Kondensator und Kapazität

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1 Kondensator und Kapazität Martin Schlup 4. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1. Kapazität 2 2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität Parallelschaltung Serieschaltung Teilkapazitäten Energiegehalt eines Kondensators 6 4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen Verhalten bei harmonischer Anregung Schaltvorgänge A. Exponentialfunktion 10 A.1. Exponentielles Abklingen A.2. Exponentielles Einschwingen A.3. Messtechnische Bestimmung der Parameter X und τ

2 1. Kapazität Elektrische Ladung kann auf Elektroden gespeichert werden. Am einfachsten stellt man sich das an Hand von zwei parallel ausgerichteten, voneinander isolierten, leitenden Platten, sogenannte Plattenelektroden vor. Durch Ladungstrennung nimmt eine der Platten positive und die andere negative Ladung auf. Abbildung 1: Kondensator mit parallelen Plattenelektroden Im Allgemeinen befindet sich auf jeder Elektrode betragsmässig die selbe Ladung aber mit umgekehrten Vorzeichen so, dass die Gesamtladung in der Anordnung Null beträgt. Da die Elektroden voneinander isoliert sind, bleiben die positive und die negative Ladung auch getrennt. Dabei ist eine elektrische Spannung U zwischen den Elektroden vorhanden. Diese Spannung nimmt mit zunehmender Ladung und mit zunehmendem Elektrodenabstand zu. 1. Kapazität Untersucht man den Zusammenhang zwischen der Ladung Q und der Spannung U, so stellt man fest, dass im Allgemeinen Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses Verhältnis wird Kapazität des Elektrodenanordnung genannt: C = Q U (1) Die Kapazität (Englisch: capacitance) ist eine Eigenschaft von jeder Elektrodenanordnung und des Isolationsmaterials dazwischen. Die Kapazität hat folgende Einheit: [C] = AsV 1 = F (Farad 1 ). 1 nach Michael Faraday ( ) 2

3 1. Kapazität Übliche Grössenordnungen: Pufferkondensatoren mf bis F (und mehr bei Supercaps ) Glättungskondensatoren µf (micro 10 6 ) Filterkondensatoren nf (nano 10 9 ) Leitungen, Eingang Messgeräte pf (pico ) Anordnungen von zwei Elektroden welche eine bestimmte Kapazität aufweisen sollen, bezeichnet man als Kondensatoren (Englisch: capacitor). Dabei spielt es keine Rolle ob die Elektroden Platten sind oder nicht. Kondensatoren werden zum Beispiel auch mit aufgerollten Leiterfolien realisiert. Die Kapazität hängt nur von der Geometrie der Elektroden und vom dazwischen liegenden Isolationsmaterial, dem sogenannten Dielektrikum, ab. Die Kapazität nimmt mit der Elektrodenfläche zu und mit dem Elektrodenabstand ab. Das Einfügen eines Dielektrikums in den Elektrodenzwischenraum erhöht die Kapazität. Für den idealen Plattenkondensator kann die Kapazität mit der Formel (2) bestimmt werden : C = ɛ r ɛ 0 A l = ɛ A l (2) Legende: A Elektrodenfläche in m 2 l Elektrodenabstand in m ɛ 0 elektrische Feldkonstante, ɛ F/m ɛ r (relative) Permeabilitätszahl, einheitslos ɛ = ɛ r ɛ 0 Dielektrizitätszahl Bemerkung: Bei speziellen Dielektrika bei denen die Dielektrizitätszahl von der angelegten Spannung abhängt 2, ist auch die Kapazität von der Spannung abhängig. In diesem Fall ist die gespeicherte Ladung nicht mehr proportional zur Spannung. Beispiel: Kapazität einer Zweidrahtleitung (ohne Herleitung) Zwei parallele Drähte der Länge l mit Abstand a und Drahtdurchmesser d besitzen für l a, d folgenden Kapazitätsbelag (Kapazität pro Längeneinheit in F/m): C = C l = ( ln a/d + π ɛ (a/d) 2 1 ) (3) ist zudem d a, so gilt Ende Beispiel Zweidrahtleitung C π ɛ ln (2 a/d) 2 unter anderem bei Schichtkondensatoren vom Typ 2-Keramik HDK 3

4 2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität 2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität Bei zusammengeschalteten Kondensatoren kann ganz analog zu den Widerständen eine Ersatzkapazität bestimmt werden. Damit lassen sich einige Probleme vereinfacht angehen Parallelschaltung Über parallelgeschaltete Kondensatoren liegt die selbe Spannung U. Die insgesamt gespeicherte Ladung ist die Summe der in den einzelnen Kondensatoren gespeicherten Ladungen: Q = Q 1 + Q 2 Abbildung 2: Parallelschaltung zweier Kondensatoren und äquivalente Ersatzkapazität mit Q 1 = C 1 U und Q 2 = C 2 U C = Q U = Q 1 + Q 2 U = (C 1 + C 2 ) U U C = C 1 + C 2 (4) Die Gleichung (4) kann auf mehrere parallel geschaltete Kondensatoren erweitert werden Serieschaltung Auf in Serie geschalteten Kondensatoren befindet sich die gleiche Ladung Q. Die Spannung über der ganzen Schaltung ist die Summe der über den einzelnen Kondensatoren liegenden Spannungen: U = U 1 + U 2 Abbildung 3: Serieschaltung zweier Kondensatoren und äquivalente Ersatzkapazität 4

5 2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität mit U 1 = Q C 1 und U 2 = Q C 2 1 C = U Q = U 1 + U 2 Q = Q/C 1 + Q/C 2 Q 1 C = 1 C C 2 (5) Die Gleichung (5) kann auf mehrere in Serie geschaltete Kondensatoren erweitert werden. Beispiel: Kapazitiver Spannungsteiler Die Schaltung nach Abb. 3 ist ein kapazitiver Spannungsteiler. Um bei gegebenen Kapazitäten und der Gesamtspannung U z. B. die Spannung U 1 zu berechnen, kann mit der Bestimmung der Ersatzkapazität die Ladung Q einfach bestimmt werden: Ende Beispiel Spannungsteiler 2.3. Teilkapazitäten U 1 = Q C 1 = C U C 1 = 1 U = 1/C 1 + 1/C 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 U Sind mehr als zwei Elektroden vorhanden, so können Kapazitäten, sogenannte Teilkapazitäten, zwischen sämtlichen Elektroden definiert werden (siehe Abb. 4): Abbildung 4: Anordung mit drei Elektroden (z. B. Zweidrahtleitung gegenüber Grund) Teilkapazitäten werden hier mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Für die Ladungen gilt hier Q 1 + Q 2 + Q 0 = 0. c 12 = Q 12 U 12 = Q 12 ϕ 1 ϕ 2 c 10 = Q 10 U 10 = Q 10 ϕ 1 ϕ 0 c 20 = Q 20 U 20 = Q 20 ϕ 2 ϕ 0 Die Teilkapazitäten (mit Kleinbuchstaben bezeichnet) können nicht direkt gemessen werden. Misst man z. B. die (gesamte) Kapazität C 12 zwischen den Elektroden (1) und (2), so erhält 5

6 3. Energiegehalt eines Kondensators man nicht c 12, sondern die Parallelschaltung von c 12 mit der Serieschaltung von c 10 und c 20 (in diesem Fall ist Q 2 = Q 1 und somit Q 20 = Q 10 ): C 12 = Q 1 1 = c 12 + = c 12 + c 10 c 20 = c 12 c 10 + c 12 c 20 + c 10 c 20 U 12 1/c /c 20 c 10 + c 20 c 10 + c 20 Es gelten analoge Formeln für die Kapazitäten C 10 und C Energiegehalt eines Kondensators Die Zunahme der in einem Kondensator gespeicherten elektrischen Energie kann aus dem Energiefluss (Leistung) an den Klemmen (Pole) und dem Ladungserhaltungssatz berechnet werden: dw = p(t) = u(t) i(t) = u(t) dq Die infinitesimale Energiezunahme dw entspricht dem Produkt des momentanen Werts u(t) der Spannung mit der infinitesimalen Veränderung dq der Ladung. Diese Beziehung ist allgemeingültig und gilt auch bei nicht-proportionalität zwischen u(t) und q(t). Die insgesamt bei der Spannung U, bzw. bei der Ladung Q gespeicherte elektrische Energie kann aus der Summe (Integral) der einzelnen Beiträge dw bestimmt werden. Dabei muss natürlich berücksichtigt werden, dass der Spannungswert u(t) von der Ladung q(t) abhängt. Bei Proportionalität ergibt sich: daraus ergibt sich W = dw = Q 0 u(t) dq = 1 C Q 0 q dq = 1 2 W = 1 2 Q U = 1 2 C U 2 (6) Q 2 C Bemerkungen: Die gespeicherte elektrische Energie ist proportional zum Quadrat der herrschenden Spannung. Dieses Ergebnis gilt für beliebige Kondensatoren, die eine spannungsunabhängige Kapazität aufweisen (lineare Bauelemente). In Anwesenheit von dielektrischen Materialien mit grossen Permittivitätszahlen ist die Kapazität meistens nicht unabhängig von der Spannung. In diesem Fall kann das Integral nicht geschlossen gelöst werden und das obige Endergebnis gilt nicht mehr. Das Ergebnis ist unabhängig von der der Art und Weise wie die Ladung im Kondensator aufgebaut wurde, d. h. unabhängig von ihrer Entstehungsgeschichte. Insbesondere ist es unabhängig von der Zeit die benötigt wurde, um diese Ladung (bzw. das elektrische Feld) aufzubauen. 6

7 4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen 4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen Der ideale Kondensator besitzt ausschliesslich die Eigenschaft der Kapazität welche den Proportionalitätsfaktor zwischen der Ladung q(t) und der Spannung u(t) nach der Definitionsgleichung (1) beschreibt. Das Verhältnis ist also zu jedem Zeitpunkt das selbe: C = q(t) u(t) Mit dem Gesetz der Ladungserhaltung 3 erhält man folgende grundlegende (differentielle) Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke, sofern die Kapazität unabhängig von der Spannung ist: Bemerkungen: i(t) = dq(t) = d (C u(t)) i(t) = C du(t) = C du(t) Die obige Abbildung zwischen u(t) und i(t) ist linear, da die Bildung der Ableitung eine lineare Operation ist. Diese Eigenschaft ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf der Spannung u(t)! (7) Die Stromstärke ist proportional zur (momentanen) Spannungsänderung. Kausaler Zusammenhang: Damit sich an den Klemmen eines idealen Kondensators die Spannung ändert, muss ein Strom fliessen. Ein unstetiger Spannungsverlauf, bzw. ein Sprung im zeitlichen Verlauf der Spannung u(t), würde eine unendlich grosse Stromstärke voraussetzen, was physikalisch unmöglich ist. Die Spannung über einem (idealen) Kondensator kann nicht springen. Hängt die Kapazität von der Spannung ab, so gilt (Kettenregel): i = dq = dq du du = d (Cu) ( ) du dc du du = du u + C 3 Die Ladung auf dem Kondensator muss durch einen Strom zugeführt werden. 7

8 4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen 4.1. Verhalten bei harmonischer Anregung Bei einer harmonischen Anregung z. B. mit der sinusförmigen Spannung u(t) = Û sin(ωt) fliesst gemäss Gleichung (7) auch ein sinusförmiger Strom im idealen (linearen) Kondensator 4 : i(t) = C du(t) = ωcû cos(ωt) = Î cos(ωt) Das Verhältnis der Amplitude des Stromstärke zur Amplitude der Spannung ist frequenzabhängig und beträgt Y = Î Û = ωc Z = Û Î = 1 ωc Das Verhältnis (8) wird Admittanz oder Scheinleitwert Y genannt. Das reziproke Verhältnis (9) wird Impedanz oder Scheinwiderstand Z genannt. Zeitlich eilt der Strom der Spannung um π/2 voraus Schaltvorgänge Das Schalten 5 eines idealen Kondensators kann anhand folgender Schaltung untersucht werden: (8) (9) Abbildung 5: Prinzipschaltung für das Auf- und Entladen eines Kondensators Die konstante Quellenspannung wurde mit U bezeichnet, um hervorzuheben, dass sich dieser Wert nach langer Zeit am Kondensator einstellen wird. Zum Zeitpunkt t = 0 s wird der Schalter geschlossen. Unmittelbar vor dem Umschalten soll die Spannung über dem Kondensator u(0) betragen (Anfangsbedingung 6 ). Letztere kann beliebige Werte annehmen. Da die Spannung über einem Kondensator nicht springen kann, hat sie unmittelbar nach dem Umschalten denselben Wert wie davor. Für das Entladen des Kondensators wird die Quellenspannung U = 0 V gesetzt. Dabei wird vorausgesetzt, dass beim Schliessen des Schalters der Kondensator die Anfangsspannung u(0) = U 0 0 aufweist. 4 Bei Schaltungen mit linearen Bauelementen werden bei harmonischer Anregung nach einer transienten Phase (Übergangs-, Einschwingphase) alle Spannungs- und Stromstärkeverläufe ebenfalls harmonisch sein. 5 Dabei wird ganz allgemein das Ein- und Ausschalten, bzw. Auf- oder Entladen des Kondensators gemeint. 6 Die Anfangsbedingung gibt (indirekt) an, welche Energie ursprünglich im Kondensator enthalten war: W (0) = C u(0) 2 /2. 8

9 4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen Nach dem Schliessen des Schalters liefert der Maschensatz für die Schaltung aus Abb. 5 zusammen mit Gleichung (7): R i(t) + u(t) = U RC du(t) + u(t) = U Mit der Zeitkonstante τ = R C kann diese Gleichung in normierter Form wie folgt geschrieben werden: τ du(t) + u(t) = U (10) Damit diese Gleichung 7 eine eindeutige Lösung hat, muss noch die Anfangsbedingung u(0) = U 0 gegeben sein. Die Kombination einer Differentialgleichung mit Anfangsbedingung wird Angfangswertproblem genannt. Dieses hat hier folgende allgemeine und eindeutige Lösung: ( ) u(t) = U 0 + (U U 0 ) 1 exp( t/τ) ) = U (1 exp( t/τ) + U 0 exp( t/τ) für t 0 (11) Daraus kann durch Ableitung nach der Zeit der Stromverlauf berechnet werden: Bemerkungen: i(t) = C du(t) = C 1 τ ( U + U 0 ) exp( t/τ) = U U 0 R exp( t/τ) (12) Beide Lösungen für u(t) und i(t) nach Gl. (11) und (12) bestehen aus zwei Teilen: die erzwungene und die freie Antwort. Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsprinzip: das Laden bei anfänglich ungeladenem Kondensator und das Entladen können getrennt voneinander betrachtet werden (siehe die beiden nächsten Punkte): Für den Sonderfall eines anfänglich ungeladenen Kondensators ergibt sich mit U 0 = 0: ) u(t) = U (1 exp( t/τ) i(t) = U R exp( t/τ) Für den Sonderfall der Entladung ergibt sich mit U = 0 und U 0 0: u(t) = U 0 exp( t/τ) i(t) = U 0 R exp( t/τ) Der Anfangswert der Stromstärke nach dem Schliessen des Schalters macht einen Sprung nach i(0) = U 0 /R. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Strom entgegen der in der Abb. 5 eingetragenen Bezugsrichtung fliesst. Die Lade- oder Entladezeit, bzw. die Geschwindigkeit mit welcher die Exponentialfunktion asymptotisch zu ihrem Endwert strebt, hängt nur von der Zeitkonstante τ = R C ab. Zum erreichen des Endzustands wird in der Praxis die Zeit 5 τ angegeben. Nach dieser Zeitspanne ist der Endwert bis zu einem Rest von e = 0.7% der Differenz Start- zu Endwert erreicht. 7 Es handelt sich hier um eine lineare, nicht-homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die gesuchte Lösung dieser Differentialgleichung ist die Funktion u(t). 9

10 A. Exponentialfunktion A. Exponentialfunktion Folgende Exponentialfunktionen sind charakteristisch für manche Modelle von einfachen Ausgleichsvorgängen. Der Funktionsverlauf ist von zwei Parametern abhängig: vom Anfangswert x(0) = X und von der Zeitkonstante τ. A.1. Exponentielles Abklingen x(t) = X 0 exp( t/τ) (13) Abbildung 6: Abklingende Exponentialfunktion in normierter Darstellung Eigenschaften Anfangswert: x(0) = X 0 0 Endwert: x( ) = 0 Wert bei t = τ: x(τ) = X 0 e X 0 (ca. 37% von X 0 ) Wert bei t = 5τ: x(5τ) = X 0 e 5 < X 0 (< 1% von X 0 ) Ableitung nach t: Anfangswertproblem: dx(t) τ dx(t) = X 0 τ exp( t/τ) = x(t) τ + x(t) = 0 mit x(0) = X 0 10

11 A. Exponentialfunktion A.2. Exponentielles Einschwingen ) x(t) = X (1 exp( t/τ) (14) Abbildung 7: Exponentielles Einschwingen in normierter Darstellung Eigenschaften Anfangswert: x(0) = 0 Endwert: x( ) = X Wert bei t = τ: x(τ) = X (1 e 1 ) 0.63 X (ca. 63% von X ) Wert bei t = 5τ: x(5τ) = X (1 e 5 ) > X (> 99% von X ) Ableitung nach t: Anfangswertproblem: dx(t) τ dx(t) = X τ exp( t/τ) = X x(t) τ + x(t) = X mit x(0) = 0 A.3. Messtechnische Bestimmung der Parameter X und τ Ein Signal mit exponentiellem Verlauf erreicht seinen Endwert X innerhalb einer Restabweichung von weniger als 1% der anfänglichen Abweichung nach einer Zeit von 5 mal die Zeitkonstante τ. Bei einer Messdauer grösser als 5 τ kann also in der Praxis der Endwert direkt gemessen werden. Meistens ist aber die Messdauer kürzer als 5 τ. In diesem Fall können Endwert und Zeitkonstante dennoch graphisch ermittelt werden. Dafür müssen n Messwerte x k in gleichmässigen Zeitintervallen T vorliegen: x k = x(t = kt ) mit k = 0, 1, 2,..., n 1 Bei einer Exponentialfunktion kann die Differenz von zwei aufeinander folgenden Messwerten mit der Gleichung (11) bestimmt werden (x k+1 u(t), U 0 x k, U X, t T ): ( ) x k+1 = x k + (X x k ) 1 exp( T/τ) ( ) x k+1 x k = (X x k ) 1 exp( T/τ) x k+1 x k X x k = 1 exp( T/τ) = konst. 11

12 A. Exponentialfunktion Bedeutung: Das Verhältnis der Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden äquidistanten Werten zur Restabweichung zum Endwert, ist konstant. Dieser Sachverhalt erlaubt es, wie in der Abb. 8 graphisch dargestellt, eine Gerade ( angelehnte Leiter ) zu konstrurieren mit welcher der Endwert X ermittelt werden kann. Diese Konstruktion ermöglicht es auch eventuelle Messunsicherheiten auszumitteln! Abbildung 8: Graphische Ermittlung der Parameter einer Exponentialfunktion rot: Konstruktion Endwert, grün: Konstruktion Zeitkonstante Lässt sich aus den Messpunkten diese Gerade nicht konstruieren, so ist das ein Zeichen dafür, dass die Funktion keine Exponentialfunktion ist, oder dass zuwenig Stützwerte mit zuviel Messunsicherhheiten behaftet sind. Die Zeitkonstante τ kann in einem zweiten Schritt mittels der 63% des Endwerts -Regel bestimmt werden. Das Bestimmen der Zeitkonstante durch Legen einer Tangente an die Exponentialfunktion beim Ursprung ist nicht zu empfehlen, da das Verfahren zu ungenau ist. 12