Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II

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1 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Aufgabe 1: Ei Lebesmittelhädler führt i seiem Sortimet auch abgepackte Wurstware die wöchetlich geliefert werde ud die ach Ablauf der Haltbarkeitsfriste icht mehr verkauft werde köe. Er muss immer 5-er ackuge abehme. Durch Beobachtug stellt er fest dass er vo 60 eigekaufte ackuge i 10% der Fälle 45 i 15% der Fälle 50 ud i 20% der Fälle 55 ackuge verkauft hat. I de übrige Fälle verkaufte er die gesamte Wurst. Der Hädler kauft die ackuge für 140 ei ud verkauft sie für 220 pro ackug. a) Fertige Sie eie Verteilugstabelle der Zufallsvariable X a (X Gewi pro Woche bei 60 eigekaufte ackuge) ud bestimme Sie mit Hilfe des Erwartugswertes mit welchem Gewi er bei 60 eigekaufte ackuge lagfristig reche ka. b) Überprüfe Sie recherisch ob er seie Gewi vergrößer ka we er ur 50 ackuge bestellt. c) Wie groß ist sei Gewi we er ur 45 ackuge bestellt? Aufgabe 2: Ei Glücksrad hat die Zahle 1 2 ud 3 i uterschiedlich große Sektore. Daher tritt die Zahl 1 mit eier Wahrscheilichkeit vo 20 % auf ud die Zahl 2 i 30 % der Fälle. a) Wie oft muss ma das Glücksrad midestes drehe um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes % weigstes eimal die Zahl 1 zu bekomme? b) Das Glücksrad wird zu folgedem Glücksspiel verwedet: Der Spieler zahlt zuächst 1 Eisatz. Da wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sid die drei ermittelte Zahle verschiede bekommt der Spieler seie Eisatz zurück. Kommt dreimal die 1 erhält der Spieler 100. Sost erhält er ichts. Ist dieses Spiel fair? Aufgabe 3: Ei Skiort wirbt mit seier Scheesicherheit ud mit seiem große Skigebiet. Lagjährige Wetteraufzeichuge belege jedoch dass es i diesem Skigebiet währed der Hauptsaiso durchschittlich a 20 % der Tage zu Scheestürme kommt. A diese Tage werde die iste gesperrt ud iemad ka Ski fahre. Aa bucht währed der Hauptsaiso a diesem Skiort ei Hotel für eie Woche (7 Tage). a) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie i dieser Woche keie Sturmtag erlebt? b) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie geau zwei Sturmtage erlebt? c) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie ur a de erste beide Tage ud de letzte drei Tage Ski fahre ka? Erläuter Sie Ihre Vorgehesweise. (Achtug: die Aufgabestellug ist icht idetisch mit b).) d) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie mehr als zwei Sturmtage aber höchstes 5 Sturmtage erlebt? e) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie ur Sturmtage erlebt? f) Der Besitzer eies Hotels i diesem Skiort bietet i der Hauptsaiso folgedes Agebot: Siebe Tage Halbpesio koste pro erso Falls währed dieser siebe Tage a midestes zwei Tage die iste gesperrt sid erhält der Gast eie Rückerstattug vo 200. Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass der Hotelier eiem Gast die Rückerstattug zahle muss. g) Da das Agebot icht die erhoffte Nachfrage hatte überlegt der Hotelier ob er die Rückerstattug auf 400 ahebe soll. Überprüfe Sie mit Hilfe des Erwartugswertes welche durchschittliche Eiahme sich daraus ergebe. h) Der Hotelier plat a de Sturmtage ei Wellessagebot eizurichte. Er überlegt für dieses Agebot pauschal 100 pro Woche (7 Tage) zu verlage. Falls der Gast das Agebot a keiem Tag utzt (d.h. a alle Tage Ski fährt) bekommt er dieses Geld erstattet. Überprüfe Sie mit Hilfe des Erwartugswertes welche durchschittliche Eiahme sich u ergebe. (Hiweis: Überlege Sie zuächst wie viele Möglichkeite es gibt drei verschiedee Zahle zu drehe.)

2 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Aufgabe 4: Eie gut florierede Firma möchte expadiere ud eue Mitarbeiter eistelle. 60 % der Bewerber sid Mäer vo dee 55 % das Abitur gemacht habe. Isgesamt besitze 53% der Bewerber das Abitur. 20 % aller Bewerbuge stamme vo Fraue mit Abitur. Tabelle für Aufgabe 3: a) Erstelle Sie eie Vierfeldertafel ud ei vollstädiges Baumdiagramm zu dieser Situatio. b) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass eie zufällig herausgegriffee Bewerbug vo eiem Ma ohe Abitur ist? c) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass eie zufällig herausgegriffee Bewerbug vo eier Frau ohe Abitur ist? d) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge geau 10 vo eier Frau mit Abitur sid. e) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge midestes 5 vo eier Frau mit Abitur sid. f) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge höchstes 10 vo eier Frau mit Abitur sid. g) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge weiger als 5 vo eier Frau mit Abitur sid. h) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge midestes 10 aber weiger als 20 vo eier Frau mit Abitur sid. i) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge mehr als 5 aber höchstes 10 vo eier Frau mit Abitur sid. j) Der erste Teil der Eigugsprüfug ist ei Multiple-Choice-Test der aus 10 Frage besteht. Wie viele Atwortmöglichkeite muss jede Frage midestes habe damit die Wahrscheilichkeit dass jemad durch reies Rate alle Frage richtig beatwortet höchstes 01 % sei soll? k) Ei gut vorbereiteter Bewerber beatwortet erfahrugsgemäß 75 % der Frage richtig. Wie groß darf die Zahl der gestellte Frage höchstes sei damit ei gut vorbereiteter Bewerber mit eie Wahrscheilichkeit vo mehr als 50 % alle Frage richtig beatwortet?

3 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Aufgabe 1: Lösuge Ei Lebesmittelhädler führt i seiem Sortimet auch abgepackte Wurstware die wöchetlich geliefert werde ud die ach Ablauf der Haltbarkeitsfriste icht mehr verkauft werde köe. Er muss immer 5-er ackuge abehme. Durch Beobachtug stellt er fest dass er vo 60 eigekaufte ackuge i 10% der Fälle 45 i 15% der Fälle 50 ud i 20% der Fälle 55 ackuge verkauft hat. I de übrige Fälle verkaufte er die gesamte Wurst. Der Hädler kauft die ackuge für 140 ei ud verkauft sie für 220 pro ackug. a) Fertige Sie eie Verteilugstabelle der Zufallsvariable X a (X Gewi pro Woche bei 60 eigekaufte ackuge) ud bestimme Sie mit Hilfe des Erwartugswertes mit welchem Gewi er bei 60 eigekaufte ackuge lagfristig reche ka. Verkaufte ackuge Eiahme Wahrscheilichkeit ( X ) ( X ) ( 15 ) ( 26) ( 37) ( 4) E b) Überprüfe Sie recherisch ob er seie Gewi vergrößer ka we er ur 50 ackuge bestellt. Verkaufte ackuge Eiahme Wahrscheilichkeit ( X ) ( X ) ( 29 ) ( 40) E Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II c) Wie groß ist sei Gewi we er ur 45 ackuge bestellt. I diesem Fall wird er stets alle ackuge verkaufe. Somit beträgt sei Gewi: ( X ) ( ) 45 ( 00 ) E. Aufgabe 2: Ei Glücksrad hat die Zahle 1 2 ud 3 i uterschiedlich große Sektore. Daher tritt die Zahl 1 mit eier Wahrscheilichkeit vo 20 % auf ud die Zahl 2 i 30 % der Fälle. a) Wie oft muss ma das Glücksrad midestes drehe um mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes % weigstes eimal die Zahl 1 zu bekomme? ( X 1) 1 ( X 0) ) l( 0 05) l( 0 05) l( 0 ) < l( 0 ) l : l( 0 59) ud l( 0 59) < 0 Atwort: Ma muss midestes 14 mal drehe um die Bedigug zu erfülle. b) Das Glücksrad wird zu folgedem Glücksspiel verwedet: Der Spieler zahlt zuächst 1 Eisatz. Da wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sid die drei ermittelte Zahle verschiede bekommt der Spieler seie Eisatz zurück. Kommt dreimal die 1 erhält der Spieler 100. Sost erhält er ichts. Ist dieses Spiel fair? (Hiweis: Überlege Sie zuächst wie viele Möglichkeite es gibt drei verschiedee Zahle zu drehe.)

4 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Eiahme/Verlust Wahrscheilichkeit ( X ) E ( ) ( 0 2) ( X ) ( 1 ) ( 0) ( 100) Letztlich ist das Spiel icht fair da der Erwartugswert icht 0 ist. Der für de Betreiber zu erwartede Gewi ist mit 12 Cet pro teilehmede Spieler jedoch recht gerig. d) Bereche Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie mehr als zwei Sturmtage aber höchstes 5 Sturmtage erlebt? ( 2 < X 5) ( X 5) ( X 2) e) Bereche Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie ur Sturmtage erlebt? ( X 7) 0 0 2) Aufgabe 3: Ei Skiort wirbt mit seier Scheesicherheit ud mit seiem große Skigebiet. Lagjährige Wetteraufzeichuge belege jedoch dass es i diesem Skigebiet währed der Hauptsaiso (diese umfasst 100 Tage) durchschittlich a 20 % der Tage zu Scheestürme kommt. A diese Tage werde die iste gesperrt ud iemad ka Ski fahre. Aa bucht währed der Hauptsaiso dieses Agebot für eie Woche (7 Tage). a) Bestimme Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie i dieser Woche keie Sturmtag erlebt? ( X 0) 0 0 2) b) Bereche Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie geau zwei Sturmtage erlebt? ( X 2) 0 0 2) c) Bereche Sie die die Wahrscheilichkeit dass Sie ur a de erste beide Tage ud de letzte drei Tage Ski fahre ka? Erläuter Sie Ihre Vorgehesweise. (Achtug: die Aufgabestellug ist icht idetisch mit b).) Hier muss ur ei eiziger fad eies potetielle Baumdiagrammes betrachtet werde. Daher müsse die Eizelwahrscheilichkeite für die beide Variate Sturmtag ud Skitag hier lediglich (i der passede Reihefolge) miteiader multipliziert werde. f) Der Besitzer eies Hotels i diesem Skiort bietet i der Hauptsaiso folgedes Agebot: Siebe Tage Halbpesio koste pro erso Falls währed dieser siebe Tage a midestes zwei Tage die iste gesperrt sid erhält der Gast eie Rückerstattug vo 200. Bereche Sie die die Wahrscheilichkeit dass der Hotelier eiem Gast die Rückerstattug zahle muss. ( X 2 ) 1 ( X 1) g) Da das Agebot icht die erhoffte Nachfrage hatte überlegt der Hotelier ob er die Rückerstattug auf 400 ahebe soll. Überprüfe Sie mit Hilfe des Erwartugswertes welche durchschittliche Eiahme sich daraus ergebe. Sturmtage 0 oder 1 2 oder mehr Eiahme/Verlust Wahrscheilichkeit ( X ) ( X ) ( 1000 ) ( 600) E ( c)

5 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II h) Der Hotelier plat a de Sturmtage ei Wellessagebot eizurichte. Er überlegt für dieses Agebot pauschal 100 pro Woche (7 Tage) zu verlage. Falls der Gast das Agebot a keiem Tag utzt (d.h. a alle Tage Ski fährt) bekommt er dieses Geld erstattet. Überprüfe Sie mit Hilfe des Erwartugswertes welche durchschittliche Eiahme sich u ergebe. Sturmtage oder mehr Eiahme/Verlust Wahrscheilichkeit ( X ) ( X ) ( 1000 ) ( 1100) ( 600) E M F A A b) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dass eie zufällig herausgegriffee Bewerbug vo eiem Ma ohe Abitur ist? ( M A + ) 0 33 c) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dass eie zufällig herausgegriffee Bewerbug vo eier Frau ohe Abitur ist? ( F A ) 0 2 Aufgabe 4: Eie gut florierede Firma möchte expadiere ud eue Mitarbeiter eistelle. 60 % der Bewerber sid Mäer vo dee 55 % das Abitur gemacht habe. Isgesamt besitze 53% der Bewerber das Abitur. 20 % aller Bewerbuge stamme vo Fraue mit Abitur. a) Erstelle Sie eie Vierfeldertafel ud ei vollstädiges Baumdiagramm zu dieser Situatio. d) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge geau 10 vo eier Frau mit Abitur sid ( X 10) 0 0 2) 0 14 e) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge midestes 5 vo eier Frau mit Abitur sid. ( X 5 ) 1 ( X 4) siehe Tabelle M F f) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge höchstes 10 vo eier Frau mit Abitur sid. ( X 10 ) siehe Tabelle A+ A- A+ A- g) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge weiger als 5 vo eier Frau mit Abitur sid. ( X 5 ) ( X 4) < siehe Tabelle

6 Berufskolleg Marieschule Lippstadt Schule der Sekudarstufe II mit gymasialer Oberstufe ud Fachschule - staatlich aerkat - Kurslehrer: Lagebach Übuge zur Klausur Nr. 2: Wahrscheilichkeitsrechug II h) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge midestes 10 aber weiger als 20 vo eier Frau mit Abitur sid. ( 10 X < 20) ( X 19) ( X 9) i) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dass bei de ächste 50 Bewerbuge mehr als 5 aber höchstes 10 vo eier Frau mit Abitur sid. ( 5 < X 10) ( X 10) ( X 5) j) Der erste Teil der Eigugsprüfug ist ei Multiple-Choice-Test der aus 10 Frage besteht. Wie viele Atwortmöglichkeite muss jede Frage midestes habe damit die Wahrscheilichkeit dass ma durch reie Rate alle Frage richtig beatwortet kleier ist als 01 %? ( 10) ( X ) ( 1 ( )) 0 1 ( 1 1 ) 1 10 ( ) ( 1) :05 Atwort: xxxx k) Ei gut vorbereiteter Bewerber beatwortet erfahrugsgemäß 75 % der Frage richtig. Wie groß darf die Zahl der gestellte Frage höchstes sei damit ei gut vorbereiteter Bewerber mit eie Wahrscheilichkeit vo mehr als 50 % alle Frage richtig beatwortet? ( X ) 075 ( ) l l(075) l(05) :l(075) l(05) l(075) Atwort: xxxxxx