Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure

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1 Dieter Hoffmann 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure Mit 108 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Grundlagen Mengen und ihre Verknüpfungen Aussagen und Quantoren Abbildungen und ihre Eigenschaften Die reellen Zahlen Axiome und erste Folgerungen Bruchrechnen" Das Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen Die natürlichen und die ganzen Zahlen Vollständige Induktion, rekursive Definition \ Binomial-KoefRzienten, Binomischer Satz \ Die rationalen Zahlen Zum Vollständigkeitsaxiom Darstellungen reeller Zahlen Komplexe Zahlen Einführung der komplexen Zahlen Konjugiert komplexe Zahlen, Beträge, Real- und Imaginärteil ,Stetigkeit' der Grundoperationen (in R und <D) 52 2 Funktionen einer reellen Variablen Der Funktionsbegriff Definition und erste Beispiele Graphische Darstellung von Funktionen Grundeigenschaften von Funktionen Verknüpfung von Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynome) Das HORNER-Schema Stellenwertsysteme Das Rechnen mit Polynomen 71 V IX

3 VI INHALTSVERZEICHNIS L Nullstellen von Polynomen (Gebrochen) Rationale Funktionen 76 3 Folgen, Reihen Grenzwertbegriff, Stetigkeit Folgen Definitionen Konvergenz von Folgen Das Rechnen mit Grenzwerten (Grundregeln) Bestimmte Divergenz CAUCHY-Kriterium Reihen Definitionen und erste Beispiele Das Rechnen mit Reihen Absolut konvergente Reihen Konvergenzkriterien (für absolute Konvergenz) Alternierende Reihen, LEIBNIZ-Kriterium Potenzreihen Definition, Konvergenzradius Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos Teil I Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit, Zwischenwertsatz... rtt7~^ Unstetigkeiten Differentialrechnung Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten Differentiationsregeln (Ableitungskalkül) Beispiele Satz von ROLLE und verallgemeinerter Mittelwertsatz; lokales Verhalten Differentiation von Potenzreihen Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos Teil II Die Funktionen tan, cot, Tan, Cot Differentiation der Umkehrfunktion Höhere Ableitungen Konvexität, Konkavität Anwendungen Kurvenuntersuchungen Extremwertaufgaben Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen Integralrechnung Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) Grundlagen Integraltafel (Tabelle von Stammfunktionen) Integration rationaler Funktionen 176

4 INHALTSVERZEICHNIS VII Integration gewisser algebraischer Funktionen Integration gewisser transzendenter Funktionen Bestimmtes Integral, Flächeninhalt Vorüberlegungen zum Flächeninhalt Definition des bestimmten Integrals ( RIEMANN- Integral") Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Anwendungsbeispiele (Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen, LEiBNizsche Sektorformel, Volumenberechnung von Rotationskörpern) Uneigentliche Integrale Definition des uneigentlichen Integrals Absolute Integrierbarkeit; Majorantenkriterium Zusammenhang mit der Konvergenz von Reihen Die T-Funktion Elementare Methoden zur numerischen Berechnung von Integralen Trapez- und SlMPSON-Regel Zusammengesetzte Formeln 205 Approximation von Funktionen Polynom-Interpolation.T^ TAYLOR-Reihen Unbestimmte Ausdrücke, Regeln von DE L'HÖPITAL FOURIER-Reihen 224 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGLn) Richtungsfelder (für explizite DGLn 1. Ordnung) DGLn mit getrennten Variablen" Die lineare DGL 1. Ordnung BERNOULLische DGL EULER-homogene DGLn Explizite DGLn 2. Ordnung,ohne y' Explizite DGLn 2. Ordnung,ohne x' Lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Allgemeine Lösung der homogenen DGL Reelle Lösungen zu komplexen Nullstellen Spezialfall n = Lösung der inhomogenen DGL 255 Differenzenrechnung und Differenzengleichungen Differenzenoperator Höhere Differenzen Faktorielle (Gewöhnliche) Differenzengleichungen 268

5 VIII INHALTSVERZEICHNIS 8.5 Lineare Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Lineare DZGn mit konstanten Koeffizienten, Operatormethoden Inhomogene Differenzengleichungen Funktionen mehrerer Variabler Der M n als normierter Vektorraum ,Geometrie' ir-wertiger Funktionen (Graphen, Niveaumengen, Vertikalschnitte) Folgenkonvergenz, Grenzwert (von Funktionen) und Stetigkeit (,Totale') Differenzierbarkeit, partielle Differenzierbarkeit Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von SCHWARZ Satz von TAYLOR, Fehlerfortpflanzung, HESSEsche Matrix Extremwerte (Notwendige und hinreichende Bedingungen) Satz über implizite Funktionen, Extrema unter Nebenbedingungen (LAGRANGE-Multiplikatoren) Übungen Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel 3 TT>>, Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Übungen zu Kapitel Literaturverzeichnis 371 Symbolverzeichnis 375 Stichwortverzeichnis 377 L