Skalenniveaus =,!=, >, <, +, -

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Skalenniveaus =,!=, >, <, +, -"

Transkript

1 ZUSAMMENHANGSMAßE

2 Skalenniveaus Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala =,!= =,!=, >, < =,!=, >, <, +, - =,!=, >, <, +, -, *, / Kardinalskala Bemerkungen: Das Skalenniveau ist eine wichtige Eigenschaft von Merkmalen (Variablen). Das Skalenniveau bestimmt die mathematische und logische Operationen, die zulässig sind. Operationen, die bei Variablen eines bestimmten Skalenniveaus zulässig sind, können auch auf Variablen aller höheren Skalenniveaus durchgeführt werden.

3 Korrelation Eine Korrelation beschreibt eine Beziehung zwischen zwei (mehreren) Merkmalen. Eine Korrelation als Maß des Zusammenhangs soll drei Fragen klären: Existiert ein Zusammenhang überhaupt? Wie stark ist der Zusammenhang? Falls möglich, welche Richtung hat der Zusammenhang?

4 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

5 Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Welcher Koeffizient benutze ich, wenn die Variablen von verschiedenen Skalenniveaus sind? Regel: Man benutzt immer den Koeffizient, der für das niedrigere Skalenniveau erlaubt ist.

6 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

7 Kovarianz Variable X Variable Y (Zielvariable) i Alter Gehalt Kovarianz S xy 1 n n i1 ( x i x)( y i y) Stichprobe vom Umfang n Arithmetischer Mittelwert der Variablen X _ 1 x n n i1 x i

8 Kovarianz i Alter Gehalt _ 1 8 Berechnung: x x i y y i S xy 1 7 n i1 ( x i )( y i1 i ) _ 1 8 i Wie kann ich den Wert interpretieren? Normierung? Kovarianz

9 Arithmetischer Mittelwert von X Arithmetischer Mittelwert von Y Kovarianz

10 Korrelationskoeffizient nach Pearson i Alter Gehalt Korrelationskoeffizient Kovarianz s xy Standardabweichung von X s x var( x) 1 var( x) n 1 n i1 ( x i _ x) 2 s x. s y

11 Korrelationskoeffizient nach Pearson Wie kann ich den Wert interpretieren? 1. Wertebereich: Eine lineare Zusammenhang ist Voraussetzung.? Wert Zusammenhang (Korrelation) 0 kein schwach mittel stark 1.0 exakt auf einer Geraden

12 s xy 0, 0

13 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

14 Korrelationskoeffizient nach Spearman s Note RN Note P Bindungen sind Beobachtungen, die denselben Rang haben. Student Student Note RN RANG Note P3 RANG d d^ , ,25 d i x i y i ,5 0,5 0, ,5 2 6, , , , ,5 1 2, ,5 2 6, ,5 1 2,5 4 16

15 Korrelationskoeffizient nach Spearman s s s ( n 6. 1 i1 6*59 1 7*8*9 n d 2 i 1). n.( n 0,2976 Wie kann ich den Wert interpretieren? 1) 1. Wertebereich Eine lineare Zusammenhang ist nicht vorausgesetzt. 3. Aber der Zusammenhang muss monoton sein. 4. Die o.e. Formel ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. 5. Sollten Bindungen existieren, ist besser den Korrelationskoeff. mit den Rängen rechnen. s

16 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

17 nominalskaliert Kontingenzkoeffizient Variable X i Geschlecht Frau Frau Frau Frau Mann Mann Frau Mann Variable Y Ausbildung Haupt schule Hoch schule Haupt schule Gymnasium Gymnasium Hoch schule Hoch schule Hoch schule ordinalskaliert Kontingenztabelle (Kreuztabelle)

18 Absolute Häufigkeit h11 Gymnasium Hauptschule Hochschule Frau Mann Zeilensumme/ Randhäufigkeit 1 / / / / / / Spaltensumme/ Randhäufigkeit Erwartete Häufigkeit he32=(3*4)/8 zeilensumme * spaltensumme h i e ij stichprobenumfang j

19 Chi2-Koeffizient 2 k m i1 j1 ( h ij h e h ij e ij ) 2 i=1,..,k j=1,..,m Wie kann ich den Wert interpretieren? Die Aussagekraft des χ2-koeffizienten ist gering. 0 <= Chi2-Koeffizient <= n*min{k 1,m 1} Der Chi2-Koeffizient verdoppelt sich durch die Verdoppelung des Stichprobenumfangs (Abhängigkeit von n) Diese Abhängigkeit begründet den Normierungsschritt zum Kontingenzkoeffizienten K

20 Kontingenzkoeffizient K 2 2 n K liegt im Wertebereich zwischen [0, 1 ), also abhängig von der Anzahl Spalten und Zeilen: min1 K [0, ] min, min=min( k, m ) Wie kann ich den Wert interpretieren? Um zusätzlich zum Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Obergrenze des Koeffizienten auszuschalten wird der korrigierte Kontingenzkoeffizient

21 Korrigierter Kontingenzkoeffizient min K *.K min1 Wie kann ich den Wert interpretieren? min=min( k, m ) Es gilt 0 K* 1 Über K* kann eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zwischen den Merkmalen X und Y aber nicht über die Richtung der Wirkung gemacht werden.

1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3... n x n y n

1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3... n x n y n 3.2. Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare von Merkmalsausprägungen (x, y) Beispiele:

Mehr

Statistik I für Statistiker, Mathematiker und Informatiker Lösungen zu Blatt 6 Gerhard Tutz, Jan Ulbricht WS 05/06.

Statistik I für Statistiker, Mathematiker und Informatiker Lösungen zu Blatt 6 Gerhard Tutz, Jan Ulbricht WS 05/06. Statistik I für Statistiker, Mathematiker und Informatiker Lösungen zu Blatt Gerhard Tutz, Jan Ulbricht WS 05/0 Lösung Aufgabe 4 Notation: X: Rauchen, Y : chronische Bronchitis S X {ja, nein} {a 1, a },

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Korrelationsanalysen Kreuztabellen und χ²-test Themen Korrelation oder Lineare Regression? Korrelationsanalysen - Pearson, Spearman-Rang, Kendall s Tau

Mehr

Deskriptive Statistik Lösungen zu Blatt 5 Christian Heumann, Susanne Konrath SS Lösung Aufgabe 27. f X Y (a i b j ) = f i j = f ij f j

Deskriptive Statistik Lösungen zu Blatt 5 Christian Heumann, Susanne Konrath SS Lösung Aufgabe 27. f X Y (a i b j ) = f i j = f ij f j 1 Deskriptive Statistik Lösungen zu Blatt 5 Christian Heumann, Susanne Konrath SS 2011 Lösung Aufgabe 27 (a) Notation: X: Rauchen, Y : chronische Bronchitis S X {ja, nein} {a 1, a 2 }, S Y {ja, nein} {b

Mehr

Lösungen zur Klausur zur Statistik Übung am

Lösungen zur Klausur zur Statistik Übung am Lösungen zur Klausur zur Statistik Übung am 28.06.2013 Fabian Kleine Staatswissenschaftliche Fakultät Aufgabe 1 Gegeben sei die folgende geordneten Urliste des Merkmals Y. 30 Punkte Y : 5 5 5 5 10 10 10

Mehr

Karl Entacher. FH-Salzburg

Karl Entacher. FH-Salzburg Ahorn Versteinert Bernhard.Zimmer@fh-salzburg.ac.at Statistik @ HTK Karl Entacher FH-Salzburg karl.entacher@fh-salzburg.ac.at Beispiel 3 Gegeben sind 241 NIR Spektren (Vektoren der Länge 223) zu Holzproben

Mehr

5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge

5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge 132 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen 137 5.1.1 Kontingenztabellen 137 Verteilungen

Mehr

Bivariate Verteilungen [bivariate data]

Bivariate Verteilungen [bivariate data] Bivariate Verteilungen [bivariate data] Zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet, d.h. an jedem Objekt i werden zwei Merkmale beobachtet. Beobachtungswerte sind Paare/Kombinationen von Merkmalsausprägungen

Mehr

Zusammenhangsanalyse mit SPSS. Messung der Intensität und/oder der Richtung des Zusammenhangs zwischen 2 oder mehr Variablen

Zusammenhangsanalyse mit SPSS. Messung der Intensität und/oder der Richtung des Zusammenhangs zwischen 2 oder mehr Variablen - nominal, ordinal, metrisch In SPSS: - Einfache -> Mittelwerte vergleichen -> Einfaktorielle - Mehrfaktorielle -> Allgemeines lineares Modell -> Univariat In SPSS: -> Nichtparametrische Tests -> K unabhängige

Mehr

Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik

Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik Sitzung 4 Bivariate Deskription Heinz Leitgöb in Vertretung von Katrin Auspurg Sommersemester 2015 04.05.2015 Überblick 1. Kontingenztabellen 2. Assoziationsmaße

Mehr

Statistik. Jan Müller

Statistik. Jan Müller Statistik Jan Müller Skalenniveau Nominalskala: Diese Skala basiert auf einem Satz von qualitativen Attributen. Es existiert kein Kriterium, nach dem die Punkte einer nominal skalierten Variablen anzuordnen

Mehr

Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik Markus Wirtz, Christof Nachtigall Deskriptive Statistik 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Statistische

Mehr

Eigene MC-Fragen (Teil II) "Kap. 9 Zusammenhangsmaße

Eigene MC-Fragen (Teil II) Kap. 9 Zusammenhangsmaße Eigene MC-Fragen (Teil II) "Kap. 9 Zusammenhangsmaße 1. Kreuze die richtige Aussage an! positiv sind, ist r stets identisch mit s xy. negativ sind, ist r stets identisch mit s xy. positiv sind, ist das

Mehr

Grundlagen der empirischen Sozialforschung

Grundlagen der empirischen Sozialforschung Grundlagen der empirischen Sozialforschung Sitzung 11 - Datenanalyseverfahren Jan Finsel Lehrstuhl für empirische Sozialforschung Prof. Dr. Petra Stein 5. Januar 2009 1 / 22 Online-Materialien Die Materialien

Mehr

Bivariater Zusammenhang in der Vierfeldertafel PEΣO

Bivariater Zusammenhang in der Vierfeldertafel PEΣO Bivariater Zusammenhang in der Vierfeldertafel PEΣO 12. Oktober 2001 Zusammenhang zweier Variablen und bivariate Häufigkeitsverteilung Die Bivariate Häufigkeitsverteilung gibt Auskunft darüber, wie zwei

Mehr

htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK

htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK htw saar 2 Grundbegriffe htw saar 3 Grundgesamtheit und Stichprobe Ziel: Über eine Grundgesamtheit (Population) soll eine Aussage über ein

Mehr

Bivariate Zusammenhänge

Bivariate Zusammenhänge Bivariate Zusammenhänge Tabellenanalyse: Kreuztabellierung und Kontingenzanalyse Philosophische Fakultät Institut für Soziologie Berufsverläufe und Berufserfolg von Hochschulabsolventen Dozent: Mike Kühne

Mehr

Es können keine oder mehrere Antworten richtig sein. Eine Frage ist NUR dann richtig beantwortet, wenn ALLE richtigen Antworten angekreuzt wurden.

Es können keine oder mehrere Antworten richtig sein. Eine Frage ist NUR dann richtig beantwortet, wenn ALLE richtigen Antworten angekreuzt wurden. Teil III: Statistik Alle Fragen sind zu beantworten. Es können keine oder mehrere Antworten richtig sein. Eine Frage ist NUR dann richtig beantwortet, wenn ALLE richtigen Antworten angekreuzt wurden. Wird

Mehr

Zusammenhangsanalyse in Kontingenztabellen

Zusammenhangsanalyse in Kontingenztabellen Zusammenhangsanalyse in Kontingenztabellen Bisher: Tabellarische / graphische Präsentation Jetzt: Maßzahlen für Stärke des Zusammenhangs zwischen X und Y. Chancen und relative Chancen Zunächst 2 2 - Kontingenztafel

Mehr

2. Zusammenhangsmaße

2. Zusammenhangsmaße 2. Zusammenhangsmaße Signifikante χ²-werte von Kreuztabellen weisen auf die Existenz von Zusammenhängen zwischen den zwei untersuchten Variablen X und Y hin. Für die Interpretation interessieren jedoch

Mehr

Modul G.1 WS 07/08: Statistik

Modul G.1 WS 07/08: Statistik Modul G.1 WS 07/08: Statistik 10.01.2008 1 2 Test Anwendungen Der 2 Test ist eine Klasse von Verfahren für Nominaldaten, wobei die Verteilung der beobachteten Häufigkeiten auf zwei mehrfach gestufte Variablen

Mehr

Statistik I. 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt

Statistik I. 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt Statistik I 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, 11.02.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................

Mehr

Eigene MC-Fragen SPSS. 1. Zutreffend auf die Datenerfassung und Datenaufbereitung in SPSS ist

Eigene MC-Fragen SPSS. 1. Zutreffend auf die Datenerfassung und Datenaufbereitung in SPSS ist Eigene MC-Fragen SPSS 1. Zutreffend auf die Datenerfassung und Datenaufbereitung in SPSS ist [a] In der Variablenansicht werden für die betrachteten Merkmale SPSS Variablen definiert. [b] Das Daten-Editor-Fenster

Mehr

Wiederholung Statistik I. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8

Wiederholung Statistik I. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8 Wiederholung Statistik I Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8 Konstanten und Variablen Konstante: Merkmal hat nur eine Ausprägung Variable: Merkmal kann mehrere Ausprägungen annehmen Statistik

Mehr

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskription, Statistische Testverfahren und Regression Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: beschreibende Statistik, empirische

Mehr

Einführung in die Korrelationsrechnung

Einführung in die Korrelationsrechnung Einführung in die Korrelationsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Korrelationsrechnung

Mehr

Lösungen zur deskriptiven Statistik

Lösungen zur deskriptiven Statistik Lösungen zur deskriptiven Statistik Aufgabe 1. Bei einer Stichprobe von n = Studenten wurden folgende jährliche Ausgaben (in e) für Urlaubszwecke ermittelt. 1 58 5 35 6 8 1 6 55 4 47 56 48 1 6 115 8 5

Mehr

Grundkurs Statistik für Politologen und Soziologen

Grundkurs Statistik für Politologen und Soziologen Grundkurs Statistik für Politologen und Soziologen Bearbeitet von Uwe W Gehring, Cornelia Weins 5., überarbeitete Auflage 2010. Buch. 345 S. Softcover ISBN 978 3 531 16269 0 Format (B x L): 14,8 x 21 cm

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Über dieses Buch Zum Inhalt dieses Buches Danksagung Zur Relevanz der Statistik...

Inhaltsverzeichnis. 1 Über dieses Buch Zum Inhalt dieses Buches Danksagung Zur Relevanz der Statistik... Inhaltsverzeichnis 1 Über dieses Buch... 11 1.1 Zum Inhalt dieses Buches... 13 1.2 Danksagung... 15 2 Zur Relevanz der Statistik... 17 2.1 Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, bei einer positiven

Mehr

absolute Häufigkeit h: Anzahl einer bestimmten Note relative Häufigkeit r: Anzahl einer bestimmten Note, gemessen an der Gesamtzahl der Noten

absolute Häufigkeit h: Anzahl einer bestimmten Note relative Häufigkeit r: Anzahl einer bestimmten Note, gemessen an der Gesamtzahl der Noten Statistik Eine Aufgabe der Statistik ist es, Datenmengen zusammenzufassen und darzustellen. Man verwendet dazu bestimmte Kennzahlen und wertet Stichproben aus, um zu Aussagen bzw. Prognosen über die Gesamtheit

Mehr

Bivariate Analyse: Gemeinsame (bivariate) Häufigkeitstabelle. Sie wird auch Kontingenz-, Assoziations- oder Korrelationstabelle (f b )genannt.

Bivariate Analyse: Gemeinsame (bivariate) Häufigkeitstabelle. Sie wird auch Kontingenz-, Assoziations- oder Korrelationstabelle (f b )genannt. Bivariate Analyse: Tabellarische Darstellung: Gemeinsame (bivariate) Häufigkeitstabelle. Sie wird auch Kontingenz-, Assoziations- oder Korrelationstabelle (f b )genannt. Beispiel: Häufigkeitsverteilung

Mehr

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Empirische Softwaretechnik Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 1 Experiment zur Vererbungstiefe Softwaretechnik: die Vererbungstiefe ist kein guter Schätzer für den Wartungsaufwand

Mehr

Bitte am PC mit Windows anmelden!

Bitte am PC mit Windows anmelden! Einführung in SPSS Plan für heute: Grundlagen/ Vorwissen für SPSS Vergleich der Übungsaufgaben Einführung in SPSS http://weknowmemes.com/generator/uploads/generated/g1374774654830726655.jpg Standardnormalverteilung

Mehr

Ermitteln Sie auf 2 Dezimalstellen genau die folgenden Kenngrößen der bivariaten Verteilung der Merkmale Weite und Zeit:

Ermitteln Sie auf 2 Dezimalstellen genau die folgenden Kenngrößen der bivariaten Verteilung der Merkmale Weite und Zeit: 1. Welche der folgenden Kenngrößen, Statistiken bzw. Grafiken sind zur Beschreibung der Werteverteilung des Merkmals Konfessionszugehörigkeit sinnvoll einsetzbar? A. Der Modalwert. B. Der Median. C. Das

Mehr

5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln

5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 5 Assoziationsmessung in Kontingenztafeln 51 Multivariate Merkmale 51 Multivariate Merkmale Gerade in der Soziologie ist die Analyse eindimensionaler Merkmale nur der allererste Schritt zur Beschreibung

Mehr

Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren

Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren Parametrische Verfahren haben die Besonderheit, dass sie auf Annahmen zur Verteilung der Messwerte in der Population beruhen: die Messwerte sollten einer

Mehr

Günther Bourier. Beschreibende Statistik. Praxisorientierte Einführung - Mit. Aufgaben und Lösungen. 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage

Günther Bourier. Beschreibende Statistik. Praxisorientierte Einführung - Mit. Aufgaben und Lösungen. 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage i Günther Bourier Beschreibende Statistik Praxisorientierte Einführung - Mit Aufgaben und Lösungen 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Einführung

Mehr

Was sind Zusammenhangsmaße?

Was sind Zusammenhangsmaße? Was sind Zusammenhangsmaße? Zusammenhangsmaße beschreiben einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen Beispiele für Zusammenhänge: Arbeiter wählen häufiger die SPD als andere Gruppen Hochgebildete vertreten

Mehr

Statistik II. Lineare Regressionsrechnung. Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II

Statistik II. Lineare Regressionsrechnung. Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II Statistik II Lineare Regressionsrechnung Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II - 09.06.2006 1 Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können wir den statistischen

Mehr

Musterlösung zur Aufgabensammlung Statistik I Teil 3

Musterlösung zur Aufgabensammlung Statistik I Teil 3 Musterlösung zur Aufgabensammlung Statistik I Teil 3 2008, Malte Wissmann 1 Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen Nominale, Ordinale Merkmale und Mischungen Aufgabe 12 a) x\ y 1.Klasse 2.Klasse 3.Klasse

Mehr

Assoziation & Korrelation

Assoziation & Korrelation Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von 2 Merkmalen stellt sich die Frage, ob es Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den

Mehr

Eigene MC-Fragen SPSS

Eigene MC-Fragen SPSS Eigene MC-Fragen SPSS 1. Welche Spalte ist in der Variablenansicht unbedingt festzulegen? [a] Variablenlabel [b] Skala [c] Name [d] Typ [e] Wertelabel 2. Wie heißt das Standardfenster von SPSS? [a] Dialogfenster

Mehr

Kapitel 5 Wichtige Maßzahlen für den Zusammenhang zwischen Merkmalen

Kapitel 5 Wichtige Maßzahlen für den Zusammenhang zwischen Merkmalen Kapitel 5 Wichtige Maßzahlen für den Zusammenhang zwischen Merkmalen 5.1 Darstellung der Verteilung zweidimensionaler Merkmale 5.2 Maßzahlen für den Zusammenhang zweier nominaler Merkmale 5.3 Maßzahlen

Mehr

1. Datei Informationen

1. Datei Informationen 1. Datei Informationen Datei vorbereiten (Daten, Variablen, Bezeichnungen und Skalentypen) > Datei Dateiinformation anzeigen Arbeitsdatei 2. Häufigkeiten Analysieren Deskriptive Statistik Häufigkeiten

Mehr

Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen

Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen 14. Oktober 2006 Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienkennzahl: Beispiel 1: Kreuze die jeweils richtige Antwort an (maximal 6 Punkte) 1.1. Bei einer rechtsschiefen

Mehr

Klausurvorbereitung - Statistik

Klausurvorbereitung - Statistik Aufgabe 1 Klausurvorbereitung - Statistik Studenten der Politikwissenschaft der Johannes Gutenberg-Universität wurden befragt, seit wie vielen Semestern sie eingeschrieben sind. Berechnen Sie für die folgenden

Mehr

Wichtige statistische Koeffizienten und Formeln

Wichtige statistische Koeffizienten und Formeln Wichtige statistische Koeffizienten und Formeln Felix Baumann Skalenniveau Art des Koeffizienten Koeffizient Formel (ab) ominalskala: (Unterscheidung nach Gleichheit/Ungleichheit; jeder Ausprägung eine

Mehr

Bivariate Regressionsanalyse

Bivariate Regressionsanalyse Universität Bielefeld 15. März 2005 Kovarianz, Korrelation und Regression Kovarianz, Korrelation und Regression Ausgangspunkt ist folgende Datenmatrix: Variablen 1 2... NI 1 x 11 x 12... x 1k 2 x 21 x

Mehr

Statistik I. Zusammenfassung und wichtiges zur Prüfungsvorbereitung. Malte Wissmann. 9. Dezember Universität Basel.

Statistik I. Zusammenfassung und wichtiges zur Prüfungsvorbereitung. Malte Wissmann. 9. Dezember Universität Basel. Zusammenfassung und wichtiges zur Prüfungsvorbereitung 9. Dezember 2008 Begriffe Kenntnis der wichtigen Begriffe und Unterscheidung dieser. Beispiele: Merkmal, Merkmalsraum, etc. Skalierung: Nominal etc

Mehr

Einige Grundbegriffe der Statistik

Einige Grundbegriffe der Statistik Einige Grundbegriffe der Statistik 1 Überblick Das Gesamtbild (Ineichen & Stocker, 1996) 1. Ziehen einer Stichprobe Grundgesamtheit 2. Aufbereiten der Stichprobe (deskriptive Statistik) 3. Rückschluss

Mehr

Assoziation & Korrelation

Assoziation & Korrelation Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von Merkmalen stellt sich die Frage, ob es Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den

Mehr

I.3. Computergestützte Methoden 1. Deskriptive Statistik. Master of Science Prof. Dr. G. H. Franke WS 2009/ 2010

I.3. Computergestützte Methoden 1. Deskriptive Statistik. Master of Science Prof. Dr. G. H. Franke WS 2009/ 2010 I.3. Computergestützte Methoden 1. Deskriptive Statistik Master of Science Prof. Dr. G. H. Franke WS 2009/ 2010 1 Seminarübersicht Nr. Thema 1 Deskriptive Statistik 1.1 Organisation und Darstellung von

Mehr

Statistische Grundlagen I

Statistische Grundlagen I Statistische Grundlagen I Arten der Statistik Zusammenfassung und Darstellung von Daten Beschäftigt sich mit der Untersuchung u. Beschreibung von Gesamtheiten oder Teilmengen von Gesamtheiten durch z.b.

Mehr

Stichwortverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen

Stichwortverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen Stichwortverzeichnis Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden - Beispiele - Anwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch):

Mehr

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2013

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2013 Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2013 1. Welche Aussage zur Statistik (in den Sozialwissenschaften) sind richtig? (2 Punkte) ( ) Statistik ist die Lehre von Methoden

Mehr

Charakterisierung der Daten: Sind es genug? Sind alle notwendig? Was ist naturgegeben, was von Menschen beeinflusst (beeinflussbar)?

Charakterisierung der Daten: Sind es genug? Sind alle notwendig? Was ist naturgegeben, was von Menschen beeinflusst (beeinflussbar)? 3 Beschreibende Statistik 3.1. Daten, Datentypen, Skalen Daten Datum, Daten (data) das Gegebene Fragen über Daten Datenerhebung: Was wurde gemessen, erfragt? Warum? Wie wurden die Daten erhalten? Versuchsplanung:

Mehr

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl

Mehr

Deskriptive Statistik Winfried Zinn

Deskriptive Statistik Winfried Zinn Deskriptive Statistik Winfried Zinn Inhalte Statistik 1 1. Themenblock: Grundlagen der beschreibenden Statistik: Skalenniveaus Häufigkeitsverteilungen Mittelwerte (Lagemaße) Standardabweichung und Varianzen

Mehr

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 04.06.2013 Zweidimensionale Datensätze 1. Kontingenztabelle

Mehr

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2011

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2011 Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Sommersemester 2011 Es können von den Antworten alle, mehrere oder keine Antwort(en) richtig sein. Nur bei einer korrekten Antwort (ohne Auslassungen

Mehr

1.5 Berechnung von Rangzahlen

1.5 Berechnung von Rangzahlen 1.5 Berechnung von Rangzahlen Bei vielen nichtparametrischen Verfahren spielen die so genannten Rangzahlen eine wesentliche Rolle, denn über diese werden hier die Prüfgrößen berechnet. Dies steht im Gegensatz

Mehr

fh management, communication & it Constantin von Craushaar fh-management, communication & it Statistik Angewandte Statistik

fh management, communication & it Constantin von Craushaar fh-management, communication & it Statistik Angewandte Statistik fh management, communication & it Folie 1 Überblick Grundlagen (Testvoraussetzungen) Mittelwertvergleiche (t-test,..) Nichtparametrische Tests Korrelationen Regressionsanalyse... Folie 2 Überblick... Varianzanalyse

Mehr

3. Lektion: Deskriptive Statistik

3. Lektion: Deskriptive Statistik Seite 1 von 5 3. Lektion: Deskriptive Statistik Ziel dieser Lektion: Du kennst die verschiedenen Methoden der deskriptiven Statistik und weißt, welche davon für Deine Daten passen. Inhalt: 3.1 Deskriptive

Mehr

3.1 Zusammenhang zwischen einem qualitativen und einem quantitativen Merkmal

3.1 Zusammenhang zwischen einem qualitativen und einem quantitativen Merkmal Kapitel 3 Bivariate Analyse In Kapitel 2 haben wir gesehen, wie man ein Merkmal auswertet. Mit Hilfe statistischer Verfahren kann man aber auch untersuchen, ob zwischen mehreren Merkmalen Abhängigkeiten

Mehr

Assoziation & Korrelation

Assoziation & Korrelation Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von 2 Merkmalen stellt sich die Frage, ob es systematische Zusammenhänge oder Abhängigkeiten

Mehr

Grundlagen empirischer Forschung. Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2009/10

Grundlagen empirischer Forschung. Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2009/10 Grundlagen empirischer Forschung Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2009/0 Grundlagen Vorbereitung einer empirischen Studie Allgemeine Beschreibung des zu untersuchenden Phänomens Literaturstudien Erkundigungen

Mehr

STATISTIK FÜR STATISTIK-AGNOSTIKER Teil 1 (wie mich)

STATISTIK FÜR STATISTIK-AGNOSTIKER Teil 1 (wie mich) WS 07/08-1 STATISTIK FÜR STATISTIK-AGNOSTIKER Teil 1 (wie mich) Nur die erlernbaren Fakten, keine Hintergrundinfos über empirische Forschung etc. (und ich übernehme keine Garantie) Bei der Auswertung von

Mehr

Statistik. Ronald Balestra CH St. Peter

Statistik. Ronald Balestra CH St. Peter Statistik Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Statistik 1 1.1 Beschreibende Statistik....................... 1 1.2 Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen...........

Mehr

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Wintersemester 2011/2012

Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Wintersemester 2011/2012 Einführung in die Statistik für Politikwissenschaftler Wintersemester 2011/2012 Es können von den Antwortmöglichkeiten alle, mehrere, eine oder keine Antwort(en) richtig sein. Nur bei einer korrekten Antwort

Mehr

3 Bivariate Deskription und Exploration von Daten

3 Bivariate Deskription und Exploration von Daten 3 Bivariate Deskription und Exploration von Daten In diesem Kapitel werden Methoden zur Darstellung der gemeinsamen Verteilung von zwei (oder mehreren) verschiedenen Merkmalen behandelt. Von besonderer

Mehr

Daten, Datentypen, Skalen

Daten, Datentypen, Skalen Bildung kommt von Bildschirm und nicht von Buch, sonst hieße es ja Buchung. Daten, Datentypen, Skalen [main types of data; levels of measurement] Die Umsetzung sozialwissenschaftlicher Forschungsvorhaben

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 26.02.2008 1 Warum Statistik und Wahrscheinlichkeits rechnung im Ingenieurwesen? Zusammenfassung der letzten Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik 1. Deskriptive Statistik 2. Induktive Statistik 1. Deskriptive Statistik 1.0 Grundbegriffe 1.1 Skalenniveaus 1.2 Empirische Verteilungen 1.3 Mittelwerte 1.4 Streuungsmaße 1.0

Mehr

5. Lektion: Einfache Signifikanztests

5. Lektion: Einfache Signifikanztests Seite 1 von 7 5. Lektion: Einfache Signifikanztests Ziel dieser Lektion: Du ordnest Deinen Fragestellungen und Hypothesen die passenden einfachen Signifikanztests zu. Inhalt: 5.1 Zwei kategoriale Variablen

Mehr

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik VL MMS Wintersemester 2013/14 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas; J. Pfeffer Ziele und Inhalt Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen

Mehr

Skalenniveau Grundlegende Konzepte

Skalenniveau Grundlegende Konzepte Skalenniveau Grundlegende Konzepte M E R K M A L / V A R I A B L E, M E R K M A L S A U S P R Ä G U N G / W E R T, C O D I E R U N G, D A T E N - M A T R I X, Q U A N T I T A T I V E S M E R K M A L, Q

Mehr

1 Einleitung und Grundlagen 1

1 Einleitung und Grundlagen 1 Inhaltsverzeichnis Vorwort vii 1 Einleitung und Grundlagen 1 1.1 Einführende Beispiele 1 1.2 Statistischer Prozess 2 1.3 Grundlagen 2 1.4 Unterscheidung von Merkmalen 3 1.4.1 Skalenniveaus 3 1.4.2 Stetige

Mehr

Bivariate Verteilungen

Bivariate Verteilungen Bivariate Verteilungen Tabellarische Darstellung: Bivariate Tabellen entstehen durch Kreuztabulation zweier Variablen. Beispiel: X Y Student(in) Herkunft Fakultät 0001 Europa Jura 000 Nicht-Europa Medizin

Mehr

Statistik für das Psychologiestudium

Statistik für das Psychologiestudium Dieter Rasch / Klaus D. Kubinger Statistik für das Psychologiestudium Mit Softwareunterstützung zur Planung und Auswertung von Untersuchungen sowie zu sequentiellen Verfahren ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER

Mehr

3.2 Bivariate Verteilungen

3.2 Bivariate Verteilungen 3.2 Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt i, i = 1,..., n, werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare/Kombinationen von

Mehr

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Peter von der Lippe Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Weitere Übungsfragen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz Mit UVK/Lucius München UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz und München

Mehr

Lineare Korrelation. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.143

Lineare Korrelation. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.143 Lineare Korrelation Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.143 Produkt-Moment-Korrelation Der Produkt-Moment-Korrelationskoffizient r von Pearson ist ein Zusammenhangsmaß für metrische Variablen

Mehr

Der Korrelationskoezient nach Pearson

Der Korrelationskoezient nach Pearson Der Korrelationskoezient nach Pearson 1 Motivation In der Statistik werden wir uns häug mit empirisch erfassten Daten beschäftigen. Um diese auszuwerten, ist es oftmals notwendig einen Zusammenhang zwischen

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik Grundlagen der Statistik Übung 2 2010 FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe

Mehr

JOACHIM BEHNKE / NINA BAUR / NATHALIE BEHNKE. Empirische Methoden der Politikwissenschaft

JOACHIM BEHNKE / NINA BAUR / NATHALIE BEHNKE. Empirische Methoden der Politikwissenschaft JOACHIM BEHNKE / NINA BAUR / NATHALIE BEHNKE Empirische Methoden der Politikwissenschaft 1 Einleitung 13 2 Methoden im empirischen Forschungsprozess 17 2.1 Methoden und wissenschaftliche Theorie 17 2.2

Mehr

Kontingenzkoeffizient (nach Pearson)

Kontingenzkoeffizient (nach Pearson) Assoziationsmaß für zwei nominale Merkmale misst die Unabhängigkeit zweier Merkmale gibt keine Richtung eines Zusammenhanges an 46 o jl beobachtete Häufigkeiten der Kombination von Merkmalsausprägungen

Mehr

Angewandte Statistik 3. Semester

Angewandte Statistik 3. Semester Angewandte Statistik 3. Semester Übung 5 Grundlagen der Statistik Übersicht Semester 1 Einführung ins SPSS Auswertung im SPSS anhand eines Beispieles Häufigkeitsauswertungen Grafiken Statistische Grundlagen

Mehr

V a r i a b l e X x 1 x 2 x 3 x 4 Σ y y y Σ Variable Y. V a r i a b l e X

V a r i a b l e X x 1 x 2 x 3 x 4 Σ y y y Σ Variable Y. V a r i a b l e X Ausgangsüberlegung: Verschiedene Kontingenztabellen bei gleicher Randverteilung und gleichem Stichprobenumfang n sind möglich. Beispiel: Variable Y V a r i a b l e X x 1 x x 3 x 4 Σ y 1 60 60 y 0 0 y 3

Mehr

Methoden der Klassifikation und ihre mathematischen Grundlagen

Methoden der Klassifikation und ihre mathematischen Grundlagen Methoden der Klassifikation und ihre mathematischen Grundlagen Mengenlehre und Logik A B "Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung

Mehr

Statistik I. Sommersemester 2009

Statistik I. Sommersemester 2009 I Sommersemester 2009 I χ 2 =?!? Nächste Woche: Maße für ordinale, nominal/intervallskalierte und intervallskalierte Daten I Zum Nachlesen Agresti/Finlay: Kapitel 8.1-8.4 Gehring/Weins: Kapitel 7.1 Schumann:

Mehr

Einführung in die Statistik mit R

Einführung in die Statistik mit R Einführung in die Statistik mit R Bernd Weiler syntegris information solutions GmbH Neu Isenburg Schlüsselworte Statistik, R Einleitung Es ist seit längerer Zeit möglich statistische Berechnungen mit der

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3. Vorlesung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalte der heutigen Vorlesung Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Im ersten

Mehr

Statistik II: Grundlagen und Definitionen der Statistik

Statistik II: Grundlagen und Definitionen der Statistik Medien Institut : Grundlagen und Definitionen der Statistik Dr. Andreas Vlašić Medien Institut (0621) 52 67 44 vlasic@medien-institut.de Gliederung 1. Hintergrund: Entstehung der Statistik 2. Grundlagen

Mehr

Klausur vom

Klausur vom UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Stochastik Wintersemester 00/0 Klausur vom 09.06.0 Aufgabe (++4=9 Punkte) Bei einer Umfrage wurden n Personen befragt, an wievielen Tagen

Mehr

Assoziation & Korrelation

Assoziation & Korrelation Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei gleichzeitiger Beobachtung von 2 Merkmalen für jeden Merkmalsträger stellt sich auch im Bereich der deskriptiven

Mehr

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik VL MMS Wintersemester 2014/15 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas; J. Pfeffer Ziele und Inhalt Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen

Mehr

THEMA: ZUSAMMENHANGSANALYSEN FÜR KATEGORIALE VARIABLEN " TORSTEN SCHOLZ

THEMA: ZUSAMMENHANGSANALYSEN FÜR KATEGORIALE VARIABLEN  TORSTEN SCHOLZ W THEMA: ZUSAMMENHANGSANALYSEN FÜR KATEGORIALE VARIABLEN " TORSTEN SCHOLZ HERZLICH WILLKOMMEN BEI W Moderation Anne K. Bogner-Hamleh SAS Institute GmbH Education Consultant Training Dr. Torsten Scholz

Mehr

Statistik I. Sommersemester 2009

Statistik I. Sommersemester 2009 I Sommersemester 2009 I Wiederholung/Einführung χ 2 =?!? I Wiederholung/Einführung χ 2 =?!? Nächste Woche: Maße für ordinale, nominal/intervallskalierte und intervallskalierte Daten I Zum Nachlesen Agresti/Finlay:

Mehr

Einführung in SPSS. Sitzung 4: Bivariate Zusammenhänge. Knut Wenzig. 27. Januar 2005

Einführung in SPSS. Sitzung 4: Bivariate Zusammenhänge. Knut Wenzig. 27. Januar 2005 Sitzung 4: Bivariate Zusammenhänge 27. Januar 2005 Inhalt der letzten Sitzung Übung: ein Index Umgang mit missing values Berechnung eines Indexes Inhalt der letzten Sitzung Übung: ein Index Umgang mit

Mehr

Vorläufige Musterlösungen (Stand: 21. März 2013) zur Klausur zu. Modul 2 im BSc-Studiengang Psychologie. apl. Prof. Dr. H.-J.

Vorläufige Musterlösungen (Stand: 21. März 2013) zur Klausur zu. Modul 2 im BSc-Studiengang Psychologie. apl. Prof. Dr. H.-J. LOTSE Vorläufige Musterlösungen (Stand: 21. März 2013) zur Klausur zu Modul 2 im BSc-Studiengang Psychologie Termin: 5. März 2013, 14.00-18.00 Uhr apl. Prof. Dr. H.-J. Mittag Dr. H.-G. Sonnenberg; Prof.

Mehr