(c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (1 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 128

Transkript

1 Aufgabe 1 Wir betrachten die beiden Zahlen a = und b = (4+2+4=10 Punkte) ( Es gilt: 3, 57, 79, 101 P ) Hier liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor, denn wegen 57 = 3 19 ist 57 / P. Es wurden zwei Bearbeitungsmöglichkeiten angeboten (vergleiche Lösung). (a) Zeichnen Sie ein Teilerdiagramm von a. ( Sie können dabei die Teiler von a durch ihre Primfaktorzerlegung darstellen und brauchen sie nicht ausrechnen. ) (b) Bestimmen Sie ggt(a, b). (c) Geben Sie die kanonische Primfaktorzerlegung der Zahl x = a 2 b an. Wieviele (positive) Teiler hat x? Variante 1: Es wird davon ausgegangen, dass 57 P ist. (a) (b) ggt(a, b) = 3 min{0,1} 57 min{1,1} 79 min{0,1} 101 min{3,1} = = 5757 (c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (1 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 128

2 Variante 2: Es wird 57 = 3 19 zerlegt. a = und b = (a) Teil (a) wird in dieser Variante mit 6 statt 4 Punkten bewertet. Die 2 zusätzlichen Punkte sind Bonuspunkte und gehen nicht in die Gesamtpunktzahl ein (b) ggt(a, b) = 3 min{1,2} 19 min{1,1} 79 min{0,1} 101 min{3,1} = = 5757 (c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (4 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 320

3 Aufgabe 2 Gegeben sei eine Primzahl p P mit p / {2, 3}. (5+5=10 Punkte) (a) Welche Reste können bei Divison von p durch 12 auftreten? (b) Welche Reste können bei Divison von p 2 durch 12 auftreten? Begründen Sie Ihre Antworten. Sei p P mit p / {2, 3}. (a) Wir betrachten die Division mit Rest von p durch 12: p = q 12 + r (mit q N 0, r {0, 1,..., 11}) Falls r {0, 2, 4, 6, 8, 10}, wäre 2 p. Dies kann wegen p P mit p 2 nicht sein. Falls r {0, 3, 6, 9}, wäre 3 p. Dies kann wegen p P mit p 3 nicht sein. Also: r {1, 5, 7, 11} ( Alle diese Fälle kommen vor, etwa p = 13, p = 5, p = 7, p = 11. ) (b) Aus (a) wissen wir: In R 12 gilt: p { 1, 5, 7, 11 } p 2 = p 2 = 1 2 = 1 oder 5 2 = 1 oder 7 2 = 1 oder 11 2 = 1 In jedem Fall ist p 2 = 1 in R 12. Folglich muss p 2 den Rest 1 bei Division durch 12 haben.

4 Aufgabe 3 (2+4+4=10 Punkte) In einem (ausreichend großen) Vorrat befinden sich Gewichte von 10 Gramm und von 14 Gramm. Aus diesen soll ein Gewicht von 200 Gramm zusammengestellt werden. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? (a) Stellen Sie dazu zunächst eine Diophantische Gleichung auf. (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung aus (a) (als Teilmenge von Z Z). ( Hinweis: Man kann eine Lösung sehr leicht erkennen. ) (c) Bestimmen Sie nun alle Lösungen, die tatsächlich realisierbar sind. (a) x: Anzahl der Gewichte zu 10 Gramm, y: Anzahl der Gewichte zu 14 Gramm Diophantische Gleichung: ( ) 10x + 14y = 200 (x, y N 0 ) (b) Wir bestimmen zunächst alle Lösungen (x, y) Z 2 von ( ): Eine Lösung ist offenbar (x 0, y 0 ) = (20, 0). Nach einem Satz aus der Vorlesung ist nun die Lösungsmenge von ( ) gegeben durch: {( ) } 14 L ( ) = 20 + t ggt(10, 14), 0 t 10 ; t Z = {(20 + 7t, 5t) ; t Z} ggt(10, 14) (c) Nun bestimmen wir die Lösungen (x, y) N 2 0 : Es gilt { } { } t 0 t 20 7 t Z t { 2, 1, 0} 5t 0 t 0 Es ergeben sich also die folgenden tatsächlich realisierbaren Möglichkeiten: t = 2 x = 6 und y = 10 t = 1 x = 13 und y = 5 t = 0 x = 20 und y = 0

5 Aufgabe 4 (3+7=10 Punkte) (a) Begründen Sie, dass eine der folgenden beiden linearen Kongruenzen in Z lösbar ist (welche?), und die andere nicht: 12x 38 mod 64 12x 40 mod 64 (b) Lösen Sie die Kongruenz aus (a), die Lösungen hat. Beschreiben Sie die Lösungen mit einer oder mehreren vollständig aufgelösten Kongruenzen zum Modul 64. (a) Wegen ggt(12, 64) = 4 und 4 38 ist mod 64 nicht lösbar. Wegen ggt(12, 64) = 4 und 4 40 ist mod 64 lösbar. (b) mod 64 :4 3x 10 mod 64 ggt(64, 4) 3x 10 mod 16 ( 5) 15x 50 mod 16 (beachte: ggt( 5, 16) = 1) 15x x, x 14 mod 16 u {0, 1, 2, 3} mit x 14 + u 16 mod 64 (x 14 x 30 x 46 x 62) mod 64 Nebenrechnung (Erweiterter Euklidischer Algorithmus): 16 = = mod 16

6 Aufgabe 5 Gegeben seien m 1, m 2 N und m = m 1 m 2. (3+2+3=8 Punkte) (a) Zeigen Sie für beliebige a, b Z die Implikation: a b mod m (a b mod m 1 a b mod m 2 ) (b) Begründen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die umgekehrte Implikation im allgemeinen falsch ist. (c) Zeigen Sie, dass die umgekehrte Implikation gilt, falls zusätzlich ggt(m 1, m 2 ) = 1 vorausgesetzt wird. Gegeben seien m 1, m 2 N und m = m 1 m 2. (a) Damit gilt m 1 m und m 2 m (nach Definition der Teilbarkeitsrelation). Wir betrachten nun beliebige a, b Z. Dann: a b mod m Def. Kongruenrelation = m (a b) { m 1 (a b) Transitivität Teilbarkeitsrelation = m 2 (a b) Def. Kongruenrelation = a b mod m 1 Def. Kongruenrelation = a b mod m 2 } (b) Für m 1 = 2, m 2 = 2, m = m 1 m 2 = 4, a = 0, b = 2 gilt a b mod m 1 a b mod m 2 aber a b mod m (c) Gelte nun zusätzlich ggt(m 1, m 2 ) = 1: Aus a b mod m 1 a b mod m 2 folgt: m 1 (a b) m 2 (a b) (Definition Kongruenzrelation). In der Vorlesung wurde gezeigt, dass dann (da m 1, m 2 teilerfremd sind) auch m (a b) gelten muss. Nach der Definition der Kongruenzrelation folgt daraus nun: a b mod m, was zu zeigen war.

7 Aufgabe 6 ( =12 Punkte) (a) Wieviele bezüglich invertierbare Elemente gibt es in R 18? (b) Ist 7 R 18 bezüglich invertierbar? Falls ja, bestimmen Sie das Inverse 7 1. (c) Bestimmen Sie die Ordnung von 7 in der Gruppe (R18, ). (d) Welchen Rest hat bei Division durch 18? (a) R 18 = ϕ(18) = ϕ ( 2 3 2) = ϕ(2) ϕ ( 3 2) = 1 ( ) = 6 (b) Wegen ggt(7, 18) = 1 ist 7 R 18 bezüglich invertierbar. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: (1) 18 = (2) 7 = (3) 4 = (3 = 3 1) 1 (3) = (2) = 4 1 (7 1 4) = (1) = 2 (18 2 7) 1 7 = In R 18 : 1 = = ( ) ( ) 2 }{{} = 5 7 =0 Also ist 7 1 = 5 = 13. (c) In (R 18, ): Neutrales Element 1 Also ist ord ( 7 ) = 3 7 1, 7 7 = 13 1, = 1 (d) In R 18 : Nach (b) gilt 7 3 = 1. Damit folgt: = ( 7 3) 33 7 = = 1 7 = 7 Also hat Rest 7 bei Division durch 18.