Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie werden nicht behandelt, obwohl sie die Vorstufe der Spiegelungen an einer Geraden, die sogenannte Faltachse, sind. Mit apier, Nadel und Zirkel können hier wertvolle Erkenntnisse gewonnen sowie erworben werden. Senkrechte und parallele Geraden, Figuren und deren Eigenschaften können untersucht werden. eispiele: ) Falte ein latt apier scharfkantig. Stich mit einer Nadel vorsichtig durch beide lätter. Entfalte das latt, nenne die Faltachse g und die beiden unkte und. Welche Eigenschaften haben diese beiden unkte? ) Falte erneut mit als Faltachse. Falte noch einmal an g. Welche besondere Eigenschaft haben die vier entstandenen ereiche? Wie stehen die Faltachsen zueinander? Definition: heißt Faltungspunkt von, wenn über liegt. Falten wir umgekehrt, so dass über liegt, so heißt der Faltungspunkt von. Faltung umgekehrte oder inverse Faltung Erinnern wir noch einfache Eigenschaften von Dreiecken und Rauten. Hier genügt es gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke zu besprechen. Daraus ergeben sich einige ussagen für Rauten, die dir sicher bekannt sind. Zwei gleich lange Seiten eines Dreiecks heißen Schenkel und die dritte Seite asis, auch Grundseite genannt. Sie kann beliebig lang sein. Die Höhe der asis eines gleichschenkligen Dreiecks steht immer senkrecht auf dieser asis. Folglich teilt die Höhe ein gleichschenkliges Dreieck in zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke. Dies kannst du durch Faltung an der Höhe leicht überprüfen. Die anderen Höhen benötigen wir hier nicht. Insbesondere wird der der asis gegenüberliegende Winkel halbiert. Die Höhe ist leicht zu konstruieren, wenn zwei gleichschenklige Dreiecke mit ihren gleichlangen asen aneinander gelegt werden. Hierbei dürfen beide Dreiecke sogar kongruent sein. Wir erhalten dann eine Raute, also ein ebenes Viereck, bei der alle Seiten (Schenkel) gleich lang sind. Kommen wir nun zu den Konstruktionen. Wir werden versuchen, das Lineal so wenig wie möglich einzusetzen. Du solltest unkte selbstständig benennen, damit dir die Konstruktionsbeschreibung einfacher gelingt. eginnen wir mit dem eben gesagten. h D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt 1

2 1. Konstruktion einer Winkelhalbierenden Gegeben ist ein beliebiger Winkel, der halbiert werden soll. Ich beschränke mich auf sich schneidende Geraden. Konstruktion: Durch den Schnittpunkt der beiden Geraden schlage ich einen beliebigen Kreisbogen, der die beiden Geraden in und trifft. Mit demselben Radius schlage ich um und je einen Kreisbogen, so dass ein neuer unkt entsteht. Die Gerade durch und halbiert den Winkel (, ). egründung: Die drei unkte, und bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit der asis (nicht eingezeichnet). Entsprechend auch, und. ist der Faltungspunkt von an der Faltachse. liegt dann über. 2. Der Mittelpunkt einer Strecke oder die Mittelsenkrechte zu Konstruktion: Ich schlage mit dem Zirkel zwei gleichgroße Kreisbögen um und. Die Kreisbögen schneiden sich in den unkten C und D. Die Strecke CD schneidet die Strecke im Mittelpunkt M der Strecke. D D M C C egründung: Die unkte C und D haben die gleichen bstände zu und, da die Radien der Kreisbögen gleich sind. (Der Zirkel ist nicht verstellt worden.) Folglich sind die Dreiecke ( C) und ( D) gleichschenklige kongruente Dreiecke mit ihren Höhen MC bzw. MD. Das Viereck ( CD) ist eine Raute. emerkung: Da die Strecke CD die gegebene Strecke im Mittelpunkt M schneidet und senkrecht auf steht, heißt die Strecke CD auch Mittelsenkrechte der Strecke. Die Strecke CD kann auch als Winkelhalbierende gesehen werden. Warum? 2 D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

3 3. Fällen eines Lots auf eine Strecke oder Gerade Gegeben sind eine Strecke oder Gerade und ein unkt der nicht auf dieser Strecke oder Geraden liegt. Wir beschränken uns auf eine Strecke. Konstruktion: Ich schlage mit meinem Zirkel um einen Kreisbogen, der die Strecke in zwei unkten U und V schneidet. Ohne den Zirkel zu verstellen, schlage ich mit gleichem Radius um U und V Kreisbögen, die sich in schneiden. Jetzt zeichne ich das Lot, indem ich mit L verbinde. U V U L V egründung: Die zwei unkte U und V bilden zusammen mit dem unkt ein gleichschenkliges Dreieck. Ein gespiegeltes gleichschenkliges Dreieck ( U V) erhalte ich mit der Konstruktion 1. L ist der Mittelpunkt der Strecke UV. L heißt Lotfußpunkt. Selbstverständlich steht L senkrecht auf UV. 4. Senkrechte durch einen unkt auf einer Strecke oder Geraden errichten Gegeben sind ein unkt auf einer Strecke oder Geraden g. Die Konstruktion, wenn nicht Endpunkt einer Strecke ist, zeige ich nur in ildern egründung: Die Konstruktion führe ich auf die Rückwärtskonstruktion des Lotfällens zurück. L und tauschen hier ihre Rollen. Natürlich sind nur die Schnittpunkte zu konstruieren. Die folgende Konstruktion kann jederzeit verwendet werden. D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt 3

4 Konstruktion, wenn Endpunkt einer Strecke ist Hier verwende ich die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks. (lle Seiten sind gleich lang.) lle Innenwinkel sind 60 groß. Ich konstruiere nacheinander die Schnittpunkte Q, R, S und. Hierbei müssen die Kreise nicht voll ausgezogen werden. Die Strecke steht senkrecht auf der Strecke Q S R Q egründung: Der Winkel zwischen Q und R beträgt ( ) R = zu überlegen, dass (, ) 30. Nun ist aber auch ( ) ( ) R, = 30 als Winkelhalbierende. Q, R = 60. Es bleibt daher R, S = 60 und damit 5. arallele durch einen unkt außerhalb einer Geraden Gegeben sind eine Strecke oder eine Gerade und ein unkt, der nicht auf dieser Strecke oder Gerade liegt. Ich beschränke mich auf eine Gerade g. Konstruktion: Ich wähle auf der Geraden g einen unkt und schlage einen Kreisbogen mit Radius = r um durch. Der Kreisbogen trifft die Gerade g in. Um und schlage ich zwei weitere Kreisbögen mit dem Radius r und erhalte den unkt. Die Gerade g( ) durch ist parallel zu g. ( ) g g egründung: Die Konstruktion benutzt die Eigenschaften einer Raute, bei der gegenüberliegende Strecken parallel sind. Folglich sind es auch die verlängerten Geraden. Die Raute ist durch die vier unkte,, und gegeben. 4 D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

5 6. Teilen einer Strecke in gleichgroße bschnitte Eine Strecke soll in (hier fünf) gleichgroße bschnitte unterteilt werden. Konstruktion: Ich zeichne einen Strahl in beginnend und schlage von aus mit dem Zirkel beliebigen festen Radius fünf gleiche Teile ab. Ich verbinde den fünften unkt mit dem Endpunkt der Strecke. Durch arallelverschiebung werden nun alle anderen unkte auf die Strecke übertragen. egründung: Die Konstruktion beruht auf den Strahlensatz oder einen äquivalenten Satz, z.. Satz des ythagoras. 7. Mittelpunkt eines Kreises finden Konstruktion: Ich zeichne zwei beliebige nichtparallele Sehnen durch den Kreis und konstruiere die Mittelsenkrechten. Diese schneiden sich im Mittelpunkt M des Kreises. M egründung: Dies ist eine Rückwärtskonstruktion. Der Kreis ist durch drei unkte eindeutig bestimmt. Die Mittelsenkrechte einer Sehne verläuft durch den Mittelpunkt, denn sie zerteilt den Kreis in zwei gleich große Teile, da sie auch Faltachse jeder parallelen Sehne ist. Folglich schneiden sich die beiden Mittelsenkrechten im Mittelpunkt M. 8. Tangentenkonstruktion durch genau einen Kreispunkt Durch einen unkt des Kreises ist die Tangente t zu konstruieren. Konstruktion: Ich zeichne einen Strahl s vom Mittelpunkt M durch und konstruiere anschließend wie unter 4. die Senkrechte durch. Dies ist die Tangente t. D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt 5

6 s S t M R egründung: Der unkt ist ein sogenannter Tangentendoppelpunkt, denn jeder Schnitt einer Geraden mit einem Kreis trifft immer doppelt auf. Da sie übereinander liegen, sehen wir nur einen unkt. Verschieben wir die Tangente parallel in Richtung Kreismittelpunkt, so lösen sich die beiden unkte und es entsteht mit M ein gleichschenkliges Dreieck, wobei die asis durch den Sehnenabschnitt repräsentiert wird. 9. Tangentenkonstruktion von einem unkt außerhalb des Kreises Zu einem gegebenen Kreis und einem unkt außerhalb des Kreises konstruiere die Tangente. Natürlich sehen wir sofort zwei Tangenten, da wir einem Kreis immer einen Winkel aufsetzen können. Konstruktion: Ich verbinde den Mittelpunkt M mit und bestimme die Mitte S der Strecke M. Der Kreis um S durch und M, der sogenannte Thaleskreis, schneidet den Ursprungskreis in den zwei Tangentenpunkten T 1 und T 2. T 1 M S T 2 egründung: Nach der 8. Konstruktion stehen Radius und Tangente immer senkrecht zueinander. Folglich bilden Mittelpunkt M Tangentenpunkt T und der unkt ein rechtwinkliges Dreieck. Zu jedem rechtwinkligen Dreieck gehört ein Thaleskreis. 6 D Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

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