Grundbegriffe der Informatik

Transkript

1 Grundegriffe der Informtik Einheit 14: Endliche Automten Thoms Worsch Krlsruher Institut für Technologie, Fkultät für Informtik Wintersemester 2009/2010 1/56

2 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt Mely-Automten Moore-Automten Spezilfll: endliche Akzeptoren Üerlick 2/56

3 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt Mely-Automten Moore-Automten Spezilfll: endliche Akzeptoren Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 3/56

4 Ein primitiver Getränkeutomt Geld- Einwurf rein Sprudel zitro OK C Geld- Rückge Wre Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 4/56

5 Getränkeutomt: umgngssprchliche Beschreiung nur 1-Euro-Stücke einzuwerfen vier Tsten zwei Whltsten für Minerlwsser rein und Zitronensprudel zitro OK -Tste und Aruch-Tste C Jede Flsche kostet 1 Euro. Guthen von 1 Euro knn gespeichert werden weitere Euro-Stücke werden sofort wieder usgegeen Drücken von rein / zitro : letzter wird Wunsch gespeichert C -Tste: ereits eingeworfener Euro wird zurückgegeen und kein Getränkewunsch mehr gespeichert. OK -Tste ignoriert, solnge noch kein Euro eingeworfen oder keine Getränkesorte usgewählt ndernflls ds gewünschte Getränk usgeworfen Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 5/56

6 Formlisierung des Getränkeutomten: Zustände Automt muss zwischen den Eingen, die sein Verhlten eeinflussen können (Geldeinwürfe und Getränkewhl), gewisse Nchrichten speichern. und zwr Wurde schon ein 1-Euro-Stück eingeworfen? Wurde schon ein Getränk usgewählt? Wenn j: welches? Modellierung: durch Pre (x, y) Komponente x {0, 1}: schon eingeworfener Geldetrg Komponente y {-, R, Z}: Getränkewhl Zustndsmenge Z = {0, 1} {-, R, Z} Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 6/56

7 Formlisierung des Getränkeutomten: Eingen erster wesentlicher Aspekt jedes Automten: Eingen (Einflüsse von ußen ) führen zu Zustndsänderungen. Eingen hier: Einwurf eines Euros Drücken einer der vier Tsten ignoriere gleichzeitige Tstendrücke ( Astrktion ) Modellierung der Eingen: Symole 1, R, Z, C und O Eingelphet X = {1, R, Z, C, O} Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 7/56

8 Formlisierung des Getränkeutomten: Zustndsüergänge (1) Zustndsüergng hängig von ktuellem Zustnd z Z und ktuellem Eingesymol x X z und x legen eindeutig den neuen Zustnd fest. lso immer und eindeutig jedenflls ei dem Getränkeutomten Formlisierung: Zustndsüerführungsfunktion f : Z X Z oft in Drstellung ls Grph spezifiziert Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 8/56

9 Formlisierung des Getränkeutomten: Zustndsüergänge (2) Z Z R Z (0, -) (0, R) R R (0, Z) R R Z (1, -) (1, R) R (1, Z) 1 Z 1 Z 1 Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 9/56

10 Formlisierung des Getränkeutomten: Zustndsüergänge (2) C C (0, -) O,C (0, R) O (0, Z) O C O,C O,C (1, -) O (1, R) (1, Z) Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 10/56

11 Formlisierung des Getränkeutomten: Zustndsüergänge (2c) C O,C Z R,O C R (0, -) (0, R) (0, Z) R Z Z,O 1,O C O,C O,C R (1, -) (1, R) (1, Z) R 1,R Z Z 1,Z Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 11/56

12 Formlisierung des Getränkeutomten: Ausgen (1) zweiter wesentlicher Aspekt jedes Automten: Ausgen wozu sollte mn ihn sonst lufen lssen jedenflls und zu Ausgen hier: Euro Rückgeld gewählte Flsche Ausgelphet Y = {1, R, Z} Formlisierung der Ausgen hängig von ktuellem Zustnd z Z und ktuellem Eingesymol x X z und x legen eindeutig die Ausge fest. lso immer und eindeutig jedenflls ei dem Getränkeutomten im llgemeinen Wörter üer Y Formlisierung: Ausgefunktion g : Z X Y Funktionswert ε: keine Ausge Auch g ülicherweise in den Zustndsüergngsdigrmmen mit ngegeen in der Form x g(z, x) Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 12/56

13 Formlisierung des Getränkeutomten: Ausgen (2) C ε O ε,c ε Z ε R ε,o ε C ε R ε (0, -) (0, R) (0, Z) R ε Z ε 1 ε 1 ε 1 ε Z ε,o ε 1 1,O ε O Z,C 1 C 1 O R,C 1 R ε (1, -) (1, R) (1, Z) R ε 1 1,R ε Z ε Z ε 1 1,Z ε Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 13/56

14 Ws ist wichtig Ds sollten Sie mitnehmen: lles endlich lles endlich eschreir im Beispiel Getränkeutomt: ktueller Zustnd und ktuelle Einge legen immer und eindeutig fest: nächsten Zustnd Ausge Ds sollten Sie üen: Zustndsdigrmm lesen Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt 14/56

15 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt Mely-Automten Moore-Automten Spezilfll: endliche Akzeptoren Mely-Automten 15/56

16 Mely-Automten Ein (endlicher) Mely-Automt ist festgelegt durch eine endliche Zustndsmenge Z, einen Anfngszustnd z 0 Z, ein Eingelphet X, eine Zustndsüerführungsfunktion f : Z X Z, ein Ausgelphet Y, eine Ausgefunktion g : Z X Y Drstellung ls Grph: Knoten: Zustände x g(z, x) Knten: z f (z, x) Anfngszustnd: in der Drstellung durch kleinen Pfeil gekennzeichnet: z Mely-Automten 16/56

17 Verllgemeinerte Zustndsüergngsfunktionen (1) nch Einge eines gnzen Wortes w X : Ws ist der erreichte Zustnd? Welches sind lle durchlufenen Zustände? definiere pssende Funktionen f und f 1. Stern: zweite Argument ist gnzes Wort von Eingesymolen 2. Stern: interessieren uns für lle durchlufenen Zuständen Zuständen definiere f : Z X Z: lterntiv: f (z, ε) = z w X : x X : f (z, wx) = f (f (z, w), x) f (z, ε) = z w X : x X : f (z, xw) = f (f (z, x), w) eide Definitionen liefern ds Gleiche: f = f. Mn nimmt die equemere. Mely-Automten 17/56

20 Verllgemeinerte Zustndsüergngsfunktionen (2) lle durchlufenen Zustände: definiere f : Z X Z : f (z, ε) = z w X : x X : f (z, wx) = f (z, w) f (f (z, w), x) uch hier wieder eine lterntive Definitionsmöglichkeit Mely-Automten 18/56

21 Bespiel Getränkeutomten C ε O ε,c ε Z ε R ε,o ε C ε R ε (0, -) (0, R) (0, Z) R ε Z ε 1 ε 1 ε 1 ε Z ε,o ε 1 1,O ε O Z,C 1 C 1 O R,C 1 R ε (1, -) (1, R) (1, Z) R ε 1 1,R ε Z ε Z ε 1 1,Z ε f ( (0, -), R1RZO) = (0, -) (0, R) (1, R) (1, R) (1, Z) (0, -) Mely-Automten 19/56

22 Verllgemeinerte Ausgefunktionen für die letzte Ausge: g : Z X Y g (z, ε) = ε g (z, wx) = g(f (z, w), x) Für lle Ausgen konkteniert : g : Z X Y : g (z, ε) = ε g (z, wx) = g (z, w) g (z, wx) Mely-Automten 20/56

23 Bespiel Getränkeutomten C ε O ε,c ε Z ε R ε,o ε C ε R ε (0, -) (0, R) (0, Z) R ε Z ε 1 ε 1 ε 1 ε Z ε,o ε 1 1,O ε O Z,C 1 C 1 O R,C 1 R ε (1, -) (1, R) (1, Z) R ε 1 1,R ε Z ε Z ε 1 1,Z ε g ( (0, -), R1RZO) = εεεεz = Z Mely-Automten 21/56

24 Ws ist wichtig Ds sollten Sie mitnehmen: offizielle Definition von Mely-Automt: Z z 0 Z X f : Z X Z Y g : Z X Y Ausge hängt von der Einge Ds sollten Sie üen: zu vorgegeenem Verhlten Beispielutomten konstruieren von vorgeenenen Automten ihr Verhlten verstehen Mely-Automten 22/56

25 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt Mely-Automten Moore-Automten Spezilfll: endliche Akzeptoren Moore-Automten 23/56

26 Moore-Automt mnchml näherliegend: Automt produziert in jedem Zustnd eine Ausge (nicht ei Zustndsüergng) (endlicher) Moore-Automt festgelegt durch eine endliche Zustndsmenge Z, einen Anfngszustnd z0 Z, ein Eingelphet X, eine Zustndsüerführungsfunktion f : Z X Z, ein Ausgelphet Y, eine Ausgefunktion h : Z Y Moore-Automten 24/56

27 Moore-Automt: Beispiel (us der Dokumenttion zu tikz) grphische Drstellung nlog zu Mely-Automten, nur die Ausgen in den Zuständen: q ε 0 q 0 q 0 q f 1, q r 0, Moore-Automten 25/56

28 Verllgemeinerte Zustndsüergngsfunktionen f und f Definition von f und f wie ei Mely-Automten q ε 0 q 0, q f 1 q r 0, q 0 Beispiel: f (q ε, ) = q r f (q ε, ) = q ε qqqq f q r Moore-Automten 26/56

29 Kleine Änderung ei der Nottion für Homomorphismen Schreie h sttt h für den durch h : A B induzierten Homomorphismus A B lso h : A B definiert vermöge h (ε) = ε w A : x A : h (wx) = h (w)h(x) Fkt h (x 1 x 2 x n ) = h(x 1 )h(x 2 ) h(x n ) Moore-Automten 27/56

30 Verllgemeinerte Ausgefunktionen g und g etws einfcher ls ei Mely-Automten letzte Ausge g = h f : (z, w) Z X : g (z, w) = h(f (z, w)) lle Ausgen : g = h f (z, w) Z X : g (z, w) = h (f (z, w)) Beispiel: f (q ε, ) = q r f (q ε, ) = q ε qqqq f q r lso g (q ε, ) = h(f (q ε, )) = h(q r ) = 0 g (q ε, ) = h (f (q ε, )) = h (q ε qqqq f q r ) = h(q ε )h(q)h(q)h(q)h(q f )h(q r ) = Moore-Automten 28/56

31 Ws ist wichtig Ds sollten Sie mitnehmen: offizielle Definition von Moore-Automt: Z z 0 Z X f : Z X Z Y h : Z Y Ausge hängt nicht von der Einge Ds sollten Sie üen: zu vorgegeenem Verhlten Moore-Automten konstruieren, der es relisiert von vorgeenenem Moore-Automten relisiertes Verhlten herusfinden Moore-Automten 29/56

32 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt Mely-Automten Moore-Automten Spezilfll: endliche Akzeptoren Spezilfll: endliche Akzeptoren 30/56

33 Endliche Akzeptoren wichtiger Sonderfll von Moore-Automten: sogennnte endliche Akzeptoren Moore-Automten mit immer genu einem Bit Ausge: Y = {0, 1} und z : h(z) Y Interprettion der Ausge: Einge wr gut oder schlecht zw. syntktisch korrekt oder syntktisch flsch (für eine gerde interessierende Syntx) equemere Formlisierung: Spezifiktion der Menge F der kzeptierenden Zustände: F = {z h(z) = 1} die nderen heißen lehnende Zustände in grphischen Drstellungen kzeptierende Zustände mit doppeltem Kringel gemlt: z Spezilfll: endliche Akzeptoren 31/56

34 Endlichen Akzeptoren: Beispiel der Moore-Automt us dem vorngegngenen Aschnitt: q q ε q f, q r, q Spezilfll: endliche Akzeptoren 32/56

35 Akzeptierte und gelehnte Wörter Wort w X wird kzeptiert, flls f (z 0, w) F. Wort w X wird gelehnt, flls f (z 0, w) / F. Spezilfll: endliche Akzeptoren 33/56

36 Beispiel q ε q q f, q r, q wird gelehnt, denn f (z 0, ) = q r / F wird kzeptiert, denn f (z 0, ) = q f F. llgemein: Alle Wörter der Form k für ein k N + werden kzeptiert. Alle Wörter der Form k für ein k N + werden kzeptiert. Keine nderen Wörter werden kzeptiert. Spezilfll: endliche Akzeptoren 34/56

37 Erknnte formle Sprche Die von einem Akzeptor A = (Z, z 0, X, f, F ) kzeptierte oder erknnte formle Sprche ist L(A) = {w X f (z 0, w) F } Ds ist gnz einfche Syntxnlyse. in unserem Beispiel: L(A) = {} + {} {} + {} Spezilfll: endliche Akzeptoren 35/56

38 Beispiel 2 einer erkennren Sprche formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Spezilfll: endliche Akzeptoren 36/56

39 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (1) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: erster Anstz z z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 37/56

40 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (2) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 38/56

41 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (3) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 39/56

42 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (4) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 40/56

43 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (5) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z 2 z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 41/56

44 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (6) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z 2 z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 42/56

45 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (7) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: nächster Schritt z 2 z 3 z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 43/56

46 Beispiel 2 einer erkennren Sprche (8) formle Sprche L ller Wörter w {, } mit den Eigenschften: in w kommt mindestens ein vor und vor dem letzten steht ein Behuptung: Es git einen endlichen Akzeptor, der L erkennt. Konstruktion: letzter Schritt z 2 z 3 z 0 z 1 Spezilfll: endliche Akzeptoren 44/56

47 Beispiel 3 einer erkennren Sprche eine Aufge us dem Informtiker-Alltg gegeen: Textdtei mit vielen Zeilen gesucht: die Zeilen, in denen ein gewisses Wort m vorkommt z. B. mit dem Progrmm grep mit nderen Worten gegeen: Zeichenkette w und Textmuster m gesucht: Algorithmus, der feststellt, o in w ds m vorkommt ds geht mit einem endlichen Akzeptor hier: Eingelphet X = {, } Textmuster m = Ziel: endlicher Akzeptor A mit L(A) = {w 1 w 2 w 1, w 2 {, } } Spezilfll: endliche Akzeptoren 45/56

50 Beispiel 3 einer erkennren Sprche (2) es git verschiedene Möglichkeiten hier: ein erster Anstz z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5, es fehlen noch diverse Üergänge Ws ist z. B. mit folgenden Wörtern? Spezilfll: endliche Akzeptoren 46/56

57 Beispiel einer nicht erkennren Sprche Behuptung: Die formle Sprche L = { k k k N 0 } knn von keinem endlichen Akzeptor erknnt werden. Beweis? schwieriger, ls nur einen Akzeptor hinzumlen mn muss lle Akzeptoren etrchten Wie mcht mn ds? etrchte elieigen endlichen Akzeptor A und zeige: L(A) L Ws edeutet L(A) L? L L(A) oder L(A) L folgenden Vorgehensweise ist zielführend : Fllunterscheidung: 1. Fll: L L(A): dnn offensichtlich L(A) L 2. Fll: L L(A): zeige: dnn er L(A) L, d. h. der Automt kzeptiert uch ein flsches Wort Spezilfll: endliche Akzeptoren 52/56

58 Beispiel einer nicht erkennren Sprche Behuptung: Die formle Sprche L = { k k k N 0 } knn von keinem endlichen Akzeptor erknnt werden. Beweis? schwieriger, ls nur einen Akzeptor hinzumlen mn muss lle Akzeptoren etrchten Wie mcht mn ds? etrchte elieigen endlichen Akzeptor A und zeige: L(A) L Ws edeutet L(A) L? L L(A) oder L(A) L folgenden Vorgehensweise ist zielführend : Fllunterscheidung: 1. Fll: L L(A): dnn offensichtlich L(A) L 2. Fll: L L(A): zeige: dnn er L(A) L, d. h. der Automt kzeptiert uch ein flsches Wort Spezilfll: endliche Akzeptoren 52/56

59 Beispiel einer nicht erkennren Sprche (2) L = { k k k N 0 } leit noch zu zeigen: wenn L L(A), dnn L(A) L sei m = Z etrchte die Einge w = m m f (z 0, m ) esteht us m + 1 Zuständen: z 0 z1 = f (z 0, ) z2 = f (z 1, ). zm = f (z m 1, ) soviele verschiedene git es gr nicht lso kommt mindestens einer doppelt vor: A läuft in einer Schleife seien i 0 und l 1 die kleinsten Zhlen mit z i = z i+l, lso f (z 0, i ) = f (z 0, i+l ) Spezilfll: endliche Akzeptoren 53/56

60 Beispiel einer nicht erkennren Sprche (3) seien i 0 und l 1 die kleinsten Zhlen mit z i = z i+l, lso f (z 0, i ) = f (z 0, i+l ) dnn uch z i+1 = z i+l+1 z i+2 = z i+l+2. zm l = z m lso f (z 0, m l ) = f (z 0, m ) A unterscheidet nicht, o m oder m l in der Einge etrchte: w = m l m / L f (z 0, w ) = f (z 0, m l m ) = f (f (z 0, m l ), m ) w L(A) er w / L = f (f (z 0, m ), m ) = f (z 0, m m ) F Spezilfll: endliche Akzeptoren 54/56

61 Beispiel einer nicht erkennren Sprche (3) seien i 0 und l 1 die kleinsten Zhlen mit z i = z i+l, lso f (z 0, i ) = f (z 0, i+l ) dnn uch z i+1 = z i+l+1 z i+2 = z i+l+2. zm l = z m lso f (z 0, m l ) = f (z 0, m ) A unterscheidet nicht, o m oder m l in der Einge etrchte: w = m l m / L f (z 0, w ) = f (z 0, m l m ) = f (f (z 0, m l ), m ) w L(A) er w / L = f (f (z 0, m ), m ) = f (z 0, m m ) F Spezilfll: endliche Akzeptoren 54/56

62 Ws ist wichtig Ds sollten Sie mitnehmen: offizielle Definition endlicher Akzeptoren: Z z 0 Z X f : Z X Z F Z Wenn ein sehr lnges Wort kzeptiert wird, dnn läuft der Automt in einer Schleife, die elieig oft durchlufen werden knn ohne Akzeptnz zu ändern Ds sollten Sie üen: gegeen L: konstruiere A mit L(A) = L gegeen A: estimme L(A) Spezilfll: endliche Akzeptoren 55/56

63 Zusmmenfssung Mely-Automten Moore-Automten tucht im Zusmmenhng mit diversen Protokollen z. B. in Betriessystemen und ei Kommuniktionssystemen uf insesonderen Akzeptoren primitive Syntxnlyse er oft nützlich, z. B. ei Compileru-Werkzeugen, Suche nch Text-Vorkommen, etc. Zusmmenfssung 56/56