3. Dynamik. 3.1 Axiome. 3.2 Schwere und träge Masse. umgeformt: Ursachen der Bewegung: Kräfte. Die Einheit der Kraft ist Newton: [N] = [kg m/s 2 ]

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1 3. Dnaik Ursachen der Bewegung: Kräfe 19 ugefor: = a 3.1 Axioe 1. Trägheisrinzi (lex ria) lex ria aus den Princiia von Isaac Newon, London Vor Newon ( ) auch schon forulier von Galilei Galileo ( ). Ein Körer verharr i Zusand der Ruhe oder der gleichförigen linearen Bewegung, wenn er nich durch einwirkende Kräfe zur Änderung seines Zusands gezwungen wird. Die Einhei der Kraf is Newon: [N] = [kg /s ] Eine Kraf von 1 N beschleunig 1kg in 1s auf 1/s. Nachrechnen: v 1/s a = = = 1/s 1s = a =1kg1/s = 1 N (ohne Kraf keine Änderung der Bewegungsrichung oder Geschwindigkei). Akionsrinzi (lex secunda) Die Änderung der Bewegung is roorional zur einwirkenden Kraf, und geschieh in der Richung, in der diese Kraf wirk. Die Proorionaliäskonsane is die inverse räge Masse des Körers: 1 a = 3. Schwere und räge Masse Die Anziehung durch die Erde bewirk eine Kaf g auf einen Körer, die roorional zu seiner schweren Masse is. Auf der Erdoberfläche gil: g = g s Gewichskraf g s

2 Dies bewirk eine Beschleunigung a g = = Exeriene zeigen, dass die schwere Masse asächlich gleich der rägen Masse is a = g Alle fallenden Körer beschleunigen i g! s g Vekorielle Addiion von Kräfen Kräf haben Richung und Berag. Mehrere an eine Punk angreifende Kräfe werden vekoriell addier: = Hierbei gil: 1 + Exerien: Enkolung von beschleuniger und Kraf erzeugender Masse Kraf 1 = 1 g beschleunig Masse = 1 + Beisiele: sizer Winkel: 1 + Die Gesakraf is ier kleiner oder gleich der addieren Einzelkräfe 1 flacher Winkel: << Tabelle: Beschleunigung: 1/ g 1 1/11 g a 1/11 g a = 1g = + 1 Exerien: g 5 g 3 g Recher Winkel wegen Phagoras: hier: = 5 =

3 3.4 Aufeilung von Kräfen Ein Krafvekor kann ier als Sue von Krafvekoren dargesell werden, die an deselben Punk angreifen: 1 = = zurückgeleger Weg: ür kleine Winkel α gil: Dai: a = 1 s = sinα g sinα anα = h g l h l 4 Beisiel: schiefe Ebene h Gewichskraf wird aufgeeil in anressende Kraf und beschleunigende Kraf ( Hangabriebskraf ) Bei kleinen Seigungen is die Beschleunigung gleich Erdbeschleunigung al Seigung! = g g l α Es is = = g sinα Beschleunigung: a= = gsinα =gsinα Ensrich freie all i verinderer Schwerkraf!

4 3.5 Axioe (orezung) 3. Reakionsrinzi (lex eria) Die Wirkung is ses der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körer aufeinander sind ses gleich engegengesezer Richung Kraf gleich Gegenkraf: bei Wechselwirkungen zwischen zwei Körern wirken Kräfe auf die Körer, welche gleich groß und engegengesez sind 1 = 1 Allgeein: in eine (Inerial-) Sse ohne äußeren Kräfe gil für die wirkenden Kräfe: Kreisbewegung: Kräfe x z v z r z = a = ω r Kreisbewegung eines Körers u den Ursrung. Die Beschleunigung is a v ɺ r ( ) = ( ) = ω ( ) Es wirk also eine Kraf Zenriealkraf Die Zenriealkraf is die Kraf, die nowendig is, u die Bewegungsrichung des Körers sändig zu ändern. 6 N i i= 1 = Mikroskoische Berachung v ' dv v ϕ 1 a = ür sehr kleine Zeiinervalle d is die Richung der Kraf konsan. Es wirk die Beschleunigung

5 Dies bewirk eine Geschwindigkeisänderung: 1 dv = ad = d ühr zu neuer Geschwindigkei: v ' = v + dv i eine Winkel ϕ gegenüber v Es gil: dv 1 an dϕ dϕ = = d = d v v v Zenrifugalkraf Drehachse Wagen auf Drehisch, i Sse des Tischs berache zf I roierenden Sse wirk auf eine Masse eine Kraf, die radial nach außen geriche is: = Zf ω r 8 also Mi v dϕ = d v dϕ ω = = d v = vω Zenriealkraf = rω v Kraf = rω = r Beschleunigung a = = rω = v r ühr i roierenden Sse zu künslicher Schwerkraf zf g ges g g ' ges = g + zf = g + ω r = g + r = g ( ω ) ' Wie bei noraler Schwerkraf wirk auf alle Körer eine Kraf roorional ihrer Masse (aber nich in Richung von g ) Die Richung der künslichen Schwerkraf häng von de Absand zu Drehachse ab!

6 9 3 h Exerien: roierende lüssigkei ω lüssigkei in roierende Gefäß lüssigkeisoberflächen sind ier senkrech ausgeriche zu den wirkenden Kräfen Oberfläche zeig die Richung der lokalen Schwerkraf an Beisiel: Waschaschine, Schleudergang Radius:.5 Zenrifugalbeschleunigung dai: ω s a = r = 718 = 715 g 16 Udrehungen/in: 16 1 f = = 6.7 6s s 1 ω = π f = 168 s (Menschen überleben kurzzeiig g!) h Berechnung der Seigung der Oberfläche r α g α lüssigkei a Zf a dh Zf rω = anα = = dr g g dh ω = r dr g ω h( r) = h + r g Differenialgleichung! Die Zenrifugalkraf is eine Scheinkraf, da sie nich auf der Wechselwirkung zwischen Objeken beruh; sie ha aber die gleiche Wirkung wie eine reale Kraf. Merkregel: bei Beschreibung der Kraf in eine roierenden Sse Beobacher ruh: Zenriealkraf Beobache roier i: Zenrifugalkraf Eine lüssigkei in eine roierenden Gefäß bilde eine erfek arabelförige Oberfläche aus!

7 3.8 Bezugsssee, Trägheiskräfe Das Koordinaensse ( Bezugssse ) zur Beschreibung eines hsikalischen Vorgangs is frei wählbar. Der Wechsel zwischen verschiedenen Bezugssseen geschieh durch Koordinaen-Transforaion Galilei-Transforaion Wechsel zwischen Bezugssseen, die sich gleichförig zueinander bewegen. z r z v r = r r + v + r ' ' ( r ' = r r + v) ür die Beschleunigung: ür die Geschwindigkei gil: r ɺ = v + r ɺ ' ɺɺ r = ɺɺ r ' (diese is gleich in beiden Bezugssseen!) Dai gil für die Kräfe auf einen Körer i Bahnkurve r( ) r '( ) = a = r ɺɺ = r ɺɺ ' = ' bzw. : 31 Die wirkenden Kräfe in gleichförig zueinander bewegen Bezugsseen sind idenisch. Definiion: Ein Inerialsse is ein Bezugssse, in die Newon schen Axioe gelen (insbesondere Kraf=Gegenkraf, d.h. es gib keine Scheinkräfe) alle gleichförig relaiv zu eine Inerialsse bewegen Bezugsssee sind auch Inerialssee Exerien: v ' v w Kugel Transforier in das Sse des Hörsaals: r( ) = + vw + r '( ) ( ) vw = + v 1 g Bahnkurve i Sse des Wagens: 1 r '( ) = v + g = v 1 g = v w v 1 g 3

8 Bahnkurve Wagen: r w ()=+ v w = v w Die x-koordinaen von Kugel und Wagen sind zu jeder Zei idenisch die Kugel riff auf den Wagen auch i Bezugsse des Hörsaals. (d.h. der hsikalische Vorgang Kugel enfern sich vo Wagen und kehr zu ih zurück wird in beiden Bezugssseen korrek beschrieben) 33 Auf einen Körer i Masse wirken also die Kräfe = r ɺɺ ( ) = a + ɺɺ r '( ) = a + ' beziehungsweise ' = a I beschleunigen Bezussse wirk eine zusäzliche Kraf in Gegenrichung der Beschleunigung! (Schein- bzw. Trägheiskraf) 34 z 3.8. Linear beschleunige Bezugsssee z v + a Die Bezugsssee verändern ihre Relaivgeschwindigkei Dai is 1 r r v a r ( ) = '( ) ür die Geschwindigkei gil: r ɺ( ) = v + a + r ɺ '( ) und die Beschleunigung: ɺɺ r ( ) = a + ɺɺ r '( ) Beisiel: ahrsuhl g a ' Bewegung des ahrsuhls: 1 r( ) = a Kraf auf Person i Bezussse des ahrsuhls: = a= + g a Die Gewichskraf is scheinbar erhöh!

9 3.8.3 Roierende Bezugsssee z x Also z x Richung der Achsen des roierenden Sses: e, e, e x' ' z ' Transforaion ins ruhende Sse: r = x ' e x' + ' e ' + z ' e z ' 1 = ( e, e, e ) r ' = R r ' 1 r = R r ' r ' = Rr x' ' z' Roaionsarix alls das gesrichene Sse i Kreisfrequenz roier, is: eɺ x' = ω e (Bahngeschwindigkei x' der Vekorsize) ür die Geschwindigkei i ruhenden Sse gil dai: r ɺ = xɺ ' e + ɺ ' e + zɺ ' e + x ' e ɺ + ' e ɺ + z ' e ɺ ω x' ' z ' x' ' z ' 35 = ɺ ' + ( ' + ' + ' ) 1 R r ω x ex' e ' z ez ' 1 1 = R rɺ ' + ω R r ' ür die Beschleunigung gil: ɺɺ r = ɺɺ x ' ex' + ɺɺ ' e' + ɺɺ z ' ez ' + ( xɺ ' eɺ x' + ɺ ' eɺ ' + zɺ ' eɺ z ') + x ' eɺɺ + ' eɺɺ + z ' eɺɺ x' ' z ' 1 1 = R ɺɺ r ' + ( ω R rɺ ) + x '( ω eɺ ) + '( ω eɺ ) + z '( ω eɺ ) x' ' z ' 1 1 = R ɺɺ r ' + ( ω R rɺ ) + x '( ω ( ω eɺ x ')) + '( ω ( ω eɺ ' )) + z '( ω ( ω eɺ z ')) 1 1 = R ɺɺ r ' + ( ω R rɺ ) + ω ( ω eɺ x ) R Rr ɺɺ = ɺɺ r ' + ( ω rɺ ') + ω ( ω r ') ɺɺ r ' = Rr ɺɺ ( ω rɺ ') ω ( ω r ') ' 36 = ɺ ' + '( ω ) + '( ω ) + '( ω ) 1 R r x ex' e' z ez ' Beschl. i ruhenden Sse Coriolis- Beschleunigung Zenrifugal- Beschleunigung

10 Kräfe: ' = R ( ω rɺ ') ω ( ω r ') I roierenden Sse wirken zwei Trägheiskräfe: Zenrifugal- und Corioliskraf Corioliskraf r 1 r Anschauliche Herleiung: es gib zwei Beiräge ω v 1 v 1. Ore i roierenden Sse haben i ruhenden Sse eine Bahngeschwindigkei rω. Bring an ein Objek von Radius r nach Radius r 1, ha es eine höhere Bahngeschwindigkei als die lokale Bahngeschwindigkei bei r 1 es erfähr also eine scheinbare Beschleunigung Geschwindigkeisunerschied: v = ( r r ) ω = r ω 1 alls der Vorgang in der Zei geschieh, ergib sich eine Beschleunigung: v r ω a = = = vrω Radialgeschwindigkei 37 ϕ r ω v vr r 1. In der Zei, in der an das Objek von r nach r 1 gebrach ha, ha sich das Sse u den Winkel ω weiergedreh die anfängliche Radialgeschwindigkei v r is nich ehr arallel zu Radius, sondern weich u den Winkel ϕ=ω davon ab. Dies führ zu einer zusäzlichen Bahngeschwindigkei von also einer Beschleunigung von v = v sin ϕ v sin ϕ = v ω r r r v a = = vrω Beide Beiräge zusaen ergeben: a c = v ω Exerien: Pendel auf Drehisch ω T r Triviale Behandlung: Pendel erk nichs von der Drehung des Tisches Pendelebene dreh i roierenden Sse i ω T 38

11 Berachung i roierenden Sse: ωt c v x Pendel Pendelbewegung ohne Corioliskraf x r ( ) = cosω v ( ) = ω r sinω x Corioliskraf = ω v c T = ω T Vereinfach gerechne ergib dies die Ablenkung: v ( ) d r (1 cos ) = = ωt ω τ / = v x ω T ω r sinω ωt = v ( ) d = ωt rτ = r π ω 39 Tasächlich uß die Rücksellkraf des Pendels in -Richung berücksichig werden (reduzier ): ωt = rπ ω In der Zei τ veränder die Pendelebene ihren Winkel u ϕ = = r ω π ω T Die Winkelgeschwindigkei der Pendelebene is also ϕ ω ωt ωe = = π = ωt τ π ω Korreke Winkelgeschwindigkei auch bei Behandlung i roierenden Sse! Exerien: oucaul-pendel Erde ω g ω eff α Breiengrad Pendel Bei de Versuch wirk die auf g rojiziere Winkelgeschwindigkei ω = ω sinα eff 4

12 41 In reiburg (α = 48 ) dreh sich die Ebene des oucaul- Pendel i ω eff π = sinα = s eine volle Udrehung in 1.35 Tagen bzw..18 ro Minue 11.1 ro Sunde s Einfluß der Corioliskraf auf die aoshärische Lufbewegung Auf der Erdoberfläche bewegen sich die Lufassen in Richung von Bereichen niedriegen Drucks; durch die Corioliskraf werde sie auf der Nordhalbkugel nach rechs abgelenk, auf der Südhalbkugel nach links. auf der Nordhalbkugel bewegen sich die Lufasse u Tiefdruckgebiee engegen des Uhrzeigersinns (von oben gesehen), T Erde