2.1 Kinematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie. 2. Kreisbewegung. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1

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1 2.1 inematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie 2. reisbewegung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-1

2 2.1 inematik Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit: Für den auf einer reisbahn zurückgelegten Weg gilt: s t =R t Dabei muss der Winkel im Bogenmaß angegeben werden. Die Bahngeschwindigkeit ist definiert durch v B t = ds dt t =ṡ t =R t R φ P s Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-2

3 2.1 inematik Die zeitliche Ableitung des Winkels wird als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet: t = t Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1/s. Zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit besteht also die Beziehung v B t = t R Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-3

4 2.1 inematik Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung: Die Bahnbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Bahngeschwindigkeit: a B t = v B t = s t =R t Die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet: t = t Zwischen Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung besteht die Beziehung a B t =R t Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-4

5 2.1 inematik Geschwindigkeitsvektor: Für die Ortskoordinaten eines Punktes auf der reisbahn gilt: y x t =R cos t y t =R sin t Die Ortskoordinaten sind die omponenten des Ortsvektors: y(t) R φ x(t) x r t =[ x t ] y t = [ R cos t ] R sin t Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-5

6 2.1 inematik Für den Betrag des Ortsvektors gilt: r t = x 2 t y 2 t = R 2 cos 2 t R 2 sin 2 t =R Der Geschwindigkeitsvektor ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors: v t =ṙ t =[ ẋ t ] ẏ t = [ R t sin t ] R t cos t =R t [ sin t ] cos t [ sin t ] =v B t cos t Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-6

7 2.1 inematik Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht auf dem Ortsvektor und damit tangential zur reisbahn. y v v B sin φ φ v B cos φ Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit: R sin φ r φ R cos φ x v t = v B 2 t sin 2 t v B 2 t cos 2 t = v B t Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-7

8 Beschleunigungsvektor: 2.1 inematik Der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors: a t = v t = d [ dt v sin t B t [ sin t ] [ = v B t cos t v B t [ sin t =a B t =a T t a Z t cos t ] cos t ] v B t t [ t cos t ] t sin t cos t ] sin t Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-8

9 2.1 inematik Der Beschleunigungsvektor setzt sich zusammen aus dem Vektor a T der Tangentialbeschleunigung und dem Vektor a Z der Zentripetalbeschleunigung. Tangentialbeschleunigung: Der Vektor der Tangentialbeschleunigung ist parallel zum Geschwindigkeitsvektor. Sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahnbeschleunigung. Der Vektor der Tangentialbeschleunigung beschreibt die Änderung des Betrags des Geschwindigkeitsvektors. Bei einer reisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit verschwindet der Vektor der Tangentialbeschleunigung. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-9

10 2.1 inematik Zentripetalbeschleunigung: Für den Betrag des Vektors der Zentripetalbeschleunigung gilt: a Z = a Z = v B = 2 R= v 2 B R a Z a T Der Vektor der Zentripetalbeschleunigung ist entgegengesetzt zum Ortsvektor gerichtet. Der Vektor der Zentripetalbeschleunigung beschreibt die Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

11 2.2 Momentensatz Drehung um einen festen Punkt Massenträgheitsmomente Allgemeine ebene Bewegung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

12 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Betrachtet wird ein starrer örper, der sich in der xy-ebene um den ortsfesten Drehpunkt D dreht. Gesucht wird der Zusammenhang zwischen den räften und Momenten im Punkt D und der Winkelgeschwindigkeit des örpers. M D y y D y D ω dm D x x dz dt x Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

13 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Dynamisches Gleichgewicht Die Trägheitskraft am Massenelement dm setzt sich zusammen aus einer omponente dz infolge der Zentripetalbeschleunigung und einer omponente dt infolge der Tangentialbeschleunigung: d Z = a Z dm= 2[ x y] dm= [ dz x dz y] d T = a T dm= [ y x ] dm= [ dt x dt y] Die Trägheitskraft infolge der Zentripetalbeschleunigung wird als Zentrifugalkraft bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

14 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt räftegleichgewicht: F x =0 : D x 2 F y =0 : D y 2 x dm y dm y dm=0 x dm=0 D x = 2 x dm y dm, D y = 2 y dm x dm Wenn sich der örper um seinen Schwerpunkt dreht, dann verschwinden die Integrale. Die im Punkt D angreifenden räfte sind dann Null. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

15 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Folgerung: Bei örpern, die sich mit großer Winkelgeschwindigkeit drehen, sollte der Schwerpunkt auf der Drehachse liegen. Liegt der Schwerpunkt nicht auf der Drehachse, so spricht man von statischer Unwucht. Ist ein Rad statisch ausgewuchtet, so ist es in jeder Lage im statischen Gleichgewicht. Ist ein Rad nicht statisch ausgewuchtet, dann gibt es nur eine stabile Gleichgewichtslage. In der stabilen Gleichgewichtslage liegt der Drehpunkt oberhalb des Schwerpunkts auf der Wirkungslinie der Gewichtskraft. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

16 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Momentengleichgewicht um die Drehachse: Die Wirkungslinien der Zentrifugalkräfte aller Massenelemente schneiden die Drehachse. Die Zentrifugalkräfte erzeugen daher kein Moment um die Drehachse. Damit lautet das Momentengleichgewicht: M D z =0 : M Dz M Dz = Massenträgheitsmoment: y dt x y 2 dm x dt y =0 x 2 dm = x 2 y 2 dm J Dz = x 2 y 2 dm= r 2 dm M Dz =J Dz Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

17 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Momentengleichgewicht um die übrigen Achsen: z ω z dm dz D y y dt x x Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

18 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt M D x =0 : M Dx M D y =0 : M Dy Zentrifugalmomente: z dz y z dt y =0 M Dx = 2 z dz x z dt x =0 M Dy = 2 z y dm z x dm z x dm z y dm J Dzy = J Dzx = zy dm zx dm M Dx =J Dxz J Dzy 2 M Dy =J Dyz J Dzx 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

19 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Momentensatz: M Dx = J Dxz 2 J Dyz M Dy = J Dyz 2 J Dxz M Dz = J Dz Das Moment M Dz um die Drehachse verursacht eine Winkelbeschleunigung. Die Momente M Dx und M Dy sind auch bei konstanter Winkelgeschwindigkeit von Null verschieden. Sie sind notwendig, um die Drehachse in ihrer Richtung zu halten, wenn die Zentrifugalmomente nicht Null sind. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

20 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Dieser Effekt wird als dynamische Unwucht bezeichnet. Damit ein rotierender örper dynamisch ausgewuchtet ist, müssen die Zentrifugalmomente Null sein. Ob ein örper dynamisch ausgewuchtet ist, lässt sich nicht durch einen statischen Versuch überprüfen. Bei einem um die Drehachse rotationssymmetrischen örper sind die Zentrifugalmomente Null. Ebenso sind die Zentrifugalmomente Null, wenn der örper symmetrisch bezüglich der xy-ebene ist. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

21 2.2.1 Drehung um einen festen Punkt Rotationssymmetrie: Symmetrie bezüglich xy- Ebene y y dz z z ω dz dz -x ω -y x x -z S x dz x Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

22 2.2.2 Massenträgheitsmomente Beispiel: Homogene reisscheibe y Dicke h da=2 r dr, dm= h da dr R S r x J Sz = h A =2 h[ r 4 r 2 da=2 h r 3 dr R 4 ]0 = 1 2 R 0 h R4 da = 1 2 m R2 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

23 2.2.2 Massenträgheitsmomente Zusammengesetzte örper: Für elementare örper sind die Massenträgheitsmomente bezüglich ihres Schwerpunkts tabelliert. Das Massenträgheitsmoment eines aus elementaren örpern zusammengesetzten örpers lässt sich durch Addition der Massenträgheitsmomente der einzelnen örper ermitteln. Dabei ist darauf zu achten, dass alle Massenträgheitsmomente mit dem Satz von Steiner auf den gemeinsamen Schwerpunkt umgerechnet werden. Der Satz von Steiner lässt sich genauso herleiten wie bei den Flächenträgheitsmomenten. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

24 2.2.2 Massenträgheitsmomente Satz von Steiner: z z S J Az = J Sz x 2 S y 2 S m J Azx = J Sxz x S z S m J Azy = J Szy y S z S m S m A x S x y S y Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

25 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung Die allgemeine ebene Bewegung eines starren örpers setzt sich zusammen aus einer ebenen Bewegung seines Schwerpunkts und einer Drehbewegung um den Schwerpunkt. Sie wird beschrieben durch den Schwerpunktsatz und den Momentensatz bezüglich des Schwerpunkts: m ẍ S = F x m ÿ S = F y J S = M Sz Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

26 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung Beispiel: ugel auf schiefer Ebene Gegeben: Homogene ugel mit Masse m und Radius r Winkel α μ 0, μ m r α Haftreibungskoeffizient μ 0 und Gleitreibungskoeffizient μ Gesucht: Beschleunigung des Schwerpunkts und Winkelbeschleunigung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

27 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung räfte an der freigeschnittenen ugel: Schwerpunktsatz: m ẍ S = R m g sin y φ 0=N m g cos Momentensatz: S r J S =r R x R α v S Massenträgheitsmoment (aus Formelsammlung): N G J S = 2 5 m r 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

28 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung Für das Weitere muss unterschieden werden, ob die ugel rollt oder gleitet. Wenn die ugel rollt, gilt die Rollbedingung: v S =ẋ S =r = ẍ S r Damit folgt aus dem Momentensatz: R= J S r = J S r 2 ẍ S Einsetzen in den Schwerpunktsatz in x-richtung führt auf m ẍ S =m g sin J S r 2 ẍ S Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

29 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung Daraus folgt für die Beschleunigung des Schwerpunkts: ẍ S = g sin 1 J S m r 2 Damit die ugel rollt, muss Haften vorliegen. Die Haftreibungskraft berechnet sich zu H =R= J S r 2 Haften ist möglich für = g sin 1 2 = 5 7 g sin 5 ẍ S= 2 5 m 5 7 g sin = 2 7 m g sin H = 2 7 m g sin 0 N = 0 m g cos tan Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

30 2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung 2 Für rutscht die ugel. Dann liegt Gleitreibung 7 tan 0 vor, d.h. R= N = m g cos Der Schwerpunktsatz in x-richtung lautet: m ẍ S =m g sin cos ẍ S =g sin cos Der Momentensatz lautet: 2 5 m r 2 =r m g cos = 5 2 g r cos Beim Rutschen sind Schwerpunktbeschleunigung und Winkelbeschleunigung nicht durch die Rollbedingung gekoppelt. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

31 2.3 Arbeit und Energie Drehung um einen festen Punkt Allgemeine ebene Bewegung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

32 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt Arbeitssatz: Für einen örper, der sich in der xy-ebene um einen ortsfesten Drehpunkt D dreht, lautet der Momentensatz: J Dz =M Dz Integration über den Winkel φ ergibt: B J Dz A B d = A M Dz d Das Integral auf der rechten Seite ist die Arbeit des äußeren Moments: M Dz d =W AB B A Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

33 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt Für das Integral auf der linken Seite folgt: B J Dz A B d =J Dz A d d d dt B d =J Dz d = 1 A 2 J Dz 2 B A2 Die Größe E = 1 2 J Dz 2 ist die kinetische Energie des örpers aufgrund seiner Drehbewegung. Arbeitssatz der Drehbewegung: E B E A =W AB Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

34 Beispiel: Drehung um einen festen Punkt Auf einer homogenen Scheibe der Masse m 2 ist ein Seil aufgewickelt. An dem Seil hängt über eine masselose Rolle die Masse m 1. Das System ist anfangs in Ruhe. m 2 R Gesucht ist die Geschwindigkeit der Masse m 1 in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg. m 1 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

35 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt Der Weg x der Masse m 1 und der Winkel φ der Masse m 2 werden ab der Ruhelage gemessen. inetische Energie: m 2 A φ Ruhelage: E 0 =0 Ausgelenkte Lage: Mit gilt: J A = 1 2 m 2 R 2 E x = 1 2 J A m 1 ẋ 2 E x = m 2 R 2 2 m 1 ẋ 2 x m 1 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

36 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt Arbeit der äußeren räfte: Die einzige äußere raft, die Arbeit verrichtet, ist die Gewichtskraft. Die Gewichtskraft ist eine konservative raft. Die von ihr verrichtete Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien berechnet werden. Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird die Ruhelage gewählt. Dann gilt für die Lageenergie in der Ruhelage und in der ausgelenkten Lage: E G 0 =0, E G x = m 1 g x Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

37 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt inematik: Die Rolle rollt mit der Winkelgeschwindigkeit ω r am rechten Seilstück ab. Ist r der Radius der Rolle, dann gilt R=v r r A φ ωr und Daraus folgt: R=2 v 0=v r r = =2 ẋ R ωr v P Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

38 2.3.1 Drehung um einen festen Punkt Energieerhaltungssatz: E x E x G =E 0 E 0 G m 2r 2 2 m 1 ẋ 2 m 1 g x=0 1 2 m 2 r 2 2 ẋ r 2 m 1 ẋ 2 =2 m 1 g x 2 m 2 m 1 ẋ 2 =2 m 1 g x v=ẋ= 2 m 1 g x 2m 2 m 1 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

39 2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung Bei einer allgemeinen ebenen Bewegung eines starren örpers ist seine kinetische Energie gleich der Summe der kinetischen Energie der Bewegung des Schwerpunkts und der kinetischen Energie der Drehbewegung um den Schwerpunkt: E = 1 2 m v 2 S 1 2 J S 2 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

40 2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung Beispiel: Rollende ugel z ω 0 r m v 0 Aufgabenstellung: Eine homogene ugel mit Masse m und Radius r rollt einen Abhang hinunter. Ihr Schwerpunkt hat die Anfangsgeschwindigkeit v 0. Gesucht ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der vom Schwerpunkt zurückgelegten Höhendifferenz z. Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

41 2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung Massenträgheitsmoment der ugel: J S = 2 5 m r 2 Rollbedingung: v r=0 = v r räfte auf die freigeschnittene ugel: Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet daher keine Arbeit. Die von der Gewichtskraft G verrichtete Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien berechnet werden. N S G Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

42 2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung Lageenergie: Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird der Ausgangspunkt gewählt. Dann gilt: E 0 G =0, E G z = m g z inetische Energie: E 0 = 1 2 m v r = 1 2 m v v 0 E z = 7 10 m v2 z 2 = 7 10 m v 2 0 Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

43 2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung Damit lautet der Energieerhaltungssatz: 7 10 m v2 z mg z= 7 10 m v 2 0 Daraus folgt für die Geschwindigkeit: v 2 z =v g z v z = v g z Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM

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