STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

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1 Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen Man schließt von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population) Prozess, der zu einem von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ω führt Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Menge aller Elementarereignisse Ω = {ω ω ist Elementarereignis} Endlich bis unendliche viele Elemente beinhalten, es ist ein sicheres Ereignis definiert A Ω A ω A A ist Teilmenge von Groß-Omega = Ereignis d.h. ω ist Element von A Komplementärereignis von A A tritt ein, wenn A nicht eintritt. Ereignis tritt ein, wenn ω Element von A ist A = Ω\A A ist Differenzmenge von Ω und A d.h. beschreibt alle Ereignisse die zu Ω gehören, aber nicht zu A A A Ω Venn-Diagramme Unmögliches Ereignis; leere Menge Ø bestehen aus einem Rechteck, in dem die Ausgangsereignisse (Mengen A,B) als Kreise oder Ellipsen dargestellt sind Rechteck repräsentiert die Ergebnismenge Ω, von dem die eingezeichneten Mengen Teilmengen sind. A B Schnittmenge: ein Ereignis definiert, wenn beide Ereignisse A und B eintreten A B A B Vereinigungsmenge: die Menge aller Elemente, die entweder in der Menge A oder in der Menge B enthalten sind A B A\B = A B Differenzmenge: auch Restmenge Menge der Elemente, die in A, aber nicht im B enthalten ist A B Disjunkte Ereignisse Zwei Ereignisse A und B mit keinen gemeinsamen Elementen, deren Schnittmenge die leere Menge Ø ist, schließen sich aus.

2 Zufallsvorgänge mit unendlicher Ergebnismenge Kontrolliert Nicht-kontrolliert P( ) Wahrscheinlichkeitsbegriff Ω = {1,2,3 } = Ν (natürliche Zahlen) Zufallsexperiment, ist unter gleichen Bedingungen wiederholbar (z.b. Ziehung der Lottozahlen) Ergebnis eines Zufallsprozesses (z.b. Durchschnittstemperatur im Monat Juli an einem bestimmten Ort) Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit % eintritt - Statistik wird der Wahrscheinlichkeitsbegriff objektiv quantifiziert. Dabei stützt man sich, wie inzwischen jeder Teilbereich der modernen Mathematik, auf eine axiomatische Fundierung. - geht auf den russischen Mathematiker Andrej Kolmogoroff ( ) zurück - entwickelte die Axiome von Kolmogoroff : K1. P(A) 0 (Nicht-Negativitätsbedingung) K2. P(Ω) = 1 (Normierung) K3. P(AuB)= P(A)+P(B) falls P(A B)=Ø (Additivität bei disjunkten Ereignissen) weisen Analogien mit den Eigenschaften von relativen Häufigkeiten auf legen Eigenschaften fest,die für Wahrscheinlichkeiten gelten müssen dienten zur Herleitung der Rechenregeln Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Weitere Zusatzinformationen: Zum Beispiel: Laplace-Experiment Bedingungen L1 & L2 gebunden anderer Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit Dieser berechnete unter den einschränkenden Voraussetzungen L1 und L2 die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A als Quotient aus der Anzahl der für A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments Erfüllt alle K1-K3 P(A) = Anzahl der A günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Bestimmung von P (A) als Grenzwert der relativen Häufigkeit für das Eintreten von A

3 P (A) Beispiel: faire Münze n-mal wirft relative Häufigkeit f(x) verfolgt, dann würde sich ein Wert nahe 0.5, sofern n groß genug ist, einstellen - Dient als Approximation (Schätzwert) für die interessierende Wahrscheinlichkeit, wobei die Schätzgüte sich mit wachsendem n tendenziell verbessert Zufallsstichproben und Kombinatorik - Nicht an Bedingung L2 gebunden d.h. man weiß nicht, ob es sichum eine faire Münze handelt, so kann der Wert Aufschluss geben,ob es sich umeine faire Münze handelt, wenn sich der Wert gegen 0,5 annähert Kombinatorik Urnenmodell mathematische Methoden zur Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten bei der Anordnung und Auswahl von Objekten anschauliches Stichprobenmodell, das in der Kombinatorik zur Herleitung zentraler Ergebnisse für Zufallsvorgänge mit endlicher Ergebnismenge eingesetzt wird N = Anzahl aller Kugeln, Grundgesamtheit n = Umfang, wie viele Kugeln aus N gezogen werden Ohne Zurücklegen Anzahl n Kugeln aus N verringert sich Formel: Mit Berücksichtigung der Anordnung (geordnete Auswahl) Ohne Berücksichtigung der Anordnung (ungeordnete Auswahl) N! (N n)! ( N n ) : = N! (N n)! n! Mit Zurücklegen Anzahl n Kugeln aus N bleibt gleich Binomialkoeffizient Formel: Mit Berücksichtigung der Anordnung (geordnete Auswahl) Ohne Berücksichtigung der Anordnung (ungeordnete Auswahl) N n N + n 1 ( ) = n (N + n 1)! (N 1)! n! Bedingte Wahrscheinlichkeiten

4 P(A B) Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B Zusammenhang zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten Satz von Bayes Unabhängigkeit von Ereignissen Zwei zufällige Ereignisse A und B werden als unabhängig oder auch als stochastisch unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines Ereignisses, etwa B, keinen Einfluss auf das andere Ereignis hat. Formal: P(A B) = P(A) P(A B ) = P(A) d.h. durch Einsetzen P(A)* P(B) in P(A B) bleibt nur noch P(A) als Wahrscheinlichkeit übrig Alternativen Baundiagramme, Kontingenztabellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stochastisches Modell Deterministisches Modell Variable stetig diskret Berücksichtigt Zufallseinflüsse z.b. Aktienkursverlauf, findet Anwendung in der schließenenden Stochastik (Fundament für Wahrscheinlichkeitsrechnung) Berücksichtigt keine Zufallseinflüsse Durch Zufall, Zufallsvariable auch kontinuierlich - wenn sie jeden beliebigen Wert eines bestimmten unendlichen Intervalls annehmen können - Längen- oder Zeitwerte - Einkommenssteuer - Wartezeit - Körpergröße ermitteln einer zufällig ausgewählten Person aus einer Gruppe auch diskontinuerlich - wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte eines bestimmten Intervalls der reellen Zahlengeraden annehmen kann die Schulnoten 1 bis 6 numerisch gekennzeichnete Ausprägungen des Familienstandes die Ziffern eines Roulett-Rads von 0-36 Einkommen in ganzen Anzahl von Objekten Ergebnisse Sind Ausprägungen/Realisierungen der Zufallsvariable

5 Modelle - Diskrete Gleichverteilung (Siehe Kapitel 11) - Normalverteilung Allgemein nennt man ein Modell, dass das Verhalten einer Zufallsvariablen vollständig beschreibt, Wahrscheinlichkeitsverteilung (auch theoretische Verteilung) Verteilungsfunktion von X - Zur vollständigen Beschreibung des Verhaltens einer beliebigen Zufallsvariablen X - jedem reellen Wert x eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet F(x) P(X x) Präziser auch theoretische Verteilungsfunktion genannt. Diskrete Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion - verknüpft jede Realisation x einer diskreten Zufallsvariablen X mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit P(X=x) - Diskrete Gleichverteilung: Glücksspiele (Würfeln, Roulette); - Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung als Spezialfall): Glücksspiele (z. B. Münzwurfexperimente), Approximation der hypergeometrischen Verteilung in der Qualitätssicherung; - Hypergeometrische Verteilung: Glücksspiele (Lotto), Qualitätssicherung (Eingangsprüfungen für Warenlose) Stetige Verteilung Dichtefunktion - P(X x) - P(X > x) Ableitung verschiedener Typen - P(a X b) - Stetige Gleichverteilung: Modellierung von Wartezeiten; - Normalverteilung: Modellierung von Messfehlern, Approximation der Verteilung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen, Schadensabschätzung bei Versicherungen; - X 2, t- und F-Verteilung: Testen von Hypothesen (Verteilungsmodell für Prüfgrößen) Kenngrößen Beschreibung des Zentrums oder Variabilität der Zufallsvariable Lageparameter - Erwartungswert - Theoretische Quantile Streuungsparameter - Theoretische Standardabweichung - Theoretische Varianz

6 Unterscheidung zwischen empirischer & theoretischer Vert.

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