HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 2) HRP BOS-

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1 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Bildung, Wissenschaft und Forschung HRP 007 -BOS- Name: Datum: Vorschlag : Aus 5 Aufgaben können Sie 3 auswählen. Sie müssen dabei Folgendes beachten: Die Aufgabe 1 (Exponentialfunktion) ist eine Pflichtaufgabe. Sie muss von allen bearbeitet werden! Zwischen Aufgabe (Stochastik) und Aufgabe 3 (Analytische Geometrie) können Sie wählen. Auch zwischen Aufgabe 4 (Gebrochenrationale Funktion) und Aufgabe 5 (Trigonometrische Funktion) können Sie wählen. Sollten Sie keine Auswahl treffen und zum Beispiel Teilaufgaben aus Stochastik und analytischer Geometrie bearbeiten, dann werden nur die Teilaufgaben zur Stochastik bewertet; ähnlich wird mit der Bearbeitung der beiden Aufgaben Gebrochenrationale Funktion und Trigonometrische Funktion verfahren. Die Bearbeitungszeit beträgt 40 Minuten. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. Aufgabe 1. [34%] In eine biologische Abwasserbehandlungsanlage, im Folgenden kurz Anlage genannt, wird ein Schadstoff eingeleitet. Die auf ein Volumen von einem Liter Abwasser bezogene Schadstoffmenge, nachfolgend kurz Schadstoffmenge genannt, zeigt während des Behandlungsprozesses die folgende Abhängigkeit von der Zeit: t f(t) = 3 t e mit t 0. Die Schadstoffmenge f(t) wird in Milligramm (1 Gramm sind 1000 Milligramm) und die Zeit in Stunden (h) angegeben. t Für die. Ableitung von f gilt: f (t) = 3 e (t ). 1.1 Vervollständigen Sie zunächst die Wertetabelle. t in h 0 0,5 0,5, f(t) in mg 1. Berechnen Sie die Zeit, nach der die maximale Schadstoffmenge in der Anlage erreicht wird, und geben Sie die Größe der maximalen Schadstoffmenge an. 1.3 Zum Zeitpunkt t W bei der Schadstoffmenge f(t W ) ist die Geschwindigkeit des Schadstoffabbaus maximal, d.h. der Graph der Funktion f hat im Punkt P W (t W / f(t W )) das größte Gefälle. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P W. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite 1 von 6

2 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f in ein geeignetes Koordinatensystem für 0<t<6 h. Verwenden Sie dafür die Ergebnisse aus 1.1 bis Zeigen Sie: Die Gerade g(t) = -3t + 1 ist die Tangente an dem Graphen der Funktion f an der Stelle t = Unter idealen Prozessbedingungen würde die Gerade g den zeitlichen Verlauf der Schadstoffmenge ab der Zeit t = beschreiben. Berechnen Sie die zur Absenkung der Schadstoffmenge auf 0 mg benötigte Zeit Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem aus ein. t 1.5 Die Funktion: h(t) = 150 e beschreibt in guter Näherung den Verlauf der Schadstoffmenge ab der Zeit von t = 6 h. Berechnen Sie ausgehend von der Funktion h die prozentuale Abnahme der Schadstoffmenge in einer Stunde ab der Zeit t = 6 h. 1.6 Allgemein wird die Abhängigkeit der Schadstoffmenge von der Zeit durch eine Funktionsgleichung vom Typ: f = bt a,b(t) a t e (a,b > 0) beschrieben, wobei die Konstanten a und b von den Prozessbedingungen abhängen. Bestimmen Sie die Konstanten a und b so, dass die Schadstoffmenge in der Anlage nach Durchlaufen ihres Maximums bei t M = 0,5 h den gesetzlichen Richtwert von f a,b (t G ) = 0,1 mg bei t G = 3 h erreicht. Geben Sie die Funktion f a,b mit den berechneten Konstanten a und b an. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite von 6

3 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe. [33%] Es wird ein neues Lottospiel 3 aus 19 angeboten. Hier die Spielregeln: Ein Tipp besteht darin, dass man aus den Zahlen 1 bis 19 drei Zahlen auswählt. Der Einsatz pro Tipp beträgt 1,00. Die drei Lottozahlen (Gewinnzahlen) werden an einem festgelegten Termin gezogen. Hat ein Spieler drei Zahlen richtig ausgewählt (drei Richtige), erhält er 300,00. Hat ein Spieler zwei Zahlen richtig ausgewählt (zwei Richtige), erhält er 6, Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Zahl 13 als erste, als zweite oder als dritte Gewinnzahl gezogen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Zahl 13 als Gewinnzahl gezogen? Erstellen Sie zur Beantwortung dieser vier Fragen ein reduziertes Baumdiagramm..1. Ist die Ziehung der drei Gewinnzahlen eine Bernoulli-Kette der Länge 3, wenn als Erfolg E genommen wird Es wird die 13 gezogen?..1 Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man bei einem Tipp drei Richtige?.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man bei einem Tipp zwei Richtige?..3 Mit welcher Wahrscheinlichkeit p erzielt man bei einem Tipp einen Gewinn?..4 Mit welchem mittleren Gewinn pro Tipp kann die Lottogesellschaft rechnen?.3 Sie haben im Aufgabenteil..3 die Wahrscheinlichkeit p bestimmt, bei einem Tipp einen Gewinn zu erzielen (also zwei oder drei Richtige angekreuzt zu haben). Wenn Sie..3 nicht erfolgreich bearbeitet haben, dann rechnen Sie die folgenden zwei Aufgabenteile mit p = 7. Bitte beachten Sie, dass p p Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man genau einen Gewinn, wenn man vier Wochen hintereinander einen Tipp abgibt?.3. Mit wie vielen Gewinnen kann man rechnen, wenn man 0 Wochen hintereinander einen Tipp abgibt? Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite 3 von 6

4 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe 3. [33%] Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch die Gleichungen: 1 1 g:x = + r 6,r R; 1 4 E:x + 15= Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden g. 3. Von einer im Koordinatenursprung angeordneten Laserquelle aus wird ein Laserstrahl auf den Punkt A(-1/-/1) gerichtet. Die Gerade g A beschreibt den Strahlengang Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g A in Parameterform an. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt des Laserstrahls, d.h. der Geraden g A, durch die Ebene E. 3.. Der Laserstrahl soll senkrecht auf die Ebene E projiziert und die Projektion mit g P bezeichnet werden. Bestimmen Sie eine Gleichung für die Projektion g P. Hinweis: Fällen Sie zunächst das Lot durch den Punkt A(-1/-/1) auf die Ebene E. Berechnen Sie den Durchstoßpunkt P L der Lotgeraden h durch die Ebene E. 3.3 Geben Sie eine Gleichung derjenigen Ebene E, die g enthält und auf E senkrecht steht, zunächst in Parameterform und dann in Koordinatenform an. (Eine mögliche Lösung ist x+ 7 y+ 10 z = 6.) 3.4 Die Ebene E aus 3.3 gehört zur Ebenenschar E a und lässt sich allgemein wie folgt darstellen: E a : 6x+ 3 (a 4)y+ (a 9)z = a+ 1;a R. Ermitteln Sie den Parameterwert a für die Ebene E. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite 4 von 6

5 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe 4. [33%] x x+ 1 Gegeben sei die Funktion f(x) = ; D fmax R. x + 1 (x 1) Für die 1.,. und 3. Ableitung erhält man f'(x) =, 4 1(x 6x + 1) f'''(x) =. 4 f ''(x) = 4x(x 3) 3 bzw. 4.1 Untersuchen Sie die Funktion f : Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an Zeigen Sie: y = 1 ist die einzige Asymptote der Funktion f. (x 1) Weisen Sie nach, dass f'(x) = Extremalpunkte der Funktion f. gilt und bestimmen Sie die P W 1 ( 3/ 0,13) und P W ( 3/ 1,87) sind Wendepunkte der Funktion f. Begründen Sie, warum die Funktion f genau drei Wendepunkte besitzt und geben Sie den dritten Wendepunkt an. 4. Ergänzen Sie die Wertetabelle (auch unter Verwendung der Ergebnisse aus 4.1) und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f für 6 x 8 in ein Koordinatensystem. x f(x) 4.3 Der Punkt P(x f (x)) mit 0 < x < 1 liegt auf dem Graphen der Funktion f. Die beiden Geraden, die jeweils parallel zur x- bzw. y-achse verlaufen und auf denen der Punkt P liegt, schließen mit der x- und y-achse ein Rechteck ein. Den minimalen Umfang dieses Rechtecks erhält man über die Funktion U mit x x+ 1 8x(x 3) U(x) = x + mit U"(x) =. 3 x Weisen Sie zunächst nach, dass U eine Zielfunktion ist Berechnen Sie die x-koordinate des Punktes P, für den der Umfang dieses Rechtecks minimal wird Berechnen Sie den minimalen Umfang dieses Rechtecks. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite 5 von 6

6 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe 5. [33%] Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = cos x ; x [ 0;π ] und g(x) = cos x Untersuchen Sie den Graphen von f im Intervall [ 0;π] auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. 5. Bestimmen Sie die im Intervall [ 0; π] liegenden Punkte des Graphen der Funktion f mit waagerechter Tangente und prüfen Sie, ob es sich um Extrempunkte oder Sattelpunkte handelt. 5.3 Vervollständigen Sie die Wertetabelle und stellen Sie den Graphen der 0; π dar. Funktion f im Intervall [ ] π x 0 1 f(x) π 4 3π 5 π π 5.4 Die Gerade x=a mit a 0; schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von g im Punkt Q Skizzieren Sie den Sachverhalt aus 5.4. Verwenden Sie dazu das Koordinatensystem aus 5.3. π 5.4. Zeigen Sie, dass der Abstand der Punkte P und Q im Intervall 0; durch die Funktion d(a) = cos(a) cos (a) beschrieben werden kann Für welchen Wert von a wird der Abstand der Punkte P und Q maximal? Im Auftrag der Senatsschulverwaltung ( ) Seite 6 von 6

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