Funktionentheorie Vorlesungszusammenfassung SS 2012

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1 Funktionentheorie Vorlesungszusammenfassung SS 2012 Andreas Müller-Rettkowski Dies ist eine Vorlesungszusammenfassung, gedacht zur Vorlesungsbegleitung und als Gedächtnisstütze. Der Besuch der Vorlesung ist hierdurch nicht zu ersetzen, denn in der Vorlesung wird erklärt, begründet, veranschaulicht und eingeordnet.

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die komplexen Zahlen C Definition von C Rechnen mit komplexen Zahlen Konvergenz Polardarstellung komplexer Zahlen Funktionen in C Die Funktion f(z) = z n Die Gleichung ε z 2 + αz + αz + β = Die Riemannsche Zahlenkugel und C C kann nicht angeordnet werden Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe Kompakte Mengen in C Zusammenhängende Mengen Differentiation in Komplexen Bemerkungen. Ergänzungen Potenzreihen Erinnerungen Konforme Abbildung

3 INHALTSVERZEICHNIS 2 6 Möbiustransformationen Bemerkung Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue Das Doppelverhältnis Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen Der Logarithmus Kurvenintegrale Stammfunktionen Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete Der Integralsatz für Sterngebiete Die Cauchysche Integralformel für Kreise und Sterngebiete Folgerungen Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Der Identitätssatz Ganze Funktionen. Der Satz von Liouville Der Fundamentalsatz der Algebra Die Gebietstreue Das Maximumprinzip Die Parsevalsche Formel Das Maximumprinzip Das Schwarzsche Lemma Die biholomorphen Abbildungen D D Die Windungszahl Die Windungszahl (Verkehrsregel) zur Berechnung der Windungszahl

4 INHALTSVERZEICHNIS 3 13 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz Verallgemeinerung von Satz Der Cauchysche Integralsatz Beispiele Die Laurent Entwicklung Die Laurent Entwicklung Beispiele: Die isolierten Singularitäten Isolierte Singularität. Hebbare Singularität Hebbare Singularität, Polstelle, wesentliche Singularität Die Laurent Entwicklung um isolierte Singularitäten Der Residuensatz Der Residuensatz Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes ˆ f(x)e ix dx Das Argumentprinzip Der Satz von Rouché Der Satz von Rouché

5 Die komplexen Zahlen C 4 Kapitel 1 Die komplexen Zahlen C 1.1 Definition von C Eine komplexe Zahl z ist eine geordnetes Paar (x, y) reeller Zahlen. Mit C wird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet. Es seien z = (x, y) und w = (u, v) aus C. Definition: 1) z = w x = u und y = v, 2) z + w = (x + u, y + v) (Addition in C), 3) zw = (xu yv, xv + yu) (Multiplikation in C). Satz 1: Mit diesen Verknüpfungen ist C ein Körper. Anmerkungen: 0 := (0, 0) ist das neutrale Element bezüglich der Addition, 1 := (1, 0) ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation, z := ( x, y) ist das inverse Element für die Addition. Für z 0 ist 1 Å ã z := x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 das Element aus C, für das 1 z z = 1 gilt. Satz 2: Es seien x, u R. Dann gelten: (x, 0) + (u, 0) = (x + u, 0) und (x, 0)(u, 0) = (xu, 0). Die komplexe Zahl (x, 0) wird mit x R identifiziert. Somit sind die reellen Zahlen ein Unterkörper von C. Für λ R gilt: λ(x, y) = (λ, 0)(x, y) = (λx, λy).

6 Die komplexen Zahlen C 5 Wegen (0, 1)(y, 0) = (0, y) können wir schreiben z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + (0, 1)y. Das heißt, dass jede komplexe Zahl z mittels zweier reeller Zahlen x, y und der Zahl (0, 1) dargestellt werden kann. Definition: i := (0, 1). Satz 3: i 2 = 1. Satz 4: z = (x, y) kann in der Form z = x + iy geschrieben werden. Es gilt C = {z z = x + iy, x, y R}. 1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen z = x iy heißt die zu z = x + iy (x, y R) konjugiert komplexe Zahl. Re(z) := x heißt Realteil und Im(z) := y heißt Imaginärteil von z. Für z, w C und α, β R gelten: Re(αz + βw) = αre(z) + βre(w), Im(αz + βw) = αim(z) + βim(w), Satz 5: Re(z) = Im(z) = Für z, w C gelten: 1 (z + z), 2 1 (z z). 2i a) z R z = z, b) z = z, Å ã 1 c) z + w = z + w, zw = z w und = 1 z z, d) zz R, zz 0 und zz = 0 nur falls z = 0. Definition: z := zz heißt Betrag von z C. z gibt den euklidischen Abstand des Punktes z vom Koordinatenanfangspunkt an. z w ist die Länge der Verbindungsstrecke [z, w].

7 Die komplexen Zahlen C 6 Satz 6: Für z, w C gelten: a) z = z, b) zw = z w, c) 1 z = 1 z, d) Re(z) z und Im(z) z, e) z + w 2 = z 2 + w 2 + 2Re(zw), f) z + w z + w. 1.3 Konvergenz (z k ) C sei eine Folge komplexer Zahlen, a C. Definition: a heißt Grenzwert der Folge. ( ) lim z k = a lim z k a = 0 z k a(k ). k k Satz 7: Es gilt: z k a (k ) Re(z k ) Re(a) und Im(z k ) Im(a). Eine Folge (z k ) C heißt Cauchy Folge, falls es zu jedem ɛ > 0 einen Index N derart gibt, dass für alle k, l N z k z l < ε erfüllt ist. Bemerkung: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge. Eine Folge (z k ) C heißt beschränkt, wenn es eine Zahl R > 0 gibt, so dass z k R k gilt.

8 Die komplexen Zahlen C 7 Satz 8: (Bolzano, Weierstrass) In C gelten: a) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. b) Jede Cauchy Folge ist konvergent. 1.4 Polardarstellung komplexer Zahlen Jede komplexe Zahl z besitzt eine Darstellung z = re iϕä := r(cosϕ + isinϕ) ä mit ϕ R und r = z. Für z 0 ist ϕ bis auf Addition ganzzahliger Vielfacher von 2π eindeutig bestimmt. Wird ϕ auf ein beliebiges halboffenes Intervall der Länge 2π beschränkt, so ist der Zahl z 0 ϕ mit z = re iϕ eindeutig zugeordnet. Wir werden je nach Gegebenheit ϕ auf [0, 2π) oder ( π, +π] beschränken. Der Winkel, der dann z = re iϕ liefert, heißt das Argument von z, es wird durch Arg(z) bezeichnet. Also: Arg : C\{0} [0, 2π) oder ( π, +π]. Ein Element der Menge {Arg(z)+2kπ, k Z} wird durch arg(z) bezeichnet. Satz 9: Es seien θ, ϕ R. Es gilt: e i(θ+ϕ) = e iθ e iϕ. Für z = x + iy wird definiert e z := e x e iy. Satz 10: Für z, w C gilt: e z+w = e z e w.

9 Die komplexen Zahlen C Funktionen in C Es sei S C und z w := f(z) eine Funktion f : S C. f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), (x, y) S. u := Re(f) : S R 2 R. v := Im(f) : S R 2 R. Beispiele: 1) f(z) = z 2 : u(x, y) = x 2 y 2 und v(x, y) = 2xy b) f(z) = e z : u(x, y) = e x cos(y) und v(x, y) = e x sin(y) 1.6 Die Funktion f(z) = z n Wir betrachten für n N und z D = {z/ z 1} f(z) = z n. Es gilt f(d) = D und jeder Punkt w D wird n mal angenommen. Beispiel: Gegeben ist die Argumentfunktion mit Arg : C\{0} [0, 2π). Gegeben sei z = re iθ (z 0), θ = Arg(z). Gesucht sind alle w C mit w n = z. Suche w in der Darstellung w = te iϕ, ϕ [0, 2π). Man erhält alle Lösungen der Gleichung w n = z in der Form: Bemerkung: w k = n re iθ n e ik2π n, k = 0, 1,, n 1. Für ζ = e 2πi n gilt (ζ k ) n = 1. ζ k, k = 0, 1,, n 1 heißen die n-ten Einheitswurzeln. 1.7 Die Gleichung ε z 2 + αz + αz + β = 0 Für ε = 1, α C, β R mit β < α 2 ist das die Gleichung des Kreises um α mit Radius» α 2 β. Für ε = 0, α C, β R liegen die z C, die dieser Gleichung genügen, auf einer Geraden.

10 Die komplexen Zahlen C Die Riemannsche Zahlenkugel und Ĉ Σ := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 /x x2 2 + x2 3 = 1}. C := {(x, y) R 2 } = {z/z = x + iy, x, y R}. N := Ö è Σ. Definiere Π : Σ\{N} C durch Π(x 1, x 2, x 3 ) := x 1 + ix 2 1 x 3 und := Π(0, 0, 1) Nennt man C = C, so ist Π : Σ C bijektiv. Π heißt stereographische Projektion. Die Umkehrabbildung Π 1 werde durch p bezeichnet. Man rechnet nach: p(z) = p( ) = 1 z Ö è Ö z + z i(z z) z 2 1 è, z C, Durch χ(z, z ) := 2 z z» z 2 + 1» z 2 + 1, z, z C wird auf C eine Metrik definiert. Man rechnet für z C nach: χ(z, ) = 2» z und χ(, ) = 0. Bemerkung: Es gilt χ(z, z ) = p(z) p(z ) wobei Ö è Ö è x1 x 1 x 2 x 2 = Ä (x 1 x 1) 2 + (x 2 x 2) 2 + (x 3 x 3) 2ä 1 2 x 3 x 3 è è der euklidische Abstand zwischen Ö x1 x 2 x 3 und Ö x 1 x 2 x 3 ist.

11 Die komplexen Zahlen C 10 Definition: Seien (a n ) C, a C. Satz 11: a n a (n ) in C : χ(a n, a) 0 (n ). a) Π bildet Kreise in Σ auf Kreise oder Geraden in C ab. b) p bildet Kreise oder Geraden in C auf Kreise in Σ ab. 1.9 C kann nicht angeordnet werden Es gibt kein <. Es gibt lediglich = oder, denn: Aus 1 0 folgt 0 < 1 2 = 1. Aus i 0 müsste folgen 0 < i 2 = 1. Hieraus würde folgen 0 < 1 + ( 1) = 0!Widerspruch!

12 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe 11 Kapitel 2 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe 2.1 1) a C, r > 0. D(a, r) := {z C/ z a < r} heißt offene Kreisscheibe um a mit Radius r (r-umgebung von a). 2) U C heißt offen : b U r > 0 D(b, r) U. 3) A C heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge (z n ) A mit z n z o (n ) gilt: z o A. M C : M c := C\M. 4) Satz 1: a) M C ist abgeschlossen M c ist offen. b) M C ist offen M c ist abgeschlossen. 5) Es sei M C. z o C heißt: a) innerer Punkt von M, falls gilt: D(z o, r) M für ein r > 0. b) Randpunkt von M, wenn für jedes ε > 0 gelten: D(z o, ε) M und D(z o, ε) M c. c) Häufungspunkt (HP) von M, wenn: ε > 0 z M\{z o } z D(z o, ε). d) isolierter Punkt von M, wenn gelten: z o M und z o ist kein HP von M.

13 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe 12 6) a) M:= {z/z ist innerer Punkt von M}. b) M := {z/z ist Randpunkt von M}. c) M := M M heißt der Abschluss von M. d) M heißt beschränkt, falls es ein R > 0 mit M D(0, R) gibt. e) diam(m) := sup{ z w /z, w M} heißt der Durchmesser der beschränkten nichtleeren Menge M. f) H(M) = {z/z ist HP von M} 7) Satz 2: Es sei M C eine Menge. Es gelten: 1) M ist offen M = M M M =. 2) M = (M c ). 3) M ist abgeschlossen M M M = M. 4) M = M \ M. 5) z o H(M) es gibt eine Folge (z n ) M \{z o } mit z n z o (n ). 6) M H(M) = M. 7) M ist abgeschlossen H(M) M. 2.2 Es sei M, M C. f : M C sei eine Funktion. 1) z o H(M). lim f(z) = a : ε > 0 z z o δ > 0 z (M D(z o, δ)) \{z o } f(z) a < ε. 2) z o M. f heißt stetig in z o : lim z zo f(z) = f(z o ). 3) f heißt gleichmäßig stetig auf M, falls: ε > 0 δ > 0 z, z M ( z z < δ f(z) f(z ) < ε).

14 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe Kompakte Mengen in C Die Menge K C heißt kompakt, falls aus jeder Folge (z n ) K eine Teilfolge ausgewählt werden kann, die gegen ein Element aus K konvergiert. Satz 3: K C ist kompakt K ist beschränkt und abgeschlossen. Satz 4: K C sei kompakt und K j (j N) seien abgeschlossene Mengen, für die K j+1 K j (j N) erfüllt ist. Dann gilt K j. Satz 5: K C sei kompakt und f : K C sei stetig. Dann ist f(k) kompakt. Satz 6: K C sei kompakt und f : K R sei stetig. Dann gibt es v, w K mit f(w) f(z) f(v) für alle z K. Satz 7: K C sei kompakt und f : K C sei stetig. Dann ist f auf K gleichmäßig stetig. Definition: (Abstand zweier Mengen) A, B C : dist(a, B) := inf{ z w / z A, w B} Satz 8: Es seien A C eine abgeschlossene Menge und v C. Dann gibt es ein w A mit dist(a, {v}) = w v. Satz 9: Es seien K C kompakt und A C abgeschlossen. Dann existieren z o K und w o A mit dist(k, A) = z o w o. Satz 10: Gegeben ist eine kompakte Menge K C und r > 0. Dann gibt es endlich viele Punkte z 1, z 2,..., z N so dass K N D(z j, r) gilt. 2.4 Zusammenhängende Mengen j=1 j N Ein metrischer Raum (X, d) heißt zusammenhängend (zshgd), wenn es keine Zerlegung X = U V gibt mit: U V = ; U, V offen (in X); U, V. wenn aus (X = U V ; U V = ; U, V offen) folgt: U = oder V =. Satz 11: X R enthalte mindestens zwei Elemente. Dann ist X zshgd genau dann, wenn X ein Intervall ist.

15 Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C Topologische Grundbegriffe 14 Satz 12: Das Bild f(x) eines zshgd Raumes X unter einer stetigen Funktion f : X Y ist zshgd. Der metrische Raum X heißt wegzshgd, wenn es zu je zwei Punkten a, b X eine (stetige) Kurve (5.Kapitel) γ : [0, 1] X mit γ(0) = a, γ(1) = b gibt. Beispiel: Jede konvexe Menge X in einem normierten Vektorraum ist wegzshgd. Satz 13: Jeder wegzshgd Raum ist zshgd. Beweis: Indirekt und mit Satz 11 und Satz 12. Satz 14: Jede zshgd offene Menge X in C ist wegzshgd. Es gilt sogar: Je zwei Punkte a, b X können durch einen Streckenzug in X verbunden werden. Beweis: Es sei a X. Definiere U = {x X/ es gibt in X einen Streckenzug, der a mit x verbindet} Zeige: U, U offen und V = X\U offen. Folgere mit der Voraussetzung X zshgd, dass V =, also X = U gilt. Definition: Eine nichtleere offene zshgd Menge in C heißt Gebiet.

16 Differentiation in Komplexen 15 Kapitel 3 Differentiation in Komplexen 3.1 Es seien Ω C eine offene Menge, z o Ω und f : Ω C eine Funktion. f(z) f(z o ) Existiert lim, so heißt f in z o differenzierbar (diff bar). Der z zo z z o Grenzwert wird dann durch f (z o ) bezeichnet und heißt die erste Ableitung von f in z o. f heißt holomorph in z o Ω, falls es eine Umgebung D(z o, δ) Ω von z o gibt derart, dass f in jedem z D(z o, δ) diff bar ist. f heißt holomorph in Ω, falls f in jedem Punkt z Ω holomorph ist. Mit H(Ω) wird die Menge der auf Ω holomorphen Funktionen bezeichnet. 3.2 Es sei f : Ω C C, w = f(z) gegeben. u := Re(f) : Ω R 2 R, v := Im(f) : Ω R 2 R. Satz 1: Es ist f genau dann in z o = x o + iy o Ω diff bar, wenn u, v in (x o, y o ) diff bar sind und in (x o, y o ) die Cauchy-Riemanschen Differentialgleichungen (CR-DGLn) D 1 u = D 2 v und D 2 u = D 1 v erfüllt sind. (f ist in Ω holomorph u, v sind in Ω diff bar und es sind in Ω erfüllt.) D 1 u = D 2 v und D 2 u = D 1 v

17 Differentiation in Komplexen Bemerkungen. Ergänzungen. 1) Sind u, v in Ω stetig partiell diff bar und sind in Ω die CR-DGLn erfüllt, so ist f = u + iv in Ω holomorph. 2) Ist f = u + iv in z = x + iy Ω diff bar, so hat man f (x + iy) = D 1 u(x, y) + id 1 v(x, y) = D 2 v(x, y) id 2 u(x, y) 3) Mit f : Ω R 2 R 2, f(x, y) = det f (x, y) = f (x + iy) 2. = D 2 v(x, y) + id 1 v(x, y) = D 1 u(x, y) id 2 u(x, y). Ç u(x, y) v(x, y) å, folgt mit 2) 4) Wir ordnen f : Ω C C, f = u + iv, die Funktion F : Ω R 2 C, F (x, y) := u(x, y)+iv(x, y) zu. Hiermit können die CR-DGLn für f in der einen Gleichung D 2 F (x, y) = id 1 F (x, y) zusammengefasst werden. Å 1 5) Es seien f und F wie unter 4). Definiere G(z, z) := F 2 (z + z), 1 ã 2i (z z) und behandle die Variablen z, z als voneinander unabhängige Variable. Es gilt ( z partielle Ableitung nach z) z G(z, z) = i 2 (D 2F id 1 F ), so dass man die Holomorphie von f auch durch ( z f) (z) = 0, z Ω, charakterisieren kann. (Wirtinger Kalkül. Siehe dazu Remmert). 6) Ist f in Ω holomorph, u = Re(f), v = Im(f), so gilt u(x, y) v(x, y) = 0, d.h. die Kurvenscharen u(x, y) = konst und v(x, y) = konst sind orthogonal zueinander. 7) Wir nehmen das Ergebnis: f H(Ω) f H(Ω) vorweg. Es folgt dann: f H(Ω), u = Re(f), v = Im(f) u, v C (Ω). Satz 2: Es sei f H(Ω). Dann sind u und v in Ω R 2 harmonisch: es gilt für (x, y) Ω u(x, y) = v(x, y) = 0 ( u = D1 2u + D2 2 u). Satz 3: Ist Ω R 2 ein einfach zshgd Gebiet und ist u in Ω harmonisch, so gibt es harmonische Funktionen v derart, dass f := u + iv in Ω C holomorph ist.

18 Differentiation in Komplexen 17 8) Es sei Ω Ç R 2 ein einfach å zshgd Gebiet und v : Ω R 2, p(x, y) v(x, y) = das Geschwindigkeitsfeld einer stationären, ebenen, inkompressiblen, wirbelfreien Flüssigkeitsströmung. Es gelten so- q(x, y) mit (p, q sollen genügend oft stetig diff bar sein) D 1 p + D 2 q = 0 und D 2 p D 1 q = 0 in Ω. Mit 7) Ç erhält å man Funktionen ϕ, ψ : Ω R 2 R mit ϕ = v q und ψ = in Ω. p Damit ist f := ϕ+iψ in Ω holomrph. f heißt komplexes Potential für v. Es gilt f = p + iq (= v). Die Kurven ϕ(x, y) = konst heißen Potentiallinien, die Kurven ψ(x, y) = konst heißen Stromlinien der durch v = f beschriebenen Strömung. ψ heißt auch Stromfunktion von v. Beispiele: Ç å 2x 1) f(z) = z 2 = ϕ+iψ v =, ϕ(x, y) = x 2y y 2, ψ(x, y) = 2xy. (Skizze der Strömung!). x è 2) v(x, y) = x 2 + y y 2 x 2 + y 2, (0, 0) Ω. Man erhält» ϕ(x, y) = ln( x 2 + y 2 ), ψ(x, y) = arctan y, f(z) = ln z +i arg(z). x Die Stromlinien sind vom Ursprung ausgehende Halbgeraden.

19 Potenzreihen 18 Kapitel 4 Potenzreihen 4.1 Erinnerungen 1) (a k ), (b k ) seien komplexe Zahlenfolgen. 1. ( a k konvergent ) ( a k 0, k ). 2. (Majorantenkriterium) ( a k b k, k, b k konvergent ) ( a k ist absolut konvergent ). 2) U C sei eine offene Menge, (f k ) eine Folge von Funktionen f k : U C. f k f (k ) punktweise auf U bedeutet: ε > 0 z U k o N k k o f k (z) f(z) < ε. Für g : U C bezeichnen wir durch g U die Supremumsnorm: g U = sup { g(z) /z U}. f k f (k ) gleichmäßig auf U, falls gilt: lim f k f U = 0. k f k f (k ) lokalgleichmäßig auf U, falls gilt: Es gelten: z U D(z, λ) U f k f D(z,λ) 0 (k ). 3. Die Folge (f k ) konvergiert auf U lokalgleichmäßig genau dann, wenn (f k ) auf jeder kompakten Teilmenge von U gleichmäßig konvergiert.

20 Potenzreihen Die Grenzfunktion einer auf U lokalgleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist auf U stetig. 5. (f k ), f k : U C. Ist a k konvergent und gilt k=0 f k (z) a k z U, k N, so ist f k auf U gleichmäßig und absolut konvergent. k=0 (a k ) sei eine komplexe Zahlenfolge. z o C. Für welche z C ist (1) a k (z z o ) k k=0 konvergent? Für diese z wird durch (1) eine Funktion p definiert. Welche Eigenschaften hat p? 1) Satz 1: Es sei z 1 z o und die Folge Ä a n (z 1 z o ) nä sei beschränkt. n Dann konvergiert die Potenzreihe (1) absolut und lokalgleichmäßig in D(z o, r 1 ), wobei r 1 = z 1 z o gesetzt ist. Satz 2: Eine Potenzreihe (1) konvergiert entweder absolut und lokalgleichmäßig auf C oder es gibt eine Zahl R, 0 R < +, mit der Eigenschaft: (1) konvergiert absolut und lokalgleichmäßig auf D(z o, R) und ist für alle z mit z z o > R divergent. Es gilt: 1» R = lim sup k a k. Hierbei sind R = 0, falls lim sup k» ak = +, und R = + im Fall lim sup k» ak = 0 gemeint. 2) Bemerkungen: a) R heißt Konvergenzradius der Reihe (1). R ist der Radius des größten Kreises um z o, in dem (1) konvergiert. b) Es gilt 1 R = lim a k+1 k a k, falls dieser Grenzwert existiert.

21 Potenzreihen 20 3) Beispiele: e z z k (= exp(z)) :=, z C, k! k=0 sin(z) := ( 1) k z 2k+1, z C, (2k + 1)! k=0 cos(z) := ( 1) k z2k, z C. (2k)! k=0 Für jede dieser Reihen gilt R =. exp, sin, cos sind also für alle z C durch obige Reihen definiert. Es gilt: e iz = cos(z) + i sin(z), z C. 4.3 Es folgt: cos(z) = 1 2 (eiz + e iz ), sin(z) = 1 2i (eiz e iz ). Speziell für z = x R hat man Re(e ix ) = cos(x), Im(e ix ) = sin(x), e ix = 1. Es gilt (Ausmultiplizieren mittels Cauchy-Produkt, Binomischer Satz): exp(z) exp(w) = exp(z + w), z, w C. 1) Satz 3: Die Potenzreihe a k z k (o.b.d.a. z o = 0 ) mit a k C sei k=0 in G = {z/ z < R} konvergent. Dann ist die Funktion f : G C, z Es gilt f (z) = zum Beweis: ka k z k 1, z G. k=1 1. Der Konvergenzradius der Reihe a k z k holomorph. k=0 ka k z k 1 ist ebenfalls R. k=1 2. Für ξ, ξ < R, ist zu zeigen, dass für z ϱ: q(z) := f(z) f(ξ) z ξ, z ξ ka k ξ k 1, z = ξ k=1 in ξ stetig ist. Hier ist ϱ beliebig mit ξ < ϱ < R.

22 Potenzreihen Mit g n (z) = n 1 z n k 1 ξ k, z C, n N gilt: k=0 q(z) = a n g n (z), z ϱ. n=1 3. Mit dem Majorantenkriterium (4.1, 5.) zeigt man die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe. Da die g n stetig sind, ist q in {z/ z ϱ} also in ξ stetig. 2) Folgerungen: 1. f(z) = a k (z z o ) k habe den Konvergenzradius R. Dann ist k=0 f (j) für z z o < R holomorph (j = 0, 1, 2, ). Es gelten: f (j) (z) = k (k 1) (k j + 1) a k (z z o ) k j, z < R, k=j a j = 1 j! f (j) (z o ), j = 0, 1, 2,. k=0 k=0 2. Satz 4: (Identitätssatz für Potenzreihen) Es seien f(z) = a k (z z o ) k und g(z) = b k (z z o ) k konvergent für z z o < R. Dann gilt: f(z) = g(z) für z z o < R a k = b k, k = 0, 1, 2,. Satz 5: f(z) = a k z k mit a k R, a k+1 a k, a k 0 (k ) sei gegeben. Dann k=0 konvergiert die Reihe für z 1 mit eventueller Ausnahme von z = 1. Satz 6: (Der Abelsche Grenzwertsatz) Es sei f(z) = a k z k mit Konvergenzradius R > 0 gegeben. Es sei ξ, ξ = R, mit: k=0 k=0 a k ξ k ist konvergent. Dann gilt lim f(ϱξ) = a k ξ k. ϱ 1 0 (Stetigkeit von f in ξ bei radialer Annäherung). (für eine Verallgemeinerung siehe Storch/Wiebe Lehrbuch der Mathematik Band 1, Abschnitt 12.B.7). k=0

23 Potenzreihen 22 Beispiele: 1) ln 2 = ( 1) k 1 1 k = lim k 1 xk ( 1) x 1 0 k=1 k=1 2) Aus der Konvergenz der Reihen folgt a k, k=0 Ñ k k=0 b k, k=0 a k j b j j=0 }{{} Das Cauchy Produkt der beiden Reihen rechts Å ã k = lim ln(1 + x). x 1 Ñ é k a k j b j k=0 j=0 é ( ) ( ) = a k b k. k=0 k=0

24 Konforme Abbildung 23 Kapitel 5 Konforme Abbildung 5.1 1) Eine Kurve C ist gegeben durch eine stetige Funktion ϕ : [α, β] C; z = ϕ(t) heißt Parameterdarstellung von C. C heißt Träger der Kurve. C ist eine kompakte Menge als stetiges Bild der kompakten Menge [α, β]. 2) Die Kurve C, ϕ heißt geschlossen, falls ϕ(α) = ϕ(β) gilt. ϕ heißt Jordankurve, falls: α t < t < β ϕ(t) ϕ(t ). 3) Sind zwei Kurven C j, ϕ j : [α j, β j ] C (j = 1, 2) mit ϕ 1 (β 2 ) = ϕ 2 (α 2 ) gegeben, so definieren wir die Summenkurve C 1 + C 2 durch: ϕ(t) := ϕ 1 (t), α 1 t β 1 ϕ 2 (t + α 2 β 1 ), β 1 t β 1 + β 2 α 2 Mit [a, b] wird die Verbindungsstrecke von a C nach b C bezeichnet. Sind z 1, z 2,, z n C, so bezeichnet [z 1, z 2 ] + [z 2, z 3 ] + + [z n 1, z n ] den Polygonzug von z 1 über z 2,, z n 1 bis z n. 4) C sei durch z = ϕ(t), α t β gegeben. C, die zu C entgegengesetzte Kurve, ist dann etwa durch: gegeben. z = ψ(t) := ϕ(α + β t), α t β, 5) Die Kurve C: z = ϕ(t), α t β, heißt glatt, wenn ϕ C 1 [α, β] und ϕ(t) 0, α t β, erfüllt sind. Die Kurve C heißt ein Weg (oder stückweise glatt), falls es glatte Kurven C 1, C 2,, C n mit C = C 1 + C C n gibt.

25 Konforme Abbildung Es seien G C eine offene Menge, f : G C eine holomorphe Funktion und C : z = ϕ(t), α t β, eine Kurve in G, d.h. ϕ : [α, β] G oder auch C G. f(c), w : [α, β] C, w = f ϕ, ist stetig, also eine Kurve: die Bildkurve. Es sei jetzt C glatt: ϕ(t) 0 und f (z) 0, z G. Dann ist f(c) wieder glatt: ẇ(t) = f (ϕ(t)) ϕ(t) 0, α t β arg(ż(t o )) ist der Winkel zwischen der Tangente an C in z o = z(t o ) und der positiven reellen Achse. Satz: Es sei f in G holomorph und f (z) 0 für z G. Dann ist das Bild f(c) der glatten Kurve C eine glatte Kurve, und der Winkel zwischen zwei glatten Kurven bleibt unter f (hinsichtlich Größe und Drehsinn) erhalten. Bemerkungen: 1) Ist in z o G f (z o ) = 0, so kann sich der Winkel in z o ändern: f(z) = z n (n N), z o = 0. Der Winkel zwischen Kurven, die sich in 0 schneiden ver-n-facht sich. 2) Ist f (z o ) 0, ϕ(t o ) 0 (z o = ϕ(t o )), so gilt für die Längen der Kurven C und f(c) bei z o näherungsweise l(f(c)) = l(c) f (z o ). 3) Eine Abbildung f heißt konform, wenn Schnittwinkel erhalten bleiben. Der Satz besagt somit: Holomorphe Funktionen f mit f (z) 0 sind konforme Abbildungen.

26 Möbiustransformationen 25 Kapitel 6 Möbiustransformationen 6.1 T : C C heißt Möbiustransformation es gibt Zahlen a, b, c, d C mit ad bc 0 und T (z) := az + b cz + d, z C\{ d c } a, z = c, z = d c c = 0 ist der Trivialfall: T ist eine Drehstreckung verknüpft mit einer Translation. c 0: T (z) = a c ad bc c(cz + d), T (z) = ad bc (cz + d) 2, z C. Wir bezeichnen durch M die Menge aller Möbiustransformationen. T M ist bijektiv und holomorph. Satz 1: (M, ) ist eine Gruppe. zum Beweis: id M. T = az + b cz + d, T M T 1 (z) = dz + b cz a, T 1 M. S, T M S T M.

27 Möbiustransformationen Bemerkung Spezielle Möbiustransformationen sind: z az (a 0) z a + z z 1 z Drehstreckung, Translation, Inversion. Satz 2: Die Gruppe (M, ) wird durch Drehstreckungen, Inversion und Translationen erzeugt. Bemerkungen: 1) Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis oder eine Gerade. 2) Eine Abbildung C C heißt kreistreu, wenn sie verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise abbildet. Satz 3: Satz 4: Die Inversion ist kreistreu. Jede Abbildung T M ist kreistreu. 6.3 Satz 5: Identität. Eine Möbiustransformation mit mehr als zwei Fixpunkten ist die (DV ) Es seien z 1, z 2, z 3 paarweise verschiedene Punkte aus C. Durch: z z 1 z 2 z 3, (z 1, z 2, z 3 C) z z 3 z 2 z 1 T (z) := z 2 z 3 z z 3, (z 1 = ) z z 1 z z 3, (z 2 = ) z z 1 z 2 z 1, (z 3 = ) wird die Möbiustransformation definiert, die z 1 0, z 2 1, z 3 abbildet. Satz 6: z 1, z 2, z 3 und w 1, w 2, w 3 seien Tripel paarweise verschiedener Zahlen aus C.

28 Möbiustransformationen 27 Es gibt genau ein T M mit T (z j ) = w; (j = 1, 2, 3). zum Beweis: Existenz mit (DV ). Eindeutigkeit mit Satz 5. Ist T 1 die Abbildung, die w 1 0, w 2 1, w 3 und T 2 die Abbildung, die z 1 0, z 2 1, z 3 bewirkt, so ist T = T1 1 T 2 die geforderte Möbiustransformation. Die in Satz 6 bestimmte Abbildung T wird implizit durch T 1 (T (z)) = T 2 (z) gegeben. Ausgeschrieben bedeutet das: ( ) T (z) T (z 1 ) T (z 2 ) T (z 3 ) T (z) T (z 3 ) T (z 2 ) T (z 1 ) = z z 1 z 2 z 3. z z 3 z 2 z Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue. 1. Zwei verallgemeinerte Kreise K 1, K 2 mögen sich in b schneiden. Gilt a K 1, c K 2, so bezeichnen wir den (orientierten) Schnittwinkel zwischen K 1, K 2 in b durch (a, b, c). Da für T M für alle z T (z) 0 gilt, hat man nach Kapitel 5: Satz 7: (Winkeltreue) Für T M gilt: (a, b, c) = (T (a), T (b), T (c)). 2. Drei verschiedene Punkte a, b, c eines verallgemeinerten Kreises K legen wie folgt eine Orientierung (a, b, c) fest: c liegt nicht auf dem Bogen (a, b) von a nach b. C wird unterteilt in K und zwei Gebiete. Das zur Linken von K liegende Gebiet ist dasjenige, in das der Normalenvektor it (t Tangente) weist. Satz 8: (Orientierungstreue, Gebietstreue) Es sei G C das Gebiet zur Linken bezüglich der Orientierung (a, b, c) des verallgemeinerten Kreises K. Dann liegt für jedes T M das Bild T (G) zur Linken bezüglich der Orientierung (T (a), T (b), T (c)) des verallgemeinerten Bildkreises T (K). T (G) ist ein Gebiet. zum Beweis: T (G) ist offen, da T 1 in C stetig und G offen ist. Da T stetig ist, ist T (G) zshgd: T (G) ist ein Gebiet. Es liegt links oder rechts von T (K). Die Tangentenrichtung im Bild ergibt sich aus der Abfolge der Bögen T ( ab), ı T ( bc), Ù T (ıca).

29 Möbiustransformationen Das Doppelverhältnis Das Doppelverhältnis der Zahlen z, z 1, z 2, z 3 : z C und z 1, z 2, z 3 C und z 1 z 2 z 3 ist die unter 6.3 (DV ) definierte Möbiustransformation T, die wir jetzt durch (z, z 1, z 2, z 3 ) bezeichnen. Es gelten also: (z 1, z 1, z 2, z 3 ) = 0, (z 2, z 1, z 2, z 3 ) = 1, (z 3, z 1, z 2, z 3 ) =. Satz 9: Es seien z, z 1, z 2, z 3 C und z 1, z 2, z 3 paarweise verschiedene und S M. Es gilt: (z, z 1, z 2, z 3 ) = (S(z), S(z 1 ), S(z 2 ), S(z 3 )). Lemma: z 1, z 2, z 3, z 4 liegen auf einem verallgemeinerten Kreis genau dann, wenn (z 4, z 1, z 2, z 3 ) R gilt. 6.6 Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen. Definition: z 1, z 2, z 3 mögen auf einem verallgemeinerten Kreis K liegen. ϱ K (z) heißt Spiegelpunkt von z an K, falls: erfüllt ist. (ϱ K (z), z 1, z 2, z 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) Bemerkung: Ist K = R (= R { }), so liest man ab: ϱ R(z) = z. Satz 10: (Symmetrie-Prinzip) Es seien T M, K ein verallgemeinerter Kreis und z 1, z 2, z 3 K. Es gilt: T (ϱ K (z)) = ϱ T (K) (T (z)), z C. Im Fall K = R und T (K) = R, besagt das: T (z) = T (z). (Das kann man auch aus ( ), 6.3 ablesen). Satz 11: gilt: L sei die Gerade z(t) = a + t e iϕ, t R, (a C, ϕ R fest). Es ϱ L (z) = e 2iϕ (z a) + a. L ist die Mittelsenkrechte der Strecke [z, ϱ L (z)]. Satz 12: Es sei K der Kreis um a mit Radius R. Es gilt: ϱ K (z) = a + R2 z a. Übung: Deute ϱ K (z) geometrisch. Verwende dies zu einer Konstruktion von ϱ K (z) aus z.

30 Der Logarithmus 29 Kapitel 7 Der Logarithmus Satz 1: Es sei α R. Jeder Streifen S α := {z/ α < Im(z) < α + 2π} wird durch f(z) = exp(z) schlicht (d.h. holomorph und injektiv) auf die geschlitzte Ebene E α = C\{w/ w = re iα, r 0} abgebildet. 7.3 Satz 2: E π = {z/ z 0, π < arg(z) < π} (=C\(, 0]) wird durch log(z) := ln z + i arg(z) schlicht auf S π := {w/ π < Im(w) < π} abgebildet. Es gelten 7.4 exp(log(z)) = z, z E π, und log (z) = 1 z, z E π. Es seien G C ein Gebiet und f : G C eine stetige Funktion, die exp(f(z)) = z, z G, erfüllt. f heißt dann ein Zweig des Logarithmus auf G. Mit G = E π ist log aus Satz 2 ein Zweig des Logarithmus: der sogenannte Hauptzweig.

31 Der Logarithmus 30 Satz 3: Ist G C ein Gebiet und f auf G ein Zweig des Logarithmus, so sind alle Zweige des Logarithmus auf G durch f(z)+2kπi, k Z, gegeben. Bemerkung: In A3, 5. Übung, wird gezeigt, dass auf {z/ z 1 < 1} der Hauptzweig des Logarithmus die Darstellung besitzt. 7.5 log(z) = n=1 n 1 (z 1)n ( 1) n Ist log(z) ein Zweig des Logarithmus auf G, so wird für b C durch z b = exp(b log(z)), z G, definiert. f(z) = z b Satz 4: Ist log der Hauptzweig des Logarithmus, so ist f(z) = z b, z E π holomorph. Es gilt f (z) = bz b 1.

32 Kurvenintegrale Stammfunktionen 31 Kapitel 8 Kurvenintegrale Stammfunktionen 8.1 < α < β <, w : [α, β] C sei stückweise stetig: Satz 1: w(t) = u(t) + i v(t), u(t) = Rew(t), v(t) = Imw(t). ˆβ ˆβ w(t)dt w(t) dt. α zum Beweis: ˆβ ˆβ Ist w(t)dt 0, so sei ϑ = arg( w(t)dt). α Es gilt: 8.2 α α ˆβ ˆβ ˆβ w(t)dt = Re(e iϑ w(t))dt w(t) dt. α α 1) Ist ϕ : [α, β] C eine glatte Kurve C und f : C C stetig, so wird definiert: ˆ ˆβ f(z)dz = f(ϕ(t)) ϕ(t)dt. C α Bemerkung: Ist h : [α, β ] [α, β] aus C 1 und streng wachsend, so ist z = ψ(τ) := ϕ(h(τ)), α τ β, eine Kurve C mit C = C. Es gilt: ˆ ˆ ( ) f(z)dz = f(z)dz. C α C

33 Kurvenintegrale Stammfunktionen 32 Also: Geht C aus C durch Parametertransformation hervor, so gilt ( ). 2) Ist C ein Weg: C = C 1 + C C n, so gilt ˆ C f(z)dz = ˆ n j=1 C j f(z)dz. 3) Ist C die zu C entgegengesetzte glatte Kurve, so gilt ˆ ˆ f(z)dz = f(z)dz, C C und also ˆ C+( C) f(z)dz = 0. 4) ˆ f(z) dz := ˆβ α f(ϕ(t)) ϕ(t) dt. C ˆ ˆ Satz 2: f(z)dz f(z) dz Ml(C), C C ˆ wobei M = max{ f(z), z C } und l(c) = dz die Länge von C sind. C Ist C ein geschlossener Weg, so schreiben wir auch: ˆ f(z)dz = f(z)dz oder C ˆ C C j f(z)dz = C f(z)dz. Beispiel: Es sei C: z = ϕ(t) = re it, 0 t 2π. Es gilt z n 2πi, n = 1 dz = 0, n 1, n Z. C

34 Kurvenintegrale Stammfunktionen Es sei G C ein Gebiet und f : G C eine Funktion. g : G C heißt Stammfunktion von f in G, wenn g in G holomorph ist und wenn g = f in G erfüllt ist. Satz 3: Die stetige Funktion f habe in G die Stammfunktion g. Es seien a, b G. Es gilt: ˆ f(z)dz = g(b) g(a) für jeden Weg C, C G, der a mit b verbindet. C Folgerung: Es sei f stetig im Gebiet G und besitze in G eine Stammfunktion. Dann gilt für jeden geschlossenen Weg C in G: f(z)dz = 0. Beispiele: C 1) f(z) = a n z n haben den Konvergenzradius r. n=0 a n g mit g(z) = n + 1 zn+1 ist in {z/ z < r} eine Stammfunktion n=0 von f. z =r 2) In C\{0} ist g(z) = 1 1, n = 2, 3, Stammfunktion von n 1 zn 1 f(z) = 1, n = 2, 3,. zn 1 3) Da z dz = 2πi 0 gilt, besitzt f(z) = 1 in C\{0} keine Stamm- z funktion. 4) f(z) = 1 z besitzt in E π = C\(, 0], (7.2) die Stammfunktion g(z) = log(z) = ln z + i arg(z), π < arg(z) < π.

35 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete 34 Kapitel 9 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete 9.1 Satz 1: (Das Lemma von Goursat) Es sei G C ein Gebiet und p G. Es sei f C(G) H(G\{p}). Dann gilt für jedes abgeschlossene Dreieck G: f(z)dz = 0. zum Beweis: Angenommen f(z)dz = α > 0. Man konstruiert abgeschlossene Dreiecke j mit: die 1 2 n n+1 (1) f(z)dz α 4 n, n = 1, 2, n erfüllen. Bezeichnen d n = diam( n ) und l( n ) die Länge von n, so folgt mit (2) d n < 1 2 n l( ) und d n = 1 diam( ) n = 1, 2, 2n zunächst: j = {z o }. j=1

36 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete 35 Nutzt man aus, dass f in z o diff bar ist, so erhält man mit (1) und (2): Für beliebiges ε > 0 gilt: Für ε < α diam( ) l( ) α ε diam( ) l( ) ist das falsch. 9.2 Der Integralsatz für Sterngebiete Das Gebiet G heißt Sterngebiet, falls es in G einen Punkt a gibt mit: (z G) ([a, z] = {ξ = a + t(z a), 0 t 1} G). Satz 2: Es sei G ein Sterngebiet bezüglich a. Es sei p G. Dann hat jede Funktion f C(G) H(G\{p}) in G eine Stammfunktion. ˆ zum Beweis: g(z) = f(ξ)dξ, z G, ist in G Stammfunktion von f. [a,z] Satz 3: (Cauchy Integralsatz für Sterngebiete) Es sei G ein Sterngebiet und p G und f C(G) H(G\{p}). Dann gilt für jeden geschlossenen Weg C in G: f(z)dz = 0. C 9.3 Die Cauchysche Integralformel für Kreise und Sterngebiete Satz 4: (Die Integralformel für Kreise) Es seien G ein Gebiet und f H(G). Es seien z o G und r > 0 so, dass {z/ z z o r} G. Dann gilt: f(z) = 1 f(ξ) 2πi ξ z dξ, z D(z o, r). ξ z o =r ξ z o =r zum Beweis: Wähle zu z D(z o, r) δ > 0 so, dass D(z, δ) D(z o, r) gilt. Zeige: f(ξ) ξ z dξ = f(ξ) ξ z dξ und bilde lim δ 0. ξ z =δ

37 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete 36 Bemerkungen: 1) Für z mit z z o < r gilt (setze oben f = 1): 1 dξ = 2πi. ξ z ξ z o =r 2) Für z = z o in Satz 4 erhält man den Mittelwertsatz: f(z o ) = 1 ˆ2π f(z o + re it )dt. 2π 0 Satz 5: (Die Integralformel für Sterngebiete) Es seien G ein Sterngebiet, C ein geschlossener Weg in G und f H(G). Dann hat man für z G \ C : wobei zur Abkürzung n(c, z)f(z) = 1 2πi C n(c, z) = 1 2πi C f(ξ) ξ z dξ dξ ξ z, z C gesetzt wurde. (Siehe Kap. 12) (Ist C ein Kreis um z o mit C G, so gilt für z aus dem Innern des Kreises n(c, z) = 1). zum Beweis: Mit z G beliebig, fest, z C, wird der Satz 3 angewendet auf g : G C, g(ξ) := Es ist g C(G) H(G\{z}). f(ξ) f(z) ξ z, ξ z f (z), ξ = z.

38 Folgerungen 37 Kapitel 10 Folgerungen 10.1 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Satz 1: Es sei f holomorph im Gebiet G C und z o G. Es sei D(z o, r) die größte Kreisscheibe um z o, die in G liegt. Dann gilt: f(z) = a n (z z o ) n n=0, z D(z o, r), mit a n = 1 2πi ξ z o =ρ ρ ist beliebig mit 0 < ρ < r. zum Beweis: 1) O.B.d.A z o = 0. f(ξ) dξ, n = 0, 1, 2. (ξ z o ) n+1 2) Mit ξ = ρ und z < ρ und m N hat man: 1 m ξ z = z n ξ n+1 + Ä z ä m+1 1 ξ ξ z. n=0 3) Mit der Cauchy Integralformel (9.3, Satz 4) gilt: f(z) = 1 f(ξ), z < ρ. 2πi ξ z ξ =ρ Setze 2) hier ein, setze a n wie im Satz angegeben (mit z o = 0). Man erhält:

39 Folgerungen 38 m f(z) a n z n = 1 f(ξ) Äz ä m+1dξ 2πi ξ z ξ n=0 ξ =ρ 0 (m ) mit z < 1 und Satz 2, 8. Kapitel. ξ Folgerungen: 1) Ist f H(G), so gilt f (n) H(G) für jedes n N. 2) f (n) (z o ) = n! 2πi ξ z o =ρ f(ξ) dξ, n = 0, 1, 2,. (ξ z o ) n+1 Mit 1) folgt leicht der Satz von Morera: Es sei G C ein Gebiet und f C(G). Für jedes abgeschlossene Dreieck G gelte f(z)dz = 0. Dann ist f auf G holomorph. zum Beweis: Wähle z o G und δ > 0 so, dass D(z o, δ) G. In D(z o, δ) ist g(z) := ˆz z o f(ξ)dξ (Integration längs der geradlinigen Verbindung von z o nach z) Stammfunktion von f. Da mit g auch g holomorph ist, ist f holomorph Der Identitätssatz Satz 2: Es sei G ein Gebiet und f H(G), z o G. Aus f(z) = 0 für unendlich viele verschiedene sich in z o häufende Punkte z G folgt: f(z) = 0, z G. zum Beweis: 1) Mit Satz 1 und den Voraussetzungen folgt f (j) (z o ) = 0, j = 0, 1,. Somit gilt f(z) = 0 für z z o < r, z G. 2) Die Menge G o = {z G/ f (n) (z) = 0, n = 0, 1, 2, } ist nichtleer und offen. Hier wird wieder Satz 1 angewendet. G 1 = G\G o ist offen, da f (n) stetig ist für jedes n. Da G als Gebiet zshgd ist, folgt G 1 = und somit G = G o.

40 Folgerungen 39 Bemerkungen: 1) Das Gebiet G enthalte das Intervall I R. Es sei g eine auf I definierte Funktion. Dann: g lässt sich auf höchstens eine Weise ins Komplexe als holomorphe Funktion fortsetzen. 2) Aus cos 2 x + sin 2 x = 1 für x R folgt cos 2 z + sin 2 z = 1 für z C. 3) Es sei G ein Gebiet, f H(G), f konst. z o heißt c - Stelle der Ordnung m, falls f(z o ) = c, f (j) (z o ) = 0 (j = 1, 2,, m 1), f (m) (z o ) 0. Es gilt in der Umgebung einer c - Stelle der Ordnung m die Entwicklung f(z) = c + (z z o ) mä a m+l (z z o ) lä mit a m Ganze Funktionen. Der Satz von Liouville Der Fundamentalsatz der Algebra f heißt ganze Funktion, wenn f H(C). Das sind die Funktionen, die sich um jeden Punkt in eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius entwickeln lassen. l=0 Satz 3: (Der Satz von Liouville) Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant. zum Beweis: Man geht aus von f(z) = a n z n mit a n = 1 2πi ξ =r n=0 f(ξ) dξ (Satz 1). ξn+1 Mit M(r) = max{ f(ξ), ξ = r} folgt mit Satz 2, 8. Kapitel: a n M(r) r n, n = 0, 1, 2,, 0 < r <. Die Ungleichungen ( ) findet man auch unter dem Stichwort Cauchysche Abschätzung. Folgerung aus dem Satz von Louville:

41 Folgerungen 40 Der Fundamentalsatz der Algebra: Es sei p ein nichtkonstantes Polynom. Dann hat p in C eine Nullstelle. zum Beweis: Ist p(z) 0 für alle z, so ist f(z) := 1 eine ganze Funktion, für die wegen p(z) für z gilt: f(z) 0 für z. Hieraus p(z) folgt mit Satz 3, dass f konstant ist Die Gebietstreue Hilfssatz: Es sei f in einer Umgebung von D(z o, r) holomorph. Es gelte f(z o ) < min{ f(z), z z o = r}. Dann hat f in D(z o, r) eine Nullstelle. 1 Beweis: mittels Widerspruch: mit Potenzreihenentwicklung von f(z) um 1 z o und mit der Cauchyschen Abschätzung für f(z o ). Satz 4: (Gebietstreue) Es sei G C ein Gebiet, f H(G) und f konst. Dann ist f(g) ein Gebiet. zum Beweis: mit dem Hilfssatz.

42 Das Maximumprinzip 41 Kapitel 11 Das Maximumprinzip 11.1 Die Parsevalsche Formel Satz 1: Es sei f(z) = (0 < ρ ). Es gilt: ˆ2π 1 f(z o + re it ) 2 dt = 2π 0 a n (z z o ) n holomorph in {z/ z z o < ρ} n=0 a n 2 r 2n (0 < r < ρ). n=0 zum Beweis: Nachrechnen! Es werden Sätze verwendet über die Vertauschbarkeit von ˆ und, d.h. auch Sätze die Konvergenz von Potenzreihen betreffend Das Maximumprinzip Satz 2: Es sei G ein Gebiet, f H(G), f konst. Dann nimmt f in G kein Maximum an. zum Beweis: Es wird gezeigt: Zu jedem z o G gibt es ein z 1 G mit f(z o ) < f(z 1 ). Es wird der Satz 1 angewendet. Ist D(z o, r) eine Kreisscheibe mit D(z o, 2r) G, so liegt z 1 auf dem Kreis ξ(t) = z o + re it, 0 t 2π. Satz 3: Das Gebiet G sei beschränkt. Es sei f H(G) C(G). Dann gilt f(z) max{ f(ξ), ξ G}, z G. Hier gilt = nur im Fall f = konst. zum Beweis: Mittels Widerspruch und mit Satz 2. Folgerung: Voraussetzungen wie für Satz 3. Es gilt Re(f(z)) max{re(f(ξ)), ξ G}. Gleichheit gilt nur im Fall f = konst.

43 Das Maximumprinzip 42 zum Beweis: Setze g(z) := exp(f(z)). Es gilt g(z) = exp(ref(z)). Wende Satz 3 auf g(z) an. Beachte die Monotonie von exp und ln. Bemerkung: Dies ist ein Satz zu harmonischen Funktionen Das Schwarzsche Lemma Satz 4: Es sei f holomorph in D = {z/ z < 1} und es seien f(0) = 0 und f(z) < 1 für z D erfüllt. Dann gelten: f(z) z, z D, und f (0) 1. Gilt f (0) = 1 oder f(z) = z für ein z D, so folgt f(z) = e iα z mit einem α R. zum Beweis: Verwende die Potenzreihe von f um 0 und wende das Maximumprinzip auf g(z) := f(z), z D, (g(0) = f (0)) an. z 11.4 Die biholomorphen Abbildungen D D 1) Es sei a D beliebig, fest. ϕ a mit ϕ a (z) := z a 1 az D = {z/ z 1} enthält. ist holomorph in einer offenen Kreischeibe, die Satz 5: ϕ a : D D und ϕ a ist biholomorph. Es ist ϕ 1 a = ϕ a. Es gelten: ϕ a ( D) = D, ϕ a(0) = 1 a 2, ϕ 1 a(a) = 1 a 2. 2) Es sei a D und f H(D) mit f(z) 1, z D. Es gilt: (1) f (a) 1 f(a) 2 1 a 2 und: In (1) gilt die Gleichheit genau für mit c konstant und c = 1. (2) f(z) = ϕ f(a) (c ϕ a (z)), z D

44 Das Maximumprinzip 43 zum Beweis von (1), (2): Auf g := ϕ f(a) f ϕ a kann das Schwarzsche Lemma angewendet werden. Es gilt somit g (0) 1 zusammen mit einer Aussage, unter welchen Umständen Gleichheit vorliegt. Wird dies auf f umgerechnet, so erhält man (1), (2). 3) Satz 6: Es sei f : D D biholomorph mit f(a) = 0. Dann gilt f = cϕ a mit einer Konstanten c mit c = 1. zum Beweis: Es sei g die inverse Funktion von f (3) g(f(z)) = z, z D. Wende (1), (2) mit f und a und mit g und f(a) = 0 an. Verwende (3). Man erhält f (a) = (1 a 2 ) 1. Die Aussage (2) zur Gleichheit in (1) gibt die Behauptung.

45 Die Windungszahl 44 Kapitel 12 Die Windungszahl 12.1 Die (Zusammenhangs)komponenten der offenen Menge G C sind die maximalen zshgd. Teilmengen von G. Die Komponenten sind die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation auf G G, die für a, b G so definiert wird: a b a und b lassen sich in G durch eine Kurve verbinden. Jede offene Menge ist disjunkte Vereinigung ihrer Komponenten. Jede Komponente ist ein Gebiet Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Komponenten von C\ C auch die Komplementärgebiete von C. Da C, liegt in genau einem dieser Gebiete: dem Außengebiet von C. Bezeichnet man diese unbeschränkte Komponente von C\ C durch U, so hat man: {z/ z > R} U für R > 0 genügend groß Die Windungszahl Es sei C C ein geschlossener Weg. Die Windungszahl n(c, z) von C bzgl z C\ C ist durch n(c, z) := 1 1 2πi ξ z dξ C definiert.

46 Die Windungszahl 45 Satz 1: n(c, z) Z zum Beweis: Ist C durch ξ : [α, β] C parametrisiert, ξ glatt, so ist mit h(τ) = ˆτ α ξ(t) dt, α τ β, ξ(t) z g(τ) = (ξ(τ) z) exp( h(τ)) auf [α, β] konstant. Hieraus folgt die Behauptung. Satz 2: Ist C ein Weg in C, so ist die Funktion ˆ mit f(z) := C dξ ξ z stetig. f : C\ C C Satz 3: Es sei C ein geschlossener Weg in C. Es gelten: 1) Ist U eine Komponente von C\ C, so ist f : U C, f(z) := konstant. C dξ ξ z, 2) n(c, z) = 0 für z aus der unbeschränkten Komponente von C\ C. Bemerkung/Übung: 1) C sei geschlossener Weg. Dann gilt: n(c, a) = n( C, a), a C. 2) C 1, C 2 seien geschlossene Wege mit demselben Anfangspunkten. Für a C 1 C 2 gilt: n(c 1 + C 2, a) = n(c 1, a) + n(c 2, a). 3) Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Mengen int(c) := {z C\ C / n(c, z) 0}, ext(c) := {z C\ C / n(c, z) = 0} heißen das Innere bzw. das Äußere von C. 3.1 Es ist eine disjunkte Zerlegung von C. C = int(c) C ext(c)

47 Die Windungszahl Es gelten 3.3 und für D = D(z o, r) (int(c)) C, (ext(c)) C int( D) = D, ext( D) = C\D, (int( D)) = (ext( D)) = D. 3.4 int(c) ist beschränkt, ext(c) ist nichtleer und unbeschränkt: Aus C D(z o, r) folgen int(c) D(z o, r), C\D(z o, r) ext(c) (Verkehrsregel) zur Berechnung der Windungszahl Satz 4: Der geschlossene Weg C zerlege die Kreisscheibe D in zwei Gebiete D l und D r. Es gilt ( Vorfahrtsregel ). n(c, z l ) = n(c, z r ) + 1, z l D l, z r D r

48 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 47 Kapitel 13 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 13.1 Satz 1: (Die Integralformel) Es seien G C eine offene Menge und f : G C eine holomorphe Funktion. C sei ein geschlossener Weg in G. Es sei n(c, w) = 0 für w C\G erfüllt. Dann gilt für z G\ C n(c, z)f(z) = 1 2πi C f(ξ) ξ z dξ. zum Beweis: 1. Schritt: Es ist H := {w C/ n(c, w) = 0} eine offene Menge, und es gilt H G = C. 2. Schritt: g : G G C mit: g(ξ, z) := f(ξ) f(z) ξ z, ξ z f (z), ξ = z. ist stetig auf G G. Beim Nachweis der Stetigkeit in (z o, z o ) G G mit (ξ, z) (z o, z o ) mit ξ z verwendet man g(ξ, z) g(z o, z o ) = 1 ˆξ (f (w) f (z o )) dw ξ z z (Integration längs der Verbindungsstrecke) und die Stetigkeit von f.

49 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz Schritt: h o (z) := C g(ξ, z) dξ, z G, ist holomorph. Dies wird mit dem Satz von Morera (10.1) gezeigt. Es werden verwendet: der Satz von Fubini und das Lemma von Goursat (Satz 1 in 9.1). 4. Schritt: Für z G H gilt h o (z) = C f(ξ) ξ z dξ =: h 1(z). 5. Schritt: Es ist h 1 auf H holomorph. Das ist ein Spezialfall des folgenden Satzes: Ist C ein Weg in der offenen Menge U und p eine auf C stetige Funktion, so ist ˆ p(ξ) λ(z) := ξ z dξ auf U\ C holomorph mit ˆ λ (n) (z) = n! C C p(ξ) dξ, z U\ C, n N. (ξ z) n+1 Diesen Satz haben wir mittels Potenzreihenentwicklung des Integranden bewiesen. 6. Schritt h o (z), z G h(z) := h 1 (z), z H. ist eine ganze beschränkte (es gilt h 1 (z) 0, z ) Funktion, die also nach dem Satz von Louville (10.3) konstant ist. Wegen h(z) 0 für z gilt somit h(z) = 0, z G, also auch h o (z) = 0 für z G\ C. Das ist die Behauptung des Satzes.

50 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz Verallgemeinerung von Satz 1 Satz 2: Es sei G C eine offene Menge und f H(G). C 1,, C m seinen geschlossene Wege in G mit (V ) m n(c j, w) = 0 für w C\G. j=1 m Dann gilt für z G\ C j j=1 Ä m n(c j, z) ä m 1 f(z) = 2πi j=1 j=1 C j f(ξ) ξ z dξ. zum Beweis: Der Beweis geht wie der von Satz 1. g = g(ξ, z) wird wie dort definiert. Jetzt ist m H = {w/ n(c j, w) = 0} j=1 und m h o (z) = g(ξ, z) dξ, z G. j=1 C j 13.3 Der Cauchysche Integralsatz Satz 3: (V ) wie in Satz 2. Dann gilt m j=1 C j f(ξ)dξ = 0. zum Beweis: m Wähle a G\ C j. Setze F (z) := (z a)f(z). j=1 Nach Satz 2 gilt: 1 2πi m j=1 C j f(ξ) dξ = 1 2πi m j=1 C j F (ξ) ξ a dξ = Ä m n(c j, a) ä F (a) = 0 j=1

51 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz Beispiele 1) Es sei G offene Menge, C ein geschlossener Jordanweg in G mit int(c) G und f H(G). Dann gilt: f(z)dz = 0 C 2) Es sei f H(G). G = {z/ R 1 < z < R 2 }. Wähle r 1, r 2 mit R 1 < r 1 < r 2 < R 2 und bezeichne C 1 : ξ 1 (t) = r 1 e it, 0 t 2π C 2 : ξ 2 (t) = r 2 e it, 0 t 2π Mit Satz 3 folgt C 1 f(z)dz = C 2 f(z)dz Es seien z G und r 1, r 2 so, dass R 1 < r 1 < z < r 2 < R 2 erfüllt ist. Mit Satz 2 folgt: Satz 4: (Cauchy Integralformel für den Kreisring) f(z) = 1 f(ξ) 2πi ξ z dξ 1 f(ξ) 2πi ξ z dξ. C 2 C 1 3) Eine Anwendung von 1) oben gibt: Ist C ein positiv orientierter geschlossener Jordanweg, so gilt für z int(c): n(c, z) (= 1 2πi C Man weist hierzu nach, dass dξ ξ z = C K dξ ξ z ) = 1 dξ ξ z gilt, wobei K der positiv orientierte Rand eines Kreises um z ist, der K int(c) erfüllt. 4) Eine Anwendung von Satz 3 liefert das folgende Ergebnis: C o, C 1,..., C m seien geschlossene Jordanwege. C 1,..., C m liegen alle im Innengebiet von C o, jeder der Wege C 1,..., C m liegt im Innengebiet von C o, und

52 Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz 51 jeder der Wege C 1,..., C m liegt im Außengebiet aller anderen (int (C j ) int (C l ) =, j l, j, l=1,...,m). Dann gilt C o f(z)dz = m j=1 C j f(z)dz, falls C o, C 1,..., C m und das Ringgebiet zwischen C o und den C j (j = 1,..., m) ganz in einer offenen Menge G liegen, in der f holomorph ist, und falls C o, C 1,..., C m in demselben Sinn orientiert sind. m Zeige: Für w G gilt n(c o, w) + n( C j, w) = 0. Man wende Satz 3 auf C o, C 1,..., C m an. j=1

53 Die Laurent Entwicklung 52 Kapitel 14 Die Laurent Entwicklung 14.1 a n, n Z, sind gegebene komplexe Zahlen. ( ) + n= a n (z z o ) n heißt Laurent Reihe um z o. ( ) heißt konvergent in z, falls für z 1 (1) h(z) := a n (z z o ) n = a n (z z o ) n und (2) r(z) := n= + n=0 a n (z z o ) n konvergieren. Liegt Konvergenz vor, so wird + n= n=1 a n (z z o ) n = h(z) + r(z) (Hauptteil und Nebenteil) geschrieben. 1 Da h(z) eine Potenzreihe in und r(z) eine Potenzreihe ist, können z z o wir die früher bereitgestellten Ergebnisse zu Potenzreihen anwenden. Man erhält so leicht den:

54 Die Laurent Entwicklung 53 Satz 1 Es seien 1 der Konvergenzradius der Reihe a n z n und R 2 R 1 n=1 der Konvergenzradius der Reihe a n z n. Dann hat man: n= n= a n z n ist konvergent für alle z mit R 1 < z < R Im Fall R 1 < R 2 ist die durch + n= definierte Funktion f in A holomorph. a n z n auf A = {z/ R 1 < z < R 2 } Bemerkung: In den Anwendungen (siehe auch die nächsten Kapitel) tritt hauptsächlich der Fall R 1 = 0 auf: A ist die punktierte Kreischeibe D (0, R 2 ) = {z/ 0 < z < R 2 } 14.2 Die Laurent Entwicklung Satz 2 Es seien R 1, R 2 Zahlen mit 0 R 1 < R 2 +. Mit A = {z/ R 1 < z z o < R 2 } sei f H(A) gegeben. Dann gilt für z A die Darstellung (als Laurentreihe) f(z) = a n (z z o ) n + a n (z z o ) n mit n=1 a n = 1 2πi ξ z o =ϱ n=0 f(ξ) dξ, n Z. (ξ z o ) n+1 ϱ ist beliebig mit R 1 < ϱ < R 2. zum Beweis: Vorgehen wie in Satz 1, 10.1, ausgehend von der Cauchy Intergralformel für den Kreisring, Satz 4, Dass die Integrale für die Koeffizienten mittels eines Kreises {z/ z z o = ϱ} ausgerechnet werden können, folgt aus 2), Bemerkung: Die Laurent Reihe von f um z o in A := {z/ R 1 < z z o < R 2 } ist eindeutig bestimmt: Aus f(z) = + a n (z z o ) n, z A, folgt a n = 1 2πi mit ϱ beliebig aus (R 1, R 2 ). ξ z o =ϱ f(ξ) dξ, n Z, (ξ z o ) n+1

55 Die Laurent Entwicklung Beispiele: 1) a, b C, 0 < a < b <, seien gegeben. 1 Gesucht sind für f(z) = (z a)(z b) die Laurent Reihen um z o = 0. f ist holomorph in R 1 = {z/ z < a } f ist holomorph in R 2 = {z/ a < z < b } f ist holomorph in R 3 = {z/ b < z } Satz 2 und Bemerkung liefern: Die Reihe in R 1 : f(z) = 1 a b Die Reihe in R 2 : f(z) = 1 a b Die Reihe in R 3 : f(z) = 1 a b Ä 1 n=0 Ä n=1 n=1 b n+1 1 a n+1 ä z n a n 1 z n + n=1 a n 1 b n 1 z n z n 1 ä b n 1 2) (Ü) Berechne für f(z) = (z 1)(z 2) die Entwicklungen um z o = 3. Gib jeweils den Konvergenzbereich an. 3) Laurentreihe von (z + 1)2 z für z > 0 ist 1 z z. 4) Gib die verschiedenen Entwicklungen um z o = 0 und z o = 1 an für 1 f(z) = z 2 (1 z).