Vortrag zum Proseminar: Kryptographie

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1 Vortrag zum Proseminar: Kryptographie Thema: Oliver Czernik

2 Historie Michael Rabin Professor für Computerwissenschaft Miller-Rabin-Primzahltest Januar 1979 April 1977: RSA Asymmetrisches Verschlüsselungssystem Sicherheit nicht beweisbar, nur vermutet Sicherheit des Rabin- Kryptosystems ist beweisbar Michael O. Rabin

3 Funktionalität: Schlüsselgenerierung Privater Schlüssel: p, q sind Primzahlen p, q haben dieselbe Bitlänge Größenordnungen wie RSA (ca.1024-, 2048-bit) Öffentlicher Schlüssel: n=p q

4 Funktionalität: Schlüsselgenerierung Erzeugung von Primzahlen mit Miller-Rabin- Primzahltest: Fakt: Wenn k prim ist, dann gilt: k 1=2 s r, r ist ungerade a r 1 mod k oder j a 2 j r 1 mod k, a {1,.., k 1},0 j s 1 Problem: Gilt auch für bis zu ¼ aller a {1,.., k 1}, wenn k eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist

5 Funktionalität: Schlüsselgenerierung Erzeugung von Primzahlen mit Miller-Rabin- Primzahltest: Zufällige Wahl einer ganzen Zahl k in der richtigen Größenordnung Wiederholtes t-faches testen von k mit jeweils anderem zufälligen a, um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zu verringern

6 Funktionalität: Schlüsselgenerierung Erzeugung von Primzahlen mit Miller-Rabin- Primzahltest: Nachteil: Gefundene Zahlen müssen nicht unbedingt Primzahlen sein. (Fehlerwert höchstens ) ¼ t Vorteil: Kürzere Laufzeit als jeder deterministischer Primzahltest ( O t L 3 ; L ist die Bitlänge der Primzahl)

7 p=17 n=323 q=19 Funktionalität: Schlüsselgenerierung Zuverlässige Primzahlenerzeugung für p und q: Probabilistischer Primzahltest (etwa Miller- Rabin) mit niedrigen Sicherheitsfaktor t Divisionstest mit kleinen Primzahlen Deterministischer Primzahltest mit möglichst geringer Laufzeit (etwa AKS-Primzahltest) p=17, q=19, n=323

8 p=17 n=323 q=19 Funktionalität: Verschlüsselung m=317 c=36 E : c=m 2 mod n m,c {0,1,.., n 1}; m ist eine die Nachricht repräsentierende Zahl; c ist die verschlüsselte Nachricht m=317, c=36

9 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Probleme: D : m= c mod n Keine injektive Funktion Þ Mehrere Ergebnisse Durchführung von D aufwendiger als von E

10 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung Das modulare Quadratwurzel Problem ( SQROOT -Problem): Fakten: r = c mod p ist effizient zu lösen, wenn p eine Primzahl ist. Ist p keine Primzahl muss es zuerst in solche zerlegt werden. (Faktorisierungsproblem)

11 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Fakten: Funktionalität: Entschlüsselung Das Faktorisierungsproblem: Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig in Primzahlen zerlegen Asymmetrie: Erzeugung einer Zahl durch Multiplikation von Primzahlen ungleich einfacher als der umgekehrte Weg Besonders schwierig: Zerlegung einer Zahl aus zwei etwa gleichgroßen Primzahlen

12 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung Annahme: Das Faktorisierungsproblem: Es gibt (heute) keine Methode eine Primfaktorzerlegung effizient durchzuführen.

13 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung Jede Z p mit Primzahl p hat einen Generator a: a Z p a { i mod p i {0,.., p 2}} Es ist klar, dass jedes a= i mod p mit geradem i in Z p eine Quadratwurzel hat, nämlich genau: b= i /2 mod p b mod p In einen solchen Fall wird a ein quadratischer Rest genannt.

14 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung Umgekehrt kann aus jenen Zahlen, die mit ungeradem i generiert werden, gerade keine Quadratwurzel gezogen werden! Solche Zahlen sind quadratische Nichtreste. Euler Kriterium: a p 1 /2 mod p = { 1, wenna einquadratischer Rest ist 1, wenn a ein quadratischer Nichtrest ist],1 a p 1

15 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung r = c mod p, p ist eineprimzahl: 1. Finde b, b ist quad. Nichtrest,1 b p 1 2. Finde s, t, so dass p 1=2 s t, t ungerade 3. Berechne c 1 mod p (erw. Euk.-Algorithmus) 4. Berechne x=log b t c t 5. Berechne r = b xt /2 c t 1 /2 mod p 6. r und r mod p sind die gesuchten Werte

16 p=17 n=323 m=317 q=19 c=36 Funktionalität: Entschlüsselung b=6-1 c =9 s=4 t=1 u=6 r=2 r = c mod p, p ist eineprimzahl: 1. Finde b, b ist quad. Nichtrest,1 b p 1 b=6 2. Finde s, t, so dass p 1=2 s t, t ungerade s=4, t=1 3. Berechne c 1 mod p (erw. Euk.-Algorithmus) c 1 =9 4. u=b t mod p, r =c t 1 /2 mod p 5. [...] u=6,r=2

17 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 b=6 s=4 u=16 r=11-1 q=19 c=36 c =9 t=1 -r=6 r = c mod p, p ist eineprimzahl: 4. [...] 5. Für alle Werte von i, 1 i s 1: i=3: 5.1 d= r 2 c 1 k mod p, k=2 s i 1 d= Wenn d 1 mod p, dann setzte r auf r u mod p r= Setzte u auf u 2 mod p u=16 6. r und r mod p sind die gesuchten Werte r=11, r=6

18 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 r=11-1 q=19 c=36 c =9 -r=6 s=6 -s=13 s= c mod q,q ist eineprimzahl: Spezialfallq 3 mod 4 1. s=c q 1 /4 mod q 2. s und s mod q sind die gesuchten Werte s=6, s=13

19 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 r=11 s=6-1 q=19 c=36 c =9 -r=6 -s=13 Entschlüsselungsalgorithmus: 1. Berechnung von r = c mod p r=11, r=6 2. Berechnung von s= c mod q s=6, s=13 3. Wie berechnet man nun aus r und s die gesuchte Wurzel? Chinesischer Restsatz [...]

20 x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2 x a l mod m l Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 r=11 s=6-1 q=19 c=36 c =9 -r=6 -s=13 Chinesischer Restsatz: x,a i, m i Z ; i, j {1,.., l }; l N ; i j ; m i, m j sind teilerfremd M= m i M i =M /m i x a i s i M i mod M r i m i s i M i =1 s i M i 1 mod m i s i M i 0 mod m j

21 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 r=11 s=6-1 q=19 c=36 c =9 -r=6 -s=13 Chinesischer Restsatz: n=p q c r mod p c s mod q p=n/q q=n/ p ap bq=1 ap 1 mod q ap 0 mod p bq 1 mod p bq 0 mod q c aps bqr mod n

22 Funktionalität: Entschlüsselung p=17 n=323 m=317 r=11 s=6-1 q=19 c=36 c =9 -r=6 -s=13 Entschlüsselungsalgorithmus: 1. Berechnung von r = c mod p 2. Berechnung von s= c mod q 3. Erweiterter Euklidischer Algorithmus um a, b zu errechnen, so dass x= aps bqr mod n y = aps bqr mod n x, x mod n, y, y mod n ap bq=1 a=9, b= 8 x=6 y=215 6,317,215,108

23 Effizienz: Schlüsselgenerierung Ausschließlich Miller-Rabin-Primzahltest mit Restrisiko: O t L 3 Primzahl ohne Risiko eines Irrtums: Miller-Rabin-Primzahltest: O L 3 Test mit kleinen Primzahlen: O L 2 AKS-Primzahltest: O L 6 Gesamtlaufzeit: O L 6 L 3 L 2

24 Effizienz: Verschlüsselung E : c=m 2 mod n Laufzeit O N 2 ; N ist die Bitlänge von n. (Somit auch von m und c.)

25 Effizienz: Entschlüsselung D : m= c mod n Wurzelziehen aus c für p bzw. q: O L 4 (Wurzelziehen für den Spezialfall: O L 3 ) Erw. Euklidischer Algorithmus: O L 2 Rest der Entschlüsselung: O N 2 Gesamtlaufzeit: O L 4 L 2 N 2 O L 3 L 2 N 2

26 Sicherheit: Turing-Reduktion Im Gegensatz zu RSA ist die Sicherheit des Rabin-Verschlüsselungssystem mathematisch beweisbar. Beweis durch Turing-Reduktion: 1. Funktion LG kennt eine Funktion LH, die ein Problem H löst 2. LG nutzt LH, nimmt aber keinen Einfluss auf LH 3. LG an sich hat polynomielle Laufzeit 4. LG löst ein Problem G

27 Sicherheit: Turing-Reduktion Wenn es eine Turing-Reduktion von G auf H gibt, wird dies dermaßen notiert: G µt H Wenn ein Algorithmus zur Funktion LH mit polynomieller Laufzeit existiert, dann existiert auch ein Algorithmus für die Funktion LG mit polynomieller Laufzeit.

28 Sicherheit: Faktorisierungsproblem Annahme: Es gibt einen Algorithmus LRabin, der einen Ciphertext c ohne Kenntnis des privaten Schlüssels (p,q) in polynomieller Laufzeit löst. 1. Wähle ein beliebiges r Z n 2. c=r 2 mod n 3. m=lrabin c, n 4. Wenn m ±r mod n, dann wieder zu p=ggt m r, n,q= n p 6. p und q sind die Zerlegung von n Þ Faktorisierungsproblem effizient gelöst

29 Sicherheit: Chosen-ciphertext-Attacke Faktorisierungsproblem µt Rabin-Kryptosystem Rabins Verschlüsselungssystem ist nur schwer durch passive Attacken zu brechen. Schwäche gegen Chosen-ciphertext-Angriffe: Angreifer hat Zugriff auf die Entschlüsselungsmaschine Angreifer erstellt beliebige Ciphertexte Selbe Berechnungen wie zuvor

30 Sicherheit: Redundanz Rabin-Entschlüsselung liefert zu einem Ciphertext c vier mögliche Klartexte m 1, m 2, m 3, m 4. Mögliche Lösung: Einfügen von Redundanz Positiver Nebeneffekt: Chosen-ciphertext-Attacke ist abgewendet Negativer Nebeneffekt: Verlust der Äquivalenz mit dem Faktorisierungsproblem

31 Vergleich mit RSA Laufzeiten bei der Erstellung der Schlüssel und Entschlüsselung sind vergleichbar Verschlüsselung ist (unwesentlich) schneller Beweisbare Sicherheit, verbunden mit mehreren möglichen Entschlüsselungsergebnissen oder Mit Redundanz ein Ergebnis, aber nicht beweisbar sicherer und definitiv ineffizienter

32 Praktische Anwendung Als Anschauungsbeispiel in Lehrveranstaltungen RSA läuft dem Rabin-Verschlüsselungssystem den Rang ab. Praktische Anwendung ist denkbar, wenn ein Verschlüsselungsverfahren benötigt wird, dass eine möglichst schnelle Verschlüsselung garantiert.

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