2.3.5 Dynamik der Drehbewegung

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1 2.3.5 Dynamik der Drehbewegung Drehimpuls Drehimpuls Betrachte einen Massepunkt m mit Geschwindigkeit v auf irgendeiner Bahn (es muss keine Kreisbahn sein); dabei ist r der Ort der Massepunkts, betrachtet von einem bestimmten Koordinatenursprung aus. Dann ist der Drehimpuls L bezüglich dieses Koordinatenursprungs definiert als L = m r v = r p (2.190) Achtung: Eine Bewegung mit konstantem Drehimpuls muss nicht unbedingt eine Kreisbewegung sein! Anschauliche Erklärung: wenn ein Beobachter, der am Koordinatenursprung steht, den Kopf drehen müsste, um den Massepunkt zu verfolgen, dann ist der Drehimpuls ungleich Null! Drehimpuls bei Kreisbewegung eines Massepunkts Wenn sich ein Massepunkt auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung befindet, dann ist L = m r v = m r ( ω r) = m (( r r) ω ( r ω) r) L = m r 2 ω (2.191) Für einen starren Körper mit Trägheitsmoment J (s.u.) gilt L = J ω Momentane Winkelgeschwindigkeit Für eine beliebige Bewegung eines Massepunkts lässt sich umgekehrt diemomentane Winkelgeschwindigkeit ω um den Koordinatenursprung angeben: ω = L m r 2 (2.192) Anschauliche Erklärung: das ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der der Beobachter, der am Koordinatenursprung steht, den Kopf drehen müsste, um den Massepunkt zu verfolgen. Impuls und Drehimpuls Translationsbewegung: der Wert des Impulses p p = m v hängt ab von der Geschwindigkeit des Inertialsystems, in dem die Bewegung beschrieben wird. Rotationsbewegung: der Wert des Drehimpulses L L = m r 2 ω bzw. L = J ω hängt ab von der Geschwindigkeit und der Lage des Koordinatenursprungs (gedachter Drehpunkt) des Inertialsystems, in dem die Bewegung beschrieben wird. 2-63

2 Drehmoment Drehmoment (Vergleich: Die zeitliche Änderung des Impulses ist die Kraft) Zur Änderung des Drehimpulses eines Körpers wird ein Drehmoment M benötigt: Zusammenhang mit Kraft F und Abstand r vom Drehpunkt: d L dt = M (2.193) d L dt = d ( r p) dt = d r d p p + r dt dt = v p + r F }{{} 0 d L dt = M = r F (2.194) Für ein System von Massepunkten bzw. einen starren Körper bedeutet das: die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment der äußeren Kräfte auf den Körper. Beispiele aus der Biomechanik In dem in Abbildung 2.41 gezeigten Beispiel der Hüftgelenke bewirken die Komponenten F 2 der Stützkraft Drehmomente um die Drehpunkte der Oberschenkel A bzw. A, die zum Spreizen der Beine führen würden, wenn keine Muskelkräfte dagegen wirken würden. Die Komponenten F 1 der Gewichtskraft des Rumpfes hingegen bewirken Drehmomente um die Punkte B bzw. B, die schlimmstenfalls zum Knochenbruch (Oberschenkelhalsbruch) führen können. Abbildung 2.41: (links:) Die Gewichtskraft G 0 des Rumpfes wird durch zwei halb so große Stützkräfte in A und A aufgehoben. (rechts:) Die über die Beine übertragenen Stützkräfte F 3 bewirken am Oberschenkelhals eine Druck- und eine Drehmomentbelastung. [Kamke-Walcher] 2-64

3 Abbildung 2.42: Kaumuskulatur, -kräfte und -drehmomente (schematisch) [Kamke-Walcher] Drehimpulserhaltungssatz Wenn auf ein System von Massepunkten bzw. einen starren Körper keine äußeren Drehmomente wirken, d.h. wenn die Vektorsumme der äußeren Drehmomente Null ist, dann bleibt der (Gesamt-)Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant. M = 0 L = const (2.195) Insbesondere wird der Körper nicht in Drehung versetzt, wenn er vorher in Ruhe war. Hebelgesetz Als Hebelgesetz wird der Drehimpulserhaltungssatzes mit zwei Drehmomenten, verursacht durch zwei Kräfte, die an entgegengesetzten Seiten des Drehpunktes angreifen bezeichnet. M = 0 r 1 F 1 + r 2 F 2 = 0 (2.196) Die beiden Drehmomente würden dann einzeln entgegensetzte Drehbewegungen verursachen, zusammen bleibt das System in Ruhe. Kraft Kraftarm = Last Lastarm (wenn nur die Beträge betrachtet werden); die wesentliche Anwendung liegt darin, dass sich eine große Kraftwirkung ( Last ) bei geeigneter Wahl der Hebelarme auch durch eine kleine Muskel- oder Motorkraft ( Kraft ) erzeugen lässt. Balkenwaage Bei einer Balkenwaage mit zwei Massen m 1 und m 2 auf einem horizontalen Balken in Abständen r 1 und r 2 auf entgegengesetzten Seiten des Drehpunkts gilt dann M = r 1 F 1 + r 2 F 2 = (r 1 (+ e x )) (m 1 g e y ) + (r 2 ( e x )) (m 2 g e y ) = (m 1 r 1 m 2 r 2 ) g e z damit ist die Bedingung für das Gleichgewicht M = 0 m 1 r 1 = m 2 r 2 (2.197) 2-65

4 Starrer Körper Ein starrer Körper ist ein System von Massepunkten (bzw. eine Dichteverteilung) mit festen Abständen. Er besitzt 3 Translationsfreiheitsgrade (3 Koordinaten von v): Bewegung des Schwerpunktes in den 3 Raumrichtungen 3 Rotationsfreiheitsgrade (3 Koordinaten von ω): Rotation um eine beliebig orientierte Rotationsachse durch den Schwerpunkt. Wirkung von Kräften auf einen starren Körper Äußere Kräfte können an einem starren Körper an verschiedenen Punkten angreifen. Translation: die Summe aller äußeren Kräfte ändert den Gesamtimpuls, d.h. die Bewegung des Schwerpunkts. Rotation: die Summe der Drehmomente der äußeren Kräfte hängt von der Lage der Angriffspunkte ab. Kräftepaar Als Kräftepaar werden zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte F 1 und F 2 bezeichnet, die an Orten r 1 und r 2 an dem starren Körper angreifen: F 1 = F 2 F1 + F 2 = 0, (2.198) Das Kräftepaar ändert also den Gesamtimpuls nicht. Das Drehmoment beträgt M = r 1 F 1 + r 2 F 2 = ( r 1 r 2 ) F 1, (2.199) es hängt also nur vom Abstand ( r 1 r 2 ) zwischen der Angriffspunkten ab, unabhängig von deren Lage relativ zum Koordinatenursprung oder zum Schwerpunkt. Ist der Abstandsvektor ( r 1 r 2 ) parallel zur Richtung der Kräfte, dann wirkt kein Drehmoment! Statisches Gleichgewicht Ein (unbewegter) starrer Körper ist im statischen Gleichgewicht wenn die Summe aller an ihm angreifenden äußeren Kräfte Null ist Fa = 0 und die Summe aller an ihm angreifenden äußeren Drehmomente Null ist. Ma = 0 (2.200a) (2.200b) Auffinden des Schwerpunkts Wo muß eine einzelne Kraft F an einem starren Körper angreifen und wie groß muß sie sein, damit der starre Körper im statischen Gleichgewicht ist? Die äußeren Kräfte sind die Gewichtskräfte m i g der einzelnen Massepunkte und die Kraft F : Summe der Kräfte muss Null sein F + m i g = 0 F = m ges g (2.201a) 2-66

5 Summe der Drehmomente muss Null sein: unbekannter Angriffspunkt r x r x F + r i m i g = 0 (2.201b) Die weitere Rechnung ergibt (m ges wieder eingesetzt) ( N ) ( N r i m i g r x m i ) g = 0 [( N ) ( N ) ] m i r i m i r x g = 0 ( N ) ( N ) m i r i m i r x = 0 r x = m i r i (2.202) m i Dies entspricht der Definition des Schwerpunkts: (Gleichung 2.124) Ein starrer Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn er im Schwerpunkt unterstützt bzw. aufgehängt wird. Dichteverteilungen Ein realer starrer Körper ist meist keine Anordnung einzelner Massepunkte, sondern massiv mit einer räumlichen Verteilung der Massendichte ϱ( r). Ein infinitesimales Volumenelement dv am Ort r hat dann die Masse dm = ϱ( r)dv (2.203) Die Gesamtmasse ist das Volumenintegral der Dichte über den ganzen Körper m = ϱ( r)dv (2.204) Der Ort des Schwerpunkts ist r s = rϱ( r)dv ϱ( r)dv (2.205) 2-67

6 Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls Äußere Drehmomente ändern den Gesamtdrehimpuls L L = m i r i v i Der Ort r i eines jeden Massepunkts i lässt sich zerlegen in Damit ist dann r i = ( r i r s ) }{{} + r }{{} s Ort der Masse i relativ zum Schwerpunkt Ort des Schwerpunkts L = m i ( r i r s ) v i + }{{} Drehung um den Schwerpunkt Der hintere Term lässt sich folgendermaßen umformen m i r s v i } {{ } Rest? (2.206) (2.207) m i r s v i = r s m i v i = r s p i = r s p ges Das ist das Vektorprodukt aus dem Ortsvektor des Schwerpunkts und dem Gesamtimpuls, d.h. dem Impuls des Schwerpunkts: also der Drehimpuls des Schwerpunkts. Damit ist der Gesamtdrehimpuls bezüglich irgendeines Koordinatenursprungs L = m i ( r i r s ) v i } {{ } Gesamtdrehimpuls der Drehung um den Schwerpunkt (Eigendrehimpuls) + r s p ges }{{} Drehimpuls des Schwerpunkts um den Koordinatenursprung (Bahndrehimpuls) (2.208) oder abgekürzt L = L S + L B (2.209) Beispiel: bei der Bewegung der Erde im Weltraum beschreibt der Bahndrehimpuls die Bahn der Erde um die Sonne (Koordinatenursprung), der Eigendrehimpuls die Drehung der Erde um ihre eigene Achse. 2-68

7 Freie Rotation Die meisten bis hierhin betrachteten Kreisbewegungen sind freie Rotationen, d.h. es wird nicht (mechanisch) erzwungen, dass die Drehung um eine bestimmte Drehachse erfolgt. (Ausnahme: Hebelgesetz). Drehung eines starren Körpers um eine Achse Wenn sich ein starrer Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ω = ω um eine vorgegebene Achse (die Richtung von ω) dreht, dann beschreibt jeder Massepunkt i des starren Körpers eine Kreisbahn mit (unterschiedlichem) Radius r i um einen Punkt auf dieser Achse mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω. Sein Drehimpuls bezüglich des Mittelpunkts seiner Kreisbahn beträgt (vgl. Gl ) L i = m i r 2 i ω (2.210) Die Summe aller dieser Drehimpulse ist allerdings nicht der Gesamtdrehimpuls, da ein solcher sich immer auf einen gemeinsamen Ursprung bezieht. Beispiel: Drehung einer symmetrischen Hantel um eine schiefe Achse Man betrachte eine symmetische Hantel, d.h. zwei gleiche Massen m 1 = m 2 = m an Orten r 1 = r 2, gemessen relativ zum Schwerpunkt des Systems, die sich um eine Achse durch den Schwerpunkt, nicht aber durch die beiden Massen dreht. Dann drehen sich beide Massen auf zwei unterschiedlichen Kreisbahnen. Der Gesamtdrehimpuls um den Schwerpunkt beträgt L = L 1 + L 2 = m 1 r 1 v 1 + m 2 r 2 v 2 wegen der Symmetrie L = m r 1 v 1 + m( r 1 ) ( v 1 ) L = 2 L 1 = 2m r 1 v 1 (2.211) Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene aus r 1 und v 1! Der Ortsvektor r 1 lässt sich in zwei Komponenten r 1 = r + r zerlegen: r senkrecht zur Achse ( ω r = 0): Radius der Kreisbahn bzw. Abstand zur Achse r parallel zur Achse ( ω r = 0): Lage des Kreismittelpunktes auf der Achse Die Bahngeschwindigkeiten sind dann v i = ω r i = ω r weil ω r = 0 (2.212) L 1 = m ( ) r + r ( ω r ) = m { ω [( ) ] [( ) ]} r + r r r r + r ω = m { [ ω [ r r ] r r ω ]} = m { ω [ ] [ r 2 r r ω ]} = m r 2 ω m ωr r (2.213) }{{}}{{} konstant ω dreht sich r Der Drehimpulsvektor ist nicht parallel zur Drehachse sondern er dreht sich selbst um diese Achse! 2-69

8 Unwucht Damit sich der Drehimpulsvektor dauernd ändert, ist ein Drehmoment nötig: 1 M = d L dt = ω L = 2m ω r ( ω r ) (2.214) ansonsten würde sich die Hantel um eine ihrer natürlichen Achsen (s.u.) drehen. Dieses Drehmoment wird entsprechend einer Zwangskraft von den Lagern einer realen mechanischen Achse aufgebracht werden und kann entsprechend Kraft = Gegenkraft auch zu einer Abnutzung der Lager führen. Im mitbewegten Koordinatensystem: Fliehkraft Betrachtet man die beiden Massen in einem mitrotierenden Koordinatensystem, so erfährt jede der beiden Massen eine Zentrifugalkraft F z = m ω 2 r,i (2.215) Diese Zentrifugalkräfte bewirken mit der hier unbewegten Hantelstange als Hebel ein Drehmoment um den Lagerpunkt an der Drehachse (vgl. Gl ) M = 2m ω 2 r r (2.216) Die durch dieses Drehmoment bewirkte Drehung würde so lange nicht durch die Achslagerung verhindert die Hantelstange senkrecht zur Drehachse ausrichten, so dass beiden Massen auf dem gleichen Kreis rotieren würden. Hauptachsen Jeder starre Körper besitzt drei ausgezeichnete Drehachsen durch den Schwerpunkt die als Hauptachsen oder freie Achsen bezeichnet werden. Es liegt dann der Drehimpulsvektor parallel zur Drehachse, d.h. parallel zum Winkelgeschwindigkeitsvektor L ω L = J i ω (2.217) J i ist das Hauptträgheitsmoment für die i-te Hauptachse Es wirken dann keine Drehmomente, die eine Veränderung der Drehachse zu bewirken suchen. Eine solche Drehung ist also stabil und muss nicht durch Zwangskräfte (Achslager) erzwungen werden. Die Hauptachsen sind häufig auch die Symmetrieachsen des Körpers Durch Auswuchten (Anbringen zusätzlicher kleiner Massen) versucht man zu erreichen, dass eine gewünschte Drehachse auch eine Hauptachse ist. 1 die Drehung eines beliebigen Vektors um den Winkelgeschwindigkeitsvektor ω kann durch ein solches Vektorprodukt beschrieben werden, vgl. Gl. 2.49, ansonsten berechne man die Ableitung von Gl und vergleiche das Ergebnis mit ω L 2-70

9 Trägheitstensor Für beliebige Lage der Drehachse ω ist der Drehimpulsvektor eines Massepunktes i L = m r i v i = m r i ( ω r i ) (2.218) = m [r 2 i ω ( ω r i ) r i ] In Koordinaten, Beispiel z-komponente L z = m [( ) ] x 2 i + yi 2 + zi 2 ωz (ω x x i + ω y y i + ω z z i ) z i = m [( ) ] x 2 i + yi 2 ωz x i z i ω x + y i z i ω y Der Drehimpulsvektor eines starren Körpers bei beliebiger Lage der Drehachse ω ist L = J ω (2.219) mit dem Trägheitstensor (Matrix) J L = yi 2 + zi 2 x i y i x i z i m i y i x i x 2 i + zi 2 y i z i i z i x i z i y i x 2 i + yi 2 }{{} Trägheitstensor J z.b. die z-komponente L z = i m i [ zi x i ω x x i y i ω y + ( x 2 i + y 2 i ω x ω y ω z ) ωz ] (2.220) Hauptachsentransformation Die drei Hauptträgheitsachsen (1, 2, 3)stehen senkrecht aufeinander und bilden selbst ein Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren e 1, e 2, e 3 in Richtung der Hauptachsen. Durch Drehungen lässt sich das ursprüngliche Koordinatensystem (x, y, z) mit dem Schwerpunkt als Nullpunkt in dieses Koordinatensystem transformieren. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor besteht dann aus den Komponenten in Richtung der Hauptachsen ω = ω 1 e 1 + ω 2 e 2 + ω 3 e 3 (2.221) Der Trägheitstensor hat in diesem Koordinatensystem die besonders einfache Form einer Diagonalmatrix: J L = 0 J 2 0 ω (2.222) 0 0 J 3 (vgl. Gl ) Sind die Trägheitsmomente von zwei Hauptträgheitsachsen gleich, dann sind alle möglichen Drehachsen durch den Schwerpunkt, die in der Ebene dieser beiden Achsen liegen, ebenfalls Hauptträgheitsachsen. (z.b. Zylinder oder Hohlzylinder) Sind alle Trägheitsmomente gleich, dann sind alle möglichen Drehachsen durch den Schwerpunkt Hauptträgheitsachsen. Der Trägheitstensor ist dann eine Einheitsmatrix, multipliziert mit diesem Trägheitsmoment. (z.b. Würfel, Kugel oder Kugelschale) Siehe Tabelle

10 Hohlzylinder dünnwandiger Hohlzylinder J x = 1 2 m(r2 a + ri 2 ) J y = J z = 1m ( r 2 4 a + ri 2 + 1l2) 3 J x = mr 2 J y = J z = 1m ( 2r 2 + 1l2) 4 3 Vollzylinder dünne Scheibe (l r) dünner Stab (l r) unabhängig von der Form des Querschnitts J x = 1 2 mr2 J y = J z = 1 4 mr ml2 J x = 1 2 mr2 J y = J z = 1 4 mr2 J x = 1 2 mr2 J y = J z = 1 12 ml2 dünner Ring J x = mr 2 J y = J z = 1 2 mr2 Kugel, massiv J x = J y = J z = 2 5 mr2 dünne Kugelschale J x = J y = J z = 2 3 mr2 Quader J x = 1 m 12 (b2 + h 2 ) J y = 1 m 12 (l2 + h 2 ) J z = 1 m 12 (l2 + b 2 ) Tabelle 2.1: Hauptträgheitsmomente, (Abbildungen aus [Hering, Martin, Stohrer]) 2-72

11 Trägheitsmoment bezüglich einer festen Drehachse Bei der Rotation um eine fest vorgegebene Achse betrachtet man häufig nur die Drehimpulskomponente parallel zu dieser Achse (und ignoriert ggf. die Unwucht). Wie bereits in Gl gezeigt, hat für einen einzelnen Massepunkt m die Drehimpulskomponente parallel zur Achse den Wert L = ( mr 2 ) ω (2.223) dabei ist r der Abstand zur Achse. Es lässt sich damit das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse definieren J = m i r,i 2 bzw. J = ϱ( r)r dv 2 (2.224) Die Bewegungsgleichung für die Winkelbeschleunigung α um die Drehachse lautet in dieser Situation M = J α (2.225) V Steinerscher Satz Führt eine Drehachse nicht durch den Schwerpunkt, so setzt sich der Drehimpuls aus dem Eigendrehimpuls L S (Drehimpuls des starren Körpers um den Schwerpunkt) und dem Bahndrehimpuls L B (Drehimpuls des Schwerpunkts um die tatsächliche Drehachse) zusammen. L = L S + L B Der Eigendrehimpuls L S wird durch das Trägheitsmoment J S bezüglich einer Drehachse bestimmt, die durch den Schwerpunkt und parallel zu der tatsächlichen Drehachse verläuft. Ist diese Achse eine Hauptachse, dann ist dies das entsprechende Hauptträgheitsmoment, anderenfalls ist es über den Trägheitstensor zu berechnen. L S = J S ω (2.226a) Der Bahndrehimpuls L B wird durch den Abstand r,s des Schwerpunkts von der tatsächlichen Drehachse bestimmt. L B = ( m r 2,S) ω (2.226b) Das gesamte Trägheitsmoment ist damit (Steinerscher Satz) J = J S + ( ) m r,s 2 (2.227) Der Nutzen dieses Satzes liegt darin, dass sich so nicht nur die Trägheitsmomente bei Verschiebung der Drehachse, sondern auch die Trägheitsmomente von aus einfachen Formen (Quadern, Kugeln etc., siehe Tabelle 2.1) zusammengesetzten Körpern leichter berechnen lassen. 2-73

12 Gegenüberstellung Translation und Rotation Translation Rotation Weg s, d s m Winkel ϕ, d ϕ rad Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit v = d s m/s ω = d ϕ rad/s dt dt Beschleunigung Winkelbeschleunigung a = d v dt = d2 s m/s 2 α = d ω dt 2 dt = d2 ϕ rad/s 2 dt 2 Masse m, Gesamtmasse Massenträgheitsmoment M = m i = ϱ( r)dv kg J = m i ri 2 = r 2 ϱ( r)dv kgm 2 i i Impuls kgm/s Drehimpuls kgm 2 /s p = m v = Ns L = m r v = J ω = Nms Massenmittelpunkt eines Systems von Massen oder eines starren Körpers m i r i m i r i rϱ( r)dv rϱ( r)dv i r s = i = m i M = = ϱ( r)dv M i Gesamtimpuls lässt sich darstellen als Impuls des Schwerpunktes, d.h. wie wenn die Gesamtmasse im Ort des Schwerpunkts konzentriert wäre. Die Summe der Einzelimpulse relativ Gesamtdrehimpuls lässt sich darstellen als Drehimpuls des Schwerpunkts um den gewählten Ursprung (Bahndrehimpuls)+ Drehimpuls des Systems um Schwerpunkt zum Schwerpunkt ist Null. Kraft Drehmoment F = m a = d p kgm/s 2 = N M dt = r F ; M = J α = d L dt Impulserhaltungssatz Drehimpulserhaltungssatz Nm Summe der äußeren Kräfte Summe der Drehmomente der äußeren Kräfte = Änderung des Gesamtimpulses = Änderung des Gesamtdrehimpulses innere Kräfte ändern nicht den Impuls des innere Kräfte ändern Gesamtdrehimpuls nicht Schwerpunktes sondern nur die Einzelimpulse Arbeit Arbeit dw = F d s Nm = J dw = M = M d ϕ Nm = J kinetische Energie kinetische Energie Ekin trans = 1 2 mv2 J Ekin rot 2 Jω2 J Leistung Leistung P = dw dt = F v J/s = W P = dw dt = M ω J/s = W Tabelle 2.2: Gegenüberstellung der Größen zur Beschreibung von Translations- und Rotationsbewegungen 2-74

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