5.5. Integralrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5.5. Integralrechnung"

Transkript

1 .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds Schuild des Integrnden f, die untere Grenze und die oere Grenze egrenzt wird, heißt dnn Integrl von f üer zwischen und. f ()d d f() f() f () d Bemerkungen:. Der orientierte Flächeninhlt ht ein positives zw. negtives Vorzeichen, wenn die Fläche oerhl zw. unterhl der -Achse liegt.. Wird ds Integrl ls Funktion in Ahängigkeit von der oeren Grenze etrchtet, so nennt mn es uch Integrlfunktion I ( ) f ()d.. Ds Integrl läßt sich mit elieiger Genuigkeit nnähern, indem mn es ls Summe S n von n Rechtecken mit den Höhen f( ), f( ),... und der Breite Δ zwischen den Grenzen und ildet. Dei n müssen die Stellen,,... jeweils im.,.,... Rechteck mit der Breite Δ liegen: S n f( ) Δ + f( ) Δ f( n ) Δ. Für n und Δ streen dnn die Summen S n gegen ds Integrl: S n f ()d für n Üungen: Aufgen zur Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode... Stmmfunktionen Definition: Eine Funktion F heißt Stmmfunktion zur Funktion f, flls F'() f() für lle D. Ds Bilden der Stmmfunktion ist die Umkehrung des Aleitens und wird dher uch Aufleiten gennnt. Aufleitunsregeln: Funktion f() Stmmfunktion F c () Konstnte Fktoren g() leien unverändert G c () Summen werden einzeln g() + h() ufgeleitet G c () + H c () Potenzfunktionen n mit n R\{ } n n+ + c ln + c Gnzrtionle Funktionen n n + n - n n n n + + n n n c Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr.

2 ... Berechnung von Integrlen mit Stmmfunktionen Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für stetige Funktionen Gegeen sei eine uf dem Intervll [,] stetige Funktion f() mit der Stmmfunktion F(). Ds Integrl von f üer zwischen und ist gleich der Differenz der Funktionswerte der Stmmfunktion n den Stellen und : f ()d Beweis: f ()d (I ()) F() F() F() I ( Δ) I () Δ Δ Δ Δ f(), Δ Δ f ()d f ()d denn wegen der Stetigkeit von f stret f ()d Δ f ()d gegen f() h für Δ. Dzu wählt mn die Stellen hm und hm [; + Δ], n denen f den kleinsten zw. größten Wert im Intervll [; + Δ] nnimmt. Diese Stellen eistieren, weil ds Intervll [; + Δ] geschlossen und f stetig ist. Dnn gilt die Aschätzung f( hm ) Δ Δ f ()d f( hm ) Δ. Für Δ streen hm und hm gegen. Wieder wegen der Stetigkeit von f streen dnn uch f( hm ) und f( hm ) gegen., d.h. Δ f ()d stret gegen f() Δ. Dmit ist gezeigt, dss (I ()) f() I () F c () F () + c. Zur Berechnung von c setzt mn und erhält I () F () + c c F (). Durch Einsetzen ergit sich die Formel I () F () F (). Δ f ()d f() Δ + Δ f( Beispiel: ( )d ( + ) ( + ) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. ) c)... Eigenschften des Integrls Intervlldditivität Beispiel: Aufgen zur Integrlrechnung Aufge d) ) ) c) d d d d d f() - - d d

3 Intervlldditivität des Integrls Gegeen seien die Grenzen,, c R mit < < c und eine uf [; c] stetige Funktion f mit f() für lle [; c]. Dnn gilt c f ()d f ()d + c f ()d In Worten: Ds Integrl üer ds Gesmtintervll [; c] läßt sich ls Summe der Integrle üer die eiden Teilintervlle [; ] und [; c] schreien. Vertuschung der Grenzen Beispiel: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. e) d 8 7 er d 8 7 Vertuschung der Grenzen Vertuschung von oerer und unterer Grenze zw. Integrtion von rechts nch links führt zu Vorzeichenwechsel, d die Streifenreite d < ist: f ()d F() F() (F() F()) f ()d. Bemerkung: Liegt die "oere" Grenze links von der "unteren" Grenze, so summiert mn ei der Trpezmethode von rechts nch links und die Streifenreite d erhält ein negtives Vorzeichen. Flächen unterhl der -Achse Aufgenltt zur Integrlrechnung Nr. f) A ( )d + ( )d + 8 FE Flächen unterhl der -Achse Flächen, die unterhl der -Achse liegen, werden negtiv gezählt, d die Streifenhöhe f() < ist: f ()d <, flls f() für lle [; ]. Bemerkung: Zur Berechnung von Flächen, die unterhl der -Achse liegen, verwendet mn den Betrg des entsprechenden Integrls f() f ()d - - f ()d - Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. und

4 Flächen, die durch zwei Schuilder egrenzt werden Beispiel. Aufgen zur Integrlrechnung Nr. ) A (g() d FE f ())d g() f() Inhlte von Flächen, die durch zwei Schuilder egrenzt werden Gegeen seien zwei Funktionen f und g, mit f() g() für lle [; ]. Dnn lässt sich der Inhlt A der Fläche, die durch die Senkrechten und sowie die Schuilder von f und g egrenzt wird, ls Integrl üer f() g() ( Streifenhöhe) erechnen: A f () g() d Bemerkung: Schneiden sich die Schuilder von f und g innerhl des Intervlls [; ], so muß ds Integrl in entsprechende Teilintervlle ufgeteilt werden, so dss im Integrnden immer die oerhl der Fläche verlufende Funktion ein positives Vorzeichen esitzt. (oder Beträge verwenden) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr Die Sustitutionsmethode Stz üer die Sustitutionsmethode ei der Integrtion Für eine uf [; ] differenzierre Funktion z und eine uf [z(); z()] integrierre Funktion f gilt z '() f (z())d z() z() f (z)dz Beweis Mn geht von der Kettenregel der Differentilrechnung us: f (z()) ' z'() f (z()) Integrtion von is uf eiden Seiten f (z()) 'd f (z()) f(z()) f(z()) z() f (z) z() z() z() f '(z)dz z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d z '() f '(z())d Huptstz für Integrtion üer d uf der linken Seite nwenden Huptstz für Integrtion üer dz uf der linken Seite nwenden: In der Anwendung etrchtet mn die äußere Aleitung f (z) ls Ausgngsfunktion und formuliert die Gleichung dher mit f nstelle von f : z() z() f (z)dz z '() f (z())d -

5 Beispiele :... e d z '() f (z())d e d d z z() z() f (z)dz : e dz e e mit z() und f(z) e z. e d d Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr Produktintegrtion z e dz e e mit z() + und f(z) e z 8 dz z Stz üer die Produktintegrtion oder teilweise(prtielle) Integrtion Für uf [; ] differenzierre Funktionen g und h gilt (ln 8 ln ) ln 8 mit z() und f(z) z g'() h() d g() h() Beweis Mn geht von der Produktregel der Differentilrechnung us (von rechts nch links gelesen) g'() h() + g() h'() g() h() ' g() h'() d D die Stmmfunktion der linken Seite eknnt ist, läßt sich drus uch eine Regel für die (zumindest teilweise) Integrtion von Produkten gewinnen: g'() h() d + g() h'() d g() h() 'd g() h() Beispiele:. e d g'() h() d e d g() h() e g() h'() d e d e e e ( ).. ( ) cos d cos ln d (cos ) ( ) d (sin ) ( ) cos ln d ln (sin ) ( ) d ln (sin ) d (sin ) ( ) ln ln Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. 9 und..7. Prtilruchzerlegung Stz üer die Prtilruchzerlegung echt gerochenrtionler Funktionen Für,,, R und gilt ( ) ( ) A + B mit A und B Beweis: A B A ( ) B ( ) (A B) A B + (A + B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B + R A + B und A B A und B.

6 Beispiel: d ( ) ( ) d ( )( )..8. Uneigentliche Integrle A + B d mit A d und B ln( ) ln( ) ln ln ln 8 Definition Wenn sich eine Kurve für ± oder schnell genug einer Koordintenchse oder einer nderen Kurve nnähert, konvergiert uch die entsprechende Fläche gegen einen Flächengrenzwert. Die Fläche ht dnn zwr eine unendliche Ausdehnung und keine geschlossene Umrndung, esitzt er trotzdem eine endliche Mßzhl. Solche Grenzwerte von Integrlen nennt mn dher uneigentliche Integrle. Mn schreit kürzend: Beispiel: ( ) f ()d zw. d f ()d ( ) d f ()d ( ) Üungen: Aufgen zur Integrlrechnung Nr. und..9. Numerische Integrtionsmethoden Linere Näherung mit der Sehnentrpezregel f ()d ( ),9,8,7,,,,,, f ()d S + S f () f [f() + f + + f()] f f () f() S S f() f() f Qudrtische Näherung mit der Kepler sche Fßregel f ()d (S S ) T (S + S ) + T [f() + f [f() + f + f()] + + f()] ( ) f T f f()

7 Beispiel:. Linere Näherung mit Sehnentrpezregel:. Qudrtische Näherung mit Keplerscher Fßregel: d. Ekter Wert mit dem Huptstz (Stmmfunktion): [ + d d Üungen: Anwendungsufgen zur Integrlrechnung Aufge... Inhlte von Rottionskörpern [ + + ],97,7 + ],7 (!) Stz (Rottion um -Achse) Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f mit f() für lle [; ]. Dnn ht der Körper, der durch Rottion des Schuildes von f im Bereich [; ] um die -Achse entsteht, ds Volumen V (f ()) d. f( f( f () d (f ()) d f() f() d d Beweisidee Die Fläche f ()d zwischen Schuild und -Achse lässt sich mit elieiger Genuigkeit nnähern, indem mn die Summe S der Flächen f() d der Rechtecke mit Höhe f() und Breite d zwischen den Grenzen und ildet. Bildet mn stttdessen die Summe S der Volumin π f()) d der Zlinder mit Rdius f() und Höhe d, so erhält mn entsprechend ds Volumen V (f ()) d zwischen rotierendem Schuild und -Achse Stz (Rottion um -Achse) Gegeen seien, R mit < < und eine uf [; ] stetige und streng monotone Funktion f mit der Umkehrfunktion f. Dnn ht der Körper, der durch Rottion des Schuildes von f im Bereich [f(); f()] um die -Achse entsteht, ds Volumen V Beweis: klr f () f () (f ()) d. Üungen: Anwendungsufgen zur Intergrlrechnung Nr. - 7

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

Der Begriff der Stammfunktion

Der Begriff der Stammfunktion Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung

Mehr

Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s

Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s 6 Integrlrechnung ================================================================== 6.1 Lokle Änderungsrte und Gesmtänderung ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner Aiturvorereitung Mthemtik Anlysis Copyright 2013 Rlph Werner 1 Aleitung einer Funktion Geometrische Entsprechung: Aleitung Die Aleitung einer Funktion f (2) = 4 y = 4 x - 4 n der Stelle x 0 f (x 0 ) git

Mehr

9.5. Uneigentliche Integrale

9.5. Uneigentliche Integrale 9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen,

Mehr

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.

Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt. I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a +

f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a + Mthemtik 7 Integrlrechnung Prolemstellung: Lösungsidee: Die Berechnung einer Fläche unter einer Funktion zwischen zwei äußeren Grenzen. Zerlegung der Gesmtfläche in rechteckige Bänder (Ausschöpfungsmethode),

Mehr

6.4 näherungen für bestimmte Integrale

6.4 näherungen für bestimmte Integrale 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4. Diekepler schefssregel Ingenieuren und Nturwissenschftlern pssiert es immer wieder, dss sie es mit Funktionenzu tunhen,dieso

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6 Parameterabhängige Integrale Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes

Mehr

10 Anwendungen der Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung

Mehr

6. Grundbegriffe der Analysis (II)

6. Grundbegriffe der Analysis (II) 7 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 6 Grundegriffe der Anlsis (II) 6 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 20.05.09 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,

Mehr

6.4 Uneigentliche Integrale

6.4 Uneigentliche Integrale 6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c. SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine

Mehr

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung:  wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die

Mehr

8.4 Integrationsmethoden

8.4 Integrationsmethoden 8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3 Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Integralrechnung. Kapitel Integration von Funktionen einer Veränderlichen

Integralrechnung. Kapitel Integration von Funktionen einer Veränderlichen Kpitel 8 Integrlrechnung 8 Integrtion von Funktionen einer Veränderlichen Die Funktion f() sei eine für (, ), < stetige (oder stückweise stetige Funktion) Ds Intervll (, ) wird durch eine Intervlleinteilung

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 18.01.08 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Notizen zur Vorlesung Analysis 3

Notizen zur Vorlesung Analysis 3 Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet

Mehr

21. Das bestimmte Integral

21. Das bestimmte Integral 1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung

Mehr

Ober- und Untersummen, Riemann Integrale

Ober- und Untersummen, Riemann Integrale Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines

Mehr

Übungsaufgaben. Achtung(!):

Übungsaufgaben. Achtung(!): Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $ Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun

Mehr

für beliebige Mengen A, B, C

für beliebige Mengen A, B, C 1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Monte-Carlo-Integration

Monte-Carlo-Integration Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen

Mehr

Ausschreibungstext. Geometrie in der Analysis. Prof. Dr. Peter Gallin Universität Zürich

Ausschreibungstext. Geometrie in der Analysis. Prof. Dr. Peter Gallin Universität Zürich Geometrie in der Anlysis Prof. Dr. Peter Gllin Universität Zürich 23. Schweizerischer Tg üer Mthemtik und Unterricht 12. Septemer 2012 I: 1:30 15.15 Uhr II: 15:5 16:30 Uhr Peter Gllin ehem. Gymnsillehrer

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium Mthemtik für ds Ingenieurstudium von Mrtin Stämpfle, Jürgen Koch., ktul. Aufl. Hnser München 0 Verlg C.H. Beck im Internet: www.eck.de ISBN 978 3 446 433 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

Aufgabe 30: Periheldrehung

Aufgabe 30: Periheldrehung Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen,

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Rotationskörper

Rotationskörper .17.5 ottionskörper Im folgenden efssen wir uns mit Körpern, die ddurc entsteen, dss eine eene Kurve oder ein eenes Kurvenstück um eine Acse rotiert, die in der gleicen Eene liegt. Einige spezielle Typen

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

2.4 Elementare Substitution

2.4 Elementare Substitution .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe

Mehr

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b . Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen

9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen 9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind

Mehr

Formelsammlung für die Klausur: Mathematik für Chemiker I

Formelsammlung für die Klausur: Mathematik für Chemiker I Universität-Duisburg-Essen / Cmpus Essen 15. 1. 2004 FB 6 - Mthemtik Prof. Dr. D. Lutz / Dr. G. Wolf Formelsmmlung für die Klusur: Mthemtik für Chemiker I Binomilkoezienten, binomische Formel: n! = 1 2

Mehr

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N

Mehr

Anwendungen der Integralrechnung

Anwendungen der Integralrechnung Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt............... 4 8. Kurvenlänge............................. 7 8. Rottionskörper........................... 9 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen

Mehr

Riemann-integrierbare Funktionen

Riemann-integrierbare Funktionen Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-

Mehr