Schnittgrößen und Vorzeichenkonvention

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1 Schnittgrößen und Vorzeichenkonvention Die äußeren Kräfte (Belastungen) auf einem Tragwerk verursachen innere Kräfte in einem Tragwerk. Da diese inneren Kräfte nur durch ein Freischneiden veranschaulicht werden könne, werden sie häufig als Schnittgrößen bezeichnet. Die Schnittgrößen in einem Tragwerk stellen die Beanspruchung des Tragwerks dar. Sie werden bei dem Entwurf und der Bemessung des Tragwerks benötigt, z.b. im Stahlbau, Holzbau und Massivbau.

2 Schnittgrößen im Balken, Rahmen und Bogen Hier werden nur ebene Probleme behandelt, d.h. Balken, Rahmen und Bogen in der Ebene.

3 Schnittgrößen im Balken, Rahmen und Bogen Dabei: N: Normalkraft, wirkt in Richtung der Balkenlängsachse Q: Querkraft, wirkt in Richtung senkrecht zur Balkenlängsachse M: Biegemoment Räumliche Darstellung: x N y z Q M y = M

4 Ebene Darstellung: Koordinatensystem Koordinatensystem: x-achse: y-achse: z-achse: zeigt in Richtung der Balkenlängsachse aus der Zeichenebene heraus senkrecht zur Balkenlängsachse

5 Schnittufer n: Normalenvektor Schnittufer: Positives Schnittufer: Negatives Schnittufer: Schnittufer, dessen Normalenvektor in positive x-richtung zeigt. Schnittufer, dessen Normalenvektor in negative x-richtung zeigt.

6 Vorzeichenkonvention Vorzeichenkonvention: Positive Schnittgrößen zeigen am positiven Schnittufer in positive Koordinatenrichtungen. Positive Schnittgrößen zeigen am negativen Schnittufer in negative Koordinatenrichtungen.

7 Gestrichelte Faser: Gestrichelte Faser Beim Rahmen und Bogen wird zur Festlegung der Vorzeichen der Schnittgrößen eine Seite jedes Tragwerksteils durch eine gestrichelte Linie eingeführt. Diese gestrichelte Linie wird häufig als gestrichelte Faser bezeichnet.

8 Gestrichelte Faser x-achse: z-achse: zeigt in Richtung der gestrichelten Faser zeigt zur gestrichelten Seite hin Ein Moment ist positiv, wenn die gestrichelt Faser gezogen bzw. auf Zug beansprucht wird.

9 Schnittgrößenlinien Häufig sind nicht nur die Schnittgrößen an einem bestimmten Schnitt sondern auch die Schnittgrößen entlang der Balkenachse von Interesse. Der Verlauf der Schnittgrößen wird als Schnittgrößenlinien oder Schnittkraftlinien oder Zustandslinien bezeichnet. Normalkraftlinie (N-Linie) Schnittgrößenlinien Querkraftlinie (Q-Linie) Momentenlinie (M-Linie)

10 Bestimmung der Schnittgrößenlinien Verfahren zur Bestimmung der Schnittgrößen: 1)Bestimmung der Schnittgrößenlinien mit dem Schnittprinzip. 2)Bestimmung der Schnittgrößenlinien durch Lösen der Differentialgleichungen.

11 Bestimmung der Schnittgrößen mit dem Schnittprinzip Vorgehensweise: Koordinatensystem festlegen. Auflagerreaktionen am gesamten Balken (ungeschnittenen) bestimmen. Balken an der Stelle x frei schneiden. Schnittgrößen mit positivem Richtungssinn einzeichnen. Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen am Teilbalken bestimmen. Ergebnisse als Diagramme bzw. Schnittgrößenlinien darstellen.

12 Bestimmung der Schnittgrößen mit dem Schnittprinzip Bemerkung: Bei Unstetigkeiten müssen die Schnittgrößen immer bereichsweise bestimmt werden. - Einzellasten Unstetigkeiten Statische Unstetigkeiten Geometrische Unstetigkeiten - Knicke in Streckenlasten - Knicke der Balkenachse - Verbindungselemente

13 Bemerkungen zu Schnittgrößenlinien Allgemeine Bemerkungen (vgl. Einfeldträger/Standardlastfälle ): Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen und der Streckenlast 2 dq( x) dm ( x) d M ( x) = p, = Q( x), = p 2 dx dx dx M(x) ist dort maximal, wo Q(x) gleich Null ist. Im Bereich p(x)=0 ist Q(x) konstant und M(x) linear. An der Stelle einer Einzelkraft F hat Q(x) einen Sprung und M(x) einen Knick (siehe Lastfälle 1, 2 und 3). Der Betrag des Sprungs an der Stelle einer Einzelkraft F ist gleich dem Betrag der Einzelkraft (siehe Lastfälle 1, 2 und 3).

14 Bemerkungen zu Schnittgrößenlinien Ein Einzelmoment bewirkt keine Änderung der Q(x)-Linie an der Angriffsstelle (Lastfall 9). Ein Einzelmoment bewirkt einen Sprung in M(x) an der Angriffsstelle. Der Sprung ist gleich dem Betrag des Einzelmomentes (Lastfall 9). An einem freien Ende, an der keine Einzelkräfte wirken, ist die Querkraft Q gleich Null (siehe Beispiel unten). An einem freien Ende, an dem keine Einzelmomente wirken, ist das Moment M gleich Null (siehe Beispiel unten).

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