Strichlisten bei Laplace-Experimenten zum Paradox der ungleichmäßigen Verteilung

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Jan Egger
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1 Strichlisten bei Laplace-Experimenten zum Paradox der ungleichmäßigen Verteilung DIETMAR PFEIFER INSTITUT FÜR MATHEMATIK

2 Die Problemstellung aus: Mathebaum 4, S

3 In der Klasse 6b werfen 28 Schülerinnen und Schüler je 30-mal einen Würfel und notieren das Ergebnis in einer Strichliste. Anschließend werden alle Ergebnisse an der Tafel zusammengefasst. Das Ergebnis seht ihr in der Tabelle. Was lässt das Ergebnis vermuten? Wie müsste die Tabelle ergänzt werden, damit sich eure Vermutung bestätigt? aus: mathe live 6, S. 71 3

4 Die nachfolgende Tabelle erhält die Strichlisten von Lisa, Frerk und Ubbo für das 100-malige Werfen eines fairen Würfels (Aufgabe 1 aus Mathebaum 4). Zwei von ihnen sind echt, eine ist am Schreibtisch ausgedacht. Welche? Ergebnis Wahrscheinlichkeit Lisa , Frerk , Ubbo , VU-Statistik 4

5 1. Feststellung: Wird ein Laplace-Experiment mit m gleichwahrscheinlichen Ausgängen n mal unabhängig wiederholt, so genügt die Zufallsvariable Z nk,, die zählt, wie häufig der Versuchsausgang k beobachtet wird, einer B ( n,1/ m)-binomialverteilung: ( i) PZ nk, n ( m 1) n i = = n i m für i= 0,, n. In Aufgabe 1 oben: n= 100, k = 6. 5

6 2. Feststellung: n ( n,1 n, m Die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors Z = Z,, Z ) ( die Strichliste ) genügt analog einer Multinomialverteilung 1 m ( Z = (,, )) = i i { } P i i n i,, i m n 1 m n M( n; 1/ m,,1/ m): m mal für,, 0,, 1 m n mit m j= 1 i j = n. 6

7 n Dabei bezeichnet! i,, 1 i m = n den so genannten Multinomialkoeffizienten; i! i! 1 m er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie man n unterscheidbare Objekte auf m Fächer so verteilen kann, dass im j-ten Fach genau Objekte zu liegen kommen. Für m = 2 erhält man dabei wegen i1+ i2 = n den bekannten Binomialkoeffizienten i j n n! n! n n i1, i = = = 2 i1! i2! i1!( n )! = i 1 i1 i 2 zurück. 7

8 3. Feststellung: j 1 n n i m k,, = k= 0 i1 i m j= 1 i j mit i 0 = 0. Dies lässt sich kombinatorisch begründen: aus den n Objekten werden zunächst n ohne Zurücklegen gezogen und in das erste Fach gelegt; das geht auf Weisen. i Es verbleiben n i Objekte; aus denen werden i 1 2 ohne Zurücklegen gezogen und n i 1 in das zweite Fach gelegt; das geht auf Weisen usw. i 2 1 i 1 8

9 Für das Ausgangsproblem bedeutet dies also: die gemeinsame Strichliste Z 100 beim 100-fachen Würfelwurf ist M(100 ; 1/ 6,,1/ 6) -verteilt, d.h. es gilt 100 i,, i ( Z = (,, )) = i,, i { 0,,100} P i i für mit j= 1 i j =

10 Beispiel Frerk: P ,15,19,16,18,15 = = 6 ( Z (17,15,19,16,18,15)) = = 0, POLYNOMIAL 10

11 Das Paradox der ungleichmäßigen Verteilung Ähnlich wie bei der Ziehung der Lottozahlen stellen wir uns nun vor, dass die Anzahlen der einzelnen Augen-Strichlisten der Größe nach sortiert werden. Den resultierende Zufallsvektor bezeichnen wir gleich allgemeiner mit S = ( S,, S n n,1 n, m ). Mit einem Argument ähnlich dem obigen erhalten wir dann S n als Verteilung von den Ausdruck 11

12 n m i1,, im r1,, rm P( Sn = ( i1,, im) ) = n m ( i ) für alle angeordneten m-tupel i,, 1 m m mit i i und i = n, wobei hier noch die r angeben, wie oft die Zahl i in dem Tupel ( i,, 1 i m ) vorkommt. 1 m j= 1 j m Es gibt nämlich genau r,, Möglichkeiten, aus der sortierten Strichliste S 1 r n m alle möglichen (unsortierten) Strichlisten Z n mit denselben Einträgen zu erzeugen. 12

13 Damit hat bei dem ursprünglichen Problem die der gleichmäßigen Verteilung am nächsten liegende sortierte Strichliste (16,16,17,17,17,17) die Wahrscheinlichkeit ( S ( 16,16,17,17,17,17) ) P = ,16,17,17,17,17 2,4 = = 0, , d.h. in Experimentwiederholungen mit je 100 Würfelwürfen tritt dieser ideale Fall (d.h. die Strichliste enthält nur die Einträge 16 und 17) durchschnittlich etwa nur 3 mal auf! 13

14 Wir betrachten nun als Maß der Ungleichverteilung innerhalb der Strichliste die so genannte Spannweite D n, d.h. die Differenz aus dem größten und kleinsten Eintrag, also die Zufallsvariable { } { } D = max Z min Z = S S. n n, k n, k n, m n,1 1 k m 1 k m Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung kann explizit berechnet werden, nämlich vermöge 1 n m P( Dn = d) = P( n ( i1,, im) ) S = = n m i,, i r,, r ( i,, i ) I ( d) ( i,, i ) I ( d) 1 m n 1 m n 1 m 1 m für d = 0,, n mit der von d abhängigen Indexmenge m In( d) = i,, im 0 i im n, im i = d, i j = n. {( 1 ) j= 14

15 ( i,, i ) d ( r,, r) P( S = ( i,, i )) , , , , , , , , , , ,

16 , , , , , , , , , , , , , ,

17 , , , , , , , , , , , , , , ,

18 , , , , , , , , , , , , , ,

19 , , , , , , , , , , , , , , ,

20 , , , , , , , , ,

21 0,14 0,12 ( = d) P D 100 0,1 0,08 0,06 0,04 0, d exakte Verteilung der Spannweite bei einer Würfelwurfzahl von n =100 21

22 0,4 0,35 ( = d) P D ,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, d empirische Verteilung der Spannweite bei einer Würfelwurfzahl von n =1000 Hierfür wurden insgesamt 1 Milliarde (!) Würfelwürfe mit dem PC simuliert, das entspricht der Simulation von 1 Million Strichlisten. VU-Statistik 22

23 Schlussfolgerungen Betrachtet man nur Einzelergebnisse von Strichlisten, sind diejenigen, die eine kleinere Spannweite besitzen, wahrscheinlicher als diejenigen, die eine größere Spannweite besitzen. Beispiel: Frerks Strichliste ist als Einzelergebnis mit einer Spannweite von 4 wahrscheinlicher als die Strichlisten von Lisa und Ubbo mit den Spannweiten von 12 bzw. 9. Ergebnis d Ergebnis-W keit Lisa , Frerk , Ubbo ,

24 Aber: Die Eigenschaft der Gleichmäßigkeit der Strichliste ist ein Ereignis, das mehrere Einzelergebnisse umfasst. Die Menge der möglichen Fälle nimmt schneller mit der Spannweite zu, als die Wahrscheinlichkeit der zugehörigen Einzelergebnisse abnimmt. Ergebnis d Spannweiten-W keit Lisa , Frerk , Ubbo ,

25 ( i,, i ) d ( 1,, r ) Möglichkeiten P S = i,, i 1 6 r ( ( )) , Summe: 15 0, , , , Summe: 81 0, , , , , , Summe: 480 0,

26 Literatur G. Hübner et al. (2004): Mathebaum 4. Neubearbeitet von Prof. Dr. Kristina Reiss, Oldenburg. Schroedel, Braunschweig. Ch. Emde et al. (2006): Mathe live 6. Mathematik für Gesamtschulen, Ernst Klett Verlag, Stuttgart. D. Pfeifer (2006): Strichlisten bei Laplace-Experimenten zum Paradox der ungleichmäßigen Verteilung. Stochastik in der Schule 26 (2006), Heft 3,

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