Antialiasing-Filter. Die erforderliche Dämpfung des Antialiasingfilters bei der halben Abtastfrequenz errechnet sich nach (bei N-Bit ADU): f f.

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1 ntialiasing-filter Bei der btastung eines auf f < fb bandbeenzten Messsignal ergibt sich, wie später gezeigt wird, für das abgetastete ignal eine periodische Wiederholung des Basisspektrums. m Überlappungen der durch die btastung entstehenden zusätzlichen Frequenzanteile zu vermeiden, muss für die btastfrequenz fab = / Tab (Tab = btastzeit) gelten fab > fb. Die im Messsignal enthaltenen Frequenzanteile oberhalb der halben btastfrequenz müssen zur Vermeidung des liasings mit einem Tiefpassfilter derart gedämpft werden, dass die mplituden kleiner als die uflösung des nalog-digital-msetzers (LB) sind. Dieses Tiefpassfilter wird ntialiasingfilter genannt. Die erforderliche Dämpfung des ntialiasingfilters bei der halben btastfrequenz errechnet sich nach (bei N-Bit D): TP f ab 0lg max LB db0lg N db6,0n db us der Bandbreite fb = f (Grenzfrequenz des Filters) des Messsignals und der erforderlichen Dämpfung TP(fab/) kann die teilheit bzw. Ordnung des Filters abgeschätzt werden. Filtersteilheit in db/dekade Dek f ab TP f f ab lg lg Hz Hz Dieser Berechnung liegt der asymptotische Verlauf des mplitudenfrequenzgangs zuunde, die wirkliche Dämpfung bei der halben btastfrequenz muss überprüft werden! Beispiel: Ein Messsystem ist für eine Bandbreite von 0 khz auszulegen. Die btastfrequenz soll 00kHz betragen. Es wird ein 6 Bit D eingesetzt. Minimale Dämpfung des ntialiasingfilters bei der halben btastfrequenz: TP f ab 0lg max LB db0lg N db6,0 N db96,3db Filtersteilheit: f ab TP 96,3dB Dek 4dB / Dekade f f 0,39794Dekade ab lg lg Hz Hz Filterordnung: n = 3 Reduzierung der Filterordnung durch 0-fach Oversampling (fab = 800kHz): 74dB Dekade n = 4 Dek /

2 Einfacher RC-Tiefpass: - Frequenzgang (sinusförmige Eingangssignale): a ( j) (eingeschwungener Zustand) jrc e - Übertragungsfunktion (beliebige Eingangssignale): u a ( t) u ( t) src L ( s) s =+ j L e - Normierung für allgemeine Darstellung: s j f - Für= 0 gilt (eingeschwungener Zustand): j j f - Grenzfrequenz des RC-Tiefpasses: - Daraus folgt für RC-Tiefpass: - Betrag der Übertragungsfunktion: - Für>> folgt: Verstärkungsabnahme von 0dB/Dekade f RC ( ) j ( ) () Einschwingverhalten: - Wichtig bei impulsförmigen ignalen - Betrachtung der Polstellen in der s-ebene (Laplace-Ebene) Polstelle des RC-TP: + s RC = + s= 0 s = -/ Negative reelle Polstelle bedeutet ein gedämpftes Einschwingen, ohne Überschwingen!

3 Idealer Tiefpass: Reales Filter soll sich dem idealen Filter annähern, soweit es wirtschaftliche Randbedingungen erlauben RC-Tiefpass: - Erhöhung der teilheit im perrbereich durch Reihenschaltung von RC-Tiefpässen, d.h. (nrc-tp) ergeben eine teilheit von ( n0db/dekade) - Übertragungsfunktion: ( )... n mit,,...,n reell und positiv Entkoppelte RC-Filter-Kaskade: - Dieses Filter hat immer gedämpftes Einschwingverhalten (ohne Überschwingen) - usmultiplizieren der Klammern in (s) ergibt: 0 ( ) c c... c n n mit c, c,..., cn reell und positiv - Höchste Potenz von = Filterordnung - Bestimmen der Koeffizienten für entsprechende nnäherung an idealen Tiefpass

4 Beispiel: RC-TP 4.Ordnung mit = =3 =4 ( j) j 4 - bweichung bei: 43dB = db anstelle von 3d - Durchlassbereich mit oßer Dämpfung - Verringerung der bweichung bei: Kurve nach rechts verschieben, d.h.verkleinern bweichung im perrbereich von symptote Optimierung des Frequenzgangs nach verschiedenen Gesichtspunkten Für die Realisierung von Filtern ist es günstig, das Nennerpolynom in Faktoren zu zerlegen: 0 ( ) a b a b... ai, bi : reelle positive Koeffizienten; bei ungerader Ordnung ist b = 0 Die Koeffizienten ai, bi werden nach Optimierungsmethoden bestimmt Dabei entstehen i.llg. konjugiert komplexe Pole, die man nicht mit passiven RC-chaltungen realisieren kann Konjugiert komplexe Pole können z.b. mit LRC-chaltungen erzeugt werden: - im HF-Bereich bereiten Induktivitäten keine Probleme - im NF-Bereich bereiten oße Induktivitäten (unhandlich, schlechte elektrische Eigenschaften) Probleme und werden nicht eingesetzt RC-chaltungen mit aktiven Bauelementen (z.b. OP) ktive Filter Vergleich der wichtigsten optimierten Frequenzgänge und prungantworten - Butterworth-TP: mplitudengang verläuft möglichst lange horizontal im Durchlassbereich; oberhalb der Grenzfrequenz bfal mit mitlerer teilheit; prungantwort zeigt Überschwingen (Zunahme mit der Ordnung) - Tschebyscheff-TP: mplitudengang mit oßer teilheit oberhalb der Grenzfrequenz; im Durchlassbereich jedoch eine Welligkeit mit konstanter mplitude; prungantwort zeigt oßes Überschwingen (Zunahme mit der Ordnung und Welligkeit) - Bessel-TP: Optimales Rechteckübertragungsverhalten, d.h. konstante Gruppenlaufzeit über oßen Frequenzbereich im Durchlassbereich (Phasenverschiebung ist proportional zur Frequenz); dafür nur geringe teilheit im perbereich; prungantwort zeigt nur geringes Überschwingen (<%) lle Filtercharakteristiken können mit derselben chaltung realisiert werden; nur die Widerstands- und Kapazitätswerte bestimmen den Filtertyp Frequenzgänge der chaltungen müssen allgemein berechnet werden

5 Beispiel: Bessel-TP - Koeffizienten müssen so gewählt werden, dass die Gruppenlaufzeit tup unterhalb der Grenzfrequenz= möglichst wenig vonabhängt - TP.Ordnung mit = j: mit 0 0 a b ja b a arctan b - Definition der Gruppenlaufzeit: t up d d - Normierte Gruppenlaufzeit (für Rechnung einfacher): T T up up t T up t up f t up a b 4 a b b d d d d Für<< gilt: T up b a b a - Gruppenlaufzeit ist frequenzunabhängig, wenn die Koeffizienten von übereinstimmen: b b a a 3 b - Bei der Grenzfrequenz= gilt: b a - us beiden Beziehungen ergibt sich: a =,367 b = 0,680 - Für Filter höherer Ordnung wird die Rechnung sehr aufwendig, da ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen ist

6 Beispiel: Tiefpassfilter.Ordnung. Es soll ein passives Tiefpassfilter mit den folgenden Eigenschaften entwickelt werden: Grenzfrequenz: f = 6 khz Flankensteilheit für f >> f: -40dB/Dekade Durchlaßverhalten: prungantwort mit geringem Überschwingen - Welche Filtercharakteristik ist zu wählen? Beünden ie Ihre ntwort. - us welchen Bauelementen muss das Filter bestehen? - Geben ie eine chaltung an. - Berechnen ie die Übertragungsfunktion V. - Dimensionieren ie das Filter durch Koeffizientenvergleich. Wählen ie R = 50.. Das passive Filter soll durch ein aktives ersetzt werden. Die chaltung sei vorgegeben. Die Übertragungsfunktion lautet für diese chaltung: V ' RC R C C j Dimensionieren ie das Filter durch Koeffizientenvergleich. Wählen ie R = 0 k. Hinweise: Normierte Bessel-Polynome: n N() + +,36 + 0,68 3 +,756 +,33 4 +,4 +,95 Es gilt: V = / N() + 0,36 + 0, ,90 4 Passives Filter ktives Filter

7 Lösung:. Butterworth- und Tschebyscheff-Tiefpässe besitzen ein beträchtliches Überschwingen in der prungantwort. Ideales Rechteckverhalten besitzen Filter frequenzunabhängiger Gruppenlaufzeit, d.h. frequenzproportionaler Phasenverschiebung. Dieses Verhalten wird am besten durch Bessel-Filter approximiert. Da eine Flankensteilheit von 40dB/Dekade gefordert wird, muss ein Filter zweiter Ordnung entworfen werden. Die Übertragungsfunktion lautet:. ' j V mit,36 0,68 Diese Übertragungsfunktion kann nur mit L, C und R realisiert werden, da sie konjugiert komplexe Pole aufweist. Übertragungsfunktion des passiven Filters: V ' jrc( j) LC RC LC Koeffizientenvergleich: R = 50(gewählt) RC =,36 und LC = 0,68,36 C R 0,7F 0,68 L C 0,3mH 3. m konjugiert komplexe Pole zu erzeugen, muss man LRC-chaltungen verwenden. Im Hochfrequenzbereich macht die Realisierung der benötigten Induktivitäten meist keine chwierigkeiten. Im Niederfrequenzbereich werden meist oße Induktivitäten notwendig, die unhandlich sind und schlechte elektrische Eigenschaften besitzen. Die Verwendung von Induktivitäten lässt sich im NF-Bereich jedoch vermeiden, wenn man zu den RC-chaltungen aktive Bauelemente hinzufügt. Diese chaltungen werden aktive Filter genannt. Die chaltung des aktiven Filters und seine Übertragungsfunktion wurden vorgegeben; die Berechnung der Übertragungsfunktion ist i.llg. sehr aufwendig. Koeffizientenvergleich: RC =,36 R = 0 k(gewählt) und R CC = 0,68 C,36 R 0,68nF C 0,68 R C 0,9nF