Bestimmung der Naturkonstante g mittels einer horizontalen Kreisbewegung

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1 Bestimmung de Natukonstante g mittels eine hoizontalen Keisbewegung Tosten Reuschel (Duchfühung und Potokoll) Hadi Lotfi (techn. Assistenz und Skizzen) Leistungskus Physik S4-08. Mai He Tichy

2 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Inhaltsvezeichnis 1. Voübelegungen und Beechnungen... Seite. Aufbau... Seite 4.1. Benötigte Mateialien... Seite 5.. Hinweise und Tipps zum Aufbau... Seite 5.3. Konfiguation von CassyLab... Seite 6 3. Duchfühung und Messegebnisse... Seite Messung de Umlaufzeit de Masse... Seite Pojektion des gesuchten Radius... Seite 6 4. Beechnung von g aus den Messweten... Seite 7 5. Fehlebetachtung, Auswetung und Ausblick... Seite 8 1. Voübelegungen und Beechnungen Duch Heanziehen eine Klausuaufgabe aus einem de vegangenen Semeste entstand die Idee die Natukonstante g duch Messungen an eine hozontalen Keisbewegung zu bestimmen. Damals wa de Tabellenwet von g gegeben woden. Es ging lediglich um die Beechnung des Winkels, den ein Faden zu Hoizontalen einnahm. Einen wähend de besagten Klausu entstandenen Ansatz setzen wi nun um und messen den entspechenden Winkel, um umgekeht nun g beechnen zu können. Folgende Skizze ist eine Seitenansicht eine als punktfömig angenommenen Masse am Ende des Fadens mit de Länge lf bzw. ly + h.

3 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Bei eine bestimmten Geschwindigkeit bzw. Umlaufzeit (t 1U ) de Masse, teten Käfte auf, die die Masse mit de Hoizontalen einen Winkel α einschließen lassen. Die in den nachfolgenden Beechnungen vewendeten Bezeichnungen fü gemessene ode theoetische Gößen beziehen sich gößtenteils auf die voangegangene Skizze. Sei de Radius de Keisbahn de Masse (vgl. Skizze oben) und d. Sei t 1U die Zeit fü das Zuücklegen eine vollständigen Keisbahn (Umlaufzeit) de Masse. Sei α de Winkel, den de Faden, an dem die Masse hängt, mit de Hoizontalen einschließt. Sei m die als punktfömig angenommene Masse, die am Ende des Fadens befestigt ist. Sei l F die Länge des Fadens, an dem die Masse hängt. Es ist bekannt, dass fü die Zentipetalkaft m v F gilt und fü die Beechnung de Gewichtskaft eines Köpes auf de Ede F g m g vewendet weden daf. Aus de Skizze geht hevo, dass gelten muss: tan α Also folgt nun: Mit Fg F m g tanα v m 1U g v s π v fü die Geschwindigkeit de Masse auf ihe Keisbahn lässt sich nun auf t t tanα g t1 u 4π schließen. Duch Auflösen nach g folgt nun die Gleichung I: 4π tanα g t 1U Folgendes ist ebenfalls de Skizze zu entnehmen: cos α l F Dies kann nach α aufgelöst und in Gleichung I eingesetzt weden. Es folgt die Gleichung II: 4π g t tan accos l 1U F

4 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Zu messen wäen also die Wete fü den Radius, die Fadenlänge l F, den Winkel α und die Umlaufzeit t 1U. De Radius ist nu messba ist wähend sich die Masse mit de Geschwindigkeit v auf eine möglich idealen Keisbahn bewegt. Da dies nu schwe diekt messba wäe, ohne dabei die Masse auf ihe Bahn zu beeinflussen, wid die Bewegung de Masse mit eine nahezu punkfömigen Lichtquelle auf einen Schim bzw. eine Tafel pojiziet. Anschließend kann so duch Heanziehen des Stahlensatzes de Radius beechnet weden. In Abschnitt 4 Beechnung von g aus den Messweten wid die hegeleitete Gleichung II unte Beücksichtigung des beechneten Zwischenegebnisses fü den Radius zu Beechnung von g vewendet weden.. Aufbau De Aufbau ist in seinen Gundzügen den beiden nachfolgenden Skizzen zu entnehmen.

5 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Benötigte Mateialien 1x Laptop + Netzgeät 1x SensoCassy + Netzgeät und seielles Schnittstellenkabel 1x Time-Box 1x Cassy-Lichtschanke + Anschlusskabel an Time-Box div. Stativstangen, Muffen, Stativfüße, - klemmen, etc. (nach Bedaf) 1x Elektomoto inkl. Spannungsvesogung; empfohlen: Moto de am Gootmoo als Antieb fü die Wellenmaschine vewendet wid 1x ca. 50cm nahezu masselose Bindfaden 1x kleines Massestück beliebige Masse, abe nicht zu schwe (maximal 50g) 1x optische Bank zu Befestigung de Lampe, vegleichbaes sollte auch vewendba sein 1x Halogenlampe inkl. Spannungsvesogung div. Messgeäte zu Messung von Stecken (nach Bedaf und Vefügbakeit) 1x Tafel inkl. Keide zum Makieen des pojizieten Radius R (vgl. 3..) div. Kabel zum Anschließen von Moto, Lampe und Messgeäten.. Hinweise und Tipps zum Aufbau 1) Das Massestück wid mit dem Faden an de Achse des Elektomotos befestigt. ) Die Lichtschanke kann auch späte est eingesetzt weden, wenn sich das Massestück auf eine gleichmäßigen Keisbahn bewegt. 3) Fü eine besse Kontolle des Elektomotos sollte ein Spannungswandle eingesetzt weden. Wi empfehlen sowohl die Vesogung des Wandles als auch die Spannung am Moto ständig duch Messgeäte zu übewachen (vgl. Bild). 4) Die Spannung, die de Halogenlampe zugefüht wid, sollte ebenfalls ständig pe ein Messgeät übewacht weden. 5) Fü bessee Kontaste beim Anzeichnen de Pojektion an die Tafel sollte de Raum gänzlich vedunkelt weden.

6 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Konfiguation von CassyLab Es wid voausgesetzt, dass de Umgang mit de zu Cassy gehöigen Had- und Softwae kein Poblem fü den Duchfühenden des Vesuches dastellt. Nachdem das die Lichtschanke übe die Time-Box an das SensoCassy angeschlossen wude, kann die Anodnung in Betieb genommen weden. Folgende einfache Einstellungen sind fü die Messung de Umlaufzeit vozunehmen: Messpaamete automatische Aufnahme Intevall x Anzahl aktiviet 100ms 10 (ode meh nach Belieben) Einstellungen Sensoeingang (Eingang A1 Time-Box) Messgöße Peiodendaue T A1 (E) Messbeeich 10s Flanken invetieen deaktiviet Pendel deaktiviet 3. Duchfühung und Messegebnisse Die Vesuchsduchfühung teilt sich in zwei Beeiche. Die Messungen von Umlaufzeit und das Anzeichnen des pojizieten Radius R wuden gleichzeitig bzw. seh zeitnah zueinande duchgefüht Messung de Umlaufzeit de Masse Duch langsames Steigen de zugefühten dem Elektomoto zugefühten Spannung kann das Massestück auf seine Bahn gebacht weden. Wid dem Moto eine konstante Spannung zugefüht, so sollte noch 5 bis 10min gewatet weden, bevo die Messung beginnen kann, damit sich die Masse auf eine möglichst gleichmäßigen Keisbahn bewegt. Die Messung kann dann in CassyLab einfach pe Duck auf die Taste <F9> gestatet weden. Zehn Messwete sollten auseichen um einen als exakt anzunehmenden Mittelwet fü die Umlaufzeit t U1 beechnen zu können. Wi haben aus unseen in de nebenstehenden Tabelle zusammengefassten Messweten auf einen gemittelten Wet t U1 1,34s geschlossen. Messegebnisse t / s t U1 / s 1,4 1,34 4,0 1,35 6,7 1,35 1,0 1,34 14,5 1,34 17,1 1,34 19,8 1,33,4 1,34 5,1 1, Pojektion des gesuchten Radius Wie beeits in den Voübelegungen ewähnt, wid de Radius de eigentlichen Keisbahn de Masse auf eine Tafel pojiziet. Dies geschieht wie in nachfolgende Skizze ekennba. Es muss beim Anzeichnen sowie beim Vemessen de Länge des Fadens daauf geachtet weden, dass z. B. jeweils de Punkt als Ende des Fadens gewählt wid, an dem die Masse angehängt ist. Diese Punkt lässt sich eindeutig bestimmen (z. B. dot, wo die Schlaufe beginnt ode endet). An de Tafel weden nun die beiden äußesten Punkte des Schattens des Knoten, an dem die Masse hängt, angezeichnet. Diese Abstand sei die Stecke D R. Beim Vemessen des

7 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Fadens (am Besten fei von Moto und Masse) wid die Stecke d zwischen den beiden Knoten de Befestigung an Moto und Masse gemessen. Außedem weden die Stecken s und b fü die weitefühenden Beechnungen benötigt. In de folgenden Tabelle sind unsee Messwete sowie die Fadenlänge l F zusammengefasst. Göße / Einheit Wet / Einheit s / m 0,710 b / m 0,489 D / m 0,733 l F / m 0,47 Duch Anwendung des Stahlensatzes lässt sich nun aus den gemessenen Weten s, b und R de Radius beechnen: s D b + s Duch Multiplizieen mit s ehält man nun D s ( b + s) Es folgt also fü unse Zwischenegebnis fü : 0, 170m 4. Beechnung von g aus den Messweten Wi einnen uns an Gleichung II aus Abschnitt 1: 4π g t tan accos l 1U F Duch Zusammenfügen alle Ekenntnisse und Messwete und Einsetzen, folgt nun: 4π g 0,170m 0,170m tan accos 9,44 m s ( 1,34s) 0,47m

8 --- Lotfi & Reuschel. Bestimmung de Natukonstante g Fehlebetachtung, Auswetung und Ausblick Die Genauigkeit des bestimmten Wetes fü g beechnet sich aus den Genauigkeiten mit de die einzelnen Messwete angegeben weden können. Vewendete Faustfomeln de Fehleechnung Weden Messwete addiet, so weden ihe jeweiligen absoluten Fehle ebenfalls addiet, um die Genauigkeit de Summe des Messwetes zu ehalten. Weden Messwete multipliziet, so weden ihe jeweiligen elativen Fehle addiet, um die Genauigkeit des Poduktes de Messwete zu bestimmen. In de nachfolgenden Tabelle weden die eingeschätzten absoluten Fehle fü alle Messwete angegeben. Ein kuze Kommenta in de ditten Spalte gibt Aufschluss übe die Günde fü die jeweilige Ungenauigkeit. Göße / Einheit abs. Fehle el. Fehle Bemekungen s / m +/- 0,00m +/- 0,8% goße Genauigkeit duch mehfaches genaues Ablesen b / m +/- 0,00m +/- 0,409% goße Genauigkeit duch mehfaches genaues Ablesen D / m +/- 0,01m +/- 1,36% ungenau, da die Masse wähend de Messung ständig in Bewegung wa l F / m +/- 0,005m +/- 1,06% ungenau da sich de Faden je nach Belastung etwas spannte t U1 / s +/- 0,001s +/- 7, % Mittelwet aus 10 Messungen / m +/- 0,430m +/- 1,98% beechnet aus s, b, D Sofen die Winkelfunktionen, die in de Gleichung II zu Beechnung von g heangezogen weden, bei de Fehleechnung venachlässig weden, folgt aus de Tabelle ein elative Fehle von etwa +/- 5,% fü den aus den Messweten beechneten Wet fü die Natukonstante g. Das entspicht einem absoluten Fehle von +/- 0,49 m/s. Das Egebnis eine eneuten Duchfühung des Vesuches sollte also in dem Intevall 8,95 m/s bis 9,93 m/s liegen. Einige de Methoden, mit denen gemessen wude, könnten ückblickend optimiet weden bzw. könnten Fehle enthalten: 1) Anstelle von Nähgan könnte z. B. Nylon als Mateial fü den Faden gewählt weden, damit sich de Faden bei geinge Belastung wenige stak dehnt. ) Die Vemessung de Stecke D wa duch die Vewendung von Keide an eine Tafel noch echt ungenau. In de Schule stehen alledings kaum Mittel zu Vefügung, um eine genauee Messung duchzufühen. Geingee Fehle ließen sich evtl. duch den Einsatz computegesteuete Lase ode optisch aktiven Obeflächen ezielen. 3) Es wid angenommen, dass sich die Masse konstante Geschwindigkeit auf eine gleichfömigen Keisbahn bewegte. Kleinste Abweichungen können die Messung beeinflussen, wenn in Pojektionsichtung gesehen kein Keis sonden eine Ellipse voliegt. Diese Fehlequelle ist alledings ielevant, solange D mit Tafel und Keide gemessen wid. 4) Bei de Vemessung sämtliche Stecken wude nach Augenmaß angelegt. Auch dies ist ein Gund fü die teilweise elativ hoch eingeschätzten absoluten Fehle. 5) Nach dem Bilden eines Mittelwetes wid von eine echt hohen Genauigkeit de von Cassy geliefeten Messwete angenommen. Dies ist alledings nicht bewiesen.