Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 22 Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004):... 8 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000):... 9 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05) Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 22

2 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007) Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 2 von 22

3 Übungsaufgaben zu Kapitel 4 Aufgabe 28 Vervollständigen Sie die Tabelle über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Beispielen: Begriff Zufallsexperiment: ein (prinzipiell) beliebig oft wiederholbares Experiment, dessen Ergebnis aufgrund von Zufallseinflüssen nicht vorhersehbar ist. Realisierung eines Zufallsexperiments: das Ergebnis der tatsächlichen Durchführung eines Zufallsexperiments. Ergebnisraum Ω : umfasst alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Ereignis: Teilmenge von Ω, enthält ein Ergebnis oder mehrere Ergebnisse, oder auch alle Ergebnisse oder gar kein Ergebnis. Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A: beschreibt, wie groß die Chance des Eintretens von A ist. Relative Häufigkeit eines Ereignisses A: Wird ein Zufallsexperiment n-mal realisiert, und tritt dabei das Ereignis A genau k-mal ein, so heißt h n (A) = k/n) die relative Häufigkeit von A. Beispiel Aufgabe 29 a) Aus welchen Elementen besteht die Ergebnismenge Ω, wenn als Zufallsexperiment ein Würfel geworfen wird und die Augenzahl abgelesen wird. b) Beschreiben Sie die Ergebnismenge Ω wenn das Zufallsexperiment wie folgt aussieht: Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe vom Umfang 100 werden gezählt. c) Bei der samstäglichen Ziehung der Lottozahlen werden 7 aus 49 (von 1 bis 49 durchnummerierten) Kugeln zufällig gezogen und die jeweiligen Nummern registriert. Jeden Samstag vollzieht sich somit ein Zufallsexperiment. Aus welchen Elementarergebnissen besteht das Experiment? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 3 von 22

4 Aufgabe 30 a) Zufallsexperiment Wurf eines Würfels: Geben Sie die Ereignisse A=Wurf einer geraden Augenzahl und B=Wurf von Augenzahl 2 an. b) Zufallsexperiment Zählung der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe: Geben Sie die Ereignisse A=keine defekte Glühbirne und B=höchstens zwei defekte Glühbirnen an. c) Zufallsexperiment Wurf von zwei Münzen: Geben Sie die Ergebnismenge Ω, sowie die Ereignisse A=Wurf von mindestens einem Kopf, B=Wurf von genau einer Zahl an. Aufgabe 31 In einer Lostrommel befinden sich 4000 Lose, die von 1 bis 4000 durchnummeriert sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los ein gewinn, wenn a) jedes Los, das mit einer 1 beginnt gewinnt. b) Jedes Los, dessen Nummer eine durch 17 teilbare Zahl darstellt gewinnt. Aufgabe 32 Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Bücherei 10 Bücher auf ein Regalbrett zu stellen, wenn a) alle 10 Bücher verschieden sind? b) es 10 Bücher aus einem dreibändigen Werk sind, und zwar 3-mal der erste Band, 2- mal der zweite Band und 5-mal der dritte Band? (Die verschiedenen Exemplare ein und desselben Bandes sind nicht zu unterscheiden.) Aufgabe 33 Beim Fußballtoto (13er-Wette) ist der Ausgang von 13 vorher festgelegten Begegnungen zu tippen. Für jede Begegnung muss auf dem Wettschein eine 1 (= Sieg der Heimmannschaft), eine 2 (= Sieg der Auswärtsmannschaft) oder eine 0 (= Unentschieden) eingetragen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier, den Wettschein (Muster eines Toto-Spielscheines: siehe Abbildung) auszufüllen? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 4 von 22

5 Muster Aufgabe 34 Ein Passwort kann aus sechs bis acht Zeichen bestehen (Kleinbuchstaben oder Ziffern). Wie viele mögliche Passwörter gibt es? Aufgabe 35 Bei einer Pferdewette sind die ersten drei Plätze eines Pferderennens zu tippen. Es nehmen 20 Pferde am Rennen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Wettschein auszufüllen? Aufgabe 36 Der Vorstand eines Unternehmens besteht aus fünf Personen A, B, C, D, E. Für ein bestimmtes Projekt soll eine Arbeitsgruppe mit drei Mitgliedern gebildet werden. Wie viele solcher Arbeitsgruppen sind möglich? Aufgabe 37 Unter den 250 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose. Herr X kauft zu Beginn der Lotterie gleich 20 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 5 Gewinnlose erwischt? Aufgabe 38 Auf wie viele Arten können sich zwei nicht unterscheidbare Spatzen auf vier Telegraphenleitungen verteilen? Schreiben Sie alle Möglichkeiten auf. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 5 von 22

6 Aufgabe 39 Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes Kennzeichen nach dem Ortskennzeichen aus 2 Buchstaben und einer vierstelligen Zahl besteht? Aufgabe 40 Bei einem Festakt wurde ein Tisch für 8 Ehrengäste reserviert. Aus Versehen wurden die Tischkarten mit den Namen für die Gäste nicht an die Plätze gelegt, so dass die Ehrengäste ihren Platz am Tisch selbst wählten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass alle Ehrengäste zufällig die mit den Platzkarten beabsichtigte Sitzordnung fanden, wenn man alle Sitzordnungen als gleich wahrscheinlich annimmt? Aufgabe 41 a) Wie viele verschiedene Würfe sind mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln möglich? Hinweis: Ein Wurf ist gekennzeichnet durch die beiden oben liegenden Augenzahlen. Beachten Sie, dass die Würfel nicht unterscheidbar sind, so dass { 1, 2} denselben Wurf darstellt wie { 2,1}. b) Schreiben Sie alle möglichen Würfe auf.. Aufgabe 42 Eine Urne enthält 3 Kugeln, die mit A, B und C beschriftet sind. Es wird zweimal aus der Urne gezogen. Man kann auf verschiedene Arten ziehen bzw. das Ergebnis notieren: 1. Es wird mit Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche als zweite gezogen wird. 2. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche als zweite gezogen wird. 3. Es wird mit Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste (vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft A, B und C gezogen wurde. 4. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste A B C (vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft A, B und C gezogen wurde. a) Berechnen Sie für jede der vier oben genannten Arten, wie viele Möglichkeiten auftreten. b) Schreiben Sie für jede der vier Arten alle vorkommenden Möglichkeiten auf. Aufgabe 43 Eine Lieferung aus 100 Glühbirnen enthält 5 defekte. Es werden zufällig 10 Glühbirnen gezogen. a) Wie viele verschiedene Stichproben sind möglich? b) Wie viele dieser Stichproben enthalten nur unbeschädigte Glühbirnen? c) Wie viele der möglichen Stichproben haben genau zwei defekte Glühbirnen? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 6 von 22

7 d) Wie viele der möglichen Stichproben haben höchstens zwei defekte Glühbirnen? Aufgabe 44 Franz Vergesslich kann sich an eine wichtige Telefonnummer nicht mehr erinnern. Er weiß nur noch, dass weder eine 0 noch eine 8 vorkam und die Nummer aus 5 Ziffern bestand. a) Wie viele solche Telefonnummern gibt es? b) Franz ist außerdem wieder eingefallen, dass keine Ziffer doppelt vorkam. Wie viele Nummern gibt es jetzt noch? Aufgabe 45 Eine Lieferung von zehn PCs enthält drei fehlerhafte Geräte. Man entnimmt dieser Lieferung eine Stichprobe vom Umfang 5. a) Wie viele verschiedene Stichproben vom Umfang 5 gibt es? b) Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte? c) Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät? Aufgabe 46 Ein Weinversand hat 18 Weine im Angebot. Die Kunden können sich hieraus Kisten mit 6 Flaschen zusammenstellen, wobei sie freie Auswahl haben (es müssen also z. B. nicht 6 gleiche oder 6 unterschiedliche Weine sein). Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Kiste zusammenzustellen? Aufgabe 47 Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Uns interessieren die Ereignisse A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen; B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen. a) Beschreiben Sie die Gegenereignisse A und B mit Worten. b) Berechnen Sie P (A) und P (A). c) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A B mit Worten. d) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A B mit Worten. e) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt. f) Wie groß ist P( A B)? g) Wie groß ist P (B)? h) Wie groß ist P( A B)? Aufgabe 48 Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Uns interessieren die Ereignisse A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen; B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 7 von 22

8 a) Wie groß ist P (B)? Wie groß ist P (B)? b) Wie groß ist P( A B)? c) Wie groß ist P( A B)? Aufgabe 49 Ein gezinkter Würfel wird geworfen. Man hat für jede einzelne Augenzahl (empirisch) folgende Wahrscheinlichkeiten gefunden: 1 1 P ( 1) =, 12 P ( 6) = und die Wahrscheinlichkeit für jede der übrigen Augenzahlen ist 4 jeweils gleich 61. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) eine gerade Augenzahl b) eine ungerade Augenzahl zu würfeln? Aufgabe 50 Aus einem Spielkartenpaket (32 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder eine Kreuz-Karte zu ziehen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder einen König zu ziehen? Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004): Aus einem Kasten mit 17 roten und 28 schwarzen Kugeln werden blind 2 Kugeln nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen. a) Zeichnen Sie hierfür ein Baumdiagramm. Beschriften Sie jedes Teilstück eines Pfades mit der zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeit. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben. Aufgabe 52 Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten K1 und K2 parallel geschaltet. Das System funktioniert also, wenn K1 oder K2 funktioniert (oder beide funktionieren). Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % betragen, und die von K2 betrage 0,3 %. Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen. Berechnen Sie a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt; b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist. Aufgabe 53 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 1 % Seite 8 0,3 von % 22 K1 K1 1% K2 0,3 % K2

9 Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten K1 und K2 in Reihe geschaltet. Das System funktioniert also nur, wenn K1 und K2 beide funktionieren. Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % betragen, und die von K2 betrage 0,3 %. Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen. Berechnen Sie a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt; b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist. Aufgabe 54 Es werden n Komponenten gleicher Bauart zu einem System parallel geschaltet. Die Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Komponente betrage 7,2 %. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems unter 50 ppm (ppm = 10-6 ) liegt? Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000): Für die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Aggregates ist die Ausfallrate eines sehr teuren Bauelementes A mit 10 ppm ( ppm = 10 6 ) zu hoch, und es werden für den Notfall die preisgünstigeren Elemente B und C parallel geschaltet, die einen Fehleranteil von 1 % (B) bzw. 0,1 % (C) aufweisen. Entsprechend der Schaltung müssen bei Ausfall von A sowohl B als auch C funktionieren, damit die Funktionsfähigkeit des Aggregates aufrecht gehalten wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Schaltung? 10 ppm Zusatz: Welche Annahme müssen Sie treffen, um hier überhaupt rechnen zu können? A B C 1 % 0,1 % Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 9 von 22

10 Aufgabe 56 Ein Kandidat ist in einer Quizshow ist bis zum vorletzten Schritt vorgedrungen. Er befindet sich vor drei gleich aussehenden Türen und weiß, dass sich hinter einer ein schickes Auto verbirgt, hinter den beiden anderen aber nur jeweils eine Ziege (die für eine Niete steht). Der Kandidat zeigt auf eine Tür ohne diese zu öffnen. Dann gebietet der Showmaste Einhalt und sagt: Ich helfe Ihnen ein bisschen und öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Er fragt anschließend den Kandidaten: Möchten Sie bei Ihrer alten Entscheidung bleiben oder wollen Sie die andere noch verbleibende Tür wählen? Wie soll der Kandidat vorgehen, soll er bei seiner ersten Wahl bleiben oder ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn er die Türen wechselt? Berechnen Sie für Ihre Entscheidung jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Strategien. Aufgabe 57 Ein Automobilhersteller bezieht 40 % seiner Scheibenwischer vom Zulieferer X, 60 % vom Zulieferer Y. Die Wareneingangskontrolle stellt fest, dass 1 % der von X gelieferten Scheibenwischer defekt sind und 2 % der von Y gelieferten. a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt. Verwenden Sie folgende Ereignisse: A = der Scheibenwischer ist defekt; B = der Scheibenwischer wurde von X geliefert. b) Aus dem Wareneingang wird zufällig ein Scheibenwischer herausgezogen. Er ist defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Zulieferer X? Aufgabe 58 In einem Krankenhaus wird mit einem Schnelltestverfahren geprüft, ob ein Patient an einer bestimmten versteckten Krankheit leidet. Wenn der Patient tatsächlich an dieser Krankheit erkrankt ist, zeigt das Verfahren in 96 % der Fälle dies richtig an. Andererseits erfolgt bei 2 % der Fälle, bei denen der Patient nicht erkrankt ist, trotzdem eine Testreaktion. Etwa 0,5 % der Patienten leiden an dieser Krankheit. a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm. b) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten wird der Test durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfolgt eine Reaktion? c) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten hat der Test eine Reaktion gezeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich unter der Krankheit? Aufgabe 59 Ein Unternehmer steht vor der Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen. Alternative A ist mit Investitionskosten von GE, Alternative B mit Kosten von GE verbunden. Der Unternehmer schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich sein Geschäft im nächsten Jahr normal entwickelt, auf 70 % ein; die Wahrscheinlichkeit für eine gute Geschäftsentwicklung auf 10 % und die für eine schlechte Geschäftsentwicklung auf 20 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 10 von 22

11 %. Die folgende Tabelle gibt den Zusatzumsatz bei den beiden Alternativen in Abhängigkeit von der Geschäftsentwicklung im nächsten Jahr an. Geschäfts- Zusatzumsatz entwicklung Alternative A Alternative B gut , ,- normal , ,- schlecht , ,- a) Die Zufallsvariable X beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz Investitionskosten), der bei Strategie A erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte von X an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung σ von X. b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz Investitionskosten), der bei Strategie B erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte von Y an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von Y. c) Vergleichen Sie die beiden Alternativen. Wie sind µ und σ zu interpretieren? Welche Alternative ist vorzuziehen? d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X. Aufgabe 60 Die Zufallsvariable X beschreibe die Augenzahl beim Werfen eines Würfels. a) Bestimmen Sie die diskrete Dichte von X. b) Zeichnen Sie die diskrete Dichte von X in einem Histogramm. c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X. d) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. e) Berechnen Sie die Varianz von X. f) Wie groß ist die Standardabweichung von X? Aufgabe 61 Gegeben ist die Zufallsvariable X=Augensumme von zwei Würfeln. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Augensumme ist 5 an. b) Geben Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. c) Geben Sie P( X 4 ) an. d) Geben Sie P( X > 5 ) an. Aufgabe 62 3 Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft Kopf auftritt. a) Welche Verteilung hat X? b) Geben Sie die diskrete Dichte von X an, und stellen Sie sie in einem Histogramm dar. c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X. d) Geben Sie Erwartungswert und Varianz von X an. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Münze Kopf zeigt? f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Münzen Kopf zeigen? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 11 von 22

12 Aufgabe 63 Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR. Wird eine 1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2,- EUR. Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,- EUR. (D. h., beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR.) a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw. Verlust. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). Ist das Spiel fair? Aufgabe 64 In einem Behälter befinden sich 20 Kugeln, davon sind 4 blau und 16 rot. Aus dem Behälter werden nun ohne Zurücklegen 5 Kugeln zufällig entnommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau 2 blaue Kugeln vorzufinden? b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=Anzahl der blauen Kugeln in der Stichprobe an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar. Aufgabe 65 In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, und zwar 4 schwarze und 6 weiße. Es wird 5-mal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze Kugeln zieht? Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05) Ein Unternehmen hat sich zu seinem 22-jährigen Bestehen ein Gewinnspiel ausgedacht. Bei dem Gewinnspiel müssen die Teilnehmer auf einem Schein mit 22 Zahlen 2 Zahlen ankreuzen. Anschließend werden 2 Gewinnzahlen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei diesem Spiel 0 Richtige, 1 Richtige bzw. 2 Richtige zu haben. Die Teilnahme an dem Spiel soll allerdings für die Kunden nicht kostenlos sein, sondern pro Schein einen Einsatz von 1,- Euro kosten. Hat der Kunde 2 Richtige, erhält er 22,22 Euro Gewinn und zusätzlich seinen Einsatz zurück. Bei 1 richtigen Zahl erhält er einen Trostpreis von 5,- Euro, aber seinen Einsatz nicht zurück (= 4,- Gewinn). b) Welchen Gewinn oder Verlust kann das Unternehmen erwarten, wenn 1000 Kunden an diesem Glücksspiel teilnehmen? Aufgabe 67 In einer Urne befinden sich 40 % schwarze und 60 % weiße Kugeln. Es wird 5-mal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze Kugeln zieht? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 12 von 22

13 Aufgabe 68 Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = Von diesen 1000 sind M = 35defekt. Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung natürlich nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 20 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in dieser Stichprobe sind. a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt? b) Berechnen Sie P ( X =1) exakt. c) Berechnen Sie P ( X =1) näherungsweise unter Verwendung der Binomialverteilung. (Darf man das hier?) Aufgabe 69 Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10 %. Aus der laufenden Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke. Berechnen Sie (unter der Annahme, dass die vier Ereignisse Stück i ist defekt, i = 1,... 4, unabhängig sind) a) die diskrete Dichte von X; b) den Erwartungswert von X; c) die Varianz von X. Aufgabe 70 a) Berechnen Sie P ( X = 2) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X. b) Berechnen Sie P ( X 3) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X. c) Berechnen Sie F(3), wobei F die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,025)-verteilten Zufallsvariablen X bezeichne. d) Berechnen Sie P ( 48 Y < 50) für eine B(100; 0,47)-verteilte Zufallsvariable Y. e) Berechnen Sie P(Z < 98) für eine B(100; 0,94)-verteilte Zufallsvariable Z. f) Sei G die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,94)-verteilten Zufallsvariable Z. Berechnen Sie G(98). Aufgabe 71 Über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen bestehende Ziffernfolgen, übermittelt. Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar erhält der Empfänger mit Wahrscheinlichkeit 9,7 % nicht die gesendete Ziffer, sondern die falsche. Das Auftreten von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei voneinander unabhängig. Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die richtige Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander, also statt 0 und statt 1. Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe nach der Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche die Bedeutung die Fünfergruppe haben soll. Bei drei oder mehr Einsen (z. B. bei 10110) entscheidet er also, dass eine (verfünffachte) 1 gesendet wurde, bei drei oder mehr Nullen (z. B. bei 00010) interpretiert er die Fünfergruppe als 0. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 13 von 22

14 Mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert der Empfänger eine Fünfergruppe falsch? Aufgabe 72 Ein Würfel wird 7-mal geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal die Augenzahl 1 zu werfen? b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = Anzahl der geworfenen Einsen an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar. Aufgabe 73 In einer Lieferung sind 2000 Einheiten, davon sind 60 fehlerhaft. Es wird eine zufällige Stichprobe vom Umfang n = 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau zwei fehlerhafte Einheiten zu ziehen? Lösen Sie a) exakt und b) mit Näherung durch die Binomialverteilung. Aufgabe 74 In einem Behälter liegen 50 Dichtungen, davon sind 10 defekt. Man greift zufällig in den Behälter und entnimmt 10 Dichtungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehleranteil im Behälter danach genauso groß ist wie vorher? Aufgabe 75 Ein Batterietestgerät kann gleichzeitig 5 Batterien prüfen. Unter 25 Batterien sind 2 fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese gleich beim ersten Test entdeckt werden? Aufgabe 76 Aus einer Lieferung ( Prüflos ) vom Umfang N wird eine Stichprobe vom Umfang n zufällig gezogen. Falls in der Stichprobe höchstens c fehlerhafte Stücke sind, wird das Los angenommen; anderenfalls wird das Los zurückgewiesen. Man spricht hier von einem (n c)- Prüfplan oder von einer (n c)- Stichprobenanweisung. c heißt Annahmezahl (= maximal erlaubte Anzahl von Defektstücken in der Stichprobe). Ein Prüflos von N = 1000 Einheiten wird mit Hilfe des Prüfplans (80 1) überprüft. In der Lieferung befinden sich M = 10 fehlerhafte Einheiten (was dem Abnehmer natürlich unbekannt ist). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung angenommen wird? a) Rechnen Sie exakt. b) Rechnen Sie näherungsweise mit der Binomialverteilung. c) Nähern Sie die Binomialverteilung aus b) durch eine Poisson-Verteilung an. d) Sind nach den Faustregeln die Näherungen in b) und c) eigentlich zulässig? Falls nein, halten Sie die Näherungen trotzdem für brauchbar? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 14 von 22

15 Aufgabe 77 In einer Telefonzentrale gehen im Mittel in 5 Minuten 3 Gespräche ein. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 5-Minuten- Zeitraum genau ein Gespräch eingeht? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 10- Minuten-Zeitraum genau zwei Gespräche eingehen? Aufgabe 78 Lackierte Bleche besitzen Lackfehler. Im Mittel sind es 0,4 Fehler pro Blech. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Lackfehler auf einem Blech. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem zufällig ausgewählten Blech genau 2 Lackfehler sind? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf zwei zufällig ausgewählten Blechen zusammen genau 4 Lackfehler sind? Aufgabe 79 Bei der Herstellung einer bestimmten Gewebesorte kann die Zahl der Webfehler pro 1 m 2 als Poisson-verteilt angesehen werden mit Erwartungswert 0,8. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 1 m 2 keinen Fehler zu finden? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 5 m 2 drei oder mehr Fehler zu finden? c) Es sei F die Verteilungsfunktion der Zahl der Webfehler auf einem 5 m 2 großen Gewebestück. Berechnen Sie F(2). Welche Wahrscheinlichkeit ist das? Aufgabe 80 Angenommen eine Straßenbahn fährt pünktlich alle 10 Minuten. Wenn man zufällig zur Haltestelle kommt, dann ist die Wartezeit X eine Zufallsvariable, die kontinuierlich alle Werte von 0 bis 10 annehmen kann, wobei jede Wartezeit gleich wahrscheinlich ist. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher k, 0 < x < 10 f ( x) =, wobei k eine Konstante ist. 0, sonst a) Bestimmen Sie k. b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F an. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 3 Minuten zu warten? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Minuten zu warten? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 5 und 9 Minuten zu warten? f) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Wartezeit an der Straßenbahnhaltestelle. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 15 von 22

16 Aufgabe 81 Die Lebensdauer X (in Jahren) eines elektronischen Bauteils, das zufällig ausfällt, kann oft durch eine Verteilungsfunktion der Form kx 1 e, 0 x FX ( x) = 0, x < 0 angegeben werden. Dabei ist k eine Materialkonstante. a) Geben sie die zugehörige Dichtefunktion f an. Für ein bestimmtes Bauteil ist k = 1: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer b) höchstens 1 Jahr c) zwischen 1 und 2 Jahre d) größer als 2 Jahre ist? Aufgabe 82 Die Zufallsvariable X beschreibt die Lebensdauer eines bestimmten Glühbirnentyps (gemessen in Stunden). Die Verteilungsfunktion von X sei die folgende Funktion: 0 für x < 0 F( x) = x / e für x 0 a) Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a1) Die Glühbirne hält höchstens 1000 Stunden. a2) Die Glühbirne hält mindestens 1500 Stunden. a3) Die Glühbirne hält mindestens 1000 und höchstens 1500 Stunden. b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion. c) Welche Lebensdauer erreichen 50 % der Glühbirnen? Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007) An der Wareneingangskontrolle wird eine Massensendung mit Einzelteilen nach folgendem Schema geprüft: Man entnimmt der Sendung zufällig 8 Teile und prüft diese. Sind alle Teile einwandfrei, so wird die Sendung sofort akzeptiert. Bei zwei und mehr defekten Teilen wird die Sendung sofort zurückgewiesen. Bei einem defekten Teil entscheidet eine zweite Stichprobe vom Umfang 4. Sind dann alle Teile in Ordnung, so wird die Sendung akzeptiert, bei mindestens einem defekten Teil in der zweiten Stichprobe wird die Sendung endgültig zurückgewiesen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei diesem Verfahren eine Sendung mit 12% Ausschuss akzeptiert? Aufgabe 84 Aus einer laufenden Produktion wurden die Widerstandswerte (in m Ω ) von 200 elektronischen Bauteilen gemessen. Es ergaben sich die in der Tabelle angegebenen Werte. Widerstand (in m Ω ) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 16 von 22

17 größer als bis max Anzahl der Bauteile Es soll überprüft werden, ob man die Widerstandswerte als normalverteilt N ( µ, σ ) ansehen kann. a) Zeichnen Sie dazu zunächst ein Histogramm. 2 2 b) Berechnen Sie Punktschätzer µˆ bzw. ˆ σ für µ und σ. c) Die Funktion g sei das 1000-fache der Dichte einer N( ˆ, µ ˆ σ ) -Verteilung, also gegeben durch folgende Funktionsgleichung: 1000 g ( x) = e 2 2πσˆ Punktschätzer sind. 2 1 x ˆ µ 2 ˆ σ, wobei µˆ und 2 ˆ σ die in b) berechneten Berechnen Sie (zur Kontrolle) g (315). d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in Ihr Schaubild aus a) ein. Berechnen Sie dazu (z. B. mit einem programmierbaren Rechner oder mit Excel) die Funktionswerte g (300), g (305), g (310),..., g (360) und verbinden Sie diese Punkte durch eine Kurve. e) Vergleichen Sie ( nach Augenmaß ) Histogramm und Funktionskurve. Kann man davon ausgehen, dass die Widerstandswerte normalverteilt sind? f) Warum ist der Faktor 1000 in Aufgabenteil c) erforderlich? g) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F einer N( ˆ, µ ˆ σ ) -verteilten Zufallsvariablen Aufgabe 85 Nachfolgend finden Sie die Dichten von vier verschiedenen Normalverteilungen skizziert. Beschriften Sie die Dichten: Welche Werte haben jeweils die Parameter µ und 2 σ? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 17 von 22

18 2 Machen Sie sich anhand der Skizzen die Bedeutung von µ und σ bei einer Normalverteilung klar. a) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 b) ,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, c) d) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 18 von 22

19 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Aufgabe 86 Die Zufallsvariable Z sei N(0; 1)-verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Tabelle der Φ -Funktion. a) P ( Z 1,5) b) P ( Z >1,5) c) P ( 0,43 Z 1,5) d) P ( Z 1,5) e) P ( Z = 2) Aufgabe 87 Die Zufallsvariable X sei N(100; 20)-verteilt. Berechnen Sie a) P ( X 109) b) P ( X > 95). Aufgabe 88 Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt, falls erforderlich, mit einer Skizze. a) P ( Z < 0,99) b) P ( Z 1,23) c) P ( Z > 2,27) d) P ( Z > 2,27) e) P ( 1,1 Z < 2,1) f) P ( Z = 0,18) Aufgabe 89 Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine N(200; 10)-verteilte Zufallsvariable X. (Skizze!) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 19 von 22

20 a) P ( 202 X 205) b) P ( 197 < X < 203) c) P ( 198 X 199) Aufgabe 90 Das Gewicht (in kg) von Schülern einer bestimmten Altersgruppe sei N(73; 64)- normalverteilt. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten. a) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 75 und 85 kg. b) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 90 kg. c) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 70 kg. d) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 65 und 81 kg. Aufgabe 91 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariable X vom Erwartungswert µ um höchstens a) σ, b) 2σ, c) 3σ. Aufgabe 92 Eine Maschine füllt Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Die Füllmenge (in ml) kann als normalverteilt angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701, 25 und Standardabweichung σ = 0, 9. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. a) Die Füllmenge unterschreitet den Sollwert von 0,7 l. b) Die Füllmenge übersteigt 705 ml. c) Die Füllmenge weicht um mehr als 2 ml vom Sollwert ab. d) Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der d1) mit Wahrscheinlichkeit 98 % d2) mit Wahrscheinlichkeit 99 % die (zufällige) Füllmenge einer Flasche enthält. (Skizze!) e) Welche Füllmenge wird von nur 1 % aller Flaschen unterschritten? Aufgabe 93 Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei durch eine N(1000; 10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Bestimmen Sie a) einen zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich für X; b) die beiden einseitigen 95-%-Zufallsstreubereiche für X. Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) Bei einer Studie wurde die Lesekompetenz von Schülern auf einer Punktskala gemessen (hoher Punktwert = hohe Lesekompetenz). Für eine bestimmte Schülergruppe ergab sich, dass die Lesekompetenz durch eine N(550; 3600)-Normalverteilung beschrieben werden Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 20 von 22

21 kann. Welche Punktwerte hatten die 5 % der Schüler, die am schlechtesten lesen konnten? Aufgabe 95 Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei N(1000; 10)- verteilt. Ein Karton enthält 100 Packungen Zucker. Berechnen Sie einen zweiseitigen 95-%- Zufallsstreubereich für das mittlere Packungsgewicht der 100 Packungen eines zufällig ausgewählten Kartons. Aufgabe 96 Die Füllmenge von Kaffeepackungen (in g) sei N(500; 5)-verteilt. Es wird eine Stichprobe von n = 20 Packungen zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Das Gesamtgewicht G der Stichprobe liegt bei höchstens 9,990 kg. b) Das Durchschnittsgewicht D der Stichprobe liegt bei höchstens 499 g. Aufgabe 97 In einem chemischen Prozess werden über eine Dosiervorrichtung nacheinander zwei Stoffe zugeführt. Die beiden Stoffmengen sind unabhängig normalverteilt mit µ 1 = 100 g und σ1 = 2 g sowie µ 2 = 75 g und σ 2 = 1 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zugeführte Stoffmenge beider Stoffe zusammen weniger als 170 g beträgt? Aufgabe 98 Eine Maschine schneidet Drahtstücke zu. Die Zufallsvariable X, die die Länge (in mm) eines zufällig ausgewählten Drahtstücks beschreibt, sei normalverteilt mit µ = 501 und σ 2 = 7. a) Berechnen Sie einen zweiseitigen 95 %-Zufallsstreubereich für X. b) Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X. c) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Zufallsstreubereiche für X. d) Es werden zufällig n = 50 Drahtstücke aus der Produktion dieser Maschine entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibe die mittlere Drahtlänge dieser Stichprobe. Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X. Aufgabe 99 Bei einem Produktionsprozess liegt der Ausschussanteil bei p = 2 %. Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 500 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe mehr als 15 Ausschussstücke enthalten sind? Rechnen Sie a) exakt; b) näherungsweise mit der Normalverteilung. Vergleichen Sie den Aufwand. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 21 von 22

22 Aufgabe 100 Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme zwischen (einschließlich) 340 und 360 liegt? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 22 von 22