ) ( nϕ+φ sin nϕ Φ ) 0 ) ( sin nϕ Φ ) 0. cos ( nϕ+φ Beide Gleichungen konnen gleichzeitig nur dann erfullt sein, wenn sin nϕ Φ 0 nϕ Φ kπ ϕ Φ + kπ, k Z. n Aufgrund der π-periodizitat vom Sinus und Cosinus gibt es allerdings wiederum nur n voneinander verschiedene Losungen von z n a : z k n ( R cos Φ + kπ + i sin Φ + kπ ), k 0, 1,..., n 1. n n bzw. z k n ( ) n R e i Φ+kπ n R e i Φ n e i kπ n z0 e i kπ n, k 0, 1,,..., n 1. Beispiel 1.. Man bestimme alle komplexen Losungen von z 3 (1 + i). Zunachst muss man a (1 + i) in die Form R (cos Φ + sin Φ) bringen. Es ist R + und damit ( ) a + i ( sin π + i cos π ),

13 16 1. KOMPLEXE ZAHLEN also ist Φ π. Die drei voneinander verschiedenen Losungen lauten damit z 0 3 ( π cos + 0 π 3 z 1 3 ( π cos + 1 π 3 z 3 ( π cos + π π + i sin 3 π + i sin + 0 π ) 3 π + i sin + 1 π ) 3 + π ) 3 3 ( cos π 1 + i sin π ) 1, + 0, 33i, 1 ) 3 ( cos 3π + i sin 3π 0, , 89i, 3 ( cos 17π ) 17π + i sin 0, 33 1, i. 1 1 iy i Im z 3 i z 1 r 3 1,6-3 απ/1 1 z 0 3 xre z z - 3 i Es gibt ebenfalls n (in diesem Fall 3) voneinander verschiedene Losungen, die ein regulares n-eck bilden, nur hat der Umkreis jetzt den Radius n R und das n-eck ist um den Winkel Φ gedreht. n Beispiel 1.. Man bestimme alle komplexen Losungen von (w (1 + i)) 1. Wir substituieren zunachst z : w (1 + i) und losen die Gleichung z 1 cos π + i sin π, d.h. R 1 und Φ π damit erhalt man z 0 cos π + 0 π z 1 cos π + 1 π z cos π + π z 3 cos π + 3 π + i sin π + 0 π + i sin π + 1 π + i sin π + π + i sin π + 3 π cos π + i sin π + i, cos 3π + i sin 3π + i, cos π + i sin π i, cos 7π + i sin 7π i.

14 . L OSEN QUADRATISCHER GLEICHUNGEN 17 und damit ist ( ) w 0 z 0 + (1 + i) i 1 + ( ) w 1 z 1 + (1 + i) 1 + i 1 + ( ) w z + (1 + i) 1 + i 1 ( ) w 3 z 3 + (1 + i) i i +, + i +, + i, + i. (w-(1+i)) -1 w 1 w 0 i z 1 z 0 w w z -1 z z3 -i Zusatzlich zu den (moglichen) Anderungen des Radius des Umkreises ( n R) und der Drehung um Φ tritt hier eine Verschiebung des Umkreises um 1 + i auf. n. Lösen quadratischer Gleichungen Wir wollen die quadratische Gleichung z + pz + q 0, p, q C losen. Dazu benutzen wir zunachst die 1. binomische Formel, d.h. wir erganzen quadratisch: ( z + pz + q z + p ) p (z + q 0 + p ) p q. Damit wir die Wurzeln bestimmen konnen schreiben wir die rechte Seite in Polarkoordinaten: p q R(cos Φ + i sin Φ)

15 18 1. KOMPLEXE ZAHLEN und erhalten als Losungen der quadratischen Gleichung: z k+1 p + R e i Φ+kπ p + R e Φ +ikπ z 1/ p ± R e i Φ. Sind p und q reellwertig, so erhalten wir als Losung von z + pz + q 0, p, q R, ( z + p ) p q im Falle p q 0 zwei reellwertige Losungen (gegebenenfalls eine doppelte Nullstelle). Es ist ( ) ( ) 0 p p p q q e i 0 q (cos 0 + i sin 0) und wir erhalten die Losungen Ist dagegen so erhalten wir mit zunachst die Darstellung und erhalten als Losungen Damit haben wir erhalten z 1/ p p ± q 0 p p ei ± q. 0 > p q z 1/ p ± p q < 0 1 e iπ cos π + i sin π ) (q p ( 1) q p π ei p ± i ) (q p e iπ q p.

16 . L OSEN QUADRATISCHER GLEICHUNGEN 19 Satz 1.. Die quadratische Gleichung hat zwei komplexwertige Losungen: z 1/ p ± R e i Φ z + pz + q 0, p, q C, p ± R ( cos Φ + i sin Φ ), mit p q R(cos Φ + i sin Φ), sind p und q reellwertig mit p q 0 so besitzt die quadratische Gleichung zwei reellwertige Losungen, sind p und q reellwertig mit p q < 0, sind die beiden Losungen konjugiert komplexe Zahlen. Beispiel 1.6. Man bestimme alle Losungen der quadratischen Gleichung z + (1 + i)z + 9 (1 + i) 0. Losungsvariante 1: Anwendung der Losungsformel. Es ist p + i) (1 und p (1 + i) q 9 (1 + i) (1 + i) (1 + i + i ) i ( 16 cos 3π + i sin 3π ) ( cos 3π + i sin 3π ). und damit ergeben sich die beiden Losungen: z 1 p + ( R cos Φ + i sin Φ ) ( ) ( (1 + i) + + i z p ( R cos Φ + i sin Φ ) ( ) ( (1 + i) + i (1 + i) (1 + i) + ( cos 3π + i sin 3π ) ( 1 + ) 1 + ) 1 i, ( cos 3π + i sin 3π ( ) + 1 i. ) )

17 0 1. KOMPLEXE ZAHLEN Losungsvariante : Quadratisches Erganzen. z + (1 + i)z + 9 (1 + i) ( z i ) (z i ) (1 + i) i ( ) 1 + i + 9 (1 + i) 0 ( cos 3π + i sin 3π ) Nun werden die Wurzeln aus der rechten Seite bestimmt und man erhalt selbstverstandlich die gleiche Losung wie bei der Losungsvariante 1. Wir haben gesehen, dass die quadratische Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen immer losbar ist. Es gilt aber noch mehr. Satz 1.. (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p(z) vom Grad 1 hat in C eine Nullstelle. Folgerung: Jedes Polynom p(z) vom Grad n 1 lasst sich (uber C) in Linearfaktoren zerlegen: p(z) a n (z z 1 )(z z )... (z z n ), wobei a n eine beliebige aber feste komplexe Zahl ist und die z k, k 1,, 3,..., n, nicht notwendig voneinander verschiedene Nullstellen von p(z) sind. Satz 1.6. (Identitätssatz) Stimmen zwei Polynome n n p(z) a j z j und q(z) b j z j j0 (hochstens) n-ten Grades an (wenigstens) (n+1) Stellen uberein, so sind die Polynome gleich, d.h. a j b j fur alle j. j0

18 . ANWENDUNGSBEISPIEL 1. Anwendungsbeispiel Beispiel 1.7. Eine Standardanwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik ist die Untersuchung von Wechselstromkreisen. Als einfaches Beispiel betrachten wir einen Wechselstromkreis mit Spule und Ohmschem Widerstand in Reihenschaltung. Dabei bezeichne R den Ohmschen Widerstand, L die Induktivitat und U(t) U 0 cos ωt, U 0 > 0, die Spannung. Nach den Kirchhoschen Gesetzen genugt die Stromstarke I(t) der Dierentialgleichung L di dt + R I U. Der Trick besteht nun darin, Stromstarke und Spannung als komplexe Funktionen zu erweitern (bezeichnet mit I (t) bzw. U (t)), deren Realteile dann jeweils die eigentlichen physikalischen Groen darstellen. Man setzt also U (t) U 0 e iωt U 0 (cos(ωt) + i sin(ωt)) und I (t) I 0 e iωt, I 0 C. Dies in die Dierentialgleichung eingesetzt, liefert Hieraus erhalt man die Losung U 0 R + ω L I 0 L I 0 i ω e iωt + R I 0 e iωt U 0 e iωt. U 0 R + iωl U R iωl 0 (R + iωl)(r iωl) U R iωl 0 (R + ω L ( ) R R + ω L R + ω L i ωl R + ω L R iωl R + ω L U 0 In Polarkoordinaten hat man demgema I 0 I 0 e αt, I 0 U 0 R + ω L, tan α ωl R. Mit der komplexen Stromstarke I (t) I 0 e i(ωt α) folgt also fur die physikalische Stromstarke I(t) Re I (t) I 0 cos(ωt α), I 0 U 0 R + ω L, tan α ωl R. Die Groe R R + ω L, also den Betrag des komplexen Widerstandes R U R+iωL, bezeichnet man auch als Wechselstromwiderstand (Impedanz). I Man erhalt ihn, ebenso wie die Phasenverschiebung α aus der Darstellung von

19 1. KOMPLEXE ZAHLEN R in der Gauschen Zahlenebene ( Phasendiagramm): iy iωl R * α 0 R x Phasendiagramm