Musterlösung zu Aufgabe II der Klausur Ökonomie der Umweltpolitik vom

Transkript

1 Musterlösung zu Aufgabe II der Klausur Ökonomie der Umweltpolitik vom Grundsätzliche Überlegungen: Bei der Aufgabe wird der optimale Abbaupfad einer natürlichen Ressource gesucht (Vgl. KE 6 Kapitel A). Grundsätzlich lässt sich der optimale Abbaupfad durch die Hotelling-Regel beschreiben: Aus der Aufgabenstellung ergibt sich, dass die Zahlungsbereitschaft in der 3. Periode auf 0 fällt. Somit handelt es sich um ein 2-Perioden Optimierungsproblem, wie es auch in den Übungsaufgaben im Kurs thematisiert wird 1. Da das Monopol nicht genauer definiert war, bieten sich zwei Interpretationen an, welche in dieser Musterlösung aufgegriffen werden: Option 1: keine Preisdifferenzierung (Standard Monopolfall) Der Monopolist ist Preissetzer und kennt die Nachfrage, kann aber nur einen Preis setzen. Option 2: staatliches Monopol Maximierung der Wohlfahrt ohne Preisdifferenzierung (keine Gewinnmaximierung) Der Monopolist ist wie im ersten Fall Preissetzer und kennt die Nachfrage, er wählt jedoch denjenigen Preis, bei dem die soziale Wohlfahrt maximiert wird. Bei alle Aufgaben gilt die Nebenbedingung:. Im Standard-Monopolfall (Option 1) ist sie jedoch nicht bindend, da das Optimum die Ressourcenbestände nicht ausschöpft. Hier braucht man also weder die Hotelling- Regel noch den Lagrange-Ansatz, sondern kann einfach die Perioden unabhängig voneinander optimieren 2. Im staatlichen Monopol bspw. (Option 2), sowie bei der Berechnung der Pigou-Steuer in Aufgabenteil b) ist die Ressourcenrestriktion jedoch bindend. Wer sich die Hotelling-Regel gemerkt hat, kann diese (in der normativen oder positiven Variante, je nach Interpretation des Monopols, vgl. KE6, S.6, 9) direkt anwenden, was eine Herleitung mithilfe des Lagrange-Ansatzes 3 erspart. Aufgabenteil a) Zu welchen Ergebnissen bzgl. des für Herrn Braun gewinnmaximalen Extraktionspfads kommen Sie? Geben Sie die gewinnmaximalen Abbaumengen sowie die zugehörigen Preise für jede Periode an. Wie hoch ist der Gewinn des Braunen Riesen? (15 Punkte) Folgende Informationen sind gegeben: Die marginale Zahlungsbereitschaft: { Der Ressourcenbestand: Die konstanten Abbaugrenzkosten: Die private Diskontrate: 1 vgl. insbesondere Aufgaben A5 und A8 der Kurseinheit 6. 2 Die Nutzungsgrenzkosten sind im relevanten Bereich gleich 0. Der Lagrange darf nur verwendet werden, wenn die Nebenbedingung bindend ist. 3 Zum Lagrange-Verfahren zur Optimierung eines Problems mit mehreren Variablen unter Nebenbedingungen vgl. bspw. den vorausgesetzten Kurs Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis, Kapitel

2 Herr Braun ist Monopolist! Kurs Nr : Ökonomie der Umweltpolitik (Modul 31741) Aus der Information, dass ab t=2 keine Zahlungsbereitschaft mehr besteht, ergibt sich, dass der Gewinn von Herrn Braun über zwei Perioden (0,1) optimiert werden muss. In der Aufgabenstellung wurden keine Annahmen zur Preissetzungsstrategie des Monopols gemacht, weshalb g undsätzlich alle Va ianten e laubt sind. Hie sollen zwei Va ianten da gestellt we den, de klassische Fall ohne Preisdifferenzierung (Option 1) und der Fall des staatlichen Monopols (Option 2). Option 1: keine Preisdifferenzierung (Standard Monopolfall): Das Optimierungskalkül des Monopolisten zielt darauf ab, den Gewinn bei Festlegung genau eines Preises je Periode zu maximieren. Die Zielfunktion ergibt sich wie folgt: Für die Erlösfunktion ergibt sich in den relevanten Perioden: die Grenzerlösfunktion ist somit:. Sollte der Ressourcenbestand bindend sein, so muss zur Lösung des Maximierungsproblems der Lagrange-Ansatz gewählt werden. Doch zunächst muss dies geprüft werden. Der einfachste Weg ist, den Gewinn für Periode 0 und 1 unabhängig voneinander zu maximieren und dann zu kontrollieren, ob die Summe der gewinnoptimalen Mengen die Restriktion überschreitet: Für Periode 0 ergibt sich: Für Periode 1 folgt äquivalent: ( ) die Nebenbedingung ist nicht bindend, der Lagrange ist nicht zweckmäßig. Die gewinnmaximalen Mengen ergeben sich mit: Anmerkung: Die Hotelling-Regel ist auch hier erfüllt, da in beiden Perioden die Grenznutzen einer zusätzlich abgesetzten Einheit exakt 0 und somit gleich sind. Die gewinnmaximalen Preise ergeben sich: Der Gewinn berechnet sich nun nominal als: Oder alternativ als Barwert: 2

3 Option 2: staatliches Monopol Maximierung der Wohlfahrt ohne Preisdifferenzierung (keine Gewinnmaximierung): Der staatliche Monopolist maximiert die soziale Wohlfahrt. Die sozial optimalen Mengen lassen sich entweder direkt über die Anwendung der Hotelling-Regel berechnen oder aber durch Lösung des Optimierungsproblems. Da man bei letzterer Vorgehensweise die Hotelling-Regel herleitet, wird diese nun zuerst vorgestellt: Lösung mittels Lagrange-Verfahren (Herleitung der Hotelling-Regel): Die Zielfunktion lautet: u.d.n. Strenggenommen muss auch hier zunächst geprüft werden, ob die Ressourcenbeschränkung bindend ist. Dazu prüft man, bis zu welchem Punkt sich der Verkauf von Braunkohle für den Monopolisten lohnt: -> Die Ressourcenbeschränkung ist bindend, die unabhängigen Gleichgewichte liegen außerhalb der Produktionsmöglichkeiten für zwei Perioden. Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion: (1) Partielles Ableiten ergibt die Optimalitätsbedingungen: (2a) (2b) (3) Auflösen von (2a) und (2b) nach und Gleichsetzen ergibt die Optimalitätsbedingung (die Hotelling-Regel): (4) Einsetzen von (3) in (4) ergibt die (normative Variante der) Hotelling-Regel: Lösung mittels Anwendung der Hotelling-Regel: und Die wohlfahrtsmaximierenden Abbaumengen lauten: und 3

4 Die dazugehörigen Preise entsprechen der marginalen Zahlungsbereitschaft im Gleichgewicht: Der Gewinn berechnet sich nun nominal als: oder alternativ als Barwert: Aufgabenteil b) i. Geben Sie die Pigou-Steuersätze (absolut), sowie die sozial optimalen Abbaumengen und Endpreise für die beiden Perioden an. (15 Punkte) ii. Kann der Grüne Zwerg mit dem Ergebnis zufrieden sein? Erklären Sie, wie es zu diesem Ergebnis kommen konnte! (5 Punkte) iii. Mit welchen Einnahmen kann der Staat rechnen? (2,5 Punkte) Folgende Informationen sind Gegeben: Die marginale Zahlungsbereitschaft: { Der Ressourcenbestand: Die konstanten Abbaugrenzkosten: Die soziale Diskontrate: Die Grenzschäden:, die private Diskontrate Da es bei Aufgabenteil a) zwei Lösungsmöglichkeiten (Option 1 & 2) gab, wird hier für jeden dieser Lösungswege eine Musterlösung angegeben. Beiden Ansätzen gemeinsam ist jedoch die Berechnung der sozial optimalen Abbaumengen sowie der Pigou-Steuer 4. Einige Studenten haben statt der Pigou-Steuer die sozial optimale Besteuerung berechnet. Diese Herangehensweise führte ebenfalls zu vollen Punkten und wird in Alte native weiter unten als Spezialfall betrachtet. Berechnung der sozial optimalen Abbaumengen und der Pigou-Steuer: Die sozial optimalen Abbaumengen lassen sich mithilfe der modifizierten Hotelling-Regel berechnen, die hier zunächst mittels Lagrange-Verfahren erneut hergeleitet wird. Herleitung der modifizierten Hotelling-Regel (normative Variante) Die Zielfunktion lautet: ( ) Somit ergibt sich die Lagrange-Funktion: 4 Hier sei die strenge Definition der Pigou-Steuer aus dem Kurs gewählt, welche von einer Abwesenheit etwaiger anderer Marktunvollkommenheiten, als der zu internalisierenden externen Effekte, ausgeht. 4

5 (1) ( ) Partielles Ableiten ergibt die Optimalitätsbedingungen: (2a) (2b) ( ) (3) Auflösen von (2a) und (2b) nach und Gleichsetzen ergibt die Optimalitätsbedingung (die modifizierte Hotelling- Regel): (4) ( ) Einsetzen von (3) in (4) ergibt: ( ) Lösung mittels Anwendung der Hotelling-Regel ( ) Durch Einsetzen erhält man: b) i) Die sozial optimalen Abbaumengen betragen: und Die Pigou-Steuersätze entsprechen den Grenzschäden im Optimum: Die sozial optimalen Endpreise bestimmen sich durch Einsetzen der sozial optimalen Mengen in die Funktion der marginalen Zahlungsbereitschaft: b) ii) Option 1: keine Preisdifferenzierung (Standard Monopolfall): Der grüne Zwerg kann nicht zufrieden sein, weil den Berechnungen zufolge mehr extrahiert werden würde, als zuvor. Dies liegt daran, dass die Schäden sehr viel geringer sind als der Nutzen der Ressourcenextraktion und im sozial optimalen Abbaupfad deshalb alle Ressourcen extrahiert werden. Option 3: staatliches Monopol Maximierung der Der grüne Zwerg kann nicht zufrieden sein, weil den Berechnungen zufolge weiterhin alle Ressourcen extrahiert werden. Lediglich die Aufteilung auf die zwei Perioden ändert sich, da die Diskontrate sich ändert. Wohlfahrt ohne Preisdifferenzierung b) iii) Der Staat kann nach diesen Berechnungen mit Einnahmen von: 5

6 rechnen. 6

7 Alternative: Berechnung der sozial optimalen Steuer Hier internalisiert der soziale Planer durch die Besteuerung mehrere Arten von Marktversagen gleichzeitig, nämlich die Probleme aufgrund der Marktmacht, die externen Effekte aufgrund der Umweltschäden, sowie die unterschiedlichen Diskontraten. Eine Möglichkeit dies zu tun ist, wie zuvor, den sozial optimalen Abbaupfad zu bestimmen und nun allerdings nach derjenigen Steuer zu suchen, welche den Monopolisten dazu veranlasst, diese sozial optimale Menge bereitzustellen und zum sozial optimalen Preis anzubieten. Option 1: keine Preisdifferenzierung (Standard Monopolfall): Aus Aufgabenteil a) wissen wir bereits, dass die Ressourcenrestriktion nicht bindend ist. Daher kann das Optimum unabhängig für die beiden Perioden berechnet werden. Wie bekannt ist maximiert der Monopolist seinen Gewinn, indem er die Grenzkosten gleich den Grenzerlösen setzt: Die sozial optimalen Abbaumengen sind uns bekannt: und Einsetzen liefert uns die sozial optimalen Steuern: b) ii) Der grüne Zwerg kann mit dem Ergebnis überhaupt nicht zufrieden sein, da nun die Extraktion noch beschleunigt wird. Das zunächst paradox erscheinende Ergebnis, dass der Staat den Monopolisten subventionieren sollte, erklärt sich recht einfach: Die Umweltschäden sind so gering, dass eine vollkommene Ausschöpfung der Ressourcen wohlfahrtsoptimierend ist. Das Preissetzungsverhalten des Monopolisten führt in diesem Modell jedoch ohne staatliche Eingriffe zu einer zu geringen Angebotsmenge (und überkompensiert die verzerrende Wirkung des externen Effekts). b) iii) Der Staat nimmt keine Steuern ein, sondern muss mit folgenden Subventionsausgaben rechnen: Option 2: staatliches Monopol Maximierung der Wohlfahrt ohne Preisdifferenzierung: (1) Da wir eine Lenkungssteuer erheben, um den Monopolisten dazu zu bewegen, die optimale Angebotsmenge bereitzustellen, ändern wir die Nachfrage und brauchen keine Rücksicht auf die Ressourcenbegrenzung zu nehmen (diese wurde ja bereits bei der Berechnung des sozial optimalen Abbaupfades berücksichtigt). Der Monopolist bietet bei perfekter Preisdifferenzierung solange Güter an, bis gilt: Zu den Abbaugrenzkosten kommen noch Steuern hinzu, so dass wir folgende Gleichung lösen müssen, um den optimalen Steuersatz zu berechnen: Einsetzen der optimalen Werte für ergibt: b) ii) Der Grüne Zwerg kann mit dem Ergebnis nicht zufrieden sein, da die Extraktion nicht verringert wird. Es wird lediglich die zeitliche Aufteilung verändert. b) iii) (2) Diese Steuer ist jedoch nur EINE mögliche Steuer, und zwar die höchstmögliche zur Erreichung des Ziels, da sie die Ressourcenrestriktion unnötig macht. Da lediglich die Allokation auf die zwei Perioden, nicht jedoch die gesamte Extraktion (wie bei Option 1) angepasst werden soll, genügt es, wenn die Steuer die aufgrund der höheren priv. Diskontrate vorgezogene Extraktion korrigiert. Hier gibt es zwei weitere Möglichkeiten eine Besteuerung der Extraktion in der ersten Periode oder eine Subvention der Extraktion in der zweiten Periode. Im Folgenden wird eine Besteuerung der 7

8 Extraktion in der ersten Periode aufgezeigt. Die Hotelling-Regel aus Aufgabenteil a) wird wie folgt modifiziert: Einsetzen der zuvor berechneten optimalen Abbaumengen liefert für die optimale Lenkungssteuer in Periode 0: Aufgabenteil c) b) ii) Der Grüne Zwerg kann mit dem Ergebnis nicht zufrieden sein, da die Extraktion nicht verringert wird. Es wird lediglich die zeitliche Aufteilung verändert. b) iii) i. Welche Auswirkung hat diese Änderung der Zahlungsbereitschaft in der zweiten Periode auf die ii. Umweltschäden und den Gewinn vom Braunen Riesen? (7,5 Punkte) Zeigen Sie, dass es für den Staat aus sozialplanerischer Sicht sinnvoll wäre, dem Braunen Riesen Geld dafür zu zahlen, dass er weniger Braunkohle extrahiert. (10 Punkte) Folgende Informationen sind gegeben: Wir befinden uns in Periode 1, Periode 0 ist bereits abgelaufen und das Ergebnis kann somit nicht mehr geändert werden Aufgabenteil c) i) Option 1: keine Preisdifferenzierung (Standard Monopolfall): Aus Aufgabenteil a) wissen wir, dass der Gewinn für diese Periode ohne die Änderung der Zahlungsbereitschaft Mio. GE gewesen wäre. Der neue Gewinn berechnet sich wie folgt: Optimalitätsbedingung:!Widerspruch Da die marginale Zahlungsbereitschaft nun unabhängig von der Menge ist, wird auch der Grenzerlös mengenunabhängig und konstant. Dabei liegen die konstanten Abbaugrenzkosten immer unter den nun konstanten Grenzerlösen. Der Monopolist wird somit zum reinen Mengenanpasser. Er maximiert seinen Gewinn nun indem er die größtmögliche Menge verkauft: i) Der neue Gewinn berechnet sich als: Ohne die Innovation des Grünen Zwergs hätte der braune Riese Mio. GE Gewinn gemacht, der Gewinn sinkt somit. Da die Abbaumenge steigt, steigen die Umweltschäden. 8

9 Option 2: staatliches Monopol Maximierung der Wohlfahrt ohne Preisdifferenzierung: Analog zu Option 1: Der nicht abgezinste Gewinn in Periode 2 betrug: Mengenanpasser und verkauft die größtmögliche Menge:. Auch hier wird der Monopolist zum reinen Allerdings entspricht diese der geplanten Menge VOR Einführung des Prototyps, weshalb sich zwar der Gewinn verringert, die Umweltschäden jedoch gleich bleiben. i) Der neue Gewinn berechnet sich als: Ohne die Innovation des Grünen Zwergs hätte der braune Riese Gewinn sinkt somit. Da die Abbaumenge gleich bleibt, bleiben die Umweltschäden gleich. Aufgabenteil c) ii) n Gewinn gemacht, der Beide Optionen: Der Gewinn sinkt auf (Option 1) bzw (Option 2) Mio. GE. Die Umweltschäden steigen (Option 1) oder bleiben zumindest gleich (Option 2), da trotz des gefallenen Preises nun alles extrahiert wird. Im sozialen Optimum für Periode 2 gilt: Einsetzen ergibt: Dadurch entgeht dem Braunen Riesen Gewinn (Option 1: Mio. GE/ Option 2: Mio. GE), aber den Bürgern entgehen Schäden von (Lösen mittels Integralrechnung oder hier vereinfacht mittels Dreiecksformel für Flächen mit rechtem Winkel, da lineare Grenzschäden): Option 1: Option 2: Wenn der Staat dem Braunen Riesen die entgangenen Gewinne durch eine Verringerung der Produktion auf die wohlfahrtsoptimale Menge erstattet, bleibt somit ein Nettowohlfahrtsgewinn von Mio. GE (Option 1) bzw Mio. GE (Option 2). 9