Aussage über die Verteilung Summen und Durchschnitte beliebig verteilter Zufallsvariablen

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1 7. Grezwertsätze Die Grezwertsätze bilde de Abschluss der Wahrscheilichkeitsrechug ud sid vo zetraler Bedeutug vor allem für die iduktive Statistik. Gesetz der große Zahle Aussage über die Geauigkeit der Abschätzug eies ubekate Mittelwertes der Grudgesamtheit durch de Stichprobemittelwert. Zetrale Grezwertsatz Aussage über die Verteilug Summe ud Durchschitte beliebig verteilter Zufallsvariable bei großem Stichprobeumfag Die Tschebyscheffsche Ugleichug wird eierseits für de Beweis des Gesetzes der große Zahle beötigt. Adererseits lässt sie sich aber auch eigestädig zur Abschätzug vo Wahrscheilichkeite bei eiem ubekate Vertei- lugstyp verwede.

2 7. Tschebyscheffsche Ugleichug Sofer für eie Zufallsvariable X die Verteilug, also die Wahrscheilichkeits- oder Dichtefuktio, bekat ist, lässt sich die Wahrscheilichkeit dafür bestimme, dass X i eiem bestimmte Itervall liegt. Wie ist aber eie solche Wahrschei-lichkeit zu ermittel, we der Verteilugstyp icht bekat ist? Wir frage geauer ach der Wahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable ierhalb oder außerhalb eier ε-umgebug um de Erwartugswert μ liegt. Abbildug: ε-umgebug um de Erwartugswert μ f ( x ) μ ε ε μ ε μ + ε x ε-umgebug um μ

3 Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug ka eie Höchstwahrscheilichkeit dafür bestimmt werde, dass die Zufallsvariable X midestes um ε vom Mittelwert μ abweicht. Die Wahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable mit dem Er- wartugswert μ ud der Variaz σ um midestes ε vo ihrem Mittelwert abweicht, ist höchstes gleich σ / ε : σ (7 ) P ( X μ ε ) (7.). ε Beweis es vo (7.): Wir beschräke us auf de diskrete Fall ud gehe vo der i (5.4) gegebee Defiitio der Variaz aus: (5.4) V(X) σ m ( ) x μ p j j j. Werde ur Summade betrachtet, t dere Abweichug vom Erwartugswert t µ midestes gleich ε ist, μ ε, gilt x j ( x j μ) p j (7.) σ, x μ ε j

4 da die rechte Seite vo (7.) eie Teilsumme vo (5.4) ist. Da die Abweichuge x j μ midestes gleich ε sid, gilt außerdem x j μ ε ( ) x j μ p j ε p j ε p j (7.3). Aus (7.) ud (7.3) folgt σ ε p j. x j μ ε (7.4) j x j μ ε x j μ ε Da die Summe die Wahrscheilichkeit agibt, dass die Zufallsvariable X midestes um ε vo ihrem Erwartugswert abweicht, P( X μ ε), lässt sich (7.4) i der Form (7.5) σ ε P( X μ ε) p j x j μ ε schreibe. Nach Divisio beider Seite der Ugleichug (7.5) durch ε ud Ver- tauschug der Seite erhält ma hieraus umittelbar die Tschebyscheffsche Ugleichug (7.).

5 Aufgrud der Wahrscheilichkeit des Komplemetärereigisses ist σ (7.6) P( X μ < ε) ε eie zu (7.) gleichwertige Formulierug der Tschebyscheffsche Ugleichug. I der Form (7.6) gibt die Tschebyscheffsche Ugleichug eie Midestwahrscheilichkeit a. Wird i (7.) speziell ε k σ gesetzt, da folgt (7.7) P( X μ kσ) k Die Höchstwahrscheilichkeit, dass eie Zufallsvariable X um midestes dem k-fache ihrer Stadardabweichug vom Erwartugswert abweicht, beträgt /k. Abbildug: Höchstwahrscheilichkeit bei ε- Umgebug als k-fache Stadardabweichug (grauer Bereich) f ( x ) μ k σ μ μ + k σ x

6 Wird die Tschebyscheffsche Ugleichug für Midestwahrscheilichkeite formuliert, ergibt sich (7.8) P( X μ < kσ). k Abbildug: Midestwahrscheilichkeit bei ε- Umgebug als k-fache Stadardabweichug (grauer Bereich) f ( x ) μ kσ μ μ + kσ x

7 Auswirkug vo k auf die Höhe der Midestwahrscheilichkeite Wir bereche die Midestwahrscheilichkeit, dass eie beliebig verteilte Zufallsvariable X um icht mehr als das k,, 3-fache ihrer Stadardabweichug vo ihrem Erwartugswert abweicht. Mit (7.8) erhält ma: k Itervall Midestwahrscheilichkeit (μ σ, μ + σ) (μ σ, μ + σ) 3 (μ 3σ, μ + 3σ) P P P ( X μ < σ) 0 ( X μ < σ) 0,5 0, 75 3 ( X μ < 3σ) 0, 0, für k: Kei Iformatiosgewi, da Wahrscheilichkeite stets icht egativ sid - für k>: Midestwahrscheilichkeite ehme zu, we k steigt

8 Beispiel 7.: Der Bezipreis ist bei gegebeem Nachfrageverhalte der Autofahrer vo Eiflussgröße wie z. B. dem Rohölpreis ud dem Bestad a Kraftfahrzeuge abhägig. Bei eier Mieralölfirma rechet ma für eie Plaugsperiode mit eiem mittlere Bezipreis vo,35 pro Liter. Da Preisschwakuge icht ausgeschlosse werde köe, wird vo eier Stadardabweichug i Höhe vo 0, ausgegage. a) Wie groß ist midestes die Wahrscheilichkeit, dass der Bezipreis ierhalb eies σ-bereichs um de Erwartugswert liege wird? Es ist ε σ. Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug (7.8) erhält ma für k die Midestwahrscheilichkeit P( X μ < σ) 0,5 0,75. k b) Wie groß ist höchstes die Wahrscheilichkeit, dass der Bezipreis um mehr als 0,5 vom Erwartugswert abweicht? Hier gilt ε 0,5. Mit der Tschebyscheffsche Ugleichug i der Formulierug (7.) ergibt sich daraus die Höchstwahrscheilichkeit σ 0, 0, P( X μ ( ε 0,5) ) 0,64. 0,05 ε 0,5

9 7. Gesetz der große Zahle Das Gesetz der große Zahle liefert eie theoretische Begrüdug für die Verwedug des Stichprobemittelwertes zur Abschätzug des ubekate Mittelwertes eier Grudgesamtheit. Schwaches Gesetz der große Zahle vo Tschebyscheff gegebe: Zufallsvariable X mit Erwartugswert E(X) μ ud Variaz V(X) σ Aahme: -malige Wiederholug eies Zufallsvorgags mit Zurücklege X i : Zufallsvariable, die agibt, welche Wert X bei der i-te Durchführug des Zufallsvorgags, i,,, aehme wird x i : Der ach der i-te Durchführug beobachtete Wert x i, i,,, ist eie Realisatio der Zufallsvariable We die Zufallsvariable X i alle derselbe Grudgesamtheit mit Zurücklege etomme werde, sid sie icht ur uabhägig, soder auch idetisch verteilt (gleiche Wahrscheilichkeits- bzw. Dichtefuktio). Isbesodere habe die Zufalls- variable X, X,, X deselbe Erwartugswert ud dieselbe Variaz: (7.9) E( ) μ ud (7.0) V X i ( ) σ X i für alle i,,..., für alle i,,...,.

10 Stabilitätseigeschaft des arithmetische Mittels X Arithmetisches Mittel der Zufallsvaria- Nach de Wiederholuge beobach- ble X i teter Durchschittswert (7.) X X i (7.) x x i i i Erwartugswert vo X : E X E Xi E Xi i i (7.3) ( ) ( ) μ μ Der Erwartugswert der Zufallsvariable ist gleich dem Erwartugswert der Zufallsvariable X. Variaz vo X : V i X ( X ) V X V X V( X ) i i i i ( ) σ (7.4) V X σ (wege (7.0) ud der Uabhägigkeit der X i ) Die Variaz vo X ist um de Faktor / kleier ist als die Variaz der Zufallsvariable X. i

11 Das schwache Gesetzes der große Zahle vo Tschebyscheff besagt, dass die Wahrscheilichkeit eier Abweichug des arithmetische Mittels X vom Erwartugswert µ vo weiger als ei beliebig kleier Wert ε (ε > 0) mit wachsedem gege strebt: (7.5) lim P( X μ < ε). Beweis vo (7.5): Das Gesetz der große Zahle lässt sich leicht mit der Ugleichug vo Tschebyscheff beweise, die für eie beliebige Zufallsvariable X defiiert ist. We ma die Tschebyscheffsche Ugleichug (7.5) für das arithmetische Mittel X formuliert, erhält ma V (7.6) ( ) ( X ) P X μ < ε. ε Wege (7.4) geht diese Ugleichug i die Form P über. Aufgrud vo σ lim ε σ ( X μ < ε) 0 ε folgt für hieraus umittelbar das Gesetz der große Zahle (7.5).

12 Die Folge vo Zufallsvariable ( X ) kovergiert stochastisch gege µ. Diese stochastische Kovergez bedeutet: - icht, dass die Abweichug X μ immer kleier wird, soder ur, - dass es bei gege uedlich fast sicher ist, dass die Zufallsvariable X Werte i eier ε-umgebug g g um µ aimmt. Bei eier große Azahl vo Durchführuge des Zufallsvorgags liegt X daher mit hoher Wahrscheilichkeit i dem beliebig kleie Itervall (μ ε, μ ε). Ma ka also mit eier hohe Wahrscheilichkeit de Erwartugswert µ der Zufallsvariable X durch eie kokrete Realisierug der Zufallsvariable X abschätze, sofer ur geüged groß ist.

13 Beispiel 7.: Beim Lottospiel werde i jeder Ziehug 7 Zahle (6 Zahle ud Zusatzzahl) aus 49 Zahle gezoge. Nach dem Gesetz der große Zahle kovergiert das arithmetische Mittel X mit zuehmeder Zahl der Wiederholuge stochastisch gege de Erwartugswert μ [(m+)/(49+)/5 ach (6.b)]. Wie groß muss die Zahl der Wiederholuge sei, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo 98% gesichert ist, dass das arithmetische Mittel X der Lottozahle i eier ε-umgebug vo X μ 0,5 um de Erwartugswert μ liegt? Die gesuchte Wahrscheilichkeit lässt sich i der für das Gesetz der große Zahle formulierte Tschebyscheffsche Ugleichug (7.6) bestimme: P X μ < 0,5 ε ( ) V X ε σ ε.. Da die Lottozahle x,,,49 gleichverteilt sid, ist ihre Variaz ach (6.3b) durch m V( X) 00 gegebe.

14 Damit ergibt sich P( X μ < 0,5) 00 00! 0,98. 0,5 0,5 Löst ma die letzte hieri ethaltee Gleichug ach auf, erhält ma ,98 0,98 0, , ,0 0,0 800 Bei Wiederholuge des Zufallsexperimets ist also mit eier Wahrschei- lichkeit vo 98% gesichert, dass das arithmetische Mittel X der Lottozahle i eier ε-umgebug vo ±0,5 um de Erwartugswert 5 liegt.

15 Schwaches Gesetz der große Zahle vo Beroulli Spezialfall: Die Größe X i sid uabhägige Beroulli-verteilte Zufallsvariable: X i falls A eit ritt 0 sost Summe der Berouli-verteilte Zufallsvariable X, X,, X : Y i. i X Biomialverteilte i ilt Zufallsvariable Y: Absolute Häufigkeit it für das Eitrete t vo A Erwartugswert vo X i Variaz vo X i E(X i ) p V(X i ) p (-p) Erwartugswert vo Y Variaz vo Y E(Y) p V(Y) p (-p) p) (7.7) P Y Zufallsvariable P : Relative Häufigkeit für das Eitrete vo A (Ateilswert)

16 Erwartugswert vo P : E P E Y E Y p (7.8) ( ) ( ) p Der Erwartugswert der Zufallsvariable P ist gleich der Wahrscheilichkeit für das Eitrete des Ereigisses A. P Variaz vo : ( ) V P (7.9) ( ) V Y V( Y) p( p) ( p). p Die Variaz vo P ist um de Faktor / kleier ist als die Variaz der Zufallsvariable Y. Dari kommt die Stabilität der relative Häufigkeite mit wachseder Zahl der Wiederholuge des Zufallsvorgags zum Ausdruck. Das schwache Gesetzes der große Zahle vo Beroulli besagt, dass die Wahrscheilichkeit eier Abweichug der relative Häufigkeit P vo der Wahrscheilichkeit p des Ereigisses A vo weiger als eiem beliebig kleie Wert ε (ε > 0) mit wachsedem gege strebt: (7.0) lim P( P p < ε). Das Gesetz vo Beroulli liefert also die Begrüdug dafür, dass ma eie ube- Das Gesetz vo Beroulli liefert also die Begrüdug dafür, dass ma eie ube kate Wahrscheilichkeit durch eie kokret ermittelte relative Häufigkeit beliebig geau abschätze ka, sofer die Azahl der Beobachtuge ur groß geug ist.

17 Beispiel 7.3: Eie Müze mit de Seite Kopf ud Zahl wird immer wieder geworfe. Nach dem Gesetz der große Zahle vo Beroulli kovergiert die relative Häufigkeit (Ateilswert) P der Seite Kopf ( Ereigis A) ud zuehmedem stochastisch gege die Wahrscheilichkeit P(A) p 0,5. Wie oft muss die Müze geworfe werde, damit der Ateilswert mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 96% i der ε-umgebug (0,49; 0,5) liege wird? Dem Gesetz der große Zahle vo Beroulli (7.0) liegt die für die Zufallsvariable P formulierte Tschebyscheffsche Ugleichug (7.6) zugrude: (7.) P( P p < ε) V P ε ( ) p ( p ) Mit ε 0, erhält ma für die hier geforderte Midestwahrscheilichkeit h i hk it vo 96% V( P ) p( p) P P 0,0 p < ε ε ε ε. 0,5 0,5 0,5 0,96. 0,0 0,000!

18 Löst ma die letzte hieri ethaltee Gleichug ach auf, so ergibt sich 0, ,96 0,96 0,000 0, ,04 0, Die Müze muss also mal geworfe werde, damit die relative Häufigkeit für Kopf mit eier Warscheilichkeit vo midestes 96% i dem vorgegebee Itervall (0,49; 0,5) liegt.

19 7.3 Zetraler Grezwertsatz Der Zetrale Grezwertsatz macht eie Aussage über das Grezverhalte eier Folge vo Verteilugsfuktioe ( F X ), die zu eier gegebee Folge vo Zufallsvariable (X ) gehört. Für de Zetrale Grezwertsatz gibt es uterschiedliche Verallgemeierugsgrade ud zahlreiche Variate. Im Ker erhält ma das Ergebis, dass bei Zufallsvariable, die als Summe oder Durchschitte iterpretiert werde köe, bei großer Azahl vo Wiederholuge eies Zufallsvorgags die Normalverteilug awedbar ist. Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy Beim Zetrale Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy setzt ma keie spezielle Verteilugstyp voraus. Wir betrachte eie Summe vo uabhägig beliebig verteilte Zufallsvariable, die aus eier idetische Grudgesamtheit stamme, mit E(X i )μ ud V(X i )σ. Summevariable: (7.8) Y X i i Erwartugswert vo Y Variaz vo Y (7.9) E( Y ) E ( ) μ (7.0) Xi E Xi i i i ( ) ( ) V Y V Xi V Xi σ i

20 Der Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy beihaltet, dass die Folge der Verteilugsfuktioe ( FY ) F,F,F, K Y Y Y 3, die zur Folge der Zufallsvariable (Y )Y, Y, Y 3,... gehört, sich mit wachsedem immer besser der Verteilugsfuktio F(y) eier Normalverteilug mit de Parameter apasst: E(Y μ σ ) μ ud V(Y ) σ (7.) Y ist bei großem approximativ N( μ, σ²)-verteilt Die exakte Grezwertaussage gilt für die stadardisierte Summevariable Z. Nach dem Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy ist die Zufallsvariable (7.) Y μ Z σ asymptotisch stadardormalverteilt: Z a N 0, (7.3) ( ) I der Awedug wird die Normalapproximatio für >30 (Faustregel) verwedet.

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22 Beispiel 7.4: Eie Eizelhadelskette plat, i eier Regio mit Mio. Haushalte ei Filialetz zu errichte. Das Marktvolume beträgt gegewärtig 50 Mio. pro Quartal, was eiem durchschittliche Umsatz vo 50 je Haushalt etspricht. Die Stadardabweichug der Haushaltsausgabe pro Quartal liegt ebefalls bei 50. Eie Testfiliale, die i agemesseer Zeit für 900 Haushalte erreichbar ist, hat i eiem Quartal eie Gesamtumsatz vo erzielt. Die Marktforschugsabteilug g wird damit beauftragt, eizuschätze, welche Wahr- scheilichkeit eiem i dieser Höhe erzielte oder größere Umsatz uter uveräderte Marktbediguge zukommt. Die Zufallsvariable X i bezeichet die Ausgabe des i-te Haushalts i. Da ist E(X i ) μ 50 ud V(X i ) σ 50 für alle i,,..., ( 900). Wir köe aehme, dass die X i uabhägige gg ud idetisch verteilte Zufallsvariable sid. Das bedeutet isbesodere, dass sich die Ausgabe uterschiedlicher Haushalte icht gegeseitig beeiflusse. Da gibt die Summevariable 900 Y X i i die gesamte i der Testfiliale l erzielte Ausgabe der Haushalte a. Für de Erwartugswert ud die Stadardabweichug der Summevariable Y erhält ma

23 ud E(Y ) μ V(Y ) σ Die Summe der 900 Haushaltsausgabe, , ist die kokrete Realisa- tio der Zufallsvariable Y. Gesucht wird u die Wahrscheilichkeit, dass Y Werte aimmt, die größer oder gleich sid: P(Y ). Wege der Wahrscheilichkeit des Komplemetärereigisses gilt P(Y ) P(Y < ). Da hier die Voraussetzuge des Zetrale Grezwertsatzes vo Lideberg ud Lévy erfüllt sid ( 900 > 30), lässt sich die gesuchte Wahrscheilichkeit approximativ über die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug bestimme: P(Y ) Φ Φ( ) 0, z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987

24 Die Komplemetärwahrscheilichkeit ist damit durch P(Y ) Φ () 0,977 0,0808 gegebe. Die Wahrscheilichkeit, bei uveräderte Marktbediguge eie Umsatz vo midestes zu erziele, liegt bei,3 %. f (y ) ( ) Y ~ N ; ( ) , ,08 y

25 Approximative Normalverteilug des arithmetische Mittels X Das stadardisierte arithmetische Mittel (7.4) * X Z μ σ uterscheidet sich vo der stadardisierte Summevariable (7.) ur um de Faktor im Zähler ud im Neer. Der Zetrale Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy gilt daher auch für das stadardisierte arithmetische Mittel (7.5): (7.5) Z N ( 0, ) * a Das arithmetische Mittel X ist daher bei große (Faustregel: >30) uter de Voraussetzuge des Zetrale Grezwertsatzes vo Lideberg ud Lévy approximativ ormalverteilt mit de Parameter E( X ) μ ud V(X ) σ /

26 Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace Spezialfall: Die Größe X i sid uabhägige Beroulli-verteilte Zufallsvariable: Die Summevariable falls A eit ritt X i 0 sost Y X i ist daher biomialverteilt. i Der Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace beihaltet, dass sich die Folge der Verteilugsfuktioe (FY ) F,F,F,K Y Y Y3 mit wachsedem immer besser der Verteilugsfuktio eier Normalverteilug F(y) mit de Parameter apasst E(Y ) p ud V(Y ) p (-p) (7.6) Y ist bei großem approximativ N( p, p( p (-p))-verteiltp)) Die Summe uabhägiger, Beroulli-verteilter Zufallsvariable X i, dh d.h. diebiomial- verteilte Zufallsvariable Y ist daher approximativ ormalverteilt..

27 Die exakte Grezwertaussage gilt auch hier wieder für die stadardisierte Summevariable Z. Nach dem Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace ist die Zufalls- variable Y p (7.8) Z p p ( ) asymptotisch stadardormalverteilt:. (7.9) Z ~ a N 0, ( ) Für die Praxis beötige wir die Iformatio, wie groß midestes sei muss, damit diese Approximatio awedbar ist. Hierzu ist die Faustregel 9 (7.30) > p p ( ) ützlich. Daach muss um so größer sei, je asymmetrischer die Biomialverteilug aus- geprägt ist: - bei Symmetrie (p0,5): > 36 - bei merklicher Asymmetrie z.b. p0,: > 56 - bei starker Asymmetrie z.b. p0,: > 00

28 Stetigkeitskorrektur Bei der Approximatio der Biomial- durch die Normalverteilug immt ma häufig och eie Stetigkeitskorrektur vor, die i der ute stehede Abbildug verdeutlicht wird. Eie biomialverteilte Zufallsvariable Y ka ur die Werte y 0,,..., mit de Wahrscheilichkeite c e P(Y y) aehme. e Um eie e kotiuierliche e Fläche zu erhalte, kostruiert ma Säule mit eier Breite vo um die Stäbe. Abbildug: Visualisierug der Stetigkeitskorrektur f(y) ( ) μ; σ 0.4 Y ~ N Wahrscheilichkeit, dass die bi- omialverteilte Zufallsvariable Y eie bestimmte Wert a aimmt: 0.3 (7.3) 0. P(Y a) F(a + 0,5) F(a 0,5) F: Verteilugsfuktio der Normalverteilug (Fläche des Rechtecks über y dem Itervall [a-0,5; a+0,5])

29 Wahrscheilichkeit, dass eie biomialverteilte Zufallsvariable zwische de Greze a ud b liegt (mit Stetigkeitskorrektur): (7.3) P(a Y b) F(b + 0,5) F(a 0,5). Da F(y) die Verteilugsfuktio eier Normalverteilug mit de Parameter E(Y ) p ud V(Y ) p (-p) p) ist, lässt sich die Itervallwahrscheilichkeit (7.3) aus b + 0,5 p Φ a 0,5 p (7.3) P( a Y b) Φ ( ) p p p ( p ). Abbildug: Itervallwahrscheilich- keit mit Stetigkeitskorrektur f(y) Y ~ N ( ) μ ; σ μ a 0,5 a b b + 0, 5 y + Itervallwahrscheilichkeit ohe Stetigkeitskorrektur Itervallwahrscheilichkeit mit Stetigkeitskorrektur

30 Die Berücksichtigug vo ±0,5 im Argumet der Verteilugsfuktioe der Normalverteilug, F(y) ud Φ(z), wird als Stetigkeitskorrektur bezeichet. Je größer ist, desto weiger wirkt sich die Stetigkeitskorrektur auf die Berechug der Wahrscheilichkeite aus. Beispiel 7.5: Ei Betrieb liefert Glühlampe i Kartos zu je 000 Stück. Aus frühere Utersuchuge ist bekat, dass der Betrieb im Mittel 3 % Ausschuss produziert. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich i eiem zufällig ausgewählte Karto zwische 0 ud 40 defekte Glühlampe befide? Es sei A das Ereigis, i dass eie etommee Glühlampe defekt ist. We A eitritt, d.h. die etommee Glühbire defekt ist, immt die Zufallsvariable de Wert a, sost 0. Die Zufallsvariable Y bezeichet die Azahl der defekte Glühlampe i dem zufällig ausgewählte Karto: 000 Y X i i Da wisse wir, daß Y biomialverteilt ist mit de Parameter 000 ud p0,03. Die gesuchte Wahrscheilichkeit dafür, dass Y i das Itervall [0,40] fällt, ergibt sich da aus ( ) y 000 y P 0 Y 40 0,03 0,97 y y 0

31 Eie Berechug der Wahrscheilichkeit mit dieser Formel ist jedoch zu umstädlich. Nach dem Zetrale Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace gilt jedoch, dass die stadardisierte Zufallsvariable Y p Z p p ( ) für große äherugsweise stadardormalverteilt ist. Da die Faustregel (7.30) > 309, 3 p ( p) 0,03 ( 0,03) ( ) erfüllt ist, köe wir die gesuchte Wahrscheilichkeit mit der Normalverteilug bestimme. Mit de Parameter ud erhalte wir P E(Y) p 000 0,03 30 ( p) 000 0,03 0,97 9, V(Y) p Φ Φ 9, 9, ( 0 Y 40) Φ(,85) Φ(,85) Aufgrud der Symmetrie der Stadardormalverteilug d t ist Φ(-,85) Φ(,85),.

32 so dass wir ach Ablese des Wertes aus der Verteilugstabelle der Stadardormalverteilug, z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767 die gesuchte Wahrscheilichkeit erhalte: P(0 Y 40) Φ (,85) Φ(,85) Φ(,85) [ Φ(,85) ] ( 0,9678) 0, ,9678 Daach beträgt die Wahrscheilichkeit, dass i eiem zufällig ausgewählte Karto vo 000 Glühlampe zwische 0 ud 40 Ausschussstücke vorhade sid, 93,6%. Allerdigs habe wir dieses Ergebis ermittelt, ohe zu berücksichtige, dass bei der Approximatio der Biomial- durch die Normalverteilug eie diskrete durch eie stetige Verteilug ageähert wird. We die gesuchte Wahrscheilichkeit uter Berücksichtigug der Stetigkeitskorrektur berechet wird, ergibt sich P ( 0 Y 40) , ,5 30 Φ Φ 9, 9, Φ,95 Φ,95 Φ,95 Φ,95 0,9744 0,9744 0,9488 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ).

33 We also die Stetigkeitskorrektur vorgeomme wird, erhöht sich die Wahrscheilichkeit um,3 Prozetpukte. f ( y ) ,936 0,949 Y ~ N(30; 9,) y

34 Approximative Normalverteilug des Ateilwerts P Der stadardisierte Ateilswert (relative Häufigkeit) (7.33) Z P p p ( p ) uterscheidet sich vo der stadardisierte Summevariable (7.8) ur um de Faktor im Zähler ud im Neer. Der Zetrale Grezwertsatz vo de Moivre ud Laplace gilt daher auch für de stadardisierte Ateilswert (7.33): (7.34) Z N ( 0, ) * a Der Ateilswert (relative Häufigkeit) P ist daher bei große (Faustregel: (7.30)) uter de VorausSetzuge des Zetrale Grezwertsatzes vo de Moivre ud Laplace approximativ ormalverteilt mit de Parameter E(P ) p ud V(P ) p( p)

35 Weitere Grezwertsätze Für de Zetrale Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy gibt es Verallgemeieruge. Grezwertsatz vo Ljapuoff: Gibt hireichede Bediguge a, uter dee der Zetrale Grezwertsatz vo Lideberg ud Lévy auch im Fall uabhägiger, aber icht otwedig idetisch verteilter Zufallsvariable gilt. Grezwersatz vo Lideberg-Feller: Gibt für de beim Grezwertsatz vo Ljapuoff geate Fall darüber hiaus die otwedige Bediguge a. Hierbei zeigt sich, dass uter recht allgemeie Bediguge die Summe uabhägiger ud beliebig (icht otwedig idetisch) verteilter Zufallsvariable stets asymptotisch ormalverteilt ist. Isbesodere lässt sich aus dieser Verallgemeierug zeige, dass eie Summevariable Y, die als additive Überlagerug vieler kleier uabhägiger Zufallseiflüsse mit relativ kleie Variaze iterpretierbar ist, asymptotisch eier Normalverteilug folgt. Gerigfügige Abweichuge vo der Uabhägigkeitsaahme schräke die Awedbarkeit icht ei.