Musso: Physik II Teil 26 Das Magnetfeld Seite 1

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1 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 1 Tipler-Mosca ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS 6. Das Magnetfeld (The magnetic field) 6.1 Die magnetische Kraft (The force exerted by a magnetic field) 6. Die Bewegung einer Punktladung in einem Magnetfeld (Motion of a point charge in a magnetic field) 6.3 Das auf Leiterschleifen und Magnete ausgeübte Drehmoment (Torques on current loops and magnets) 6.4 Der Hall-Effect (The Hall effect) Universität Salzburg Seite

2 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite Universität Salzburg Seite

3 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite Die magnetische Kraft (The force exerted by a magnetic field) Die Existenz eines Magnetfelds B in einem bestimmten Punkt des Raums kann man durch eine Kompassnadel nachweisen: Ist ein Magnetfeld vorhanden, so richtet sich die Nadel entlang der magnetischen Feldlinien aus. Auf eine Ladung q, die sich mit Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld B bewegt, wirkt, die (magnetische) Kraft F = qv B. F v, B, Rechte-Hand-Regel - Richtung der Kraft F, die im Magnetfeld B auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Ladung q wirkt 1 N 1 N N SI-Einheit: Tesla (T) 1 T = = = C 1 m s 1 A 1 m A m Universität Salzburg Seite

4 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 4 Beispiel 6.1: Die Kraft auf ein sich nordwärts bewegendes Protons 4 Auf der Erdoberfläche Erdmagnetfeld B = T = 0.4 G, zeigt nach Norden und nach unten (Winkel mit der Horizontale θ = 70 ); 7-1 Proton mit q e bewegt sich horizontal mit v 10 m s nach =+ = Norden. Gesucht a) Magnetische Kraft aus F = q v B sin θ und b) vektoriell aus F = qv B Teil a) aus F = q v B sin θ F = ( C)( 10 m s )( T) sin70 = N Teil b) aus F = qv B mit v = vyey und B = Byey + Bzez F = qv B = q( vyey ) ( Byey + Bzez) = qvyby ( ey ey ) + qvybz ( ey ez) = = 0 + qv ybzex mit Bz = B sin θ F = ( C)( 10 m s )( T) sin70 e 17 = N e ( ) x x Universität Salzburg Seite

5 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 5 Die auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkende Kräfte ist gleich der Summe der Kräfte auf alle geladenen Teilchen, deren Bewegung den Strom hervorruft. Auf jede Ladung wirkt qvd B, Anzahl der Ladungsträger im Leiterabschnitt der Länge L: N AL V N ingesamt wirkende Kraft F = ( qvd B) AL V N mit Gl. (5.3) I = q Avd F = IL B V Magnetische Kraft auf einem stromdurchflossenen Leiterabschnitt in einem Magnetfeld Für einen Leiter mit beliebiger Gestalt und beliebige Magnetfelder I d Stromelement; die insgesamt wirkende Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter erhält man durch Summation (Integration) der Kräfte auf die Stromelemente Universität Salzburg Seite

6 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 6 Beispiel 6.: Magnetische Kraft auf einen geraden Leiter Drahtabschnitt L = 3 mm, in positiver Richtung Strom I = 3 A. Leiter in einem Magnetfeld B = 0.0 T, Vektor in der x-y-ebene, Winkel θ=30 mit der x-achse. Gesucht: magnetische Kraft aus Gl. (6.4) F = IL B = I L B sin θ ez F = 3 A 3 mm 0.0 T sin30 e = N e ( )( )( ) z ( ) z Beispeiel 6.3: Magnetische Kraft auf einen gebogenen Leiter mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salzburg Seite

7 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 7 Ein Magnetfeld B kann durch Magnetfeldlinien dargestellt werden: 1. Elektrische Feldlinien zeigen in die Richtung der auf eine positive Ladung wirkende elektrostatische Kraft. Magnetfeldlinien stehen senkrecht zu der Kraft, die auf eine bewegte Ladung ausgeübt wird.. Elektrische Feldlinien gehen von positiven Ladungen aus und enden an negativen Ladungen. Magnetfeldlinien haben weder Anfang noch Ende, sie sind in sich geschlossen. Magnetfeldlinien innerhalb und außerhalb eines Stabmagneten 6. Die Bewegung einer Punktladung in einem Magnetfeld (Motion of a point charge in a magnetic field) Bewegtes geladenes Teilchen in einem Magnetfeld ausgeübte Kraft v Richtung von v geändert, aber v = konstant Magnetfelder verrichten an Teilchen keine Arbeit und haben keinen Einfluß auf deren kinetische Energie Spezialfall: B homogen, v B Kreisbahn Winkelgeschwindigkeit ω die für die Zentripetalbeschleunigung a = v / r e (siehe Gl. 3.4) bei der ZP ( ) Kreisbewegung notwendige Kraft wird vom Magnetfeld ausgeübt die nach innen zum Krümmungsmittelpunkt gerichtete Normalbeschleunigung a = v / r n r n ( ) F q v mv mv (siehe Gl. 3.6) an = = vb = Radius der Kreisbahn r = v bzw. r = m m r qb qb Universität Salzburg Seite

8 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 8 π r mv π m Periode der Kreisbewegung T = mit r = T = v qb qb Kreisbahn von Elektronen in einem homogenen Magnetfeld Spuren eines 1.6 MeV-Protons (rot) und eines 7 MeV-Alphateilchens (gelb) in einer Nebelkammer wichtig: ω fvr (, ) Anwendungen: Massenspektrometer, Zyklotron Beispiel 6.4: Die Zyklotronfrequenz 7 19 Proton, m = kg, q = + e = C, auf Kreisbahn r = 1 cm senkrecht zum Magnetfeld B = 0.4 T; gesucht: a) Periode T der Kreisbewegung, b) Geschwindigkeit v des Protons 7 π m π ( kg) 7 Teil a) aus Gl. (6.7) T = = = s = 164 ns 19 qb C 0.4 T ( )( ) 19 ( 0.1 m)( C)( 0.4 T) mv rqb Teil b) aus Gl. (6.6) r = v = = = m s = 8.05 m μs qb m 7 ( kg) Universität Salzburg Seite

9 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 9 Geladenes Teilchen mit Geschwindigkeitskomponente sowohl parallel wie senkrecht zum homogenen Magnetfeld: für v ist keine Einwirkung der magnetischen Kraft vorhanden keine Beschleunigung v = konstant; für v ist eine Einwirkung der magnetischen Kraft vorhanden Beschleunigung v Kreisbewegung insgesamt Schraubenbewegung Magnetische Flasche: Das magnetische Feld auf beiden Seiten ist wesentlich stärker als in der Mitte das geladene Teilchen bewegt sich darin auf Spiralbahnen um die Feldlinien hin und her, ohne die Flasche verlassen zu können. Van-Allen-Gürtel Universität Salzburg Seite

10 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 10 Der Geschwindigkeitsfilter Kraft auf eine geladenes Teilchen in Anwesenheit eines elektrischen und eines magnetisches Feldes: F = qe + qv B damit F = 0 qe = qv B in gekreuzten Feldern mit v E, B E = v B bzw. E = vb (Wien'sches) Geschwindigkeitsfilter Positiv geladenes Teilchen, das sich nach recht in gekreuzten elektrischen und magnetischen Felder bewegt elektrische Kraft nach unten, und magnetische Kraft nach oben die Kräfte heben sich auf wenn vb = E Thomsons Experiment zur Messung von q/m Die Anfangsgeschwindigkeit v0 der geladenen Teilchen festgelegt durch Gl. (6.9) v = E/ B in gekreuzten E und B; Ablenkung Δy der Elektronen abhängig von q/ m: Δ y = Δ y +Δy wobei Δy Ablenkung durch E, und Δy Ablenkung während des Fluges durch das feldfreie Gebiet; Länge der Ablenkplatten x Flugzeit t = x / v, qey qey x Vertikalgeschwindigkeit der Elektronen vy = ayt1 = t1 = m m v 1 1qEy x 1 Δ y1 = ayt1 = m v0 1 0 Kathodenstrahlröhre zur Messung von q/ m Universität Salzburg Seite

11 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 11 Länge des feldfreien Gebietes x mit v = konstant Flugzeit bis zum Schirm t = x / v zusätzliche Ablenkung 0 0 qe y 1 Δ y = vyt = m v0 v0 Gesamtablenkung in vertikaler Richtung x x 1 qey x1 Δ y = Δ y1 +Δ y = m v0 qe + x x qe = x + q y 1 y 1 xx 1 m v0 v0 mv m 0 Beispiel 6.5: Ablenkung eines Elektronenstrahls -1 4 Thomson'sche Versuchsanordnung, E = 3000 V m, gekreuzt anliegendes Magnetfeld B = 1.4 G = T. Länge der Kondensatorplatten x = 4 cm, Länge des feldfreien Raums x = 30 cm Gesucht: Ablenkung des Elektronenstrahls 1 Aus Gl. (6.10) qe x mit E 3000 V m m s -1 y Δ y = Δ y1+δ y = + x1x v0 = = = 4 mv0 B B = T 19-1 ( )( ) ( kg)( m s ) 19-1 ( C)( 3000 V m ) ( kg)( m s ) ( ) qe C 3000 V m y x 0.04 m 1 4 Δ y1 = = = m mv 0 qe y ( )( ) Δ y = x 1x = 0.04 m 0.30 m = m mv0 Δ y = Δ y +Δ y = + = m m 14.7 mm Universität Salzburg Seite

12 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 1 Das Massenspektrometer Das Massenspektrometer dient u.a. zur Messung der Isotopenmassen und zur Ermittlung der Isotopenverhältnisse: Ionen aus einer Ionenquelle werden durch ein elektrisches Feld beschleunigt 1 mv = qu, im homogenen Magnetfeld bewegen sich die Ionen auf einer halbkreisförmigen mv qbr q B r Bahn mit Radius r = (siehe Gl. 6.6) v = v = qb m m eingesetzt 1 qbr m Br m = qu = m q U Beispiel 6.6: Trennung von Nickelisotopen Funktionsschema eines Massenspektrometers 58 6 Ein Ni-Ion mit Ladung q =+ e und Masse m = kg wird durch eine Potentialdifferenz U = 3 kv beschleunigt und anschließend in einem Magnetfeld B = 0.1 T abgelenkt. 58 Gesucht: a) Krümmungsradius r der Flugbahn des Ni-Ions im Magnetfeld, b) Differenz zum 58 Krümmungsradius r der Flugbahn eines Ni-Ion im Magnetfeld Teil a) aus Gl. (6.1) m B r m U 6 ( ) 19 ( ) ( ) ( ) kg 3 kv = r = = q U q B C 0.1 T ( ) 1 1 m B r m m r m 60 Teil b) aus Gl. (6.1) = = = = = q U r r m r 1 1 r = 1.017r = m = m r r = m m = 9 mm = m Universität Salzburg Seite

13 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 13 Das Zyklotron Das Zyklotron dient zur Beschleunigung von geladenen Teilchen (Ionen) die energiereichen Ionen werden auf Atomkerne geschossen Auslösung von Kernreaktionen Erzeugung radioaktiver Substanzen ( z.b. heutzutage in der Medizin). Positiv geladene Teilchen treten bei S mit niedriger Geschwindigkeit aus der Ionenquelle S und in D ein halbkreisförmige Bahn 1 Beispiel 6.7: Energie eines beschleunigten Protons 1 zwischen D und D wird eine Potentialdifferenz U erzeugt, die sich π m mit der Zyklotronperiode Gl. (6.7) T = zeitlich ändert B q nach der Zeit T / haben die Ionen die Lücke zwischen D und D erreicht Potentialdifferenz so eingestellt, daß in diesem 1 Augenblick D auf höherem Potential Ionen beschleunigt 1 Funktionsschema eines Zyklotrons kinetische Energie nimmt zu größerer Bahnradius in D nach T / wieder Lücke erreicht D auf höherem Potential Ionen beschleunigt kinetische Energie nimmt zu usw. bis die Teilchen aus dem Magnetfeld austreten: aus Gl. (6.6) mv qbr 1 1 qbr q B r = v = Ekin = mv = m = r r qb m m m Zyklotron mit Magnetfeld B = 1.5 T, Radius r = 0.5 m, gesucht: a) Zyklotronfrequenz ν, b) kinetische Energie Ekin der Protonen nach Austritt aus dem Zyklotron 19 B q ( 1.5 T) ( C) 7 Teil a) aus Gl. (6.8) ν = = =.9 10 Hz =.7 MHz 7 π m π kg ( ) 19 ( C) ( 1.5 T) ( ) qb 1 19 kin = r = ( ) = = = 7 Teil b) aus Gl. (6.13) E 0.5 m J 6.9 MeV da 1 ev J m kg Universität Salzburg Seite

14 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite Das auf Leiterschleifen und Magnete ausgeübte Drehmoment (Torques on current loops and magnets) In eine stromdurchflossene Leiterschleife wirkt in einem Magnetfeld keine resultierende Kraft, aber ein Drehmoment Die Orientierung einer stromdurchflossenen Leiterschleife lässt sich durch den Normalvektor n beschreiben Kräfte auf eine rechteckige Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld, deren Normalvektor n einen Winkel θ mit der Richtung des Magnetfelds B einschließt: F1 = F = IaB wobei F1 und F Kräftepaar Drehmoment τ = b F sinθ = biab = IAB sin θ τ = IA B wobei A = An Schleife mit N Windungen τ = NIAB sin θ τ = NIA B das Drehmoment versucht die Schleife so zu drehen, daß n B, daß also die Schleifenebene senkrecht zu B orientiert ist. Definition des magnetischen Dipolmoments μ (oder kürzer des magnetischen Moments) SI-Einheit des magnetischen Moments: A m Universität Salzburg Seite

15 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 15 Auf die Leiterschleife wirkt somit das Drehmoment τ = μ B, gilt für Leiterschleifen in beliebiger Form, die in einer Ebene liegen. Vergleiche Gl. (6.15) τ = μ B mit Gl. (1.11) τ = p E eine Leiterschleife im Magnetfeld verhält sich genauso wie ein elektrischer Dipol im elektrischen Feld Beispiel 6.8: Auf eine Leiterschleife wirkendes Drehmoment Eins Strom I = 3 A fließt durch eine Leiterschleife mit N = 10 kreisrunden Windungen mit Radius r = cm. Die Achse der Leiterschleife schließt einen Winkel θ = 30 mit der Richtung des Magnetfelds B = 0.8 T. Gesucht: Drehtmoment τ aus Gl. (6.15) τ = μ B τ = μ B = μ B sinθ = NIABsin θ τ = 10 3 A 0.0 m 0.8 T sin30 = N m ( )( )( ) π ( ) Beispiel 6.9: Kippen einer Leiterschleife mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salzburg Seite

16 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 16 Die potentielle Energie eines magnetischen Dipols in einem Magnetfeld Bei der Drehung eines Dipols um einen Winkel d θ verrichtete Arbeit dw = τ dθ = μ B sinθdθ = d E Integration E = μ B cos θ + E Beispiel 6.10: Auf eine quadratische Leiterschleife wirkendes Drehmoment pot pot pot,0 Nullpunkt der potentiellen Energie gewählt bei θ = 90 E = μ B cosθ = μ B pot E pot,0 = 0 Ein Strom I=3 A fließt durch eine quadratische Leiterschleife mit N=1 Windungen, Kantenlänge a=40 cm, die in der x-y-ebene ( n = ez ) liegt, und von einem Magnetfeld B = ( 0.3 T) ex + ( 0.4 T ) ez umgeben ist. Gesucht: a) magnetisches Moment μ, b) Drehmoment τ, c) potentielle Energie Epot Teil a) aus Gl. (6.14) μ = NIAn = ( 1)( 3 A)( 0.4 m) ez = ( 5.76 A m ) ez Teil b) aus Gl. (6.15) τ = μ B = ( 5.76 A m ) ez ( 0.3 T) ex + ( 0. 4 T) ez = ( 1.73 A m T)( ez ex) = ( 1.73 N m) e y Teil c) aus Gl. (6.16) Epot = μ B = ( 5.76 A m ) ez ( 0.3 T) ex + ( 0.4 T) ez =.30 J Beispiel 6.11: Magnetisches Moment einer rotierenden Scheibe mögliches Prüfungsbeispiel Universität Salzburg Seite

17 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite Der Hall-Effect (The Hall effect) In Magnetfeldern wirkt auf bewegte Ladungen eine Kraft senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung in einem stromdurchflossenen Leiter werden die Ladungsträger auf eine Seite des Leiters geschoben Ladungstrennung Hall-Effekt Anwendung: Bestimmung des Vorzeichens und der Anzahldichte der Ladungsträger in einem Leiter, Messung von Magnetfeldstärken. Strom fließt von links nach rechts das Magnetfeld übt eine nach oben gerichtete Kraft sowohl für positive Ladungsträger, die sich nach rechts bewegen Infolge der Ladungstrennung entsteht im Streifen ein elektrisches Feld, das auf die Ladungsträger eine Kraft ausübt, die der magnetischen Kraft entgegengesetzt gerichtet ist. Gleichen sich die Kräfte gerade aus, dann hört die parallel zur magnetischen Kraft gerichtete Bewegung der Ladungsträger auf. wie für negative Ladungsträger, die sich nach links bewegen Messung des Vorzeichens der Potentialdifferenz Hall-Spannung U H Bestimmung des Vorzeichens der Ladungsträger (in Halbleitern negativ geladene Elektronen oder positiv geladene Löcher) Kraft durch B: F = qv B, Kraft durch E: F = qe, B d F + F = 0 qv B = qe E = v B B E d H H d mit Breite des Streifens w U = E w = v Bw E H H d H Universität Salzburg Seite

18 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 18 Aus Messungen der Hall-Spannung eines Streifens mit gegebenen Abmessungen Anzahldichte n = N/ V der Ladungsträger im Leiter bestimmbar: N aus Gl. (5.3) I = qvda mit Streifen der Breite w und Dicke d, also A = wd, und mit Elektronen als V N I I UH Ladungsträger, also q = e, n = = = mit Gl. (6.17) UH = vdbw bzw. = vdw V qv A ev wd B N I IB n = = = V UH euhd e d B N da n = > 0 für negative Ladungsträger UH < 0, für positive Ladungsträger U H > 0 V d d Beispiel 6.1: Dichte der Ladungsträger in Silber Silberplatte, d = 1 mm, w = 1.5 cm, durchflossen vom Strom I =.5 A, umgeben vom Magnetfeld B = 1.5 T gemessen Hall-Spannung U = μv. H Gesucht: a) Anzahldichte n der Ladungsträger in der Platte, b) Anzahldichte der Silberatome in der Platte, wobei ρ = = g cm, M g mol. H ( 1.5 T)( 1.5 T) 19 ( C)( μv)( m) IB Teil a) aus Gl. (6.19) n = = = Elektronen m eu d m Teil b) aus ρ = und V n N ρ M m M N M M = ρ = = n N N V N N A A A ( ) ( Atome mol ) -1 ( g mol ) 8-3 A = = 10.5 g cm = Atome cm = Atome m Universität Salzburg Seite

19 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 19 Die Hall-Spannung bietet einen bequemen Weg zur Messung von Magnetfeldern: aus Gl. (6.19) IB IB n = UH = B bei vorgegebenem I (Eichung notwendig) eu d ned H Der Quanten-Hall-Effekt Hall-Spannung U als Funktion des angelegten Magnetsfelds B, bei sehr kleinen Temperaturen und bei H H sehr starken Magnetfeldern U steigt nicht geraldlinig, sondern in Stufen U ist gequantelt (Von Klitzing, Nobelpreis 1985) H aus der Theorie des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts: UH RK h Hall-Widerstand RH = = mit n = 1,,3,... wobei RK = Klitzing-Konstante. I n e Ausgehend vom Quanten-Hall-Effekt Standard für den Widerstand festgelegt seit 1990 ist das Ohm so definiert, daß R = Ω (exakt ) hat. K(90) Universität Salzburg Seite

20 Musso: Physik II Teil 6 Das Magnetfeld Seite 0 6. Das magnetische Feld 6.1 Einführung 6. Das Ampère'sche Gesetz für das magnetische Feld 6.3 Der magnetische Fluß 6.4 Magnetisierung der Materie 6.5 Der Magnetisierungsvektor 6.6 Das magnetisierende Feld 6.7 Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität 6.8 Energie eines magnetischen Feldes 6.9 Zusammenfassung der Gesetze für statische Felder. Magnetische Wechselwirkung.1 Einführung. Magnetische Kraft auf eine bewegten Ladung.3 Bewegung eines geladenen Teilchens in einem gleichförmigen Magnetfeld.4 Bewegung eines geladenen Teilchens in einem ungleichförmigen Magnetfeld.5 Beispiele der Bewegung von geladenen Teilchen in einem Magnetfeld.5 Magnetisches Feld einer bewegten Ladung.7 Magnetische Dipole Universität Salzburg Seite