MATHEMATIK Grundkurs 11m3 2010

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1 MATHEMATIK Grundkurs 11m Städtisches Gymnasium Leichlingen Zusammenfassende Informationen zum Unterricht ab 29. Oktober 2010 Für jede Doppelstunde ein Kapitel

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3 Kapitel 1 Doppelstunde Zunächst wurde auf die Bedeutung der grundlegenden Verfahren aus der Sekundarstufe 2 hingewiesen, insbesondere im Zusammenhang mit folgenden Themen. 1. Bruchrechnung 2. Binomische Formeln 3. Lineare Gleichungen und Lineare Funktionen 4. Wurzeln und Beträge 5. Quadratische Gleichungen 6. Strahlensätze 7. Satz des Pythagoras Aus dieser nicht vollständigen Zusammenstellung (es fehlen z.b. die trigonometrischen Funktionen) wurden die binomischen Formeln und - im Hinblick auf die Klausur vom die linearen Funktionen herausgegriffen. 1.1 Die binomischen Formeln Die binomischen Formeln werden meist in der folgenden Form gelernt: (I) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (II) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (III) (a + b)(a b) = a 2 b 2 Für die praktische Anwendung ist allerdings meistens von der rechten Seite der Gleichungen ausgehend zur linken Seite überzugehen, also z.b. zu erkennen, dass man a a + 25 nach der ersten binomischen Formel zu (a + 5) 2 zusammenfassen kann. Auerdem stehen im konkreten Fall anstelle der Platzhalter meistens auch nicht a und b, sondern andere Variablen oder gar Terme. Aus dem Zweitgenannten Grund ist es zwar lästig, aber zum Lernen günstig, die binomischen Formeln nicht in Buchstaben, sondern mit ihrer Bedeutung zu erlernen, also: 1. Man quadriert eine Summe, indem man das Quadrat des ersten Summanden, das Quadrat des zweiten Summanden und das doppelte Produkt der beiden Summanden addiert. 2. Man quadriert eine Differenz, indem man die Quadrate von Minuend und Subtrahend addiert, und von der Summe das doppelte Produkt von Minuend und Subtrahend subtrahiert. 3. Man multipliziert die Summe von zwei Zahlen mit der Differenz dieser Zahlen, indem man die Differenz der Quadrate der beiden Zahlen bildet. 3

4 4 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE Dabei kann man sich das Erlernen der zweiten binomischen Formel insofern sparen, als sie sich als Sonderfall der ersten binomischen Formel auffassen lässt. Besonders wichtig ist bei der dritten binomischen Formel die Folgerung, dass sich die Differenz von zwei Quadraten stets in Faktoren zerlegen lässt. Häufig muss man sich bei einigen Ausdrücken erst klar machen, dass sie sich als Quadrat schreiben lassen. Klar ist q 2 p 2 = (q + p)(q p) q = (q + 11)(q 11) q 2 8p + 16 = (q 4p) 2 Aber während schon nicht jeder 121 auf Anhieb als Quadratzahl erkennt, denkt man oft erst recht nicht daran, dass sich jede nicht-negative Zahl als Quadratzahl, nämlich als Quadrat ihrer Wurzel, darstellen lässt. Man muss also auch die folgenden Faktorzerlegungen sehen: 1 z 2 = (1 + p)(1 p) q 2 12 = (q + 12)(q 12) Falls x nicht negativ ist: x 81 = ( x 9)( x + 9) Die wichtigste Anwendung der binomischen Formeln ist in fast allen Fällen das Erkennen einer Zerlegungsmöglichkeit in Faktoren. 1.2 Die lineare Funktion Die Gleichung einer Geraden im Koordinatensystem lässt sich auf die Form y = mx + b bringen. Dabei gibt m die Steigung an, also den Wert, um den sich die y-koordinate eines Geraden-Punktes verändert, wenn man ihn so auf der Geraden verschiebt, dass die x-koordinate um 1 zunimmt: Aus dem Punkt mit den Koordinaten (x y) wird der Punkt mit den Koordinaten (x + 1 y + m). Der y-achsen-abschnitt der Geraden ist b, d.h. die Gerade schneidet die y-achse im Punkt mit den Koordinaten (0 b). Genau dann verlaufen zwei Geraden parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben Die grundlegenden Formeln zur linearen Funktion Die Steigung m der Geraden durch die Punkte P und Q beträgt m = y Q y P x Q x P Die Gleichung der Geraden mit Steigung m durch den Punkt P lautet y = y P + m(x x P ) Mit den beiden genannten Formeln ergibt sich unmittelbar die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q: y = y P + y Q y P x Q x P (x x P ) Wenn die Geraden g und h senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen -1. Wenn die Gerade g nicht die Steigung 0 hat (also nicht parallel zur x-achse verläuft), gilt: m h = 1 m g

5 1.3. LÖSUNGEN DER HAUSAUFGABEN ZU MI, Lösungen der Hausaufgaben zu Mi, Zerlege durch Anwendung einer der binomischen Formeln in Faktoren. (a) 144x 2 24x + 1 = (12x 1) 2 (b) z 2 = ( z)(10 99z) (c) x 2 28x + 7 = (x 7) 2 2. Bestimme die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B. (a) A(1 5), B(5 1) Einsetzen in die Formel y = y A + y B y A x B x A (x x A ) ergibt (b) A(3 4), B(5 44) y = (x 1) = 5 (x 1); y = x y = (c) A(3 7), B(8 6) (x 3) = (x 3); y = 20x 56. y = (x 3) = (x 3); y = 1 5 x Bestimme die Gleichung der Geraden durch den Punkt A, die senkrecht zu einer Geraden mit der Steigung m verläuft. (a) A(1 5), m = 1 Einsetzen in die Formel y = y A 1 m (x x A) ergibt (b) A(2 4), m = 2 3 y = 5 1 (x 1) = 5 (x 1); y = x + 6. y = (x 2); y = 3 2 x + 7. (c) A(3 7), m = 3 5 y = (x 3); y = 5 3 x Im Dreieck ABC mit den Ecken A(2 2), B(10 6), C(8 6) wird der Mittelpunkt der Seite AB mit M, und der Mittelpunkt der Seite BC mit N bezeichnet. (a) Bestimme die Koordinaten von M und N; statt einer Rechnung kann die Lösung auch zeichnerisch erfolgen. x M = 1 2 (x A + x B ) = 1 2 (2 + 10) = 6; y M = 1 2 (y A + y B ) = 1 ( 2 6) = 4; 2 x N = 1 2 (x B + x C ) = 1 2 (10 + 8) = 9; y N = 1 2 (y B + y C ) = 1 ( 6 + 6) = 0. 2 M = (6 4), N = (9 0).

6 6 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE (b) Eine Gerade g verläuft senkrecht zu AB durch M, eine Gerade h verläuft senkrecht zu BC durch N. Bestimme die Gleichungen von g und h. Die Steigung von AB beträgt y B y A x B x A = 6 ( 2) 10 2 = 1 2, also ist m g = 2. Die Steigung von BC beträgt y C y B x C x B Die gesuchten Gleichungen sind also: = 6 ( 6) 8 10 = 6, also ist m h = 1 6. g : y = y M + m g (x x M ) = (x 6); y = 2x 16, h : y = y N + m h (x x N ) = (x 9); y = 1 6 x 3 2. (c) Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkte S, dem Umkreismittelpunkt von Dreieck ABC. Bestimme die Koordinaten von S. Gleichsetzen der Funktionsterme der Gleichungen von g und h ergibt 2x 16 = 1 6 x 3 2. Auflösen der Gleichung nach x ergibt 11 6 x = 29 2, also x S = 87 y S = 2 x S 16 = = = 2 11 ; S = ( ) (7, 91 0, 18). (d) Fertige eine Zeichnung in geeignetem Maßstab an, in der auch der Umkreis des Dreiecks eingezeichnet ist. 1.4 Hinweise auf häufige Fehler bei den Hausaufgaben zu Mi, Missachtung der Rangfolge beim Ausführen der Grundrechenarten (a) Punktrechnung vor Strichrechnung: Häufig ist die Reihenfolge der Operationszeichen von links nach rechts nicht identisch mit der Reihenfolge der auszuführenden Rechnungen. Verdeutlicht man die erforderliche Reihenfolge durch Klammersetzung so hat man zum Beispiel (x 2) = 3 + (5 (x 2)) und nicht... = (3 5) (x 2). Entsprechend muss bei der Berechnung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte P und Q die Steigung y Q y P x Q x P bei einer Schreibweise ohne Formelgenerator in der

7 1.4. HINWEISE AUF HÄUFIGE FEHLER BEI DEN HAUSAUFGABEN ZU MI, Form (y Q y P )/(x Q x P ) notiert werden, denn die Schreibweise y Q y P /x Q x P bedeutet etwas ganz anderes: Hier wird von y Q zuerst der Ausdruck y P x Q abgezogen und danach noch x P subtrahiert, - also etwas ganz anderes gerechnet als vorgesehen. (b) Potenzieren vor Multiplizieren: Beim Potenzieren gilt der Exponent immer nur für den Faktor, neben den er geschrieben ist. Beim Ausdruck 99z 2 wird also nur der Faktor z quadriert und nicht auch der Faktor 99. Will man den gesamten Ausdruck 99z mit 2 potenzieren, muss man (99z) 2 oder nach Auflösen der Klammer 99 2 z 2 schreiben. 2. Fehlende Kontrolle der Ergebnisse: Bei der Gleichungs-Bestimmung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte ist es - außer bei ganz großer Verfahrenssicherheit - ebenso wichtig wie einfach, das Ergebnis zu kontrollieren. Wird zum Beispiel für die Gerade durch A(1 5), B(5 1) fehlerhafterweise die Gleichung y = 4x 4 ermittelt, so zeigt sofort das Einsetzen der Koordinaten von A durch das Ergebnis = 0 5, dass bei der Ermittlung der Gleichung ein Fehler unterlaufen ist.

8 8 KAPITEL 1. DOPPELSTUNDE

9 Kapitel 2 Doppelstunde Nachdem im ersten Teil der Doppelstunde ausschließlich die Ergebnisse der Hausaufgaben und die aufgetretenen Fehler besprochen wurden, war das Thema im zweiten Teil das Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Hierzu wurde - als Wiederholung - dieses Lösungsverfahren in folgende Schritte zerlegt: 1. Schritt: Gleichung auf Normalform x 2 + px + q = 0 bringen. Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn sie sich durch erlaubte Umformungen auf die Form x 2 +px+q = 0 bringen lässt, also sind alle folgenden Gleichungen quadratisch: (a) (x + 1) (x 8) = 2 4x (b) (x + 5) (x 6) = 12 (c) 2x = x 2 4x (d) (x 8)(x 2)(x 5) = (x 6)(x 9)(x + 10) Denn durch Ausmultiplizieren der Klammern und Zusammenfassen auf der linken Seite erhält man jeweils den Typ x 2 + px + q = 0. Es wird dringend empfohlen, als Übung diese Rechnung für die genannten vier Beispiele durchzuführen. 2. Schritt: Die Koeffizienten p und q identifizieren. Dabei ist zu beachten, dass das Bilden einer Differenz nur das Addieren einer Gegenzahl ist: a b lässt sich als Summe a + ( b) auffassen. So sind zum Beispiel in der Gleichung x 2 2x 120 = 0 die Koeffizienten p und q beide negativ, nämlich p = 2, q = 120. Als nächste Übung sollten also in den vier beim ersten Schritt angegebenen Gleichungen die Koeffizienten p und q notiert werden. 3. Schritt: Die Berechnung der Diskriminante D und die Feststellung, wie viele Lösungen es gibt. Die Diskriminante (lat: die Unterscheidende) D wird berechnet als p2 4 q (oder in umgeformter Weise als D = ( p 2 )2 q). Sie lässt zwischen den drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung - nämlich keine Lösung, genau eine Lösung oder genau zwei Lösungen - unterscheiden: D < 0 : Keine Lösung, also L = {}. D = 0 : Genau eine Lösung. D > 0 : Genau zwei Lösungen. 4. Schritt: Die Berechnung und Angabe der Lösungen. Nur wenn die Diskriminante nicht negativ ist, ist die Lösungsmenge L nicht leer. D = 0 : Einzige Lösung ist p 2, also L = { p 2 }. D > 0 : Die beiden Lösungen sind x 1 = p 2 D, x 2 = p 2 + D, also L = { p 2 D; p 2 + D}. Das nachfolgende Ablaufschema verdeutlicht nicht nur das Lösungsverfahren, sondern zeigt auch, wie in Spezialfällen die Lösungsmenge ohne Berechnung der Diskriminante angegeben werden kann. 9

10 10 KAPITEL 2. DOPPELSTUNDE

11 2.1. HAUSAUFGABEN ZU MI, (LÖSUNGEN EINZUSENDEN PER ) Hausaufgaben zu Mi, (Lösungen einzusenden per ) 1. Führe mit den vier Beispielen, die im Einführungstext dieses Kapitels beim ersten der vier Schritte angegeben sind, die einzelnen Schritte bis zur Angabe der Lösungsmenge durch. 2. Notiere bei den folgenden bereits in Normalform angegebenen quadratischen Gleichungen (b), (c), (d), (e) und (f) die Werte p, q, D und und die Lösungsmenge L. (a) x x 11 = 0 (b) x 2 6x 40 = 0 (c) x 2 + x 56 = 0 (d) x 2 8x + 12 = 0 (e) x 2 8x + 16 = 0 (f) x 2 8x + 18 = 0 Beispiellösung zu (a): p = 10; q = 11; D = p2 4 q = 100 ( 11) = = 36 > 0; 4 L = { p 2 D; p 2 + D} = { ; } = { 5 6; 5 + 6} = { 11; 1}. 3. Führe bei allen bis hierhin gelösten quadratischen Gleichungen die Probe durch, falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Wenn die Probe nicht aufgeht, versuche den Fehler beim Lösen zu finden oder lass dir helfen. 4. Schätze aufgrund deiner Erfolge bei den ersten drei Aufgaben deinen erforderlichen Übungsbedarf ein und löse noch eine entsprechende Anzahl von passenden Aufgaben auf Hinweis für -Fassungen ohne Verwendung eines Schreibprogramms oder gar Systems mit Formelsatz: Schreibe x 2 als xˆ 2. Schreibe D als Wurzel(D) oder kurz als W(D). Schreibe p 2 als p/2. Immer noch wichtig: Die vorherige Einsendung per ist kein Ersatz für eine ordentliche Bearbeitung der Hausaufgaben im Heft bzw. Ordner.