Wahrscheinlichkeitsrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wahrscheinlichkeitsrechnung"

Transkript

1 Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Grundbegri e Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Ereignisbäume

2 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung siehe L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Kapitel II,1-3, pp , Vieweg und Teubner, 6. Auflage, Wiesbaden Kombinatorik Slide 271 Urnenmodell Ziehen (aus einer Urne ) ohne Zurücklegen Beispiel: Lottozahlen 49 verschiedene Kugeln, je 1mal Ziehen mit Zurücklegen Beispiel: Spiel 77 etc. (jede Zi er kann mehrmals vorkommen) 9(10?) Kugeln, je 1mal Slide 272 Definition: Stichprobe Die zufällige Entnahme von k Kugeln heißt in der Statistik Stichprobe vom Umfang k. Sie heißt geordnet, wenndiereihenfolgederentnahme berücksichtigt wird. Sie heißt ungeordnet, wenn die Reihenfolge der Entnahme nicht berücksichtigt wird. Urnenmodell Beispiel! + Wahrscheinlichkeit, dass 1. Kugel schwarz: 4 7 (Aus- mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz: 4 7 gangssituation ) =) Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen:

3 ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass 2. Kugel schwarz: 1 2 (Ausgangssituation ) =) Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln zu ziehen: 4 14 Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander mehrere unabhängige Ereignisse zu erhalten, ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten Slide 273 Permutationen Auf wie viele Arten kann ich drei verschiedenfarbige Kugeln anordnen? allgemein: Anordnungsmöglichkeitenvon n verschiedenfarbigen Kugeln: 1. Kugel: n Möglichkeiten 2. Kugel: (n 1) Möglichkeiten usw. n. (letzte) Kugel: 1 Möglichkeit Insgesamt: Die Zahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen, P (n), ist P (n) =n (n 1) (n 2)...2 1=n! Slide 274 Permutationen Befinden sich unter den n Kugeln n 1 gleiche (z. B. n 1 schwarze Kugeln), fallen alle Anordnungen zusammen, die sich durch Vertauschungen der gleichen Kugeln ergeben (also n 1! Anordnungen sind nicht voneinander unterscheidbar). Dann gilt o enbar P (n; n 1 )= P (n) P (n 1 ) = n! n 1! 126

4 Analog kann man zeigen, dass die Zahl der Permutationen von n Kugeln, unter denen sich jeweils n 1,n 2,...,n k gleiche Kugeln befinden, gegeben ist durch P (n; n 1,n 2,...,n k )= n! n 1! n 2!... n k! = n! kq n i! i=1 Slide 275 Permutationen z.b. n =4,davonje2weißeund2schwarze P (n) = 4! 2! 2! = =6 2 2 Slide 276 Kombinationen aus einer Urne mit n verschiedenen Elementen werden nacheinander k Elemente gezogen. In beliebiger Reihenfolge angeordnet bilden sie dann eine Kombination k-ter Ordnung Die Anzahl der Kombinationen hängt davon ab, ob die Ziehung mit oder ohne Zurücklegen erfolgt. z.b.: Die Lottozahlen sind eine Kombination 6-ter Ordnung mit n =49 ohne Zurücklegen Slide

5 Kombinationen Definition: Kombinationen Die Ziehung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit von n Kugeln) ohnezurücklegen heißt Kombination k- ter Ordnung ohne Wiederholung. Die Anzahl der Kombinationen beträgt n C(n; k) = (k apple n) k Zieht man k aus n Kugeln mit Zurücklegen, so heisst eine Realisierung Kombination k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Kombinationen beträgt n + k 1 C W (n; k) = (k 0) k Slide 278 Binomialkoe zienten =!! ( )! Slide 279 Variationen 128

6 Definition: Variationen Die Anordnung von k Kugeln (aus einer Grundgesamtheit von n Kugeln) in der Reihenfolge ihrer Ziehung und ohne Zurücklegen heißt Variation k-ter Ordnung ohne Wiederholung. Die Anzahl der Variationen beträgt V (n; k) = n! (n k)! (k apple n) Die entsprechende Anordnung mit Zurücklegen heisst Variation k-ter Ordnung mit Wiederholung und die Anzahl der Variationen beträgt V W (n; k) =n k (k 0) Slide 280 Zusammenfassung Menge Permutation ohne n! n aus n Whlg. Permutation mit Whlg. n! k 1!k 2!...k n! n aus n Variation ohne Whlg. n! (n k)! k aus n + Variation mit Whlg. n k k aus n + n Kombination ohne k aus n - k Whlg. n + k 1 Kombination mit k aus n - k Whlg. Reihenfolge 6.2 Grundbegri e Slide 281 Würfeln mit einem homogenen Würfel 129

7 homogen bedeut hier: nicht gezinkt! Es sind 6 verschiedene Ergebnisse oder Versuchsausgänge möglich. Die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} heißt die Ergebnismenge. Das Ergebnis eines Wurfes des Würfels, also die Menge mit einer der Zahlen 1 6, ist ein Elementarereignis!. das Ergebnis des Wurfs ist nicht vorhersehbar, also zufallsbedingt. Das Experiment Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Neben den Elemenarereignissen gibt es noch andere Ereignisse, das heisst Teilmengen von z.b. Es wird eine gerade Zahl gewürfelt. Dann ist das Ereignis durch die Menge C = {2, 4, 6} dargestellt. Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge. Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich! Slide 282 Ziehung von Kugeln aus einer Urne Beispiel: Ziehen von 3 Kugeln aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen mit Zurücklegen und in der Reihenfolge der Ziehung: Elementarereignisse: Ereignis: 2 Kugeln sind weiß: {,, } Ereignis: alle Kugeln haben gleiche Farbe: {, } Slide

8 Zufallsexperimente Slide 284 Slide 285 Slide 286 Definition: Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem folgende Bedingungen (Voraussetzungen) erfüllt sind: 1. Das Experiment lässt sich unter den gleichen äußeren Bedingungen beliebig oft wiederholen. 2. Bei der Durchführung des Experimentes sind mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse möglich. 3. Das Ergebnis der konkreten Durchführung des Experimentes lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen, sondern ist zufallsbedingt. Elementarereignisse und Ergebnismenge Definition: Elementarereignisse und Ergebnismenge 1. Die möglichen, sich aber gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse (symbolische Schreibweise:! 1,! 2,! 3,...). 2. Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge. Ereignisse und Ereignisraum Definition: Ereignisse und Ereignisraum 1. Eine Teilmenge A der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes heißt Ereignis. 2. Die Menge aller Ereignisse, die sich aus der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes bilden lassen, heißt Ereignisraum. 3. Die Ergebnismenge selbst heißt das sichere Ereignis. Verknüpfung von Ereignissen Entweder tritt Ereignis A ein oder B oder A und B gleichzeitig: Vereinigung der Ereignisse A [ B 131

9 Ereignis A und Ereignis B treten gleichzeitig ein: Schnittmenge der Ereignisse A \ B Ereignis A tritt nicht ein: Das Komplement von A tritt ein: Ā = \A. Ā ist die Restmenge von und A. Es gelten die de Morganschen Regeln A [ B = Ā \ B A \ B = Ā [ B 6.3 Wahrscheinlichkeiten Slide 287 Laplace-Experiment Wird ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge = {! 1,! 2,...,! n } genügend oft wiederholt und treten alle Elementarereignisse mit nahezu gleicher Häufigkeit auf, so nennt man dies ein Laplace-Experiment. z.b.: Würfeln. Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis ungefähr 1/6. z.b. Ziehen einer Kugel (mit Zurücklegen) aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln: Jede Kugel wird, da sie vor dem Ziehen ununterscheidbar sind, mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen ) Laplace-Expt aber: Erwartungswert, eineweißekugelzuziehen,ist60%.dasereignis weiße Kugel hat die relative Häufigkeit 0.6. Slide

10 Wahrscheinlichkeiten Für das Laplace-Experiment mit m verschiedenen Elementarereignissen wird dem Elementarereignis! i die Wahrscheinlichkeit P (! i )= 1 m zugeordnet. die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist dann durch P (A) = X i p(! i )=g(a) 1 m = g(a) m gegeben. g(a) ist die Anzahl der für Ereignis A günstigen Fälle. m ist die Anzahl der ingesamt möglichen Fälle. beachte: diese Definition der Wahrscheinlichkeit gilt nur für endliche Ergebnismengen und gleiche Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse (gleiche a priori -Wahrscheinlichkeiten). Slide 289 Relative Häufigkeiten Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist ganz praktisch definiert als die Zahl der für das Ereignis positiven Versuche, dividiert durch die Gesamtzahl der Versuche. Die relative Häufigkeit h n (A) einesereignissesa ist eine nicht-negative Zahl, diehöchstens gleich 1 sein kann. Es gilt also immer 0 apple h n (A) apple 1 Für das sichere Ereignis, das immer eintritt, gilt: h n ( ) = 1 Für 2 sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt h n (A [ B) =h n (A)+h n (B), (A \ B = ;) Slide

11 Relative Häufigkeiten Erfahrungsregel: mit zunehmender Gesamtzahl n der Versuche stabilisiert sich i.a. die relative Häufigkeit h n (A) undschwanktimmer weniger um einen bestimmten Wert h(a). naheliegend: Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeiten aufgrund prinzipieller Schwierigkeiten nicht durchführbar stattdessen Axiomatik von Kolmogorov ( ) Slide 291 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogorov Jedem Ereignis A eines Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge wird eine reelle Zahl P (A), Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, so zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind Axiom 1: P (A) isteinenichtnegative Zahl, die höchstens gleich 1 ist: 0 apple P (A) apple 1 Axiom 2: Für das sichere Ereignis (Ergebnismenge) gilt: P ( ) = 1 Axiom 3: Für paarweise sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A 1,A 2,A 3,... gilt ( Additionssatz ): P (A 1 [ A 2 [ A 3 [...)=P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 ) Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Slide

12 Festlegung von Wahrscheinlichkeiten in der Praxis näherungsweise wird eine unbekannte Wahrscheinlichkeit P (A) eines zufälligen Ereignisses durch die in umfangreichen Versuchsreihen beobachtete relative Häufigkeit h n (A) ersetzt,also P (A) h n (A) mit der Bedingung, dass die h n (A i )imeinklangmitdenkolmogorov schen Axiomen sind. h n (A) isteinschätzwert (Näherungswert) für die meist unbekannt bleibende Wahrscheinlichkeit P (A)) das ist die sogenannte statistische Festlegung Slide 293 Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten unabhängiger Ereignisse Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit 2 Würfeln einen Sechserpasch (2 mal die Augenzahl 6) zu werfen? diese Wahrscheinlichkeit ist im übrigen die Gleiche, wie mit einem Würfel nacheinander zweimal eine 6 zu werfen 1. Wurf: P ( )=1/6 da 1. und 2. Wurf unabhängig voneinander sind, die Wahrscheinlichkeit für den Sechser im 2. Wurf also nicht vom Ergebnis des 1. Wurfes abhängt: 2. Wurf: P ( )=1/6 Gesamtwahrscheinlichkeit ist das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also P ( )=P ( ) \ P ( )=1/6 1/6 =1/36 Slide

13 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Würfen mit 1 Würfel die Zahl 6 zu würfeln (exakt: mindestens eine 6 zu würfeln)? Ereignis A: 6im1.Wurf:P (A) =1/6 Ereignis B: 6im2.Wurf:P (B) =1/6 Additionssatz p(a [ B) = p(a) + p(b) ist nicht anwendbar,weil die beiden Ereignisse überlappen. es gilt noch, die Wahrscheinlichkeit dafür, 2 Sechser zu würfeln, abzuziehen, da diese nicht zum Ereignis beiträgt. es gilt der allgemeine Additionssatz in unserem Fall P (A [ B) =P (A)+P (B) P (A \ B) P (A [ B) =1/6+1/6 1/36 = 11/ Bedingte Wahrscheinlichkeiten Slide 295 Bedingte Wahrscheinlichkeit Häufig interessiert die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B unter der Bedingung, dasseinanderesereignis A bereits eingetreten ist. man nennt diese Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Dafür wählt man das Sympol P (B A). Slide

14 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel In einer Urne befinden sich 3 weiße und 3 schwarze Kugeln: Wir entnehmen zufällig und nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der 2. Ziehung eine weiße Kugel zu erhalten? 2Fälle sind zu unterscheiden Fall 1: weiße Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann aus einer Urne mit der Konfiguration vorgenommen. P (B A) =2/5 Fall 2: schwarze Kugel bei der 1. Ziehung. Die 2. Ziehung wird dann aus einer Urne mit der Konfiguration vorgenommen. P (B Ā) =3/5 Slide 297 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Folglich ist der Ausgang der 2. Ziehung abhängig vom Ergebnis der 1. Ziehung: es lassen sich also nur Wahrscheinlichkeiten unter bestimmten Voraussetzungen (Bedingungen) angeben Slide 298 Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung, dassdasereignisa bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, P (B A) P (B A) = P (A \ B) P (A) (P (A) 6= 0) Slide

15 Slide 300 Multiplikationssatz Für das Theorem: gleichzeitige Multplikationssatz Eintreten zweier Ereignisse gilt der Multiplikations- Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und B ist P (A \ B) =P (A) P (B A) satz oder P (B \ A) =P (B) P (A B) also P (A) P (B A) =P (B) P (A B) stochastisch unabhängige Ereignisse Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn P (A \ B) =P (A) P (B) Slide 301 gilt stochastisch unabhängige Ereignisse Definition: stochastisch unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn P (A \ B) =P (A) P (B) gilt maw: wenn (P (B A) =P (B)! Slide 302 Bayessche Formel Gibt es mehrere verschiedene Wege, um ein Ereignis B zu erzielen, so besagt die Bayessche Formel 138

16 Theorem: Bayessche Formel Für verschiedene Zwischenstationen A i auf dem Weg zu einem Ereignis B ergibt sich: Die totale Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B ist P (B) = nx P (A i ) P (B A i ) i=1 6.6 Ereignisbäume Slide 303 Wiederholter Münzwurf Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4maligem Münzwurf mindestens einmal Zahl zu erreichen? Addiere die Wahrscheinlichkeiten entlang aller Wege, die zum Ereignis A (mindestens einmal Zahl in 4 Würfen) beitragen: p(a) = = = Slide 304 Urnenmodell Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen zweimal die gleiche Farbe zu ziehen, wenn zu Beginn 4 blaue und 2 rote Kugeln in der Urne liegen? 139

17 p(2mal gleiche Farbe) = = = 7 15 p(2 Farben) = = = 8 15 Slide 305 Baumdiagramme Nutzung eines Ereignisbaums Bei einem in mehreren Stufen ablaufenden Zufallsexperiment lässt sich jedes mögliche Endergebnis durch einen bestimmten Pfad im zugehörigen Ereignisbaum darstellen. Die Berechung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt dabei mit Hilfe der sog. Pfadregeln 1. Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden miteinander multipliziert. 2. Führen mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis (d.h. tragen sie zum Ereignis bei), so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten. Bemerkung: Der Ereignisbaum beim Münzexperiment war unvollständig (oder beschnitten, engl.: pruned ) 140

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen Zoltán Zomotor Versionsstand: 18. Mai 2015, 09:29 Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. This work is licensed under the Creative

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

II Wahrscheinlichkeitsrechnung

II Wahrscheinlichkeitsrechnung 251 1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den Permutationen, Kombinationen und Variationen. Diese aus der Kombinatorik stammenden Abzählmethoden sind ein wichtiges

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 . Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 7. Übung SS 16: Woche vom 23. 5. 27. 5.. 2016 Stochastik I: Klassische Wkt.-Berechnung Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/... (SS16).html

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Leseprobe. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen

Leseprobe. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen Leseprobe Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden - Beispiele - nwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch): 978-3-446-43255-0

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen) Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne befinden sich 3 schwarze und weiße Kugel. Wir entnehmen der Urne eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel in die Urne zurück. Dieses

Mehr

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58 Statistik Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten?

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten? 1 Überblick æ Beschreibende Statistik: Auswertung von Experimenten und Stichproben æ Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schlüsse aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten, Hilfsmittel: Kombinatorik æ Beurteilende Statistik:

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Benutzung dieser Materialien ist auf Herbst 2017 beschränkt. Diese Hilfsmaterialien sind nur für unseren Studenten gemeint, dürfen also nicht weiterverteilt werden. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen

Aufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen Ü b u n g 1 Aufgabe 1 Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen P(A) = 0. 7, P(B) = 0. 6, P(C) = 0. 5 P(A B) = 0. 4, P(A C) = 0. 3, P(B C) = 0. 2, P(A B C) = 0. 1 Bestimmen Sie P(A B), P(A C),

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017 htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT htw saar 2 Gliederung 25.01. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition Multiplikationssatz Stochastische Unabhängigkeit:

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten Regeln der Kombinatorik

3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten Regeln der Kombinatorik 3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten lassen sich häufig durch Abzählen der günstigen und möglichen Fällen lösen. Kompliziertere Fragestellungen bedürfen aber der Verwendung mathematischer

Mehr

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden

Mehr

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff?

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? 2. Übung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? a) P ist nichtnegativ. b) P ist additiv. c) P ist multiplikativ.

Mehr

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell.

Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell. SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 1 Grundbegriffe Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen wiederholbarer Vorgang (geplant, gesteuert, beobachtet oder auch nur gedanklich) Menge der

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten Regeln der Kombinatorik

3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten Regeln der Kombinatorik 3. Kombinatorik Modelltheoretische Wahrscheinlichkeiten lassen sich häufig durch Abzählen der günstigen und möglichen Fällen lösen. Kompliziertere Fragestellungen bedürfen aber der Verwendung mathematischer

Mehr

Das Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen

Das Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen THM Friedberg Standort: Friedberg Seminar: Mathematik 3- Statistik WS 12/13 Gruppe Nr.9 Dozent: Dipl. Log. me. Kästner Das Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen 10.12.2012 Theresa Hönicke Matrikelnr.: 869678

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber 173 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird die Anordnung von unterschiedlichen Objekten eines Experiments untersucht, so handelt es sich um eine. Möchte man die Anzahl der möglichen

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Wahrscheinlichkeit und Zufallsvorgänge Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde Inhalt Zufallsexperimente,

Mehr

Grundlagen der Stochastik

Grundlagen der Stochastik Grundlagen der Stochastik Johannes Recker / Sep. 2015, überarbeitet Nov. 2015 Fehlermeldungen oder Kommentare an recker@sbshh.de Inhalt 1. Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung... 2 1.1.

Mehr

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Kombinatorik: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester Ziehen aus Urnen. Ziehen aus Urnen

Kombinatorik: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester Ziehen aus Urnen. Ziehen aus Urnen Kombinatorik: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 04 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan Es folgt eine Einführung in die Kombinatorik. Dabei geht es darum, die Elemente

Mehr

Die Formel für Kombinationen wird verwendet, wenn

Die Formel für Kombinationen wird verwendet, wenn 1. Übung: Kombinatorik Aufgabe 1 Die Formel für Kombinationen wird verwendet, wenn a) Alle n Elemente angeordnet werden sollen. b) Aus n Elementen k Elemente gezogen werden sollen. c) Die Reihenfolge der

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09/10 Bürker 27. 1. 11 8. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8.1 Begriffe 8.1.1 Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? a) Mehrere Ergebnisse möglich b) Ergebnis

Mehr

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1 Kombinatorik kompakt Stochastik WS 2016/17 1 Übersicht Auswahl/Kombinationen von N aus m Elementen Statistische unterscheidbare ununterscheidbare Physik Objekte (gleiche) Objekte ( ohne m N m+n 1 ) N mit

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches

Mehr

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Mehr

Grundwissen zur Stochastik

Grundwissen zur Stochastik Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

P A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit

P A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit Unabhaengige Ereignisse edingte Wahrscheinlichkeit Definition Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtmenge der Ergebnisse nzahl

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein.

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein. Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 6: 43) 7 Telefonzellen ( 7 Kugeln in der Urne); 3 davon sind von je einem Benutzer besetzt ( 3 Kugeln in die Stichprobe). Die Telefonzellen werden nicht mehrfach

Mehr

Wahrscheinlichkeitslehre

Wahrscheinlichkeitslehre Wahrscheinlichkeitslehre I. Was ist unter dem Ausdruck "wahrscheinlich" zu verstehen? Wir unterscheiden vier verschiedene, teils miteinander zusammenhängende, teils heterogene Verwendungen des Ausdrucks

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Pfadwahrscheinlichkeiten

Pfadwahrscheinlichkeiten Pfadwahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Würfeln eine Doppelsechs zu erzielen, beträgt 6. Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass wir lediglich, also die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen und bedingte Wkt

Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen und bedingte Wkt Zu Aufgabe ) Wir betrachten den Laplace-Versuch V Werfen zweier Würfel. Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P ( A) A aus Aufgabe die Ω Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) A Werfen zweier

Mehr

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften 3. Übung Lösungsvorschlag Gruppenübung G 8 a) Ein Professor möchte herausfinden, welche 5 seiner insgesamt 8 Mitarbeiter zusammen das kreativste Team darstellen.

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 12. Dezember 2012 1 Kombinatorik Fakultät Binomialkoeffizienten Urnenmodelle 2 Definition Fakultät Die Zahl n! =

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Grundlegende Begriffe Der Begriff wahrscheinlich wird im Alltag in verschiedenen Situationen verwendet, hat dabei auch unterschiedliche Bedeutung.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. und 2. Vorlesung - 2017 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr