Einführung in Quantitative Methoden

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1 in Quantitative Methoden Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides & Mag. Dr. Karin Waldherr SS 2014 Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 1/54

2 Inhalte Bedeutung der Psychologischen Methodenlehre und Statistik für Psychologie Versuchsplanung - kurze Beschreibende Statistik (Deskriptivstatistik): Aufbereitung von Daten mittels Tabellen, Grafiken, statistischen Kennzahlen. Zusammenhangsmaße. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Statistische Schlüsse (Inferenzstatistik) Parameterschätzung Logik des Hypothesentestens (ausgewählte statistische Testverfahren) Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 2/54

3 begleitende Übungen Unterlagen und Hilfsmittel Ergänzende Literatur Prüfung begleitende Übungen mehrere Parallelveranstaltungen, Anwesenheitspflicht Beispiele sind vorzubereiten, werden auf der Homepage zum Download bereitgestellt ( Berechnungen händisch und mit Statistik-Programm SPSS SPSS: erhältlich im Rechenzentrum der Universität Wien, Tutorien zur Vorlesung und zu den Übungen: s. Homepage ( Kontakt: alle Anfragen betreffend Übungen ausschließlich an das Sekretariat Forschungsmethoden Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 3/54

4 begleitende Übungen Unterlagen und Hilfsmittel Ergänzende Literatur Prüfung Unterlagen und Hilfsmittel Vorlesungsunterlagen: Folien werden zum Download zur Verfügung gestellt. Die Folien ersetzen nicht den Vorlesungsbesuch! Prüfungsrelevant sind die Inhalte, die in der Vorlesung gebracht werden! Die Folien unterliegen einem Copyright. Homepage: Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 4/54

5 begleitende Übungen Unterlagen und Hilfsmittel Ergänzende Literatur Prüfung Bücher (nicht verpflichtend!): Bortz, J. & Döring, N. (2006). Forschungsmethoden und Evaluation für Human- und Sozialwissenschaftler. (4. Auflage). Berlin: Springer. Bühner, M. & Ziegler, M. (2009). Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. München: Pearson Studium. Eid, M., Gollwitzer, M, & Schmitt, M. (2010). Statistik und Forschungsmethoden. Mit Online-Materialien. Weinheim: Beltz. Kubinger, K.D., Rasch, D. & Yanagida, T. (2011). Statistik in der Psychologie: Vom skurs bis zur Dissertation. Göttingen: Hogrefe. Sedlmeier, P. & Renkewitz, F. (2008). Forschungsmethoden und Statistik in der Psychologie. Pearson Studium. Zusätzliche Materialien Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 5/54

6 begleitende Übungen Unterlagen und Hilfsmittel Ergänzende Literatur Prüfung Prüfung schriftliche Prüfung 4 Prüfungstermine (Juni, Oktober, November/Dezember, Jänner), s. Homepage für genaue Termine ( Verstehen von Zusammenhängen verschiedener theoretischer Grundlagen,Praktische Anwendung Prüfungszeit: 60 Minuten; 4-5 Beispiele; mind. 50% der Punkte für positive Note, Unterlagen dürfen verwendet werden (genaue Details im Juni) Sprechstunde: nach Vereinbarung ausschließlich über Sekretariat Forschungsmethoden Psychologie ( method.psychologie@univie.ac.at) Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 6/54

7 Psychologie = empirische Wissenschaft (auf Erfahrung beruhend): Bortz & Döring: Empirische Forschung sucht nach Erkenntnissen durch systematische Auswertung von Erfahrungen. Psychologische Methodenlehre beschäftigt sich mit Fragen der Planung und Auswertung empirischer Untersuchungen Gute Untersuchungsplanung entscheidend für Aussagekraft der Ergebnisse einer empirischen Untersuchung! Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 7/54

8 Warum benötigt eine Klinische Psychologin und Gesundheitspsychologin in freier Praxis, die nicht selbst empirische Untersuchungen durchführen möchte, Kenntnisse der Psychologischen Methodenlehre und Statistik? Psychologisches Gutachten: Zur Auswahl geeigneter psychologischer Testverfahren und der Interpretation der Ergebnisse (Umgang mit Normtabellen) Kenntnisse der Statistik notwendig. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 8/54

9 Behandlung: Anwendung evidenzbasierter Behandlungsmethoden = Behandlungsmethoden, deren Wirksamkeit in Studien mit entsprechendem Studiendesign gezeigt werden konnte. Notwendigkeit, die Qualität einer Studie, Untersuchungsdesign, statistische Auswertung und Interpretation, nachzuvollziehen und kritisch zu bewerten. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 9/54

10 RCT Goldstandard in der medizinischen und psychologischen Forschung sind randomisiert kontrollierte Studien ( randomized controlled trials, RCT s) = klassisches experimentelles Design. Kontrolliert, weil die Ergebnisse in der Studiengruppe mit denen einer Kontrollgruppe ohne Intervention oder einer Kontrollintervention verglichen werden. Kontrollintervention: bisher wirksamste Maßnahme oder Scheinintervention (Placebo). Studiengruppe wird auch als Versuchs-, Prüf-, Interventions-, Behandlungs- oder Verumgruppe (lateinisch Verum, das Wahre ) bezeichnet. Kontrollgruppe wird auch als Vergleichs- oder Placebogruppe (sofern Placebos eingesetzt werden) bezeichnet. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 10/54

11 Randomisierung: Zuordnung der Teilnehmer/innen zur Behandlungsgruppe oder Vergleichsgruppe nach dem Zufallsprinzip. Beispiel: Mobilitätsintervention für Bewohner/innen von Pensionistenwohnhäusern. Behandlungsgruppe: von Ergotherapeutin entwickeltes Programm zur Verbesserung bzw. Erhaltung der Beweglichkeit und v.a. Sicherheit (Sturzprophylaxe). Vergleichsgruppe: Teilnahme am bisher üblichen Animationsprogramm der Pensionistenwohnhäuser. Frage: Ist Mobilitätsintervention effektiv, d.h. sind die Teilnehmer/innen am Ende des Programms im Vergleich zur Vergleichsgruppe beweglicher bzw. sicherer? Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 11/54

12 randomisierte Zuteilung Es wird eine Liste aller Bewohner/innen erstellt. Die Bewohner/innen werden mittels eines Computerprogramms zufällig auf die Behandlungs- und die Vergleichsgruppe aufgeteilt. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 12/54

13 Zweck der Randomisierung: 1. Ausschluss der Einflussnahme der Untersucherin / des Untersuchers (Befangenheit) auf die Zuordnung einer Behandlung und dadurch auf die Studienergebnisse. 2. Gleichmäßige Verteilung von bekannten und nicht bekannten Einflussfaktoren auf alle Gruppen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 13/54

14 Blind-, Doppelblind-, Dreifachblind-Studie: Blindstudie: Teilnehmer/innen wissen nicht, welcher Gruppe sie zugeordnet sind (Teilnehmer/innen sind blind ): z.b. bei Medikamentenstudie: Teilnehmer/innen wissen nicht, ob sie Medikament oder Placebo erhalten Doppelblindstudie: auch Behandler/in weiß nicht, welcher Gruppe die einzelnen Personen zugeordnet sind (Behandler/in und Teilnehmer/innen sind blind ), z.b. Medikamentenstudie: Teilnehmer/innen und behandelnder Arzt wissen nicht, wer Medikament und wer Placebo erhält Dreifachblindstudie: auch die auswertende Person weiß nicht, welcher Gruppe die einzelnen Personen zugeordnet sind (Behandler/in, Teilnehmer/in und Auswerter/in sind blind ), die Person, die abschließende Untersuchung der Teilnehmer/innen durchführt weiß nicht, wer Medikament und wer Placebo erhalten hat. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 14/54

15 Form und Durchführung der Randomisierung müssen in der Studie angeführt werden. Zuordnung muss dokumentiert werden und unter Verschluss gehalten werden. Quelle: Bortz,J. & Döring,N. Forschungsmethoden und Evaluation. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 15/54

16 Objektivität: Ergebnisse sollen unabhängig von Untersucher/in sein. Reliabilität = Zuverlässigkeit, Genauigkeit. Validität = Gültigkeit, Aussagekraft (Campbell & Stanley, 1963): 1. Interne Validität = Interpretationseindeutigkeit (keine alternativen Erklärungen möglich): höchste interne Validität besitzt ein RCT (am besten Dreifachblind-Studie). 2. Externe (ökologische) Validität = Verallgemeinerbarkeit der Ergebnisse auf andere Personen, Situationen und/oder Zeitpunkte. Man unterscheidet auch zwischen efficacy (= Wirksamkeit einer Intervention gezeigt in einem RCT) und effectiveness (= Wirksamkeit im Alltag) Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 16/54

17 Deskriptivstatistik und Inferenzstatistik Deskriptivstatistik oder Beschreibende Statistik: zusammenfassende Beschreibung der Daten, explorative Datenanalyse (Suchen von Strukturen und Zusammenhängen) Inferenzstatistik oder Schließende Statistik: Vollständige Befragung der interessierenden Grundgesamtheit meist nicht möglich mit Hilfe der Inferenzstatistik werden aufgrund von Beobachtungen in einer Teilmenge von Personen Rückschlüsse auf Gegebenheiten in der interessierenden Grundgesamtheit gezogen. Rückschlüsse sind mit gewisser Fehlerwahrscheinlichkeit behaftet = Wahrscheinlichkeitsaussagen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 17/54

18 Population und Stichprobe (1) Aus Grundgesamtheit aller interessierenden Personen = Population wird eine Teilmenge von Personen ausgewählt = Stichprobe und aufgrund der Beobachtungen in dieser Stichprobe auf die Grundgesamtheit geschlossen. Quelle: Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 18/54

19 Population und Stichprobe (2) Beispiel aus dem Alltag: Wenn Sie Spaghetti kochen, werden Sie vielleicht zunächst einige davon aus dem Wasser nehmen um zu überprüfen, ob sie bereits al dente sind. Trifft dies für diese Stichprobe zu, werden Sie daraus schließen, dass das mit hoher Wahrscheinlichkeit auch für die Grundgesamtheit aller von Ihnen ins Wasser gelegten Spaghetti zutrifft. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 19/54

20 Population und Stichprobe (3) Verallgemeinerung auf Population ist nur mit inferenzstatistischen Verfahren zulässig, Deskriptivstatistik macht nur Aussagen über die erhobene Stichprobe. Inferenzschluss nur bei Zufallsauswahl gültig. Population muss eindeutig definiert sein. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 20/54

21 Population und Stichprobe (4) Beispiel: Epidemiologische Studie zur Prävalenzrate von Essstörungen bei Jährigen in Wien: Liste aller Wiener Schulen, Zufallsauswahl von Schulen, Testung von zufällig gewählten Schülerinnen und Schülern in diesen Schulen. Schluss auf Prävalenzrate in der Grundgesamtheit. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 21/54

22 Merkmale und Variablen (1) Die Psychologie interessiert sich für Variation von Eigenschaften in der Population bzw. für gemeinsame Variation mehrerer Merkmale (die Veränderung eines Merkmales in Abhängigkeit von einem anderen). In Experimenten wird Veränderung eines Merkmales durch aktive Manipulation eines anderen Merkmales untersucht Beispiel: In einem verkehrspsychologischen Experiment wird untersucht wie sich die Konzentrationsfähigkeit und die Reaktionsgeschwindigkeit von Personen unter verschieden starkem Alkoholeinfluss verändern. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 22/54

23 Merkmale und Variablen (2) Interessierende Merkmale (Eigenschaften) der Personen, welche verschiedene Ausprägungen annehmen können, werden als Variablen bezeichnet. Eine Variable ist ein Symbol für eine Menge von Merkmalsausprägungen. (Bortz & Döring) Variablen werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben gekennzeichnet, die konkreten Ausprägungen (Realisierungen) mit Kleinbuchstaben. Beispiel: Variable X, Geschlecht, steht für die möglichen Merkmalsausprägungen x 1, weiblich, oder x 2, männlich Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 23/54

24 Unterscheidung von Variablen Man unterscheidet Variablen bezüglich ihrer funktionalen Bedeutung in der Studie ihrer empirischen Zugänglichkeit der Art der Merkmalsausprägungen ihres Skalenniveaus Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 24/54

25 Funktionale Bedeutung von Variablen (1) Unabhängige Variablen (UV): Variablen, deren Einfluss auf eine oder mehrere andere Variablen untersucht wird (auch Faktoren genannt). Abhängige Variablen (AV): Variablen, auf die ein Einfluss der Veränderung der unabhängigen Variablen vermutet wird. Beispiel: Im verkehrspsychologischen Experiment wäre Alkoholeinfluss die unabhängige Variable, Konzentrationsfähigkeit und Reaktionsgeschwindigkeit die abhängigen Variablen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 25/54

26 Funktionale Bedeutung von Variablen (2) Moderierende Variablen oder Moderatorvariablen sind Variablen, die das Ergebnis beeinflussen, indem sie die Wirkung einer unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable verändern (sie beeinflussen Richtung und Stärke des Zusammenhanges zwischen UV und AV). Beispiel: Im verkehrspsychologischen Experiment könnte die gleichzeitige Einnahme von Medikamenten die Alkoholwirkung beeinflussen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 26/54

27 Funktionale Bedeutung von Variablen (3) Mediierende Variablen oder Mediatorvariablen sind Variablen, die den Zusammenhang zwischen zwei Variablen vermitteln (erklären). Beispiel: Gestaltung des Unterrichts in Form von eigenverantwortlichem Lernen führt über höhere Lernmotivation zu besserem Lernerfolg bei Schüler/innen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 27/54

28 Funktionale Bedeutung von Variablen (4) Quelle: Faller, H. & Lang, H. (2006). Medizinische Psychologie und Soziologie (2. Auflage, S.51). Heidelberg: Springer Medizin Verlag. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 28/54

29 Funktionale Bedeutung von Variablen (5) Störvariablen sind Variablen, die das Untersuchungsergebnis beeinflussen können, aber nicht berücksichtigt wurden. Möglichkeiten zur Ausschaltung von Störvariablen (vgl. Bortz & Döring): Randomisierung. Paarbildung (matched samples): Bei zwei Untersuchungsgruppen werden aufgrund der Ausprägung(en) der möglichen Störvariable(n) Paare von UntersuchungsteilnehmerInnen gebildet; je eine Person der Kontrollgruppe wird einer Person der Studiengruppe zugeordnet. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 29/54

30 Funktionale Bedeutung von Variablen (6) Mögliche Störvariable als zusätzliche Variable erheben und bei der statistischen Auswertung als Kontrollvariable berücksichtigen. Nur Personen mit einer bestimmten Ausprägung dieser Variable untersuchen (z.b. nur Personen, die keine Medikamente eingenommen haben); d.h. die Variable konstant halten. Außerdem sollte man dafür sorgen, dass die Untersuchung in allen Vergleichsgruppen störungsfrei verläuft (= Ausschalten von Störfaktoren). Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 30/54

31 Empirische Zugänglichkeit von Variablen Manifeste Variablen sind direkt beobachtbar. Z.B. Alkoholmenge, Gewicht, Geschlecht, usw. Latente Variablen sind nicht beobachtbar (sichtbar). Z.B. Konzentrationsfähigkeit, Intelligenz, etc. Hierbei handelt es sich um sog. hypothetische Konstrukte, welche nur indirekt gemessen werden können. Aufgrund der Ausprägungen von manifesten Variablen wird auf die latente Eigenschaft geschlossen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 31/54

32 Arten von Merkmalsausprägungen Numerische oder Quantitative Variablen: Ausprägungen sind Zahlenwerte. Z.B. Gewicht, Alter, etc. Kategoriale oder Qualitative Variablen: Ausprägungen sind Zustände oder Kategorien. Z.B. Geschlecht, Familienstand, Staatsbürgerschaft. Ausprägungen quantitativer Variablen lassen sich durch Messen, Zählen, Wiegen erfassen und unterscheiden sich durch ihre Größe. Ausprägungen qualitativer Variablen unterscheiden sich durch ihre Art und lassen sich nicht durch Messen, Zählen, Wiegen erfassen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 32/54

33 Arten qualitativer und quantitativer Variablen Weiters unterscheidet man: Bei quantitativen Variablen zwischen diskreten Variablen, welche nur ganzzahlige Ausprägungen haben (1,2,3,... ) und stetigen oder kontinuierlichen Variablen, die beliebig fein abstufbar sind. Bei qualitativen Variablen zwischen dichotomen Variablen = Variablen mit nur zwei Ausprägungen (z.b. Geschlecht) und polytomen Variablen = Variablen mit mehr als zwei Ausprägungen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 33/54

34 Skalenniveau (1) Um ein Merkmal zu messen, werden den einzelnen Ausprägungen Messwerte (Zahlen) auf einer Skala zugeordnet. Eine Skala ist eine Vorschrift, die jeder Person der Stichprobe einen Beobachtungswert zuordnet, der die Ausprägung des interessierenden Merkmales angibt. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 34/54

35 Messen Messen = homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 35/54

36 Skalenniveau (2) In diesem Sinne lassen sich auch qualitative Merkmale messen ; man nennt diese Zuordnung von Zahlen zu den Merkmalsausprägungen auch Kodierung. Bei der Zuordnung der Zahlen ist zu beachten, dass unterschiedlichen Merkmalsausprägungen unterschiedliche Zahlen zugeordnet werden und jeder möglichen Merkmalsausprägung eindeutig eine Zahl zuordenbar ist. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 36/54

37 Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 37/54

38 Skalenniveau (3) Nominalskala: Die Skala mit dem niedrigsten Niveau. Rangordnung der Ausprägungen nicht möglich oder sinnvoll, auch wenn ihnen Zahlen zugeordnet werden. Beurteilt nur Gleichheit und Verschiedenheit von Merkmalsausprägungen. Beispiele: Geschlecht, Familienstand, Staatsbürgerschaft. Nominalskalierte Variablen heissen nominale Merkmale. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 38/54

39 Skalenniveau (4) Ordinalskala oder Rangskala: Ausprägungen weisen natürliche Rangordnung auf. Macht Größer-Kleiner-Aussagen. Die Abstände zwischen den verschiedenen Werten einer ordinalskalierten Variablen lassen sich jedoch nicht interpretieren; die Ordinalskala macht keine Aussage über die Größe der Unterschiede zwischen den Ausprägungen. Solange die Größer-Kleiner-Relationen erhalten bleiben sind die Zahlen beliebig wählbar. Typisches Beispiel einer Ordinalskala: Platzierungen bei sportlichen Wettkämpfen. Platzierung gibt nur Auskunft darüber wer z.b. am schnellsten war, nicht über Zeitabstände zwischen den einzelnen Rangplätzen. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 39/54

40 Skalenniveau (5) Metrische Variablen: Ausprägungen unterliegen nicht nur Rangordnung, sondern Differenzen sind sinnvoll interpretierbar. Gleich große Zahlendifferenzen entsprechen auch gleich großen Unterschieden zwischen den Ausprägungen. Beispiele sind: Gewicht, Größe, Alter. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 40/54

41 Skalenniveau (7) Metrische Skalen können weiters noch unterteilt werden in Intervallskala: kein natürlicher Nullpunkt (z.b. Kalender, Temperatur in Grad Celsius); Verhältnisse können nicht interpretiert werden. In der Psychologie wird für Psychologische Tests angenommen, dass die Messwerte intervallskaliert sind. Rationalskala: absoluter (natürlicher) Nullpunkt, Verhältnisse können interpretiert werden (Gewicht, Alter, Größe, Anzahl der Kinder, Temperatur in Kelvin, usw.) Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 41/54

42 Univariat, Bivariat, Multivariat Univariat: nur eine Variable wird betrachtet. Bivariat: zwei Variablen werden gemeinsam betrachtet. Multivariat: mehr als zwei Variablen werden gemeinsam betrachtet. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 42/54

43 Hypothesengenerierende und Hypothesenprüfende Untersuchungen Hypothesenprüfende Untersuchungen: aufgrund von Vorinformationen aus bisherigen Untersuchungen können wissenschaftliche Hypothesen formuliert und statistisch geprüft werden. Hypothesengenerierende Untersuchungen: bei neuen Forschungsgebieten, für welche zu wenige Informationen vorliegen um Hypothesen zu formulieren, werden zunächst hypothesenerkundende Untersuchungen durchgeführt. Ziel ist die Formulierung wissenschaftlicher Hypothesen, die in einer anschließenden hypothesenprüfenden Untersuchung statistisch geprüft werden. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 43/54

44 Wissenschaftliche Hypothesen (1) Eine wissenschaftliche Hypothese behauptet eine mehr oder weniger präzise Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen, die für eine bestimmte Population vergleichbarer Objekte oder Ereignisse gelten soll. (Bortz & Döring) Die Hypothesen müssen im Rahmen der Untersuchungsplanung vor der Datenerhebung formuliert werden! Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 44/54

45 Wissenschaftliche Hypothesen (2) Wissenschaftliche Hypothesen (im Gegensatz zu Alltagsvermutungen) beziehen sich auf reale Sachverhalte, die empirisch überprüfbar sind, sind allgemeingültige, über den Einzelfall hinausgehende Behauptungen, müssen durch Erfahrung widerlegbar (falsifizierbar) sein, müssen widerspruchsfrei sein, sollen möglichst präzise formuliert sein, müssen theoriegeleitet sein. (vgl. Bortz & Döring) Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 45/54

46 Notation Summenzeichen Notation Die Anzahl der Personen in der Stichprobe = Stichprobenumfang wird mit n bzw. N bezeichnet. Die Merkmalsausprägungen der einzelnen Personen in der Stichprobe bei Variable X (beobachtete Werte) werden mit x 1,..., x i,..., x n (oder in anderer Schreibweise x i, i = 1,..., n) bezeichnet. Die möglichen Ausprägungen eines Merkmales X werden mit x 1,..., x j,..., x k (oder in anderer Schreibweise: x j, j = 1,..., k) bezeichnet. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 46/54

47 Notation Summenzeichen Hat man nur ein Merkmal erhoben und notiert die Befragungsergebnisse in der Reihenfolge der Befragung oder zufällig, bezeichnet man die entstehende Liste als Urliste oder Beobachtungsreihe. Beispiel: Erhobene Variable X : Anzahl der Kinder, Stichprobenumfang n = 15. Urliste: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x x 2 = 1 bedeutet, dass die in die Urliste an zweiter Stelle eingetragene Person ein Kind hat. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 47/54

48 Notation Summenzeichen Hat man mehrere Merkmale (Variablen) erhoben, fasst man diese in Form einer Datenmatrix zusammen. Die Matrix besteht aus n Zeilen für die Personen und p Spalten für die erhobenen Variablen (n p Matrix). Beispiel einer Datenmatrix für n = 50 Personen und erhobene Variablen Geschlecht (1=weiblich, 2=männlich), Kinderanzahl, Alter Variable Geschlecht Kinder Alter Person Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 48/54

49 Notation Summenzeichen Beispiel einer Datenmatrix in allgemeiner Notation: Variable k... p Person 1 x 11 x x 1k... x 1p 2 x 21 x x 2k... x 2p i x i1 x i2... x ik... x ip n x n1 x n2... x nk... x np Zeile i enthält die beobachteten Merkmalsausprägungen der i ten Person, Spalte k enthält die bei den n Personen beobachteten Ausprägungen des Merkmales K. Die Eintragungen x 11,..., x np bezeichnen die Ausprägungen der einzelnen Merkmale bei den einzelnen Personen: x 11 steht für die Merkmalsausprägung der ersten Person beim ersten Merkmal. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 49/54

50 Notation Summenzeichen Summenzeichen In der Statistik benötigt man sehr oft die Summe von Messwerten, z.b. in der Gesamtstichprobe oder einer Teilstichprobe. Zum Beispiel: Summe aller Messwerte x i für i = 1 bis n. x 1 + x 2 + x x n Hat eine Summe sehr viele Summanden, ist es zweckmäßig das Summenzeichen (griech. Sigma) zu verwenden. Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 50/54

51 Notation Summenzeichen Zusatzmaterial: Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 51/54

52 Notation Summenzeichen Beispiel 1: Summe der Kinder aller Personen aus unserer Urliste n x i = = 27 i=1 Beispiel 2: Summe der Kinder der ersten 5 Personen aus der Urliste 5 x i = = 8 i=1 Beispiel 3: Summe der Kinder der letzten 5 Personen aus der Urliste (also Personen 11 bis 15) 15 i=11 = = 7 Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 52/54

53 Notation Summenzeichen Laufindex ist beliebig wählbar n n x i = x j = n i=1 j=1 l=1 Aber! n x i n i=1 j=1 n n n (x i +y i ) = (x 1 +y 1 )+(x 2 +y 2 )+...+(x n +y n ) = x i + i=1 i=1 i=1 n x i + y i = (x 1 + x x n ) + y i i=1 Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 53/54 x i x l y i

54 Notation Summenzeichen n a = a + a + a +... = na i=1 (a ist eine Konstante) n ax i = (ax 1 +ax ax n ) = a(x 1 +x x n ) = a i=1 Es gelten die allgemeinen Rechenregeln für Additionen Zusatzmaterial: n i=1 x i Waldherr / Christodoulides in Quantitative Methoden- 1.VO 54/54